Buổi trưa ở tổ Giải tích

Standard

Trưa nay, 11/10/2013, tổ Giải tích trao đổi về một bài tập chuyển về tích phân lặp của một tích phân bội ba. Dưới đây là các hình vẽ minh họa.

ảnh (6)

ảnh (7)

ảnh (8)

ảnh (9)

11 responses »

  1. Với mục đích chuyển thành tích phân lặp

    \int dz \int dy \int dx

    thầy Lê Huy Chuẩn có cách tiếp cận chỉ dùng biến đổi đại số mà không cần đến hình vẽ như sau.

    Bước 1: Tìm miền lớn nhất có thể cho z để hệ sau

    (y-1)(x-2)\le z\le 2, \;\;\; (1)

    \dfrac{x}{x-2}\le y\le x, \;\;\; (2)

    0\le x\le 1 \;\;\; (3)

    có nghiệm.

    Có thể thấy ngay 0\le z \le 2, vì

    -) từ (2) và (3) có y\le x\le 1 nên (y-1)(x-2)\ge 0, do đó từ (1) có

    0\le z\le 2,

    -) với 0\le z\le 2 chọn x=y=1 ta có (1, 1, z) là một nghiệm của (1)-(3).

    Bước 2: Lấy z\in [0, 2] cố định, tìm miền lớn nhất có thể cho y để hệ (1)-(3) có nghiệm.

    Từ (1) có

    1-\dfrac{z}{2-x}\le y,

    nên từ (3) có

    1-z\le y.

    Từ (2) và (3) có

    -1\le y\le 1.

    Như vậy 1-z\le y \le 1 (do 0\le z\le 2).

    Với 0\le z\le 2, 1-z\le y\le 1(1, y, z) thỏa mãn (1)-(3).

    Bước 3: Lấy z\in[0, 2], y\in[1-z, 1] tìm tất cả các x có thể thỏa mãn (1)-(3).

    Từ (1), với lưu ý y\le 1, có

    2-\dfrac{z}{2-y}\le x.

    Từ (2) có

    y\le x,

    (1-y)(2-x)\le 2 (đương nhiên có từ (1)).

    Kết hợp với (3) có

    \max\{2-\dfrac{z}{2-y}, y, 0\}\le x\le 1.

    Đến đây các bạn thử làm tiếp?

  2. Em chào thày,thày cho em hỏi một thắc mắc về phần tích phân này với ạ. Đề bài là tính tích phân

    I= \int_{\omega} 2y dxdy

    với \omega là miền tam giác có 3 đỉnh là (1,0), (1,3),(1,1). Đầu tiên em tính theo theo chiều trục Ox.

    I=\int_{0}^{1} \int_{1}^{2x+1} 2y dy dx

    Tính theo cách này thì được \frac{17}{3}.

    Giờ em tính theo chiều trục Oy.Khi đó ta có

    I=\int_{1}^{3} \int_{\frac{y-1}{2}}^{1} 2y dx dy

    thì lại được \frac{17}{3}. Em không biết là sai chỗ nào?

    Em cảm ơn thày!

    prime

  3. Em cảm ơn thày. Em tính theo cách 2 thì ra

    \int_{1}^{3} \int_{\frac{y-1}{2}}^{1} 2y dx dy=\int_{1}^{3} y(3-y)dy.

    và tích phân này tính ra thì có giá trị $\frac{17}{3}$ (không đúng theo định lí Fubini). Em đang suy nghĩ là bị sai ở chỗ nào nên nhờ thày xem hộ.

    prime

    • Cách tạo các ảnh động trên bằng Maple:

      > restart;

      > with(plots); with(plottools);

      > A2 := proc (t) plots[display](plot3d([t, y, z], y = -t/(2-t) .. t, z = (y-1)*(t-2) .. 2, color = blue, thickness = 5, style = surface)) end proc:

      > A3 := proc (t) plots[display](plot3d([x, y, t], x = 3/2-(1/2)*sqrt(1+4*t) .. 1, y = t/(x-2)+1 .. x, color = blue, thickness = 5, style = surface)) end proc:

      > li := proc (t) options operator, arrow; piecewise(-1 <= t and t <= 0, 2*t/(t-1), 0 <= t and t <= 1, t) end proc:

      > A4 := proc (t) plots[display](plot3d([x, t, z], x = li(t) .. 1, z = (t-1)*(x-2) .. 2, color = blue, thickness = 5, style = surface)) end proc:

      > M1 := plot3d([[x, y, 2], [x, x, (y-1)*(x-2)], [x, y, (y-1)*(x-2)]], x = 0 .. 1, y = -x/(2-x) .. x, color = green, style = wireframe):

      > animate(A2, [theta], theta = 0 .. 1, background = M1, scaling = constrained);

      > animate(A3, [theta], theta = 0 .. 2, background = M1, scaling = constrained);

      > animate(A4, [theta], theta = -1 .. 1, background = M1, scaling = constrained)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s