Tính diện tích hình ellipse

Standard

Ta bắt đầu từ hình tròn bán kính r có diện tích

\pi r^2.

Hình tròn là trường hợp đặc biệt của hình ellipse với hai trục lớn 2a và trục bé 2b bằng nhau. Do đó ta có thể dự đoán diện tích của ellipse

\pi ab.

Chứng minh công thức này nhờ phương trình ellipse

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.

Khi đó ta có công thức tính diện tích của ellipse

\iint\limits_{\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\le 1}dxdy=4\int\limits_0^a\int\limits_0^{\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}}dxdy=\pi ab.

Trong trường hợp ellipse được cho bởi phương trình tổng quát

ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0 \;\;\;(1)

với ac-b^2>0, a>0, f\le 0,

thì diện tích của ellipse được tính bởi công thức nào? Phần tiếp theo của bài viết sẽ đưa ra công thức này.

Trước khi tiếp cận trường hợp tổng quát, ta xét trường hợp đơn giản

ax^2+2bxy+cy^2=1, \;\;\; (2)

với ac-b^2>0, a>0.

Đổi biến X=x+\dfrac{b}{a}y, Y=y ta có

+) miền với biến mới

\dfrac{X^2}{A^2}+\dfrac{Y^2}{B^2}=1\;\;\;(3)

với A=\dfrac{1}{\sqrt{a}}, B=\sqrt{\dfrac{a}{ac-b^2}},

+) Jacobien của phép đổi biến

\dfrac{D(X, Y)}{D(x, y)}=det\begin{pmatrix}1 & \frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=1.

Do đó diện tích của ellipse (2)

area(2)=\iint\limits_{ax^2+2bxy+cy^2\le 1}dxdy=area(3)

=\pi AB=\dfrac{\pi}{\sqrt{ac-b^2}}.

Nếu mở rộng (2) thành

ax^2+2bxy+cy^2=d, d>0, \;\;\;(4)

thì diện tích của ellipse (4) là

area(4)=\dfrac{\pi d}{\sqrt{ac-b^2}}.\;\;\;(5)

Trở lại trường hợp tổng quát (1), bằng phép dịch chuyển

x=X+h, y=Y+k ta sẽ chuyển (1) thành (2).

Thật vậy, với phép dịch chuyển trên (1) trở thành

aX^2+2bXY+cY^2+
2X(ah+bk+d)+2Y(bh+ck+e)=
-[f+h(ah+bk+d)+k(bh+ck+e)+dh+ek].

Ta chọn h, k thỏa mãn

ah+bk=-d, bh+ck=-e.

Khi đó dh+ek=-\dfrac{ae^2-2bde+cd^2}{ac-b^2}

nên phương trình mới

aX^2+2bXY+cY^2=\dfrac{ae^2-2bde+cd^2}{ac-b^2}-f.

Lưu ý qua phép dịch chuyển diện tích ellipse không đổi, nên từ (4) và (5), diện tích ellipse (1) được cho bởi

area(1)=\dfrac{\pi(ae^2-2bde+cd^2-f(ac-b^2))}{(ac-b^2)^{3/2}}.

Giờ ta có thể tích diện tích của phần mặt phẳng

hz=ax+by+c

nằm trong nón dương

hz=\sqrt{x^2+y^2}

với h>0, c>0, a^2+b^2<1.

Bằng cách tham số

z=\dfrac{ax+by+c}{h}

với ax+by+c\ge \sqrt{x^2+y^2}

ta có diện tích của phần mặt phẳng trên cho bởi

\iint\limits_{E}\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+h^2}}{h}dxdy,

với E là ellipse

ax+by+c\ge \sqrt{x^2+y^2}

hay

(1-a^2)x^2-2abxy+(1-c^2)y^2-2acx-2bcy\le c^2.

Diện tích của phần mặt phẳng lúc này sẽ được cho bởi

\dfrac{\pi c^2\sqrt{a^2+b^2+h^2}}{h(1-a^2-b^2)^{3/2}}.

One response »

  1. Từ kết quả cuối cùng dẫn đến hai kết quả thú vị:

    + trong các mặt phẳng cùng đi qua điểm (0, 0, c/h), mặt phẳng vuông góc với trục Oz, trục đối xứng của hình nón, là mặt phẳng có thiết diện nhỏ nhất với hình nón;

    + trong các mặt phẳng mà có cùng thiết diện với hình nón, mặt phẳng vuông góc với trục đối xứng của hình nón, cắt ra khỏi hình nón khối có thể tích lớn nhất.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s