Trao đổi bài giảng môn PTĐHR lớp K56A1T

Standard

Các tài liệu tôi sẽ dùng để dạy môn PTĐHR cho lớp K56A1T

1. “Bài giảng PTĐHR” Nguyễn Thừa Hợp,

2. “An introduction to PDEs” Y. Pinchover và J. Rubinstein,

3. “BVPs and PDEs” D. L. Powers,

4. “PDEs and BVPs” N. H. Asmar.

Tôi sẽ dạy dựa vào tài liệu 1 là chính. Cuốn này các bạn có thể mượn thư viện.

Đường link của các cuốn 2-4 các bạn tìm trong các bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2010/01/15/giao-trinh-bai-t%E1%BA%ADp-pt-vpdhr-l%E1%BB%9Bp-k53-a2a3/

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/01/31/trao-d%E1%BB%95i-bai-gi%E1%BA%A3ng-mon-pt-dhr-l%E1%BB%9Bp-toan-tin-k55a2a3/

Có gì cần trao đổi các bạn có thể viết vào phần “Phản hồi” ngay dưới bài viết.

343 responses »

  1. Hôm nay tôi có thử chuyển về dạng chính tắc của phương trình cấp 2 ba biến

    u_{xx}-4u_{yy}+2u_{yz}+4u_{zx}+u_x=0.

    Tôi có xét dạng toàn phương

    X^2-4Y^2+2YZ+4ZX=0.

    Dùng Lagrange

    (X+2Z)^2-(2Y-Z/2)^2- 15Z^2/4=0

    nên có phép đổi biến

    x=X+2Z, y=2Y-Z/2, z=Z/2.

    Tôi nhầm việc chuyển ngay sang phương trình vi phân.

    Đến đây cần giải ngược

    X=x-4z, Y=y/2+z/2, Z=2z

    và phép đổi biến

    \xi(x, y, z), \eta(x, y, z), \zeta(x, y, z) cần thỏa mãn

    \xi_x= 1, \eta_x=0, \zeta_x=-4,

    \xi_y=0, \eta_y=1/2, \zeta_y=1/2,

    \xi_z=0, \eta_z=0, \zeta_z=2.

    Tích phân lên có phép đổi biến cần tìm

    \xi=x, \eta=y/2, \zeta=-4x+1/2y+2z..

    Khi đó tính toán ta được

    u_x=v_\xi - 4v_\zeta,

    u_{xx}=v_{\xi\xi}-8v_{\zeta\xi}+16v_{\eta\eta},

    u_{yy}= v_{\eta\eta}/4 + v_{\eta\zeta}/2+v_{\zeta\zeta}/4,

    u_{yz}=v_{\eta\zeta}+v_{\zeta\zeta},

    u_{zx}=2v_{\zeta\xi}-8v_{\zeta\zeta}.

    Phương trình ban đầu trở thành

    v_{\xi\xi}-v_{\eta\eta}-15v_{\zeta\zeta}+v_{\xi}-4v_{\zeta}=0.

    Các bạn có thể tham khảo thêm bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/07/28/chuyen-ve-dang-chinh-tac-ptdhr-tuyen-tinh-cap-2/

    • Ta cũng có thể làm như trên với phương trình cấp 2 hai biến hệ số hằng. Với phương trình hệ số biến thiên sẽ rắc rối hơn ngay cả với trường hợp hai biến. Một ví dụ sáng nay, bạn Nguyễn Đức Hưng có làm nhưng chưa ra kết quả cuối cùng

      \sin^2 x\; u_{xx}-2y\sin x\; u_{xy}+y^2u_{yy}=0.

      Ta xét dạng toàn phương

      \sin^2 x \; p^2 - 2y\sin x\; pq +y^2 q^2=0

      hay

      (\sin x\; p-yq)^2=0

      nên đổi biến

      X=\sin x\; p - yq, Y=q (có thể chọn Y khác sao cho phép đổi biến không suy biến).

      Khi đó

      p=X/\sin x + Yy/\sin x, q=Y.

      Ta đổi biến \xi(x, y), \eta(x, y) sao cho

      \xi_x=1/\sin x, \eta_x=y/\sin x

      \xi_y=0, \eta_y=1.

      Có thể thấy ngay không có \eta(x, y) nào thỏa mãn hệ trên vì

      (\eta_x)_y=1/\sin x\not= 0=(\eta_y)_x.

      Ta nghi ngờ cách làm này không ổn? Không ổn ở đâu?

      • Thầy ơi, thầy chữa tiếp bài này đi ạ. Em muốn tham khảo một bài 2 biến với hệ số biến thiên. Trong bài tập nhóm có dạng này nhưng em chưa hiểu lắm, em chưa biết cách làm ạ.

      • Quay trở lại cách bạn Nguyễn Đức Hưng đã chữa, sau khi giải phương trình đặc trưng

        \sin^2 x\; dy^2+2y\sin x\; dxdy+y^2dx^2=0

        ta có phép đổi biến, tôi nhờ các bạn viết rõ phép đổi biến này,

        \xi=\xi(x, y), \eta=\eta(x, y).

        Khi đó u_{xx} ngoài việc bình phương hình thức u_x nó còn phải cộng thêm phần cấp 1, cụ thể

        u_{xx}=(u_x)^2+ u_\xi \xi_{xx}+u_\eta\eta_{xx}.

        Phần cấp 1 này mất đi khi phương trình có hệ số hằng vì phép đổi biến tuyến tính.

  2. thầy ơi sao e vào đề thi giữa kì các năm mà không thấy tên giống như thầy ghi trong phần phân loại bài tập của bọn e ạ. Ví dụ như đề thi giữa kì của lớp K55A2

  3. Em chào thầy!
    Thầy cho em hỏi về kiến thức trong bài giảng đưa phương trình về dạng chính tắc ạ.
    Khi phương trình ban đầu ở dạng parabolic có ĐENTA = 0.
    Giả sử có phương trình đặc trưng là (dx + dy)^2 = 0
    Khi đó đặt a = x + y (1), thì b= ? (2)
    v(a,b)= u(x,y)
    Đặt phương trình (2) b=… gì ạ?
    Em có thể đặt b= x hoặc b= x-y hoặc…… sao cho phương trình (1) và (2) là khác nhau có đúng không ạ.
    Em còn một thắc mắc nữa về các đề giữa kì, em xem qua thấy thầy chấm thang điểm 15, tức là điểm 10 đến 15 là 10 à?
    Em cảm ơn thầy.

    • Em có thể đặt b=x hay b=x-y nhưng không thể đặt b= 2(x+y).

      Đề thi giữa kỳ có tổng điểm 15. Các bạn từ 10,0 trở lên sẽ được 10,0 điểm giữa kỳ, phần còn lại được cộng vào điểm thường xuyên. Đặc biệt bạn nào được 15 điểm có nhiều khả năng được 10,0 giữa kỳ và 10,0 thường xuyên.

  4. Em chào thầy! Thưa thầy,thầy cho em hỏi về cách tìm nghiệm tổng quát của các ptđhr ạ, hôm trước ở trên lớp thầy đã cho 1 ví dụ nhưng em chưa làm được cho mọi trường hợp, giả sử như mình tìm được dạng chính tắc của ptđhr là -4Vst – cosx.Vs- cosx.Vt=0 như ở bài 11 trong sách của thầy Nguyễn Thừa Hợp thì mình phải tìm nghiệm tổng quát như thế nào ạ? Với cả em thấy những bài 15,16,17 trong sách của thầy Hợp thì thầy có gợi ý đặt u=G.v, em không biết tại sao lại đặt như thế,thầy bảo em tài liệu nói về phần này với ạ. Em không thấy trong sách của thầy Hợp và Pinchover& Rubinstein.
    Em cảm ơn thầy ạ!

    • Bài 11 trong sách thầy Hợp, em chuyển về dạng chính tắc chưa đúng. Lý do u_{xx} ngoài các số hạng chứa các đạo hàm riêng cấp 2 gồm v_{\xi\xi}, v_{\xi\eta}, v_{\eta\eta} nó còn có cả v_\xi, v_\eta. Đây chính là điểm rắc rối của phương trình có hệ số biến thiên.

      Bài 15, 16, 17 em cứ đặt như trong sách đã gợi ý rồi chuyển về phương trình cho hàm v. Chẳng hạn bài 15 có gợi ý đặt v=(x-y)u ta được u=\dfrac{v}{x-y}. Em tính các đạo hàm riêng u_{xy}, u_x, u_y qua v rồi chuyển phương trình đã cho sang v. Khi đó em sẽ nhận được phương trình đơn giản.

  5. Thầy có thể cho e xin kết quả cuối cùng của 17 bài trong sách thầy Hợp được không ạ? Em làm xong và muốn kiểm tra lại xem mình có nhầm hay sai ở đâu không ạ.

  6. Thầy ơi! thầy có thể hướng dẫn cho e tìm cái nghiệm tổng quát ở bài 3.6 nhóm 5 đc ko ạ? E vẫn loay hoay chưa làm ra được.
    Phương trình đầu e chuyển về dạng chính tắc là:
    Vss+Vnn=0.
    Í (c) trong bài 3.6 mình tìm ngiệm tổng quát từ phương trình chính tắc trên thêm điều kiện g(x), f(x) . còn í (d) cũng giống í (c) nhưng mà cho g(x)=x và f(x)= -2x ạ hay 2 í đó là khác nhau hả thầy?

  7. Hôm nay lớp trưởng có nhắc tôi về việc một số bạn chưa tham gia vào nhóm nào. Cuối giờ có một bạn lên hỏi về việc thêm người vào nhóm mình.

    Thứ nhất, các bạn không tham gia vào nhóm bài tập nào sẽ mất 10% trong điểm thường xuyên.

    Thứ hai, nếu có tên trong nhóm mà không tham gia gì, chẳng hạn không biết trưởng nhóm là ai, thì cũng mất 10% trong điểm thường xuyên.

    Tuần này tôi đã dành thời gian chữa bài tập phần phân loại. Bài tập này hạn nộp trong tuần sau, nghĩa là các bạn có thể nộp vào bất kỳ lúc nào trừ thứ Tư.

    Tuần sau tôi dự định chữa các bài tập về phương trình hyperbolic gồm

    – bài toán Goursat,

    – bài toán có điều kiện đặt trên cùng một loại đường cong đặc trưng,

    – vẽ đồ thị dùng sóng tiến, sóng lùi,

    – phương pháp tách biến.

    Rất mong các bạn có sự chuẩn bị.

  8. Tôi vừa xem qua bài làm các nhóm thấy

    – nhóm 1 chưa làm hết yêu cầu của bài GK-K52A3-N3-B1, còn phải tìm nghiệm tổng quát,

    – nhóm 4 chép sai đề bài GK-K54A2-Đ5-B1 câu c,

    – nhóm 8 chép sai đề bài GK-K54A3-Đ6-B1.

    Các nhóm này có thể làm bổ sung và nộp cho tôi trong tuần này.

    Tôi đã đưa lớp trưởng bài tập nhóm phần Phương trình truyền nhiệt. Bài tập phần này sẽ nộp vào tuần 9.

    Tuần tới sẽ chữa bài tập:

    – phần truyền sóng, tôi sẽ không bắt buộc mà chủ yếu khuyến khích xung phong,

    – phần phân loại,tôi sẽ chỉ định và đặc biệt gọi các bạn học lại.

  9. Thưa thầy chúng em có thể liên lạc với thầy trong tuần ở đâu và lúc nào được ạ?? Em biết là có thể tìm gặp thầy ở trường vào các ngày trừ thứ 4 nhưng không biết cụ thể thầy dạy lớp, phòng nào.

    • Thứ Ba, sáng từ 7h đến 9h tôi dạy tại 504T3, chiều từ 16h đến 18h tôi dạy tại 313T5. Thứ Sáu, từ 13h đến 16h tôi dạy tại 202T5.

  10. Tôi vừa so danh sách lớp và danh sách nhóm thấy:

    – Còn ba sinh viên chưa thuộc nhóm nào:

    Phạm Xuân Lộc K56A1,

    Lê Bá Minh K55A2,

    Bùi Đức Thiện K55A2;

    – Trong Nhóm 5 có bạn Nguyễn Đức Doanh không có trong danh sách lớp, còn Nhóm 7 có bạn Lê Thị Mai (tôi nghĩ Đặng Thị Mai?);

    – Trong Nhóm 4 có điền tên bạn Trần Anh Tiệp nhưng trong danh sách bài tập lại không có?

    Những bạn không có tên trong danh sách nhóm

    – sẽ không có điểm bài tập phần phân loại,

    – nếu còn chưa được nhóm nào nhận sẽ không có 10% trong điểm thường xuyên.

    • Thưa thầy, em chưa có nhóm. Hiện tại em đang làm một số bài tập của nhóm 8 và nhóm 2. E có hỏi lớp trưởng và một số bạn trong lớp nhưng không biết ai là nhóm trưởng nhóm 8 và nhóm 2. Thầy có thể gửi cho em thông tin của 2 bạn nhóm trưởng 2 nhóm này để em xin bổ sung tên vào nhóm được không ak. E cảm ơn thầy.

  11. Thưa thầy! Thầy dịch giúp e yêu cầu ý (d),(e) của bài 4.7 trang 95 sách của Pinchover và bài 12 trang 225 sách D.L.Powers với ạ.

    • Bài 4.7 (d) yêu cầu tìm điều kiện cho các hàm f, g, h để nghiệm tìm được là liên tục, có đạo hàm riêng theo các biến, có đạo hàm riêng đến cấp 2 theo từng biến; và chứng minh tính đặt chỉnh của bài toán. Câu (e) yêu cầu tương tự khi tốc độ lan truyền c\not=1.

    • Bài 12/225 liên quan đến tần số (frequency) dao động của một thanh trong bài 11/225 và dao động của một sợi dây có hai đầu cố định. Từ đó so sánh âm thanh của dây đàn và âm thanh của đàn gõ.

      Đề bài yêu cầu viết bốn tần số đầu tiên của các dao động trên khi biết tốc độ lan truyền c và chiều dài của thanh hay sợi dây a thỏa mãn tần số thấp nhất: 250 vòng trong một giây.

      Dao động của sợi dây tuân theo phương trình truyền sóng

      u_{tt}=c^2u_{xx}, 0<x<a

      với hai đầu cố định

      u(0, t)=u(a, t)=0

      có nghiệm có dạng

      \sum\limits_{n=1}^\infty \sin(\lambda_n x)(a_n\cos(\lambda_n c t)+b_n\sin(\lambda_n c t)),

      với \lambda_n=\dfrac{n\pi}{a}.

      Tần số: số dao động trong một đơn vị thời gian, hay dao động thực hiện được mấy chu kỳ dao động trong một đơn vị thời gian.

      Mỗi sóng (nghiệm tách biến)

      \sin(\lambda_n x)(a_n\cos(\lambda_n c t)+b_n\sin(\lambda_n c t))

      cho ta dao động có chu kỳ

      \dfrac{2\pi}{\lambda_n c}

      nên có tần số

      \dfrac{\lambda_n c}{2\pi}=\dfrac{nc}{2a}.

      Đây là các tần số dao động của sợi dây có hai đầu cố định.

      Dao động của một thanh với hai đầu cố định thỏa mãn bài toán 11/225. Bài này yêu cầu tìm các nghiệm tách biến X(x)T(t) thỏa mãn bài toán. Mỗi nghiệm tách biến này sẽ cho ta một tần số.

  12. Thưa thầy! Trong đề GK-K56MAT1- D7-B2, ở câu a đề chỉ cho duy nhất điều kiện biên mà không có điều kiện ban đầu thì làm cách nào để tìm ra hàm v(x,y) ạ! Thầy gợi ý giúp e với!

  13. Thưa thầy, Bài 4.2 trong sách Pinchover có điều kiện ban đầu và 1 điều kiện biên, yêu cầu đánh giá u(4,1) và u(1,4) thì em phải sử dụng điều kiện biên kia như thế nào ạ??

    • Bài 4.2 là bài toán biên – ban đầu cho phương trình truyền sóng trong nửa trục. Cách làm:

      – chia góc phần tư dương thành hai phần bởi đường cong đặc trưng:

      + một phần sẽ được giải nhờ công thức D’Alembert, phần này chứa điểm (4, 1); như vậy u(4, 1) được tính nhờ công thức D’Alembert,

      + một phần cần dùng đến hình bình hành, lúc này cần đến điều kiện biên, phần này chứa điểm (1, 4); như vậy u(1, 4) được tính qua công thức hình bình hành và điều kiện biên.

  14. Thưa thầy,ở bài 61 trong sách thầy Hợp em sử dụng phương pháp tách biến nhưng ở điều kiện du/dx(0,t) em không xử lí được ở ngay trường hợp X”(x)+c.X(x)=0 với c <0, khi đạo hàm theo biến x nghiệm tổng quát của phương trình đó thì có x ở mẫu số nên tại điểm (0,t) thì không biểu thức không xác định. Thầy xem giúp em xem em làm sai hay phải làm cách nào khác ạ. Còn bài 62 khi thác triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier thì có cả hệ số a0/2 ở ngoài nên e không đồng nhất được hệ số, em làm theo hướng dẫn ở bài toán 2 trong sách thầy Hợp nhưng e cũng thắc mắc ở chỗ thác triển hàm f(x,t) thành chuỗi Fourier ở trong sách thì chỉ là thác triển của hàm lẻ theo biến x thôi phải không ạ? Em phải làm bài này thế nào ạ?

    • Tôi không hiểu biểu thức nào không xác định? Khi u(x, t)=X(x)T(t) thì du/dx(x, 0)=? Từ đó dẫn đến điều gì?

      Còn bài 62, không phải là thác triển mà là khai triển f(x, t)=x(x-l) thành chuỗi Fourier-sine. Việc thác triển lẻ chỉ là bước trung gian. Chú ý, trước hết tìm chuỗi nghiệm sau đó mới biết cần khai triển thành chuỗi Fourier-sine nào.

  15. Bài 61. Từ điều kiện du/dx(0,t)=0 ta suy ra X'(0)=0.ở trường hợp c<0 thì nghiệm tổng quát của pt X''(x)+c.X(x)=0 là X(x)=c1. exp(sqrt(-cx))+c1.exp(-sqrt(-cx)) . tính dX/dx thì xuất hiện x ở mẫu số nên tại x=0 biểu thức k xác định mà thầy.
    Ở bài 62. chuỗi Fourier-sine là thế nào ạ? Em tưởng là hàm f(x) lẻ thì mình có khai triển lẻ,f(x) chẵn thì có khai triển chẵn chứ ạ?

    • Khi c=-k^2, k>0 phương trình

      X"(x)-k^2X(x)=0

      có nghiệm

      X(x)=ae^{-kx}+be^{kx}.

      Khi em thác triển lẻ, tuần hoàn ta được hàm lẻ và tuần hoàn. Khai triển Fourier của hàm này có các hệ số của cos sẽ bằng 0. Như vậy khai triển Fourier của hàm sau khi thác triển chỉ còn các hàm dạng sine nên khai triển này được gọi là khai triển Fourier-sine của hàm ban đầu, việc thác triển chỉ là bước trung gian.

      • Nhưng em thưa thầy, hàm f phải là hàm lẻ thì mình mới có thác triển lẻ chứ ạ. Như trong bài 62 thì hàm f không lẻ, không chẵn sau khi tính ra thì vẫn còn hệ số của cos và sin. Em cũng không biết mình sai ở đâu.

      • Hàm f(x)=x(x-l) mới xác định trong (0, l). Ta cần thác triển lẻ hàm này sang (-l, 0) sau đó tuần hoàn chu kỳ 2l. Hàm sau khi thác triển là hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2l. Khai triển Fourier của hàm sau khi thác triển ta được khai triển Fourier-sine của hàm f(x).

      • Vâng,em cảm ơn thầy. Em đã xem lại rồi ạ,do kiến thức về khai triển chuỗi Fourier của em còn thiếu sót nhiều!

    • Không bắt buộc phải làm. Nếu làm thêm ý (b) sẽ được cộng điểm. Cách làm:

      – từ chuỗi nghiệm ta chỉ lấy một số số hạng đầu rồi vẽ đồ thị tại một số thời điểm t,

      – so sánh đồ thị vẽ được với đồ thị vẽ bằng cách dùng sóng tiến và sóng lùi.

    • Ta thử làm bài

      u_{tt}=u_{xx}, 0<x<\pi, t>0,

      với điều kiện biên

      u(0, t)=u(\pi, t)=0

      và điều kiện ban đầu

      u(x, 0)=\pi/2 - |\pi/2 -x|, 0\le x\le \pi,

      u_t(x, 0)=0, 0\le x\le \pi.

      Ta sẽ vẽ đồ thị khi t=\pi/4.

      Bằng cách dùng sóng tiến, sóng lùi

      u(x, \pi/4)=F(x-\pi/4)+G(x+\pi/4)

      với

      F(x)=G(x)=f^*(x)/2 là thác triển lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2\pi của f(x)

      ta có đồ thị

      http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427egu7i8o65pq

      Bằng cách dùng chuỗi nghiệm

      u(x, \pi/4)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos(n\pi/4)\sin(nx)

      với

      a_n=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi f(x)\sin(nx)dx.

      Khi n=2ka_{2k}=0.

      Khi n=2k+1

      http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e4nbltc03pr

      Ta lấy tổng k chạy từ 0 đến 10 có đồ thị

      http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427erlasgjj9b1

      Còn nếu lấy tổng k chạy đến 100 có đồ thị

      http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427elo59u38d91

      • Thưa thầy,em có thắc mắc là giải những bài toán biên như trên theo cả 2 cách: tìm nghiệm bằng công thức D’Alembert và bằng phương pháp tách biến(chuỗi nghiệm) thì ta đều phải thác triển lẻ hàm f,g(2 điều kiện ban đầu) và dẫn đến công thức nghiệm là giống nhau trong cả 2 cách vì thế nên đồ thị của nghiệm trong cả 2 trường hợp phải trùng nhau. Ở ví dụ trên thầy làm thì chỗ tìm nghiệm bằng công thức D’Alembert thầy chưa viết rõ nghiệm chứ nếu viết rõ thì 2 nghiệm theo 2 cách trùng nhau,nên em có thắc mắc như vậy. Thầy xem lại giúp em có phải đề bài trong sách yêu cầu là mình vẽ đồ thị của chuỗi nghiệm tại các thời điểm t khác nhau và so sánh với đồ thị tại thời điểm t=0 và đồ thị của f(x) không ạ?

      • Có một chút tôi chưa đúng:

        – đề bài yêu cầu vẽ đồ thị của tổng riêng tại vài thời điểm,

        – để đồ thị gần giống với đồ thị đúng số số hạng của tổng riêng cần đủ lớn, vấn đề lớn như nào?

        – đề bài gợi ý ta mới chỉ biết đồ thị nghiệm đúng tại thời điểm t=0 chính là u(x, 0)=f(x) nên theo tính phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu ta chọn số số hạng lớn đến mức độ đồ thị của tổng riêng tại t=0 giống đồ thị của f(x) nhất.

        Như vậy đề bài không yêu cầu so sánh đồ thị của tổng riêng tại từng thời điểm và đồ thị dùng D’Alembert.

        Chẳng hạn với bài trên ta vẽ đồ thị của tổng riêng tại thời điểm t=0

        khi lấy 10 số hạng

        http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427elo8l86jv23

        khi lấy 45 số hạng

        http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eu6m2lh6bch

        thì thấy nên chọn 45 số hạng.

        Tiếp theo vẽ đồ thị của tổng riêng có 45 số hạng tại các thời điểm

        (+) t=\pi/8

        http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eorlnkh6eq0

        (+) t=\pi/4

        http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e42iintq227

      • Công thức nghiệm theo hai cách

        D’Alembert và tách biến

        về bản chất là một

        về hình thức lại là hai cách viết khác nhau.

        Khi dùng D’Alembert ta vẽ được chính xác đồ thị của nghiệm.

        Khi dùng tách biến ta thu được nghiệm dưới dạng chuỗi vô hạn. Để vẽ đồ thị ta chỉ sử dụng một số hữu hạn số hạng của chuỗi, nghĩa là ta chỉ vẽ được đồ thị của nghiệm xấp xỉ (gần đúng) nghiệm đúng. Ta càng dùng nhiều số hạng đồ thị càng gần với đồ thị đúng. Chẳng hạn trong ví dụ tính toán trên nếu chỉ dùng 10 số hạng ta thấy đồ thị khá trơn do đó không phải đồ thị đúng. Khi ta dùng đến 100 số hạng ta bắt đầu thấy đồ thị hơi gãy, gần với hình ảnh của đồ thị đúng.

    • Em tìm tất cả các nghiệm tách biến (product solutions) u(x, t)=X(x)T(t) của bài toán

      c^2u_{xxxx}=-u_{tt}, 0<x<a

      u(0, t)=u(a, t)=0,

      u_{xx}(0, t)=u_{xx}(a, t)=0.

      Sau đó ta làm như trong phương trình truyền sóng. Tuy nhiên với bài toán trên em sẽ gặp phương trình vi phân cấp 4

      c^2 X^{(4)}(x)+C X(x)=0.

      Em loại bớt các C để bài toán có nghiệm không tầm thường.

  16. Thưa thầy! Trong bài 4.2 sách Pinchover như thầy hướng dẫn ở trên là chia miền để tìm nghiệm, vậy e làm theo cách này có đúng ko ạ: e xét một hàm v(x,y) thỏa mãn phương trình truyền sóng và điều kiện biên v(0,t)=t^2. Khi đó ta thiết lập bài toán biên hỗn hợp w(x,y)=u(x,y)-v(x,y).

    • Khi đó điều kiện biên w(0, t)=0. Em sẽ giải tiếp như nào? Dĩ nhiên các điều kiện ban đầu cũng khác đi. Đặc biệt lưu ý bài toán này không thể dùng trực tiếp công thức nghiệm D’Alembert!

      • Em thắc mắc là nếu đặt w=u-v thì khi đó điều kiện ban đầu sẽ khác đi tức là w(x,0)=u(x,0)-v(x,0) và dw/dt(x,0)=du/dt(x,0)-dv/dt(x,0). Nhưng với giả thiết là v(x,t) thỏa mãn pt truyền sóng và điều kiện biên v(0,t)=t^2 thì mình không tìm được cụ thể v(x,t) là hàm nào nên không tìm được cụ thể v(x,0) và dv/dt(x,0) khi đó thác triển lẻ với 2 điều kiện ban đầu như thế nào ạ?

  17. Em chào thầy ạ!
    Thầy dịch giúp em ý b, bài 4.7- sách Pinchover với ạ. Ở trên thầy dịch ý d,e rồi. Vì trên mạng dịch không sát lắm ạ. Em không biết hiểu thế nào.
    Em cảm ơn thầy ạ!

    • Đây là bài toán có phương trình không thuần nhất. Để làm bài này ta thực hiện các bước.

      B1. Tìm công thức chuỗi nghiệm.

      – Tìm tất cả các nghiệm dạng tách biến u=X(x)T(t) của

      u_{tt}=u_{xx}

      với điều kiện biên

      u(0, t)=u(l, t)=0.

      Chú ý chỉ cần tìm nghiệm không tầm thường. Giả sử ta tìm được các nghiệm

      X_n(x)T_n(t).

      Lưu ý cần biết dạng hàm của X_n(x).

      Lập chuỗi nghiệm của bài toán ban đầu

      u=\sum_{n} X_n(x)T_n(t).

      Khác so với trường hợp phương trình thuần nhất T_n(t) không có dạng đặc biệt gì.

      B2. Phân tích f(x)=x(x-l) và các điều kiện ban đầu qua chuỗi X_n(x). Sau đó thế công thức nghiệm cũng như các phân tích trên vào phương trình và điều kiện ban đầu, rồi đồng nhất hệ số sẽ thu được hệ vô hạn các bài toán Cauchy cho T_n(t). Giải T_n(t) rồi thay vào công thức chuỗi nghiệm ta có nghiệm cần tìm.

      • Thầy ơi! E mới tìm được :
        X(x)=C2.sin(nx)
        T(t)= C3.cos(nt)+C4.sin(nt)
        đến đây e suy ra nghiệm u= X(x).T(t)
        Thầy hướng dẫn B2 kĩ hơn đc ko ạ. e vẫn chưa hiểu làm tn . e thấy hàm f(x) trong sách là x(x-1)

      • Không cần tìm T(t) trong B1. Như vậy chuỗi nghiệm

        u(x, t)=\sum\limits_{n=1}^\infty T_n(t)\sin(nx).

        Ta sẽ tìm T_n(t) trong B2. Lý do trong B1 không cần tìm T_n(t) như em đưa ra vì nếu vậy u(x, t) không là nghiệm của phương trình

        u_{tt}=u_{xx}+f(x).

        Để tìm được T_n(t) ta cần thay chuỗi nghiệm vào phương trình trên và các điều kiện ban đầu

        u(x, 0)=u_t(x,  0)=0.

        Để tiếp tục ta nên phân tích f(x)=x(x-1) qua chuỗi \sin(nx). Tiếp đến đồng nhất hệ số.

        Ngoài ra, nếu trong đề bài 0\le x\le 1 thì X(x) em tìm không đúng.

      • E làm lại rùi ạ.
        X(x)= C2.sin(n.Pi.x/L)
        u(x,t)= tổng [Tn(t).sin(n.Pi.x/L)] (*)
        Phân tích f(x) qua chuỗi sin(n.Pi/L) nghĩa là
        f(x,t)= tổng (fn(t).sin(n.Pi.x/L)=x.(x-1)
        Xong rùi tính Utt , Uxx từ phương trình (*) và điều kiên ban đầu vào phương trình (*) ạ
        Rùi thế vào phương trình đề bài ạ

      • Thầy hướng dẫn cho bài 2 GK K56MAT1- Đ 4
        U(x,t)= F(x-1/4t) +G(x+1/4t)
        CT nghiệm D’lambert:
        F(x) = 1/2.f(x)+ 2.tích phân [g(y)dy] (cận 0–>x)
        G(x)= 1/2.f(x) – 2. tích phân [g(y)dy] (cận 0–>x)
        Cái chỗ dựa vào đk đề bài để tính cái tích phân [g(y)dy] , e chưa biết làm ạ

      • Chú ý cần xem chính xác lại x chạy từ đâu đến đâu mới tính được đúng X(x).

        Còn bài GK-K56-MAT1-Đ4 em xem hàm g(x) được cho là gì?

    • Em viết công thức D’Alembert cho P(10, t). Tìm t_0 để P(10, t_0) đạt giá trị lớn nhất. Xem giá trị lớn nhất có lớn hơn P=6, áp suất làm toà nhà sập. Nếu không lớn hơn thì kết luận toà nhà không sập.

    • Em đã làm được bài 9/225 chưa? Cụ thể em đã tính được hàm riêng (eigenfunctions – X(x)), giá trị riêng (eigenvalues – C tương ứng) cũng như nghiệm tách biến (product solutions)? Lưu ý k>0 và nhỏ.

      Bài 10/225 yêu cầu tính các tần số rồi từ đó xem các tần số này có lập thành cấp số cộng không? Sau đó xem chuỗi nghiệm có tuần hoàn theo thời gian không? Và khi t\to\infty chuỗi nghiệm sẽ tiến về đâu?

    • Câu (a) yêu cầu giải bài toán biên – ban đầu cho phương trình truyền sóng trong nửa trục với điều kiện biên

      u(0, t)=0.

      Đề bài gợi ý thác triển lẻ các điều kiện ban đầu.

      Câu (b) yêu cầu giải bài toán này khi các điều kiện ban đầu được cho cụ thể. Sau đó tính u(1, 1), u(1, 2), u(1, 3). Cuối cùng hỏi nghiệm tìm được có cổ điển không?

  18. Em có bài toán sau mong thầy hướng dẫn
    phương trình :u_{tt}=9u_{xx} \begin{cases} u(0,t)=u(\pi,t) \\ u(x,0)=0=f(x)\\ u_t(x,0)=\cos^3x=g(x)\end{cases}
    Các bước em làm như sau :
    Thác triển lẻ hàm f(x) và g(x) tuần hoàn với chu kỳ 2\pi,
    rồi dùng công thức D’Alemert ra nghiệm có được không ah?

    • Nếu điều kiện biên như em viết thì chưa giải được vì

      – nếu u(0, t)=u(\pi, t)=0 thì sẽ được nghiệm như cách em sẽ làm,

      – nếu u(0, t)=u(\pi, t)=1 thì cách em làm không cho nghiệm của bài toán.

    • Trong phần thầy trình bày về việc vẽ đồ thị của nghiệm dạng chuối Fourier em muốn hỏi thêm là nếu như không có máy tính thì việc biểu diễn chân tay cho nghiệm dạng chuỗi đó không phải là một việc đơn giản thì mình có các nào hình dung nó được không ạ?
      EM nghĩ có thể vẽ cho trường hợp tổng riêng có 1 hoặc 2 số hạng, rồi cho nó xấp xỉ với đồ thị khi đã tìm ra được sống tiến và sóng lùi?

      • Thứ nhất bài này không bắt buộc phải làm nên đã làm thì làm cho đàng hoàng.

        Thứ hai nếu chỉ lấy tổng vài ba số hạng chắc chắn không cho hình dạng giống hình dạng của sóng.

        Thứ ba như tôi đã chỉnh sửa lại: không phải so sánh với nghiệm tìm được bằng sóng tiến sóng lùi.

  19. Thưa thầy! Trong bài 11/225 sách N.H.Asmar như thầy hướng dẫn ở trên là tìm nghiệm dạng tách biến. Nhưng họ chỉ cho các điều kiện biên nên em chỉ tìm được công thức của X(x). Còn khi tìm T(t) thì em thấy không có dữ kiện để tìm. Vậy e phải làm như thế nào ạ?

    • Từ phương trình em sẽ có phương trình của X(x) và T(t). Mỗi khi tìm được X(x) thì quay lại phương trình sẽ giải được T(t).

  20. Thưa thầy! Thầy có thể hướng dẫn cho em bài 14(D.L.Powers) với ko ạ!.
    em không hiểu khi co thêm 2k.du/dt thì bai toán phải giải như thế nào nữa.
    em dùng phương pháp tách biễn nhưng đếm khi tìm ra hằn số c=(n.pi)^2/a^2 thay vào để tìm T(t) thì có dạng :T”(t)+2k.T'(t)=(-c^2.T(t).(n.pi)^2)/a^2 thì phải giải thế nào nữa ạ?
    có phải vẫn giải nhưng phương trình vi phân thông thường không ạ ?
    hay giải bằng cách khác ạ?

  21. Thưa thầy với bài toán u_{xx}=a^2u_{tt}
    0<x0 với điều kiện biên là :\begin{cases} u(0,t)=m \\ u_x(c,t)=0\end{cases} m,a,c\in\mathbb{R}. Thì ta vẫn tìm nghiệm tổng quát một cách thông thường rồi thay vào các điều kiện biên để giải có được không ạ?

  22. Thưa thầy! Thầy cho em hỏi ở bài 4.4 trang 93 sách Pinchover có cho điều kiện f(0)=f”(0)=g(0)=0. Ý nghĩa của điều kiện này là gì thế ạ?

  23. Thưa thầy em muốn hỏi thêm về việc tìm giá trị riêng(eigenvalue) và hàm riêng( eigenfunction ) em đọc trong sách của Pinchover nhưng thấy sử dụng toán tử Luivile, em không hiểu phần đó.
    Thầy có thể hướng dẫn cho em phần đó được không ạ?

    • Quay trở lại việc tìm các nghiêm X(x)T(t). Từ phương trình sẽ dẫn đến hằng số C. Ta lọc các hằng số này để bài toán có nghiệm không tầm thường. Những C đó cho ta giá trị riêng. Với mỗi C này ta giải X(x). Hàm X(x) được gọi là hàm riêng.

  24. Thưa thầy,thầy hướng dẫn em làm 1 bài tìm tất cả các điểm mà tại đó nghiệm của bài toán không cổ điển hay không liên tục với ạ. Ví dụ như ý c,d bài 4.3 trang 93 trong sách Pinchover ạ. Em không biết phải làm như thế nào.

    • Để làm bài này một cách đầy đủ cần tính u(x, t) trên toàn miền xác định -\infty<x<\infty, t>0. Để làm điều này ta cần chia miền xác định bởi các đường cong đặc trưng như hình vẽ.

      ảnh (6)

      Dùng công thức D’Alembert tính nghiệm tường minh trên mỗi miền.

      Từ đó tính các đạo hàm riêng của u(x, t) theo biến x, t. Lưu ý việc tính toán trên các đường ranh giới cần tính đạo hàm trái và đạo hàm phải. Nếu có đạo hàm riêng cấp 1 thì tiếp tục tính đạo hàm riêng cấp 2. Từ đó sẽ thấy nghiệm không cổ điển trên các đường ranh giới.

      Với tính liên tục cũng làm như trên.

  25. Thưa thầy, cho em hỏi chút ạ.
    Đối với bài toán cả 2 đầu dây đều dao động, tức là Ux(0,t)= Ux(1,t)= 0 thì vẫn có thể sử dụng phương pháp tách biến được không a.?
    Em cũng chỉ thấy bài mẫu về 2 đầu dây cố định và bài 1 đầu cố định, một đầu dao động. Thầy chỉ em cách làm với ạ

  26. Thưa thầy! Người ta cho một dây dao động chịu một ngoại lực tỷ lệ với dao động của dây với hệ số tỷ lệ h=a=const, vậy khi e lập phương trình truyền sóng có gì khác ạ?

  27. Thưa thầy! Trong đề GK-K56MAT2-D4-B2, người ta cho điều kiện biên ko thuần nhất u(x,x)=x thì ta vẫn tìm hàm v(x,t) như bình thường để khử điều kiện biên ạ?

    • Em chia miền xác định thành hai phần:

      – một phần sẽ giải nhờ công thức D’Alembert,

      – phần còn lại dùng công thức hình bình hành, nghĩa là từ mỗi điểm trong miền dựng hình bình hành có các cạnh là các đường đặc trưng, có một đỉnh là điểm đang xét, một đỉnh trên biên x= t, hai đỉnh nằm trên đường đặc trưng đi qua gốc.

  28. Thưa thầy! Thác triển chẵn hàm f(x)=x với chu kì 2*PI trên toàn trục số có phải là: f(x)=x nếu k*2*Pi<x<Pi+k*2*Pi và f(x)=-x nếu -Pi+k*2*Pi<x<k*2*Pi ?

    • Nếu đúng thì f(-Pi/4)=-Pi/4 và f(7Pi/4)=? Liệu Hàm như vậy không tuần hoàn chu kỳ 2Pi. Em nên tính cụ thể nhiều hơn là cứ làm 2kPi …

    • Có thể làm bằng hai cách như sau.

      C1. Tìm hàm v(x, t) thỏa mãn

      v_{tt}=v_{xx}

      v(0, t)=\dfrac{t}{1+t}.

      Sau đó đặt w=u-v. Ta có bài toán mới cho w. Em tự viết cụ thể nhé. Chú ý điều kiện biên w(0, t)=0 nên ta có thể thác triển lẻ rồi dùng công thức D’Alembert.

      C2. Dùng công thức hình bình hành, cụ thể

      – chia miền xác định x>0, t>0 thành hai miền bởi đường cong đặc trưng đi qua gốc,

      – một miền dùng công thức D’Alembert,

      – một dùng đẳng thức hính bình hành.

      Câu b tính toán nhờ câu a với chú ý chia trường hợp c>0 thành hai trường hợp

      0<c<1c\ge 1.

    • Câu (a) em dùng công thức nghiệm tổng quát của phương trình

      u_{tt}=u_{xx}.

      Câu (b) với phương trình

      u_{tt}=c^2u_{xx}

      các điểm của câu (a) phải sửa lại thì mới có đẳng thức như câu (a). Sửa như nào phụ thuộc vào công thức nghiệm tổng quát.

      Câu (c) giải bài toán này bằng cách chia miền như tôi đã trả lời cho nhóm 8.

      Câu (d) kiểm tra công thức nghiệm của câu (c) có cho ta nghiệm cổ điển không? Ta tính các đạo hàm riêng cấp 1 rồi cấp 2 theo x, t. Chú ý khi tính cần lưu ý tại những điểm trên đường x=t ta phải tính đạo hàm trái và phải vì ở mỗi phía được cho bởi công thức khác nhau.

      Câu (e) làm tương tự câu (d) chỉ khác đường cần lưu ý x=ct vì lúc này ta quan tâm đến phương trình

      u_{tt}=c^2u_{xx}.

  29. Em chào thầy. Thầy cho em hỏi chút ạ.
    Đối với bài toán nửa trục của phương trình truyền sóng Utt=a^2. Uxx, 0<x0,với các điều kiện:
    U(x,0)=f(x)
    Ut(x,0)=g(x)
    U(0,t)=0
    trong vở em có chép nghiệm tổng quát:
    U(x,t)=f*(x+at) + g*(x-at) + 1/(2a)”Tích phân” g*(y)dy
    Thầy cho em hỏi ở đây f* và g* là gì ạ?

    • và khi em làm bài GK-Hè 2013-Đ 2-B2: Utt-Uxx=0 , 0<x=0
      u(x,0)=f(x)=0
      Ut(x,0)=g(x)=1
      ở câu a yêu cầu thác triển f(x) và g(x) thành hàm lẻ trên R, em không hiểu lắm. Vì f(x)=0, g(x)=1 không phải hàm lẻ.
      Thầy giải đáp giúp em với ạ.

      • Tại sao f(x)=0, g(x)=1 khi 0<x<\infty lại không phải là hàm lẻ? Chú ý miền xác định của hàm số.

        Một vấn đề nhỏ: trước khi hỏi nên có một chút suy nghĩ. Ngoài ra những vấn đề như này tôi đã nói vài lần trên lớp nên mong rằng các bạn hạn chế những câu hỏi kiểu như

        f*, g* là gì?

  30. Thưa thầy,ở bài 2 đề GK MAT20241,sau khi đưa được điều kiện biên về dạng thuần nhất em phải làm thế nào để giải bài toán này ạ. Những toán có miền xác định trên nửa trục thì có sử dụng được phương pháp tách biến không ạ? Ở trên lớp thầy chỉ dạy bài toán xác định trên nửa trục giải bằng cách sử dụng công thức D’Alembert với thác triển lẻ của 2 điều kiện ban đầu,nhưng điều kiện biên là u(0,t)=0,ở bài này là du/dx(0,t). Có phải là mình sẽ đi thác triển chẵn hàm f,g không ạ?
    Thầy cũng cho em hỏi luôn là hôm trước ở trên lớp,sau khi bạn Hưng thác triển lẻ hàm f thành hàm f* thì thầy có nói là vì f tuần hoàn với chu kì 2Pi,f* cũng tuần hoàn với chu kì 2Pi nên f*=f trên toàn R. Em không hiểu chỗ này lắm ạ. Phải cần điều kiện tuần hoàn với chu kì giống nhau thì mới cò f*=f ạ?

    • Câu hỏi đầu đúng là thác triển chẵn.

      Câu sau không phải f tuần hoàn vì f chỉ xác định trong [0, Pi]. Hàm tuần hoàn là hàm sin x.

  31. Em thưa thầy, như bài 2-lớp MAT2024 1-đề 7, ý a, đề bài yêu cầu tìm môt hàm v(x,t) thỏa mãn phương trình: vxx(x,t)=vtt(x,t), 0<x0 với điều kiện biên vx(0,t)=t.
    Nếu đề bài chỉ cho điều kiện biên như thế, như trên thầy bảo là ” thử mò một nghiệm”. em muốn hỏi là: do là chỉ đi tìm một hàm v(x,t) thỏa mãn điều kiện biên như thế, nên em cho thêm điều kiện vào, chẳng hạn như em thêm v(0,t)=0 để tìm. Vậy có được không ạ?
    Em cảm ơn thầy ạ!

  32. thầy ơi!em hỏi bài 9/225 sách của POWER!
    em làm đến đoạn giải phương trình:(1/c^2)T”+kT’+dT=0 nhưng ko có điều kiện ban đầu ?e pahir làm thế nào hả thầy?

  33. Thưa thầy! Như thầy hướng dẫn bài 12/225 sách Power thì tần số của phương trình sin((n*Pi/a)*x)(cos((n*Pi*c/a)*t)+sin((n*Pi*c/a)*t) là (n*Pi*c/a)/(2*Pi). Vậy e có phương trình sin((n*Pi/a)*x)(cos(((n*Pi/a)^2)*c)*t+sin(((n*Pi/a)^2)*c)*t) thì tần số của nó có phải là ((n*Pi/a)^2)*c)/(2*Pi) không ạ?

  34. thưa thầy!em hỏi bài 10/225 sách của POWER.e đã làm xong các yêu càu tù bài 9,đến bài 10 tìm tần số thế nào thầy?thầy gợi ý giúp e vs ak?e cảm ơn thầy

  35. Thưa thầy! Khi xét tính khả vi của hàm u(x,t) thì ta phải xét đạo hàm theo các biến trên đường đặc trưng, giả sử đường đặc trưng là x-2t=0, e sẽ tính đạo hàm trái và đạo hàm phải theo x tại điểm x=2t và so sánh hai đạo hàm đó. Vậy e có phải tiếp tục tính đạo hàm trái và đạo hàm phải theo t tại điểm t=x/2 nữa ko ạ?

    • Tôi không hiểu em hỏi gì. Một hàm khả vi sẽ có đạo hàm riêng theo các biến. Điều ngược lại không đúng. Em mới tính xét đạo hàm riêng theo biến x càng chưa đủ để thấy tính khả vi của hàm.

  36. e ra nghiệm là X(x)=c1cos(sqrt(d)x)+c2(sin(sqrt(d)x)
    T(t)=e^(-kc^2)/2[A.cos(csqrt(k^2-4d)/2)t+Bsin(csqrt(k^2-4d)/2]
    vì ko có đk ban đầu nên e chỉ tìm đc nghiệm dạng chuỗi thôi ak!thầy xem giúp e vs ak

    • Em chưa dùng điều kiện biên. Cần lưu ý bài tập chỉ yêu cầu tìm tất cả các nghiệm tách biến nên không sử dụng gì điều kiện ban đầu nhưng bắt buộc phải dùng điều kiện biên.

    • Đề bài yêu cầu tìm nghiệm của phương trình truyền sóng xác định trên toàn mặt phẳng thỏa mãn

      u_x(t+1, t)=const, \forall t,

      u(x, 0)=1,

      u(1, 1)=3.

      Hỏi bài toán trên có duy nhất nghiệm không?

      Em tìm nghiệm tổng quát rồi thay vào các điều kiện trên để tìm nghiệm riêng.

    • Bài này yêu cầu tìm hàm riêng và giá trị riêng của từng bài toán. Em không cần khử điều kiện biên vì khi tìm hàm riêng X(x) (trong nghiệm tách biến X(x)T(t)) và giá trị riêng tương ứng của bài toán mà các điều kiện biên cho ở mỗi câu đều bằng 0.

  37. Thầy hướng dẫn cho e tìm nốt nghiệm bài 6.20 sách(tr 171) Y.Pinchover
    E đưa về bài toán có đk biên thuần nhất :
    Wtt – 4 Wxx = cost + 4/Pi
    Wx(0,t)= 0
    Wx(Pi,t)= 0
    W(x,0) =0
    Wt(x,0)=cos(3x)
    nghiệm tổng quát là
    W(x,t) = 1/2 To(t) + tổng( Tn(t).cos(nx) ) n=1,2…
    =>
    1/2 To”(t) + tổng[( Tn”(t) – 4.n^2.Tn(t)).cos (nx)] = cost + 4/Pi
    => 1/2 To”(t) = 4/Pi => To(t) = 4/Pi.(t^2 + Ao)
    E làm như vậy đúng chưa ạ và Tn(t) thì tìm thế nào hả thầy

    • Em còn thiếu các điều kiện ban đầu T_n(0)T'_n(0).

      Từ phương trình em vừa dẫn muốn làm như trên em cần phân tích

      cos t+4/\pi = 1/2 f_0(t) +\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(t)\cos(nx).

      Khi đó

      T"_0(t)=f_0(t), (f_0(t) không phải 4/\pi),

      T"_n(t)+4n^2T_n(t)=f_n(t) (dấu cộng chứ không phải dấu trừ).

      Làm tương tự với các điều kiện ban đầu đã cho sẽ dẫn đến điều kiện ban đầu cho T_n(t).

      • Vậy fo(t) và fn(t) sẽ tính là:
        fo(t) = 1/pi. Tích phân (cost + 4/pi) dx ( cận từ 0 đến Pi)
        fn(t) = 2/pi. Tích phân (cost +4/pi).cos(nx)dx (cận từ 0 đến Pi)
        còn điều kiện ban đầu e làm thế này ạ
        W(x,t) = 1/2 To(t) + tổng( Tn(t).cos(nx) ) n=1,2…

        W(x,0) = 1/2.To(0) + tổng (Tn(0).cos(nx)) =0 (1)
        Wt(x,0) = 1/2.To'(0) + tổng (Tn'(0).cos(nx)) =cos3x (2)
        (1) +(2) :
        => cân bằng hệ số:
        1/2.To(0) + 1/2.To'(0) =0
        Tổng [(Tn(0)+Tn'(0)).cos(nx)] =cos 3x
        => n=3 thì T3(0)+T3′(0) =1
        n#3 thì Tn(0)+Tn'(0) =0
        => Tn(0) = Tn'(0) = 0 khi n#3
        Thầy ơi như vậy đã đc chưa ạ

      • Công thức tính f_0, f_n có cùng hệ số nếu em dùng công thức chuỗi

        f_0/2 +\sum\limits_{n=1}^\infty f_n \cos(nx).

        Cộng (1) và (2) để làm gì?

        Được chưa hay không đâu phải do tôi? Tôi cũng có lúc sai. Cái các bạn cần là xem nó đúng hay không.

    • – Xác định tốc độ lan truyền.

      – Tính khoảng cách từ điểm quan sát viên đến điểm gần nhất trên khối cầu.

      – Tính khoảng cách từ điểm quan sát viên đến điểm xa nhất trên khối cầu.

      Xem lại mục 6.6 trong giáo trình của thầy Hợp.

  38. thưa thầy, thầy cho em hỏi câu a) bài 4.10 trang 95 trong sách Y.pinchover có phải là bài toán Guốc-sa không ạ? thầy hướng dẫn giúp em ý b) của bài đấy nữa ạ.

    • Đúng vậy. Câu b yêu cầu chứng minh tính đặt chỉnh. Chỉ cần chứng minh sự tồn tại nghiệm và chỉ có đúng một nghiệm là đủ.

  39. Thầy cho e hỏi ở bài 4.12 sách Y.pinchover trang 95 e chọn hàm V(x,t)=(t+x)/(1+t+x) thỏa mãn {Vtt=Vxx và V(0,t)=t/1+t}. Khi e lập bài toán cho hàm W=U-V thì W(x,0)=f(x)=-x/(1+x) và Wt(x,0)=g(x)=1/(x+1)^2 . E thấy cả 2 hàm f và g đều ko xác định chắn lẻ được. Vậy là e chọn sai hàm V ạ?

  40. thưa thầy bài sáng nay e làm GK.k55.MAT1.D7.B2 ak. e thác triển chẵn hàm f(x) = sinx (x>0) thành hàm f*(x) = sin(|x|) trên toàn trục. còn hàm g(x) = cosx (x>0) thác triển chẵn thành hàm g*(x) ={ cosx x>0 và cos(-x) x<0} như vậy có đúng k ak? và th có thể nói lại giúp e khi nào thác triển chẵn và khi nào thác triển lẻ với ạ? E cám ơn thầy!

    • Khi điều kiện biên u(0, t)=0 ta thác triển lẻ.

      Khi điều kiện biên u_x(0, t)=0 ta thác triển chẵn.

      Thác triển chẵn em viết là đúng nhưng nên cụ thể hơn.

  41. Tôi đã nhận bài tập phần phương trình truyền sóng của ba nhóm: 1, 2, 6. Như vậy còn năm nhóm chưa nộp: 3, 4, 5, 7, 8.

    Xem qua các bài tập tôi thấy:

    – nhóm 1: chưa biết cách thác triển và vẽ đồ thị,

    – nhóm 2, 6: đưa ra bài toán không có lời dẫn; khá kỳ công trong việc tính toán các đạo hàm riêng nhưng chưa biết thu gọn lại bằng cách lọc ra các điểm chung,

    – nhóm 2: mắc lỗi khi dẫn từ hệ

    C_1+C_2=0 và aC_1+bC_2=0

    với lý do a>0, b>0

    đưa ra kết luận C_1=C_2=0.

    – nhóm 6: chưa biết tổng hợp nghiệm, cụ thể trong bài 15/trang 125 (sách N. H. Asmar) khi tính T_n(t) các bạn gom tất cả các nghiệm có thể để lập T_n(t), làm như này không đúng, với mỗi n sẽ có X_n và T_n nhân với nhau được nghiệm tách biến sau đó mới tổng hợp các tích này.

    Tôi đã thống nhất với lớp: tuần 10, ngày 14/04/2014 sẽ thi giữa kỳ.

  42. thưa Thầy!
    Thầy có thể hướng dẫn em bài GK-K56MAT2-D1-B2 với không ạ!
    ở câu A em chon hàm v=x+t+1 có được không ạ.tại khi thác triển lẻ ra em không vẽ được hình ạ.thầy giúp em vẽ hình bài này với a.Em cảm ơn Thầy!

  43. Tôi đã xem bài của năm nhóm còn lại. Nhìn chung nhóm 1 và năm nhóm này làm bài tập ở mức trung bình. Một số lỗi chính:

    – không biết thác triển và sử dụng đồ thị,

    – không đưa ra được lý do từ

    C_1+C_2=0, aC_1+bC_2=0

    đưa ra C_1=C_2=0,

    – gặp nhiều trục trặc khi giải

    T” +k T’+hT=0,

    (tham khảo bài
    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/03/24/gi%E1%BA%A3i-m%E1%BB%99t-s%E1%BB%91-ph%C6%B0%C6%A1ng-trinh-vi-phan-th%C6%B0%E1%BB%9Dng-c%E1%BA%A5p-2-d%E1%BA%B7c-bi%E1%BB%87t/)

    Tuần tới

    – chính thức chữa bài tập phần truyền sóng (dạng bắt buộc),

    – chữa bài tập phần truyền nhiệt (khuyến khích).

  44. thưa Thầy!
    bài 9 (Power) họ bảo tim v(x) hay hay thực chất là v(x,t) hải không ạ?
    Thầy có thể dịch giúp em câu d) của bài này không ạ.em không hiểu ý nghĩa của nó là gì ạ?

      • Câu d yêu cầu tìm thời gian t để

        C(a /2, t) – C_0= 0.9( C_1-C_0).

        Chứng minh rằng với t đó

        w(a/2, t)=-0.1(C_1-C_0).

        Từ đó chỉ dùng số hạng đầu tiên trong chuỗi nghiêm tính gần đúng t.

    • Nghiệm bài này có dạng chuỗi nên phải xem chuỗi có hội tụ không. Sau đó tính đạo hàm riêng theo các biến chuỗi nghiệm với lưu ý cần kiểm tra điều kiện để đẩy đạo hàm qua dấu tổng. Cuối cùng kiểm tra lại phương trình và các điều kiện biên và ban đầu.

      • có nghĩa là khi thay ngược trở lại nghiệm phải thỏa mãn phương trình truyền nhiệt ,điều kiện biên và điều kiện ban đầu ạ? vậy khi nào nghiệm là không cổ điển ạ?

      • thưa Thầy!
        ở câu này để tìm a_n thì khai triển Phuarie của f(x) là khai triển chẵn theo hệ{cos(1/2+n)x} chu kì 2.Pi phải không ạ?
        khi đó hàm f(x) phải thỏa mãn :
        f(0)=-f(Pi).
        nhưng trong bài cho f(x) không thỏa mãn điều kiện trên .
        thì khi đó làm sao để tìm được a_n ạ?

  45. Thưa thầy!
    Nay em đang giải bài 5.10((Y.Pinchover) còn câu c em chưa biết giải ạ?
    cho(Pi)^2<apha<(4.Pi)^2 thì khi đó lim u(x,t) khi t tiến đến vô cùng có tồn tại với mọi Hàm f (X) không,nếu không thì tìm điều kiện cần và đủ của f để giới hạn đó tồn tại?
    thầy hướng dẫn cho em câu này với ạ.
    nghiệm em tìm ra ở câu b là: u(x,t)=tong(a_n.e^(-((k.pi)^2 +apha)).sin(k.Pi.x))

    • Chuỗi nghiệm em đưa ra chưa đúng, cần đổi e^{-(…+\alpha)t} thành e^{-….+\alpha t}. Khi đó em sẽ thấy điều kiện gì đặt lên f(x) mới có giới hạn.

      • em làm thế này có phải không ạ.
        ta tách tổng đó ra
        tai k=1 => 0< alpha-(Pi)^21 => alpha-(k.Pi))^2u(x,t)=a_n.e^((alpha-(Pi)^2).t).sin(k.Pi.x) + tong_(k>2)(a_n .e^((alpha-(k.Pi)^2).t).sin(k.Pi.x).
        vậy để đưa được lim qua tổng thì chuỗi tong_(k>2)(a_n .e^((alpha-(k.Pi)^2).t).sin(k.Pi.x). phải hội tụ
        nghĩa là hàm f phải liên tuc ,khả tích và f(0)=f(1).

      • phần trên em viết sai ạ.
        em làm thế này có phải không ạ.
        ta tách tổng đó ra

        tai k=1 => 0< alpha-(Pi)^21 =>alpha-(k.Pi))^2u(x,t)=a_n.e^((alpha-(Pi)^2).t).sin(k.Pi.x) + tong_(k>2)(a_n .e^((alpha-(k.Pi)^2).t).sin(k.Pi.x).

        vậy để đưa được lim qua tổng thì chuỗi tong_(k>2)(a_n .e^((alpha-(k.Pi)^2).t).sin(k.Pi.x). phải hội tụ
        nghĩa là hàm f phải liên tuc ,khả tích và f(0)=f(1).

      • Đề bài yêu cầu xét TH \pi^2<\alpha < 4\pi^2 nên tổng các số hạng k>1 hội tụ. Như vậy chuỗi nghiệm hội tụ khi t ra vô cùng nếu và chỉ nếu số hạng đầu tiên bằng 0, hay a_1=0.

  46. thầy cho em xin lỗi nhưng may em bị lỗi lên viết mãi không được ấy.
    nhưng em muốn tách tổng đó ra làm 2 tổng với 2 trường hợp của k =1 và k>1 ạ.

  47. Em thưa thầy,ở bài 5.5 sách Pinchover trang 125 ý a yêu cầu là sử dụng phương pháp tách biến tìm nghiệm của bài toán…mô tả sự truyền nhiệt của 1 thanh cách nhiệt. Em phải hiểu như thế nào ạ? Tìm nghiệm là mô tả rồi hay phải mô tả như thế nào ạ?

    • Thanh cách nhiệt (insulated one dimension rod) là thanh mà ở hai đầu không có hiện tượng truyền nhiệt u_x() tại hai đầu bằng 0, như đề bài đưa ra. Đề bài yêu cầu tìm nghiệm của bài toán đã đưa ra. Ý nghĩa của bài toán nó mô tả sự truyền nhiệt của thanh cách nhiệt.

    • Nghiệm dừng (steady state solution) là nghiệm không phụ thuộc t, có dạng v(x). Chẳng hạn quá trình đun nước khi đạt nhiệt độ sôi thì nhiệt độ không tăng không giảm.

  48. Em thưa thầy,ở công thức (8.2.13) sách thầy hợp là công thức tính tích phân suy rộng của hàm ( exp(…).cosbx) vậy nếu thay hàm đó bằng hàm (exp(..).sinbx) thì công thức tính là như thế nào ạ?

  49. Thưa thầy,thầy có thể cho em biết kết quả của 2 tích phân trên được không ạ? Em đã thử tính theo hướng dẫn ở trong sách với trường hợp cos(bx) nhưng hơi lằng nhằng nên hình như kết quả không chính xác.

    • Tích phân đầu bằng 0 do tính chẵn lẻ.

      Tích phân tiếp tính như trong sách thầy Hợp là một hướng đúng. Em có thể viết kết quả ra được không?

  50. Thưa thầy,hôm qua em tính nhầm ạ, khi tính tích phân từng phần như trong sách thầy Hợp đối với sin(beta.x) thì có cả hằng số 1/beta+… Tính đạo hàm J(alpha,beta) dưới dấu tích phân theo biến beta,rồi làm như ở trong sách thì dẫn đến 1 phương trình vi phân dJ(alpha,beta)/dbeta=(1-beta.J)/(2.(alpha)^2). Em không giải được phương trình vi phân này ạ. Thầy hướng dẫn cho em với ạ.

  51. thưa thầy trong bài 3 trang 191 sách powers em xét nghiệm tách biến . nhưng đề bài chỉ cho 1 điều kiện biên của U. vậy em phải tính tiếp như thế nào ạ?

  52. thưa thầy!bài 11/151 với đk u_x(0,t)=0,u_x(1,t)=-u(1,t)
    th k>0,k là hằng số tách biến
    e ra nghiệm tách biến Xn(x)=Cn(cos(Kn)x) có đúng ko ak?
    +vs e hỏi đồ thị của cot(k)=-k vẽ the nao ak?
    +khi vẽ xong e cần chọn bao nhiêu giá trị của k để tìm nghiệm ?e cảm ơn thầy!

    • Nghiệm tách biến em tìm chưa đúng. Các phương trình và điều kiện khi tách biến em dẫn ra được những gì?

      Hoặc em vẽ đồ thị riêng cotan(k) và -k riêng. Mục đích tìm nghiệm của phương trình, nghĩa là giao điểm của hai đồ thị này. Vẽ xong em sẽ thấy có vô số nghiệm, những nghiệm này liên quan đến chuỗi nghiệm của bài toán.

    • Đề bài yêu cầu tìm đường không điểm, đường luôn ở vị trí cân bằng, của các hàm đã cho. Cụ thể tìm các đường trên mặt phẳng 0xy mà

      u(x, y, t)=0 trên đường đó với mọi t>0.

  53. từ X'(1)=-c1ksin(k)+kc2cos(k)= -c1cos(k)-c2sin(k) vi c2=0
    -c1(ksin(k)-cos(k))=0
    neu c1=0 thì phương trình lại có nghiệm tầm thường->c1 khac 0
    =>ksin(k)-cos(k)=0cot(k)=k(e chia 2 vế cho sin)
    +e hỏi khi vẽ đồ thị y=cot(k) và y=k e về đc các giao điểm của 2 dthi nhg làm cách nào để tìm đc giá trị của nó hả thầy?

    • Đề bài yêu cầu chứng minh hàm u_n trong phương trình (8) trang 159 là nghiệm của phương trình (1) và các điều kiện biên (2) trang 157.

    • Bài 7/162 yêu cầu lập bài toán giá trị riêng (eigenvalue problem) tương ứng với bài toán truyền nhiệt trong mục 3, trang 149. Tiếp đến giải bài toán này.

      Bài 7/192 xét bài toán truyền nhiệt trong nửa trục. Đề bài yêu cầu chỉ ra điều kiện cần để giải bài toán \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=T_0. Với điều kiện này hãy giải bài toán.

  54. em t­­hưa Thầy!
    Trong sách (Asmer/trang 162-163) bài 7 ạ.
    ở câu b ạ yêu cầu vẽ đồ thị và minh họa dao động của màng .cái này phải vẽ trên máy tính chứ ạ. Vậy trên giấy thì vẽ sao ạ?

    • Đoạn dẫn dắt đến bài toán tôi không dịch nhé. Đề bài xét phương trình

      Sh_t-Th_{xx}-aKh_x=I+\phi.

      (a) Cho S, T, a, K, I là hằng số, \phi=0. Tìm nghiệm dừng v(x) của phương trình với các điều kiện như trong đề bài.

      (b) Lập bài toán cho hàm w=u-v.

      (c) Giải bài toán trong câu (b).

      (d) Tìm các giá trị riêng với các dữ liệu đã cho, chú ý đơn vị đo.

  55. thưa thầy !
    ở bài 6.14(Y.Pinchover)(t170)
    khi em tìm ra nghiệm u(x,t) thì ở cả hai ý a,b đều ra nghiệm khá phức tạp.
    mà u(x,0) là ở dang chuỗi số chứa(cos(1/2+n).thì có thể kết luận luôn là nghiệm không phải nghiệm cổ điển được không ạ.
    VD: câu a em tìm ra chuỗi nghiệm là:
    u(x,t)={(-4)/(1/2+n)^3.sin{(1/2+n).Pi}.e^(-(4+(1/2+n)^2)).cos{(1/2+n).x}}
    =>u(x,0)={(-4)/(1/2+n)^3.sin{(1/2+n).Pi}.cos{(1/2+n).x}}
    mà f(x)=x^2-(Pi)^2.
    thì có phải u(x,0)chỉ xấp xỉ bằng f(x) thôi phải không ạ.
    em đã kiểm tra u(x,t) thỏa mãn tính hội tụ,phương trình ban đầu,điều kiện biên rồi.nhưng còn mắc ở đây thôi ạ.
    thầy chỉ giúp em với ạ.

  56. Thưa thầy, thầy gợi ý cho em cách làm bài GK-Hè 2012- Đề 6 – Bài 2. Em không biết cách tìm nghiệm riêng của phương trình đó ạ.

  57. Em thưa thầy,ở bài 1 trang 144 sách Asmar đề bài yêu cầu là đưa ra 1 lời giải thích về ý nghĩa của bài toán. Em phải làm như thế nào ạ? Em không hiểu rõ về những ý nghĩa vật lí của các bài toán truyền nhiệt lắm ạ. Thầy giải thích giúp em với ạ.

  58. Em chào thầy. thầy có thể giải thích cho e đề này đc không ạ. như thế nào gọi là bảo toàn theo mùa ạ. có phải là thời điểm mà nhiệt độ tại x bằng nhiệt độ trên mặt đất k ạ.
    Đây là để c. Withω as in part b, find the depth (as a function of k) at which seasons
    are reversed.

    • “reverse” là đảo ngược, còn “reservation” mới là bảo toàn.
      Tôi nghĩ bài này yêu cầu tìm độ sâu mà ở đó mùa đảo ngược lại so với mặt đất.

  59. Thưa thầy! Thầy gợi ý giúp e cách làm bài 9/163 sách Asmar với ạ. E vẫn chưa rõ tìm các đường không điểm có nghĩa là như thế nào ạ.

  60. Bạn Giáp Lĩnh và hong trang chịu khó xem các trả lời bên trên trước khi hỏi. Tôi đã trả lời câu hỏi này cho bạn ngô thương ngày 04/04/2014 rồi.

  61. Thầy ơi. Thầy hướng dẫn giúp e cách làm bài tập dạng này với ạ. Cho pt truyền sóng. Utt = 4Uxx (0<t<x) thỏa mãn điều kiện biên u(x,x) = x. Điều kiện ban đầu
    U(x,0) = sinx va Ut(x,0) = cosx.

    • Bài này chia miền xác định (0<t<x) thành hai phần bởi đường đặc trưng đi qua gốc.

      Một miền có thể sử dụng ngay công thức D'Alembert để giải.

      Một miền dùng đẳng thức hình bình hành để giải.

  62. Em thưa thầy,ở bài 1- đề 2- đề giữa kì 2 năm 2012-1013, em làm như bình thường thì để tìm nghiệm tổng quát mình cần giải ptvp dài và lằng nhằng,em nghĩ là tìm 1 hàm v(x,y) thỏa mãn phương trình đã cho rồi đặt w(x,y)=u(x,y)-v(x,y) để đưa phương trình đã cho về dạng thuần nhất sẽ dễ dàng tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng hơn. Nhưng em không mò được hàm v(x,y),thầy có thể hướng dẫn em được không ạ? Em muốn hỏi nữa là hàm v(x,y) có thể nằm trong trường số phức được không ạ?

  63. thầy cho e hỏi trong phương trình truyền nhiệt ut=a^2 uxx+f{x,t}-h{u-uM} là nhiệt từ bên ngoài truyền vào thanh tại nhiệt độ là uM vậy khi bài toán nhiệt từ thanh tản ra xung quanh tại nhiệt độ uM thì phương trình có dạng như thế nào ạ?

    • Chú ý

      – nếu chỉ như em viết f=0,

      – cách viết vẫn luôn như vậy, vì nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao ra nơi có nhiệt độ thấp.

  64. thưa thầy ở phuog trình truyền sóng thầy có sửa lại pt là:
    utt= a^2 uxx+ f{x,t} – hUt – hu.
    ở đây hu là lực phục hồi. thầy cho e hỏi lực phục hồi có đc coi là ngoại lực k? nếu có thì theo như câu trả lời của thầy mà chị thương có hỏi là cho 1 dây dao động chịu ngoại lực tỉ lệ với dao động của dây với hệ số h = a = const pt dạng utt= c^2 uxx + au. Như vậy e phải chọn là -hu hay +hu ạ?

  65. thầy cho e hỏi câu 2 đề số 5 của bài giữa kì MAT20241 K56 toán tin khi ra chuỗi nghiệm tổng quát mà muốn giải ra các hệ số bằng cách đồng nhất hệ số sử dụng điều kiện ban đầu thì giải tìm nghiệm như nào ạ? e k biết giải pt tan 3k – k = 0 có dãy nghiệm dương thuộc {npi/3; pi/6+ npi/3}

    • Ở bài này -\infty<x<\infty. Em tìm các nghiệm tách biến của phương trình rồi lập công thức nghiệm dạng tích phân. Cách làm giống phương trình truyền nhiệt trên đường thẳng.

  66. Thưa thầy!cho em hỏi bài 5/168-sách Asmar:
    em chia hình chữ nhật ban đầu chia làm 4 phần.tức là nghiệm hinh chữ nhật sẽ la u=u1+u2+u3+u4
    Em hỏi là ta có đc sử dụng luôn công thức để tìm u1,u2,u3,u4 ko?hay phải giải hẳn từng phần ra để tìm nghiệm u1,u2,u3,u4 ak?e cam on thay

  67. Em thưa thầy, ở bài giảng của thầy trên lớp thầy suy ra chuỗi nghiệm u(r,theta)=….. có cách nào để làm mất cái chuỗi của r^-n.(An.cos(n.theta+..) không ạ? Ví dụ mình xét bài toán Dirichlet trong của miền D là hình tròn. Em đọc trong sách thấy họ lí luận là ngiệm của bài toán Dirichlet trong đĩa nên có giới hạn tại biên 0 (0<r<a) vì vậy nệ số của r^-n =0 do đó mà chuỗi nghiệm chỉ còn Ao+ chuỗi của r^n? Em không hiểu chỗ này lắm, thầy giải thích giúp em với ạ.

    • Vì nghiệm cần xác định tại gốc, nghĩa là tại r=0, trong khi đó r^{-n}, n=1, 2, \dots, không xác định tại r=0 nên chúng không xuất hiện trong chuỗi nghiệm.

      Chú ý:

      – với số hạng ln(r) cũng lý luận như vậy,

      – với TH miền ngoài hình tròn ta dùng tính bị chặn để loại.

  68. 28/04/2014 tôi đã trình bày

    – dùng tích phân năng lượng dẫn đến tính duy nhất nghiệm của các bài toán biên (hỗn hợp), và lưu ý bài toán biên Neumann cho phương trình Laplace,

    – công thức giá trị trung bình, nguyên lý cực đại cho phương trình Laplace với việc sử dụng công thức Green:

    với u, v:\Omega\to\mathbb R là các hàm khả vi đến cấp 2, ta có

    \iint\limits_\Omega (u\Delta v-v\Delta u)dxdy=\int\limits_{\partial\Omega}(uv_x-u_xv)dy-(uv_y-u_yv)dx

    với định hướng dương của \partial \Omega phù hợp với \Omega,

    từ đó nếu u_{xx}+u_{yy}=0v=1 thì

    0=\int\limits_{\partial\Omega}-u_xdy+u_ydx=\int\limits_{\partial\Omega}\dfrac{\partial u}{\partial n}ds

    với n là pháp tuyến ngoài đơn vị của \partial\Omega;

    (điều kiện để bài toán biên Neumann có nghiệm)

    còn nếu u_{xx}+u_{yy}=0v=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+y^2) ta sẽ dẫn đến công thức giá trị trung bình;

    – bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa không âm,

    – nguyên lý cực đại cho phương trình truyền nhiệt (còn dở).

  69. Thưa thầy, thầy dịch giúp em bài 10,11,12, trang 274 sách Power với ạ. Theo em hiểu thì bài 10 yêu cầu tìm dạng nghiệm của pt delta(u)=0 trong miền 0<x<a, y thuộc R với điều kiện u(x,y) bị chặn khi y tiến đến âm và dương vô cùng. Đề bài có đúng như thế không ạ? Nếu là đề bài như vậy em phải làm thế nào ạ? Thầy hướng dẫn em hướng làm của bài này và bài 12 luôn với ạ. Em cảm ơn thầy!

    • Bài 10 tìm các nghiệm dạng tách biến hay còn gọi dạng tích (product solutions) u=X(x)Y(y) của phương trình Laplace. Lưu ý chỉ tìm nghiệm bị chặn.

      Bài 11 yêu cầu giải bài toán biên cho phương trình trong bài 10 với các điều kiện biên đưa ra trong bài.

      Bài 12 yêu cầu giống bài 11.

      Cách làm: lập công thức nghiệm dạng tích phân.

      Với bài 11: khi tìm nghiệm tách biến nên dùng thêm điều kiện thuần nhất.

      Bài 12 nên tách thành hai bai toán con.

    • Dễ kiểm tra hàm v=e^{-t} sin x thoả mãn phương trình và hai điều kiện biên. Em xét hàm w=u-v và áp dụng nguyên lý cực đại cho w với chú ý tính toán các điều kiện biên và ban đầu.

  70. Thưa thầy, thầy xem giúp em đề bài bài 6 trang 177 sách Asmar với ạ,hình như đề bài bị sai. Ở phương trình đề bài cho ∇2 U = Uxx+ U, đơn giản 2 vế mình được phương trình Uyy=U. Tìm nghiệm dạng tách biến của bài toán này với điều kiện biên đề bài cho thì chỉ tìm được Y(y)=0. Nên em nghĩ đề bài sai.

    • Đề bài yêu cầu dùng chuỗi nghiệm (2) trang 171 để tìm nghiệm của bài toán. Em thay (2) vào phương trình rồi tìm hệ số của (2).

    • Bài 9 hỏi về các đường đẳng nhiệt ( isotherms), nghĩa là các đường mà trên đó u(x, y) là hằng số, nằm trên các nhánh của các đường hyperbol có tâm tại gốc.

      • Thầy có thể hướng dẫn em kĩ hơn cách làm bài này được không ạ? Em không biết phải làm như thế nào cả.

      • Em tìm nghiệm u(x, y) từ bài 2, sau đó cứ mỗi hằng số C em tìm đường cong trên mặt phẳng Oxy để u(x, y)=C.

    • Câu b dùng công thức giá trị trung bình (mean value formula).

      Câu c dùng công thức Poisson với chú ý chuyển sang hệ toạ độ cực: đoạn (0, y), 0<= y<=6 ứng với \theta=\pi/2, 0<=r<=6.

  71. Tôi vừa xem bài tập phần phương trình Laplace cho nhóm 2. Về cơ bản nhóm 2 làm khá tốt. Có vài điểm lưu ý:

    – bài 31/trong sách thầy Hợp có thể làm đơn giản hơn bằng việc tìm hàm v(x, y) để

    v_{xx}+v_{yy}=2x,

    tuy nhiên cách làm này sẽ không tốt bằng cách của nhóm khi làm trong trường hợp không đặc biệt như đề ra,

    – trong bài 7.17/trong sách của Rubinstein và Pinchover, nhóm chưa kiểm tra nghiệm tìm được có thực sự thỏa mãn phương trình, việc dùng nguyên lý cực đại chỉ dẫn đến chuỗi nghiệm liên tục đến tận biên nên nó thỏa mãn điều kiện biên và ban đầu,

    – trong bài 7.21/trong sách của Rubinstein và Pinchover, khi dùng nguyên lý cực đại nhóm chưa đưa vào các điều kiện biên.

  72. 05/05/2014, một số bạn dùng phương pháp tách biến và tích phân Fourier để tìm nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace trong nửa mặt phẳng hay góc phần tư. Công thức nghiệm cuối cùng đều có dạng tích phân suy rộng. Một cách tiếp cận khác cũng cho ta công thức nghiệm dạng tích phân, cụ thể công thức Poisson. Tôi đã trình bày công thức Poisson cho phương trình Laplace trong hình tròn vào tuần trước. Công thức Poisson cho trường hợp khác các bạn tham khảo

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/06/02/cong-thuc-poisson-dan-tu-ham-phuc/

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/05/30/cong-thuc-poisson-cong-thuc-tong-poisson/

    • Muốn công thức hiện ra em thêm “latex” như hướng dẫn ở cột bên phải.

      Để tính được tích phân này trước hết quan sát phần mũ

      -\dfrac{1}{4t}(\xi-x)^2-\xi^2=-\dfrac{1+4t}{4t}\Big(\xi-\dfrac{x}{1+4t}\Big)^2-\dfrac{x^2}{4t+1}.

      Bước trên: dùng phương pháp Lagrange chuyển dạng toàn phương về dạng chính tắc.

      Bước tiếp: đổi biến

      \zeta=\xi-\dfrac{x}{1+4t}.

      Phần còn lại dùng công thức (8.2.13) trong sách của thầy N. T. Hợp:

      \int\limits_0^\infty e^{-\alpha^2\lambda^2}\cos(\beta\lambda)d\lambda=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\alpha}e^{-\frac{\beta^2}{4\alpha^2}}.

  73. thầy ơi. thầy giải thích giúp e điều kiện newman ở đề cuối kì hè 2013 được k ạ, tại sao th lại có đc đk đạo hàm theo teta của w(pi,r) = 0 ạ?

  74. thưa th. ý e là thầy k cho cái đạo hàm đấy bằng cái gì khi y = 0 ? e nghĩ là du/dv khi y =0 bằng – du/dy khi y = 0 như thế e vẫn k suy ra đc đk về dw/dteta như của th đc ak.

  75. Thưa thầy! Vecto pháp tuyến ngoài của bài toán trên có phải là có điểm đầu đặt trên trục Ox và song song ngược chiều với trục Oy đúng không ạ?

  76. Pingback: Trao đổi bài giảng môn PT ĐHR lớp K57A1C | Giải tích

    • Với miền trong hình tròn điều kiện biên đặt trên đường tròn, với miền ngoài hình tròn cũng vậy và thêm điều kiện bị chặn.

      Về bài tập phương trình sóng và nhiệt, nếu em đang học với K57A1 em có thể xem trong danh sách bài tập và sách kèm theo ở trang trao đổi với K57A1T và K57TN.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s