Trao đổi bài giảng môn PTĐHR lớp K56A1T

/ datuan5pdes

Các tài liệu tôi sẽ dùng để dạy môn PTĐHR cho lớp K56A1T

1. “Bài giảng PTĐHR” Nguyễn Thừa Hợp,

2. “An introduction to PDEs” Y. Pinchover và J. Rubinstein,

3. “BVPs and PDEs” D. L. Powers,

4. “PDEs and BVPs” N. H. Asmar.

Tôi sẽ dạy dựa vào tài liệu 1 là chính. Cuốn này các bạn có thể mượn thư viện.

Đường link của các cuốn 2-4 các bạn tìm trong các bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2010/01/15/giao-trinh-bai-t%E1%BA%ADp-pt-vpdhr-l%E1%BB%9Bp-k53-a2a3/

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/01/31/trao-d%E1%BB%95i-bai-gi%E1%BA%A3ng-mon-pt-dhr-l%E1%BB%9Bp-toan-tin-k55a2a3/

Có gì cần trao đổi các bạn có thể viết vào phần “Phản hồi” ngay dưới bài viết.

Một suy nghĩ 343 thoughts on “Trao đổi bài giảng môn PTĐHR lớp K56A1T”

  1. Hôm nay tôi có thử chuyển về dạng chính tắc của phương trình cấp 2 ba biến

    u_{xx}-4u_{yy}+2u_{yz}+4u_{zx}+u_x=0.

    Tôi có xét dạng toàn phương

    X^2-4Y^2+2YZ+4ZX=0.

    Dùng Lagrange

    (X+2Z)^2-(2Y-Z/2)^2- 15Z^2/4=0

    nên có phép đổi biến

    x=X+2Z, y=2Y-Z/2, z=Z/2.

    Tôi nhầm việc chuyển ngay sang phương trình vi phân.

    Đến đây cần giải ngược

    X=x-4z, Y=y/2+z/2, Z=2z

    và phép đổi biến

    \xi(x, y, z), \eta(x, y, z), \zeta(x, y, z) cần thỏa mãn

    \xi_x= 1, \eta_x=0, \zeta_x=-4,

    \xi_y=0, \eta_y=1/2, \zeta_y=1/2,

    \xi_z=0, \eta_z=0, \zeta_z=2.

    Tích phân lên có phép đổi biến cần tìm

    \xi=x, \eta=y/2, \zeta=-4x+1/2y+2z..

    Khi đó tính toán ta được

    u_x=v_\xi - 4v_\zeta,

    u_{xx}=v_{\xi\xi}-8v_{\zeta\xi}+16v_{\eta\eta},

    u_{yy}= v_{\eta\eta}/4 + v_{\eta\zeta}/2+v_{\zeta\zeta}/4,

    u_{yz}=v_{\eta\zeta}+v_{\zeta\zeta},

    u_{zx}=2v_{\zeta\xi}-8v_{\zeta\zeta}.

    Phương trình ban đầu trở thành

    v_{\xi\xi}-v_{\eta\eta}-15v_{\zeta\zeta}+v_{\xi}-4v_{\zeta}=0.

    Các bạn có thể tham khảo thêm bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/07/28/chuyen-ve-dang-chinh-tac-ptdhr-tuyen-tinh-cap-2/

    Trả lời

    • Ta cũng có thể làm như trên với phương trình cấp 2 hai biến hệ số hằng. Với phương trình hệ số biến thiên sẽ rắc rối hơn ngay cả với trường hợp hai biến. Một ví dụ sáng nay, bạn Nguyễn Đức Hưng có làm nhưng chưa ra kết quả cuối cùng

      \sin^2 x\; u_{xx}-2y\sin x\; u_{xy}+y^2u_{yy}=0.

      Ta xét dạng toàn phương

      \sin^2 x \; p^2 - 2y\sin x\; pq +y^2 q^2=0

      hay

      (\sin x\; p-yq)^2=0

      nên đổi biến

      X=\sin x\; p - yq, Y=q (có thể chọn Y khác sao cho phép đổi biến không suy biến).

      Khi đó

      p=X/\sin x + Yy/\sin x, q=Y.

      Ta đổi biến \xi(x, y), \eta(x, y) sao cho

      \xi_x=1/\sin x, \eta_x=y/\sin x

      \xi_y=0, \eta_y=1.

      Có thể thấy ngay không có \eta(x, y) nào thỏa mãn hệ trên vì

      (\eta_x)_y=1/\sin x\not= 0=(\eta_y)_x.

      Ta nghi ngờ cách làm này không ổn? Không ổn ở đâu?

      Trả lời

      • Thầy ơi, thầy chữa tiếp bài này đi ạ. Em muốn tham khảo một bài 2 biến với hệ số biến thiên. Trong bài tập nhóm có dạng này nhưng em chưa hiểu lắm, em chưa biết cách làm ạ.

      • Quay trở lại cách bạn Nguyễn Đức Hưng đã chữa, sau khi giải phương trình đặc trưng

        \sin^2 x\; dy^2+2y\sin x\; dxdy+y^2dx^2=0

        ta có phép đổi biến, tôi nhờ các bạn viết rõ phép đổi biến này,

        \xi=\xi(x, y), \eta=\eta(x, y).

        Khi đó u_{xx} ngoài việc bình phương hình thức u_x nó còn phải cộng thêm phần cấp 1, cụ thể

        u_{xx}=(u_x)^2+ u_\xi \xi_{xx}+u_\eta\eta_{xx}.

        Phần cấp 1 này mất đi khi phương trình có hệ số hằng vì phép đổi biến tuyến tính.

  3. thầy ơi sao e vào đề thi giữa kì các năm mà không thấy tên giống như thầy ghi trong phần phân loại bài tập của bọn e ạ. Ví dụ như đề thi giữa kì của lớp K55A2

    Trả lời

  5. Em chào thầy!
    Thầy cho em hỏi về kiến thức trong bài giảng đưa phương trình về dạng chính tắc ạ.
    Khi phương trình ban đầu ở dạng parabolic có ĐENTA = 0.
    Giả sử có phương trình đặc trưng là (dx + dy)^2 = 0
    Khi đó đặt a = x + y (1), thì b= ? (2)
    v(a,b)= u(x,y)
    Đặt phương trình (2) b=… gì ạ?
    Em có thể đặt b= x hoặc b= x-y hoặc…… sao cho phương trình (1) và (2) là khác nhau có đúng không ạ.
    Em còn một thắc mắc nữa về các đề giữa kì, em xem qua thấy thầy chấm thang điểm 15, tức là điểm 10 đến 15 là 10 à?
    Em cảm ơn thầy.

    Trả lời

    • Em có thể đặt b=x hay b=x-y nhưng không thể đặt b= 2(x+y).

      Đề thi giữa kỳ có tổng điểm 15. Các bạn từ 10,0 trở lên sẽ được 10,0 điểm giữa kỳ, phần còn lại được cộng vào điểm thường xuyên. Đặc biệt bạn nào được 15 điểm có nhiều khả năng được 10,0 giữa kỳ và 10,0 thường xuyên.

      Trả lời

  6. Em chào thầy! Thưa thầy,thầy cho em hỏi về cách tìm nghiệm tổng quát của các ptđhr ạ, hôm trước ở trên lớp thầy đã cho 1 ví dụ nhưng em chưa làm được cho mọi trường hợp, giả sử như mình tìm được dạng chính tắc của ptđhr là -4Vst – cosx.Vs- cosx.Vt=0 như ở bài 11 trong sách của thầy Nguyễn Thừa Hợp thì mình phải tìm nghiệm tổng quát như thế nào ạ? Với cả em thấy những bài 15,16,17 trong sách của thầy Hợp thì thầy có gợi ý đặt u=G.v, em không biết tại sao lại đặt như thế,thầy bảo em tài liệu nói về phần này với ạ. Em không thấy trong sách của thầy Hợp và Pinchover& Rubinstein.
    Em cảm ơn thầy ạ!

    Trả lời

    • Bài 11 trong sách thầy Hợp, em chuyển về dạng chính tắc chưa đúng. Lý do u_{xx} ngoài các số hạng chứa các đạo hàm riêng cấp 2 gồm v_{\xi\xi}, v_{\xi\eta}, v_{\eta\eta} nó còn có cả v_\xi, v_\eta. Đây chính là điểm rắc rối của phương trình có hệ số biến thiên.

      Bài 15, 16, 17 em cứ đặt như trong sách đã gợi ý rồi chuyển về phương trình cho hàm v. Chẳng hạn bài 15 có gợi ý đặt v=(x-y)u ta được u=\dfrac{v}{x-y}. Em tính các đạo hàm riêng u_{xy}, u_x, u_y qua v rồi chuyển phương trình đã cho sang v. Khi đó em sẽ nhận được phương trình đơn giản.

      Trả lời

  7. Thầy có thể cho e xin kết quả cuối cùng của 17 bài trong sách thầy Hợp được không ạ? Em làm xong và muốn kiểm tra lại xem mình có nhầm hay sai ở đâu không ạ.

    Trả lời

  9. Thầy ơi! thầy có thể hướng dẫn cho e tìm cái nghiệm tổng quát ở bài 3.6 nhóm 5 đc ko ạ? E vẫn loay hoay chưa làm ra được.
    Phương trình đầu e chuyển về dạng chính tắc là:
    Vss+Vnn=0.
    Í (c) trong bài 3.6 mình tìm ngiệm tổng quát từ phương trình chính tắc trên thêm điều kiện g(x), f(x) . còn í (d) cũng giống í (c) nhưng mà cho g(x)=x và f(x)= -2x ạ hay 2 í đó là khác nhau hả thầy?

    Trả lời

  10. Hôm nay lớp trưởng có nhắc tôi về việc một số bạn chưa tham gia vào nhóm nào. Cuối giờ có một bạn lên hỏi về việc thêm người vào nhóm mình.

    Thứ nhất, các bạn không tham gia vào nhóm bài tập nào sẽ mất 10% trong điểm thường xuyên.

    Thứ hai, nếu có tên trong nhóm mà không tham gia gì, chẳng hạn không biết trưởng nhóm là ai, thì cũng mất 10% trong điểm thường xuyên.

    Tuần này tôi đã dành thời gian chữa bài tập phần phân loại. Bài tập này hạn nộp trong tuần sau, nghĩa là các bạn có thể nộp vào bất kỳ lúc nào trừ thứ Tư.

    Tuần sau tôi dự định chữa các bài tập về phương trình hyperbolic gồm

    – bài toán Goursat,

    – bài toán có điều kiện đặt trên cùng một loại đường cong đặc trưng,

    – vẽ đồ thị dùng sóng tiến, sóng lùi,

    – phương pháp tách biến.

    Rất mong các bạn có sự chuẩn bị.

    Trả lời

  12. Tôi vừa xem qua bài làm các nhóm thấy

    – nhóm 1 chưa làm hết yêu cầu của bài GK-K52A3-N3-B1, còn phải tìm nghiệm tổng quát,

    – nhóm 4 chép sai đề bài GK-K54A2-Đ5-B1 câu c,

    – nhóm 8 chép sai đề bài GK-K54A3-Đ6-B1.

    Các nhóm này có thể làm bổ sung và nộp cho tôi trong tuần này.

    Tôi đã đưa lớp trưởng bài tập nhóm phần Phương trình truyền nhiệt. Bài tập phần này sẽ nộp vào tuần 9.

    Tuần tới sẽ chữa bài tập:

    – phần truyền sóng, tôi sẽ không bắt buộc mà chủ yếu khuyến khích xung phong,

    – phần phân loại,tôi sẽ chỉ định và đặc biệt gọi các bạn học lại.

    Trả lời

  13. Thưa thầy chúng em có thể liên lạc với thầy trong tuần ở đâu và lúc nào được ạ?? Em biết là có thể tìm gặp thầy ở trường vào các ngày trừ thứ 4 nhưng không biết cụ thể thầy dạy lớp, phòng nào.

    Trả lời

  15. Tôi vừa so danh sách lớp và danh sách nhóm thấy:

    – Còn ba sinh viên chưa thuộc nhóm nào:

    Phạm Xuân Lộc K56A1,

    Lê Bá Minh K55A2,

    Bùi Đức Thiện K55A2;

    – Trong Nhóm 5 có bạn Nguyễn Đức Doanh không có trong danh sách lớp, còn Nhóm 7 có bạn Lê Thị Mai (tôi nghĩ Đặng Thị Mai?);

    – Trong Nhóm 4 có điền tên bạn Trần Anh Tiệp nhưng trong danh sách bài tập lại không có?

    Những bạn không có tên trong danh sách nhóm

    – sẽ không có điểm bài tập phần phân loại,

    – nếu còn chưa được nhóm nào nhận sẽ không có 10% trong điểm thường xuyên.

    Trả lời

    • Thưa thầy, em chưa có nhóm. Hiện tại em đang làm một số bài tập của nhóm 8 và nhóm 2. E có hỏi lớp trưởng và một số bạn trong lớp nhưng không biết ai là nhóm trưởng nhóm 8 và nhóm 2. Thầy có thể gửi cho em thông tin của 2 bạn nhóm trưởng 2 nhóm này để em xin bổ sung tên vào nhóm được không ak. E cảm ơn thầy.

      Trả lời

    • Bài 4.7 (d) yêu cầu tìm điều kiện cho các hàm f, g, h để nghiệm tìm được là liên tục, có đạo hàm riêng theo các biến, có đạo hàm riêng đến cấp 2 theo từng biến; và chứng minh tính đặt chỉnh của bài toán. Câu (e) yêu cầu tương tự khi tốc độ lan truyền c\not=1.

      Trả lời

    • Bài 12/225 liên quan đến tần số (frequency) dao động của một thanh trong bài 11/225 và dao động của một sợi dây có hai đầu cố định. Từ đó so sánh âm thanh của dây đàn và âm thanh của đàn gõ.

      Đề bài yêu cầu viết bốn tần số đầu tiên của các dao động trên khi biết tốc độ lan truyền c và chiều dài của thanh hay sợi dây a thỏa mãn tần số thấp nhất: 250 vòng trong một giây.

      Dao động của sợi dây tuân theo phương trình truyền sóng

      u_{tt}=c^2u_{xx}, 0<x<a

      với hai đầu cố định

      u(0, t)=u(a, t)=0

      có nghiệm có dạng

      \sum\limits_{n=1}^\infty \sin(\lambda_n x)(a_n\cos(\lambda_n c t)+b_n\sin(\lambda_n c t)),

      với \lambda_n=\dfrac{n\pi}{a}.

      Tần số: số dao động trong một đơn vị thời gian, hay dao động thực hiện được mấy chu kỳ dao động trong một đơn vị thời gian.

      Mỗi sóng (nghiệm tách biến)

      \sin(\lambda_n x)(a_n\cos(\lambda_n c t)+b_n\sin(\lambda_n c t))

      cho ta dao động có chu kỳ

      \dfrac{2\pi}{\lambda_n c}

      nên có tần số

      \dfrac{\lambda_n c}{2\pi}=\dfrac{nc}{2a}.

      Đây là các tần số dao động của sợi dây có hai đầu cố định.

      Dao động của một thanh với hai đầu cố định thỏa mãn bài toán 11/225. Bài này yêu cầu tìm các nghiệm tách biến X(x)T(t) thỏa mãn bài toán. Mỗi nghiệm tách biến này sẽ cho ta một tần số.

      Trả lời

  18. Thưa thầy! Trong đề GK-K56MAT1- D7-B2, ở câu a đề chỉ cho duy nhất điều kiện biên mà không có điều kiện ban đầu thì làm cách nào để tìm ra hàm v(x,y) ạ! Thầy gợi ý giúp e với!

    Trả lời

  19. Thưa thầy, Bài 4.2 trong sách Pinchover có điều kiện ban đầu và 1 điều kiện biên, yêu cầu đánh giá u(4,1) và u(1,4) thì em phải sử dụng điều kiện biên kia như thế nào ạ??

    Trả lời

    • Bài 4.2 là bài toán biên – ban đầu cho phương trình truyền sóng trong nửa trục. Cách làm:

      – chia góc phần tư dương thành hai phần bởi đường cong đặc trưng:

      + một phần sẽ được giải nhờ công thức D’Alembert, phần này chứa điểm (4, 1); như vậy u(4, 1) được tính nhờ công thức D’Alembert,

      + một phần cần dùng đến hình bình hành, lúc này cần đến điều kiện biên, phần này chứa điểm (1, 4); như vậy u(1, 4) được tính qua công thức hình bình hành và điều kiện biên.

      Trả lời

  20. Thưa thầy,ở bài 61 trong sách thầy Hợp em sử dụng phương pháp tách biến nhưng ở điều kiện du/dx(0,t) em không xử lí được ở ngay trường hợp X”(x)+c.X(x)=0 với c <0, khi đạo hàm theo biến x nghiệm tổng quát của phương trình đó thì có x ở mẫu số nên tại điểm (0,t) thì không biểu thức không xác định. Thầy xem giúp em xem em làm sai hay phải làm cách nào khác ạ. Còn bài 62 khi thác triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier thì có cả hệ số a0/2 ở ngoài nên e không đồng nhất được hệ số, em làm theo hướng dẫn ở bài toán 2 trong sách thầy Hợp nhưng e cũng thắc mắc ở chỗ thác triển hàm f(x,t) thành chuỗi Fourier ở trong sách thì chỉ là thác triển của hàm lẻ theo biến x thôi phải không ạ? Em phải làm bài này thế nào ạ?

    Trả lời

    • Tôi không hiểu biểu thức nào không xác định? Khi u(x, t)=X(x)T(t) thì du/dx(x, 0)=? Từ đó dẫn đến điều gì?

      Còn bài 62, không phải là thác triển mà là khai triển f(x, t)=x(x-l) thành chuỗi Fourier-sine. Việc thác triển lẻ chỉ là bước trung gian. Chú ý, trước hết tìm chuỗi nghiệm sau đó mới biết cần khai triển thành chuỗi Fourier-sine nào.

      Trả lời

  21. Bài 61. Từ điều kiện du/dx(0,t)=0 ta suy ra X'(0)=0.ở trường hợp c<0 thì nghiệm tổng quát của pt X''(x)+c.X(x)=0 là X(x)=c1. exp(sqrt(-cx))+c1.exp(-sqrt(-cx)) . tính dX/dx thì xuất hiện x ở mẫu số nên tại x=0 biểu thức k xác định mà thầy.
    Ở bài 62. chuỗi Fourier-sine là thế nào ạ? Em tưởng là hàm f(x) lẻ thì mình có khai triển lẻ,f(x) chẵn thì có khai triển chẵn chứ ạ?

    Trả lời

    • Khi c=-k^2, k>0 phương trình

      X"(x)-k^2X(x)=0

      có nghiệm

      X(x)=ae^{-kx}+be^{kx}.

      Khi em thác triển lẻ, tuần hoàn ta được hàm lẻ và tuần hoàn. Khai triển Fourier của hàm này có các hệ số của cos sẽ bằng 0. Như vậy khai triển Fourier của hàm sau khi thác triển chỉ còn các hàm dạng sine nên khai triển này được gọi là khai triển Fourier-sine của hàm ban đầu, việc thác triển chỉ là bước trung gian.

      Trả lời

      • Nhưng em thưa thầy, hàm f phải là hàm lẻ thì mình mới có thác triển lẻ chứ ạ. Như trong bài 62 thì hàm f không lẻ, không chẵn sau khi tính ra thì vẫn còn hệ số của cos và sin. Em cũng không biết mình sai ở đâu.

      • Hàm f(x)=x(x-l) mới xác định trong (0, l). Ta cần thác triển lẻ hàm này sang (-l, 0) sau đó tuần hoàn chu kỳ 2l. Hàm sau khi thác triển là hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2l. Khai triển Fourier của hàm sau khi thác triển ta được khai triển Fourier-sine của hàm f(x).

      • Vâng,em cảm ơn thầy. Em đã xem lại rồi ạ,do kiến thức về khai triển chuỗi Fourier của em còn thiếu sót nhiều!

    • Em tìm tất cả các nghiệm tách biến (product solutions) u(x, t)=X(x)T(t) của bài toán

      c^2u_{xxxx}=-u_{tt}, 0<x<a

      u(0, t)=u(a, t)=0,

      u_{xx}(0, t)=u_{xx}(a, t)=0.

      Sau đó ta làm như trong phương trình truyền sóng. Tuy nhiên với bài toán trên em sẽ gặp phương trình vi phân cấp 4

      c^2 X^{(4)}(x)+C X(x)=0.

      Em loại bớt các C để bài toán có nghiệm không tầm thường.

      Trả lời

  24. Thưa thầy! Trong bài 4.2 sách Pinchover như thầy hướng dẫn ở trên là chia miền để tìm nghiệm, vậy e làm theo cách này có đúng ko ạ: e xét một hàm v(x,y) thỏa mãn phương trình truyền sóng và điều kiện biên v(0,t)=t^2. Khi đó ta thiết lập bài toán biên hỗn hợp w(x,y)=u(x,y)-v(x,y).

    Trả lời

    • Khi đó điều kiện biên w(0, t)=0. Em sẽ giải tiếp như nào? Dĩ nhiên các điều kiện ban đầu cũng khác đi. Đặc biệt lưu ý bài toán này không thể dùng trực tiếp công thức nghiệm D’Alembert!

      Trả lời

      • Em thắc mắc là nếu đặt w=u-v thì khi đó điều kiện ban đầu sẽ khác đi tức là w(x,0)=u(x,0)-v(x,0) và dw/dt(x,0)=du/dt(x,0)-dv/dt(x,0). Nhưng với giả thiết là v(x,t) thỏa mãn pt truyền sóng và điều kiện biên v(0,t)=t^2 thì mình không tìm được cụ thể v(x,t) là hàm nào nên không tìm được cụ thể v(x,0) và dv/dt(x,0) khi đó thác triển lẻ với 2 điều kiện ban đầu như thế nào ạ?

  26. Em chào thầy ạ!
    Thầy dịch giúp em ý b, bài 4.7- sách Pinchover với ạ. Ở trên thầy dịch ý d,e rồi. Vì trên mạng dịch không sát lắm ạ. Em không biết hiểu thế nào.
    Em cảm ơn thầy ạ!

    Trả lời

    • Đây là bài toán có phương trình không thuần nhất. Để làm bài này ta thực hiện các bước.

      B1. Tìm công thức chuỗi nghiệm.

      – Tìm tất cả các nghiệm dạng tách biến u=X(x)T(t) của

      u_{tt}=u_{xx}

      với điều kiện biên

      u(0, t)=u(l, t)=0.

      Chú ý chỉ cần tìm nghiệm không tầm thường. Giả sử ta tìm được các nghiệm

      X_n(x)T_n(t).

      Lưu ý cần biết dạng hàm của X_n(x).

      Lập chuỗi nghiệm của bài toán ban đầu

      u=\sum_{n} X_n(x)T_n(t).

      Khác so với trường hợp phương trình thuần nhất T_n(t) không có dạng đặc biệt gì.

      B2. Phân tích f(x)=x(x-l) và các điều kiện ban đầu qua chuỗi X_n(x). Sau đó thế công thức nghiệm cũng như các phân tích trên vào phương trình và điều kiện ban đầu, rồi đồng nhất hệ số sẽ thu được hệ vô hạn các bài toán Cauchy cho T_n(t). Giải T_n(t) rồi thay vào công thức chuỗi nghiệm ta có nghiệm cần tìm.

      Trả lời

      • Thầy ơi! E mới tìm được :
        X(x)=C2.sin(nx)
        T(t)= C3.cos(nt)+C4.sin(nt)
        đến đây e suy ra nghiệm u= X(x).T(t)
        Thầy hướng dẫn B2 kĩ hơn đc ko ạ. e vẫn chưa hiểu làm tn . e thấy hàm f(x) trong sách là x(x-1)

      • Không cần tìm T(t) trong B1. Như vậy chuỗi nghiệm

        u(x, t)=\sum\limits_{n=1}^\infty T_n(t)\sin(nx).

        Ta sẽ tìm T_n(t) trong B2. Lý do trong B1 không cần tìm T_n(t) như em đưa ra vì nếu vậy u(x, t) không là nghiệm của phương trình

        u_{tt}=u_{xx}+f(x).

        Để tìm được T_n(t) ta cần thay chuỗi nghiệm vào phương trình trên và các điều kiện ban đầu

        u(x, 0)=u_t(x, 0)=0.

        Để tiếp tục ta nên phân tích f(x)=x(x-1) qua chuỗi \sin(nx). Tiếp đến đồng nhất hệ số.

        Ngoài ra, nếu trong đề bài 0\le x\le 1 thì X(x) em tìm không đúng.

      • E làm lại rùi ạ.
        X(x)= C2.sin(n.Pi.x/L)
        u(x,t)= tổng [Tn(t).sin(n.Pi.x/L)] (*)
        Phân tích f(x) qua chuỗi sin(n.Pi/L) nghĩa là
        f(x,t)= tổng (fn(t).sin(n.Pi.x/L)=x.(x-1)
        Xong rùi tính Utt , Uxx từ phương trình (*) và điều kiên ban đầu vào phương trình (*) ạ
        Rùi thế vào phương trình đề bài ạ

      • Thầy hướng dẫn cho bài 2 GK K56MAT1- Đ 4
        U(x,t)= F(x-1/4t) +G(x+1/4t)
        CT nghiệm D’lambert:
        F(x) = 1/2.f(x)+ 2.tích phân [g(y)dy] (cận 0–>x)
        G(x)= 1/2.f(x) – 2. tích phân [g(y)dy] (cận 0–>x)
        Cái chỗ dựa vào đk đề bài để tính cái tích phân [g(y)dy] , e chưa biết làm ạ

      • Chú ý cần xem chính xác lại x chạy từ đâu đến đâu mới tính được đúng X(x).

        Còn bài GK-K56-MAT1-Đ4 em xem hàm g(x) được cho là gì?

    • Em viết công thức D’Alembert cho P(10, t). Tìm t_0 để P(10, t_0) đạt giá trị lớn nhất. Xem giá trị lớn nhất có lớn hơn P=6, áp suất làm toà nhà sập. Nếu không lớn hơn thì kết luận toà nhà không sập.

      Trả lời

    • Em đã làm được bài 9/225 chưa? Cụ thể em đã tính được hàm riêng (eigenfunctions – X(x)), giá trị riêng (eigenvalues – C tương ứng) cũng như nghiệm tách biến (product solutions)? Lưu ý k>0 và nhỏ.

      Bài 10/225 yêu cầu tính các tần số rồi từ đó xem các tần số này có lập thành cấp số cộng không? Sau đó xem chuỗi nghiệm có tuần hoàn theo thời gian không? Và khi t\to\infty chuỗi nghiệm sẽ tiến về đâu?

      Trả lời

    • Câu (a) yêu cầu giải bài toán biên – ban đầu cho phương trình truyền sóng trong nửa trục với điều kiện biên

      u(0, t)=0.

      Đề bài gợi ý thác triển lẻ các điều kiện ban đầu.

      Câu (b) yêu cầu giải bài toán này khi các điều kiện ban đầu được cho cụ thể. Sau đó tính u(1, 1), u(1, 2), u(1, 3). Cuối cùng hỏi nghiệm tìm được có cổ điển không?

      Trả lời

  32. Em có bài toán sau mong thầy hướng dẫn
    phương trình :u_{tt}=9u_{xx} \begin{cases} u(0,t)=u(\pi,t) \\ u(x,0)=0=f(x)\\ u_t(x,0)=\cos^3x=g(x)\end{cases}
    Các bước em làm như sau :
    Thác triển lẻ hàm f(x) và g(x) tuần hoàn với chu kỳ 2\pi,
    rồi dùng công thức D’Alemert ra nghiệm có được không ah?

    Trả lời

    • Nếu điều kiện biên như em viết thì chưa giải được vì

      – nếu u(0, t)=u(\pi, t)=0 thì sẽ được nghiệm như cách em sẽ làm,

      – nếu u(0, t)=u(\pi, t)=1 thì cách em làm không cho nghiệm của bài toán.

      Trả lời

    • Trong phần thầy trình bày về việc vẽ đồ thị của nghiệm dạng chuối Fourier em muốn hỏi thêm là nếu như không có máy tính thì việc biểu diễn chân tay cho nghiệm dạng chuỗi đó không phải là một việc đơn giản thì mình có các nào hình dung nó được không ạ?
      EM nghĩ có thể vẽ cho trường hợp tổng riêng có 1 hoặc 2 số hạng, rồi cho nó xấp xỉ với đồ thị khi đã tìm ra được sống tiến và sóng lùi?

      Trả lời

      • Thứ nhất bài này không bắt buộc phải làm nên đã làm thì làm cho đàng hoàng.

        Thứ hai nếu chỉ lấy tổng vài ba số hạng chắc chắn không cho hình dạng giống hình dạng của sóng.

        Thứ ba như tôi đã chỉnh sửa lại: không phải so sánh với nghiệm tìm được bằng sóng tiến sóng lùi.

  33. Thưa thầy! Trong bài 11/225 sách N.H.Asmar như thầy hướng dẫn ở trên là tìm nghiệm dạng tách biến. Nhưng họ chỉ cho các điều kiện biên nên em chỉ tìm được công thức của X(x). Còn khi tìm T(t) thì em thấy không có dữ kiện để tìm. Vậy e phải làm như thế nào ạ?

    Trả lời

  34. Thưa thầy! Thầy có thể hướng dẫn cho em bài 14(D.L.Powers) với ko ạ!.
    em không hiểu khi co thêm 2k.du/dt thì bai toán phải giải như thế nào nữa.
    em dùng phương pháp tách biễn nhưng đếm khi tìm ra hằn số c=(n.pi)^2/a^2 thay vào để tìm T(t) thì có dạng :T”(t)+2k.T'(t)=(-c^2.T(t).(n.pi)^2)/a^2 thì phải giải thế nào nữa ạ?
    có phải vẫn giải nhưng phương trình vi phân thông thường không ạ ?
    hay giải bằng cách khác ạ?

    Trả lời

  36. Thưa thầy với bài toán u_{xx}=a^2u_{tt}
    0<x0 với điều kiện biên là :\begin{cases} u(0,t)=m \\ u_x(c,t)=0\end{cases} m,a,c\in\mathbb{R}. Thì ta vẫn tìm nghiệm tổng quát một cách thông thường rồi thay vào các điều kiện biên để giải có được không ạ?

    Trả lời

  39. Thưa thầy em muốn hỏi thêm về việc tìm giá trị riêng(eigenvalue) và hàm riêng( eigenfunction ) em đọc trong sách của Pinchover nhưng thấy sử dụng toán tử Luivile, em không hiểu phần đó.
    Thầy có thể hướng dẫn cho em phần đó được không ạ?

    Trả lời

    • Quay trở lại việc tìm các nghiêm X(x)T(t). Từ phương trình sẽ dẫn đến hằng số C. Ta lọc các hằng số này để bài toán có nghiệm không tầm thường. Những C đó cho ta giá trị riêng. Với mỗi C này ta giải X(x). Hàm X(x) được gọi là hàm riêng.

      Trả lời

  40. Thưa thầy,thầy hướng dẫn em làm 1 bài tìm tất cả các điểm mà tại đó nghiệm của bài toán không cổ điển hay không liên tục với ạ. Ví dụ như ý c,d bài 4.3 trang 93 trong sách Pinchover ạ. Em không biết phải làm như thế nào.

    Trả lời

    • Để làm bài này một cách đầy đủ cần tính u(x, t) trên toàn miền xác định -\infty<x<\infty, t>0. Để làm điều này ta cần chia miền xác định bởi các đường cong đặc trưng như hình vẽ.

      ảnh (6)

      Dùng công thức D’Alembert tính nghiệm tường minh trên mỗi miền.

      Từ đó tính các đạo hàm riêng của u(x, t) theo biến x, t. Lưu ý việc tính toán trên các đường ranh giới cần tính đạo hàm trái và đạo hàm phải. Nếu có đạo hàm riêng cấp 1 thì tiếp tục tính đạo hàm riêng cấp 2. Từ đó sẽ thấy nghiệm không cổ điển trên các đường ranh giới.

      Với tính liên tục cũng làm như trên.

      Trả lời

  41. Thưa thầy, cho em hỏi chút ạ.
    Đối với bài toán cả 2 đầu dây đều dao động, tức là Ux(0,t)= Ux(1,t)= 0 thì vẫn có thể sử dụng phương pháp tách biến được không a.?
    Em cũng chỉ thấy bài mẫu về 2 đầu dây cố định và bài 1 đầu cố định, một đầu dao động. Thầy chỉ em cách làm với ạ

    Trả lời

  42. Thưa thầy! Người ta cho một dây dao động chịu một ngoại lực tỷ lệ với dao động của dây với hệ số tỷ lệ h=a=const, vậy khi e lập phương trình truyền sóng có gì khác ạ?

    Trả lời

  43. Thưa thầy! Trong đề GK-K56MAT2-D4-B2, người ta cho điều kiện biên ko thuần nhất u(x,x)=x thì ta vẫn tìm hàm v(x,t) như bình thường để khử điều kiện biên ạ?

    Trả lời

    • Em chia miền xác định thành hai phần:

      – một phần sẽ giải nhờ công thức D’Alembert,

      – phần còn lại dùng công thức hình bình hành, nghĩa là từ mỗi điểm trong miền dựng hình bình hành có các cạnh là các đường đặc trưng, có một đỉnh là điểm đang xét, một đỉnh trên biên x= t, hai đỉnh nằm trên đường đặc trưng đi qua gốc.

      Trả lời

    • Có thể làm bằng hai cách như sau.

      C1. Tìm hàm v(x, t) thỏa mãn

      v_{tt}=v_{xx}

      và

      v(0, t)=\dfrac{t}{1+t}.

      Sau đó đặt w=u-v. Ta có bài toán mới cho w. Em tự viết cụ thể nhé. Chú ý điều kiện biên w(0, t)=0 nên ta có thể thác triển lẻ rồi dùng công thức D’Alembert.

      C2. Dùng công thức hình bình hành, cụ thể

      – chia miền xác định x>0, t>0 thành hai miền bởi đường cong đặc trưng đi qua gốc,

      – một miền dùng công thức D’Alembert,

      – một dùng đẳng thức hính bình hành.

      Câu b tính toán nhờ câu a với chú ý chia trường hợp c>0 thành hai trường hợp

      0<c<1 và c\ge 1.

      Trả lời

    • Câu (a) em dùng công thức nghiệm tổng quát của phương trình

      u_{tt}=u_{xx}.

      Câu (b) với phương trình

      u_{tt}=c^2u_{xx}

      các điểm của câu (a) phải sửa lại thì mới có đẳng thức như câu (a). Sửa như nào phụ thuộc vào công thức nghiệm tổng quát.

      Câu (c) giải bài toán này bằng cách chia miền như tôi đã trả lời cho nhóm 8.

      Câu (d) kiểm tra công thức nghiệm của câu (c) có cho ta nghiệm cổ điển không? Ta tính các đạo hàm riêng cấp 1 rồi cấp 2 theo x, t. Chú ý khi tính cần lưu ý tại những điểm trên đường x=t ta phải tính đạo hàm trái và phải vì ở mỗi phía được cho bởi công thức khác nhau.

      Câu (e) làm tương tự câu (d) chỉ khác đường cần lưu ý x=ct vì lúc này ta quan tâm đến phương trình

      u_{tt}=c^2u_{xx}.

      Trả lời

  51. Em chào thầy. Thầy cho em hỏi chút ạ.
    Đối với bài toán nửa trục của phương trình truyền sóng Utt=a^2. Uxx, 0<x0,với các điều kiện:
    U(x,0)=f(x)
    Ut(x,0)=g(x)
    U(0,t)=0
    trong vở em có chép nghiệm tổng quát:
    U(x,t)=f*(x+at) + g*(x-at) + 1/(2a)”Tích phân” g*(y)dy
    Thầy cho em hỏi ở đây f* và g* là gì ạ?

    Trả lời

    • và khi em làm bài GK-Hè 2013-Đ 2-B2: Utt-Uxx=0 , 0<x=0
      u(x,0)=f(x)=0
      Ut(x,0)=g(x)=1
      ở câu a yêu cầu thác triển f(x) và g(x) thành hàm lẻ trên R, em không hiểu lắm. Vì f(x)=0, g(x)=1 không phải hàm lẻ.
      Thầy giải đáp giúp em với ạ.

      Trả lời

      • Tại sao f(x)=0, g(x)=1 khi 0<x<\infty lại không phải là hàm lẻ? Chú ý miền xác định của hàm số.

        Một vấn đề nhỏ: trước khi hỏi nên có một chút suy nghĩ. Ngoài ra những vấn đề như này tôi đã nói vài lần trên lớp nên mong rằng các bạn hạn chế những câu hỏi kiểu như

        f*, g* là gì?

  52. Thưa thầy,ở bài 2 đề GK MAT20241,sau khi đưa được điều kiện biên về dạng thuần nhất em phải làm thế nào để giải bài toán này ạ. Những toán có miền xác định trên nửa trục thì có sử dụng được phương pháp tách biến không ạ? Ở trên lớp thầy chỉ dạy bài toán xác định trên nửa trục giải bằng cách sử dụng công thức D’Alembert với thác triển lẻ của 2 điều kiện ban đầu,nhưng điều kiện biên là u(0,t)=0,ở bài này là du/dx(0,t). Có phải là mình sẽ đi thác triển chẵn hàm f,g không ạ?
    Thầy cũng cho em hỏi luôn là hôm trước ở trên lớp,sau khi bạn Hưng thác triển lẻ hàm f thành hàm f* thì thầy có nói là vì f tuần hoàn với chu kì 2Pi,f* cũng tuần hoàn với chu kì 2Pi nên f*=f trên toàn R. Em không hiểu chỗ này lắm ạ. Phải cần điều kiện tuần hoàn với chu kì giống nhau thì mới cò f*=f ạ?

    Trả lời

  53. Em thưa thầy, như bài 2-lớp MAT2024 1-đề 7, ý a, đề bài yêu cầu tìm môt hàm v(x,t) thỏa mãn phương trình: vxx(x,t)=vtt(x,t), 0<x0 với điều kiện biên vx(0,t)=t.
    Nếu đề bài chỉ cho điều kiện biên như thế, như trên thầy bảo là ” thử mò một nghiệm”. em muốn hỏi là: do là chỉ đi tìm một hàm v(x,t) thỏa mãn điều kiện biên như thế, nên em cho thêm điều kiện vào, chẳng hạn như em thêm v(0,t)=0 để tìm. Vậy có được không ạ?
    Em cảm ơn thầy ạ!

    Trả lời

  54. thầy ơi!em hỏi bài 9/225 sách của POWER!
    em làm đến đoạn giải phương trình:(1/c^2)T”+kT’+dT=0 nhưng ko có điều kiện ban đầu ?e pahir làm thế nào hả thầy?

    Trả lời

  58. Thưa thầy! Như thầy hướng dẫn bài 12/225 sách Power thì tần số của phương trình sin((n*Pi/a)*x)(cos((n*Pi*c/a)*t)+sin((n*Pi*c/a)*t) là (n*Pi*c/a)/(2*Pi). Vậy e có phương trình sin((n*Pi/a)*x)(cos(((n*Pi/a)^2)*c)*t+sin(((n*Pi/a)^2)*c)*t) thì tần số của nó có phải là ((n*Pi/a)^2)*c)/(2*Pi) không ạ?

    Trả lời

  60. thưa thầy!em hỏi bài 10/225 sách của POWER.e đã làm xong các yêu càu tù bài 9,đến bài 10 tìm tần số thế nào thầy?thầy gợi ý giúp e vs ak?e cảm ơn thầy

    Trả lời

  61. Thưa thầy! Khi xét tính khả vi của hàm u(x,t) thì ta phải xét đạo hàm theo các biến trên đường đặc trưng, giả sử đường đặc trưng là x-2t=0, e sẽ tính đạo hàm trái và đạo hàm phải theo x tại điểm x=2t và so sánh hai đạo hàm đó. Vậy e có phải tiếp tục tính đạo hàm trái và đạo hàm phải theo t tại điểm t=x/2 nữa ko ạ?

    Trả lời

    • Tôi không hiểu em hỏi gì. Một hàm khả vi sẽ có đạo hàm riêng theo các biến. Điều ngược lại không đúng. Em mới tính xét đạo hàm riêng theo biến x càng chưa đủ để thấy tính khả vi của hàm.

      Trả lời

  62. e ra nghiệm là X(x)=c1cos(sqrt(d)x)+c2(sin(sqrt(d)x)
    T(t)=e^(-kc^2)/2[A.cos(csqrt(k^2-4d)/2)t+Bsin(csqrt(k^2-4d)/2]
    vì ko có đk ban đầu nên e chỉ tìm đc nghiệm dạng chuỗi thôi ak!thầy xem giúp e vs ak

    Trả lời

    • Em chưa dùng điều kiện biên. Cần lưu ý bài tập chỉ yêu cầu tìm tất cả các nghiệm tách biến nên không sử dụng gì điều kiện ban đầu nhưng bắt buộc phải dùng điều kiện biên.

      Trả lời

    • Đề bài yêu cầu tìm nghiệm của phương trình truyền sóng xác định trên toàn mặt phẳng thỏa mãn

      u_x(t+1, t)=const, \forall t,

      u(x, 0)=1,

      u(1, 1)=3.

      Hỏi bài toán trên có duy nhất nghiệm không?

      Em tìm nghiệm tổng quát rồi thay vào các điều kiện trên để tìm nghiệm riêng.

      Trả lời

    • Bài này yêu cầu tìm hàm riêng và giá trị riêng của từng bài toán. Em không cần khử điều kiện biên vì khi tìm hàm riêng X(x) (trong nghiệm tách biến X(x)T(t)) và giá trị riêng tương ứng của bài toán mà các điều kiện biên cho ở mỗi câu đều bằng 0.

      Trả lời

  65. Thầy hướng dẫn cho e tìm nốt nghiệm bài 6.20 sách(tr 171) Y.Pinchover
    E đưa về bài toán có đk biên thuần nhất :
    Wtt – 4 Wxx = cost + 4/Pi
    Wx(0,t)= 0
    Wx(Pi,t)= 0
    W(x,0) =0
    Wt(x,0)=cos(3x)
    nghiệm tổng quát là
    W(x,t) = 1/2 To(t) + tổng( Tn(t).cos(nx) ) n=1,2…
    =>
    1/2 To”(t) + tổng[( Tn”(t) – 4.n^2.Tn(t)).cos (nx)] = cost + 4/Pi
    => 1/2 To”(t) = 4/Pi => To(t) = 4/Pi.(t^2 + Ao)
    E làm như vậy đúng chưa ạ và Tn(t) thì tìm thế nào hả thầy

    Trả lời

    • Em còn thiếu các điều kiện ban đầu T_n(0) và T'_n(0).

      Từ phương trình em vừa dẫn muốn làm như trên em cần phân tích

      cos t+4/\pi = 1/2 f_0(t) +\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(t)\cos(nx).

      Khi đó

      T"_0(t)=f_0(t), (f_0(t) không phải 4/\pi),

      T"_n(t)+4n^2T_n(t)=f_n(t) (dấu cộng chứ không phải dấu trừ).

      Làm tương tự với các điều kiện ban đầu đã cho sẽ dẫn đến điều kiện ban đầu cho T_n(t).

      Trả lời

      • Vậy fo(t) và fn(t) sẽ tính là:
        fo(t) = 1/pi. Tích phân (cost + 4/pi) dx ( cận từ 0 đến Pi)
        fn(t) = 2/pi. Tích phân (cost +4/pi).cos(nx)dx (cận từ 0 đến Pi)
        còn điều kiện ban đầu e làm thế này ạ
        W(x,t) = 1/2 To(t) + tổng( Tn(t).cos(nx) ) n=1,2…

        W(x,0) = 1/2.To(0) + tổng (Tn(0).cos(nx)) =0 (1)
        Wt(x,0) = 1/2.To'(0) + tổng (Tn'(0).cos(nx)) =cos3x (2)
        (1) +(2) :
        => cân bằng hệ số:
        1/2.To(0) + 1/2.To'(0) =0
        Tổng [(Tn(0)+Tn'(0)).cos(nx)] =cos 3x
        => n=3 thì T3(0)+T3′(0) =1
        n#3 thì Tn(0)+Tn'(0) =0
        => Tn(0) = Tn'(0) = 0 khi n#3
        Thầy ơi như vậy đã đc chưa ạ

      • Công thức tính f_0, f_n có cùng hệ số nếu em dùng công thức chuỗi

        f_0/2 +\sum\limits_{n=1}^\infty f_n \cos(nx).

        Cộng (1) và (2) để làm gì?

        Được chưa hay không đâu phải do tôi? Tôi cũng có lúc sai. Cái các bạn cần là xem nó đúng hay không.

    • – Xác định tốc độ lan truyền.

      – Tính khoảng cách từ điểm quan sát viên đến điểm gần nhất trên khối cầu.

      – Tính khoảng cách từ điểm quan sát viên đến điểm xa nhất trên khối cầu.

      Xem lại mục 6.6 trong giáo trình của thầy Hợp.

      Trả lời

  67. thưa thầy, thầy cho em hỏi câu a) bài 4.10 trang 95 trong sách Y.pinchover có phải là bài toán Guốc-sa không ạ? thầy hướng dẫn giúp em ý b) của bài đấy nữa ạ.

    Trả lời

  68. Thầy cho e hỏi ở bài 4.12 sách Y.pinchover trang 95 e chọn hàm V(x,t)=(t+x)/(1+t+x) thỏa mãn {Vtt=Vxx và V(0,t)=t/1+t}. Khi e lập bài toán cho hàm W=U-V thì W(x,0)=f(x)=-x/(1+x) và Wt(x,0)=g(x)=1/(x+1)^2 . E thấy cả 2 hàm f và g đều ko xác định chắn lẻ được. Vậy là e chọn sai hàm V ạ?

    Trả lời

  69. thưa thầy bài sáng nay e làm GK.k55.MAT1.D7.B2 ak. e thác triển chẵn hàm f(x) = sinx (x>0) thành hàm f*(x) = sin(|x|) trên toàn trục. còn hàm g(x) = cosx (x>0) thác triển chẵn thành hàm g*(x) ={ cosx x>0 và cos(-x) x<0} như vậy có đúng k ak? và th có thể nói lại giúp e khi nào thác triển chẵn và khi nào thác triển lẻ với ạ? E cám ơn thầy!

    Trả lời

    • Khi điều kiện biên u(0, t)=0 ta thác triển lẻ.

      Khi điều kiện biên u_x(0, t)=0 ta thác triển chẵn.

      Thác triển chẵn em viết là đúng nhưng nên cụ thể hơn.

      Trả lời

  70. Tôi đã nhận bài tập phần phương trình truyền sóng của ba nhóm: 1, 2, 6. Như vậy còn năm nhóm chưa nộp: 3, 4, 5, 7, 8.

    Xem qua các bài tập tôi thấy:

    – nhóm 1: chưa biết cách thác triển và vẽ đồ thị,

    – nhóm 2, 6: đưa ra bài toán không có lời dẫn; khá kỳ công trong việc tính toán các đạo hàm riêng nhưng chưa biết thu gọn lại bằng cách lọc ra các điểm chung,

    – nhóm 2: mắc lỗi khi dẫn từ hệ

    C_1+C_2=0 và aC_1+bC_2=0

    với lý do a>0, b>0

    đưa ra kết luận C_1=C_2=0.

    – nhóm 6: chưa biết tổng hợp nghiệm, cụ thể trong bài 15/trang 125 (sách N. H. Asmar) khi tính T_n(t) các bạn gom tất cả các nghiệm có thể để lập T_n(t), làm như này không đúng, với mỗi n sẽ có X_n và T_n nhân với nhau được nghiệm tách biến sau đó mới tổng hợp các tích này.

    Tôi đã thống nhất với lớp: tuần 10, ngày 14/04/2014 sẽ thi giữa kỳ.

    Trả lời

  71. thưa Thầy!
    Thầy có thể hướng dẫn em bài GK-K56MAT2-D1-B2 với không ạ!
    ở câu A em chon hàm v=x+t+1 có được không ạ.tại khi thác triển lẻ ra em không vẽ được hình ạ.thầy giúp em vẽ hình bài này với a.Em cảm ơn Thầy!

    Trả lời

  72. Tôi đã xem bài của năm nhóm còn lại. Nhìn chung nhóm 1 và năm nhóm này làm bài tập ở mức trung bình. Một số lỗi chính:

    – không biết thác triển và sử dụng đồ thị,

    – không đưa ra được lý do từ

    C_1+C_2=0, aC_1+bC_2=0

    đưa ra C_1=C_2=0,

    – gặp nhiều trục trặc khi giải

    T” +k T’+hT=0,

    (tham khảo bài
    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/03/24/gi%E1%BA%A3i-m%E1%BB%99t-s%E1%BB%91-ph%C6%B0%C6%A1ng-trinh-vi-phan-th%C6%B0%E1%BB%9Dng-c%E1%BA%A5p-2-d%E1%BA%B7c-bi%E1%BB%87t/)

    Tuần tới

    – chính thức chữa bài tập phần truyền sóng (dạng bắt buộc),

    – chữa bài tập phần truyền nhiệt (khuyến khích).

    Trả lời

  74. thưa Thầy!
    bài 9 (Power) họ bảo tim v(x) hay hay thực chất là v(x,t) hải không ạ?
    Thầy có thể dịch giúp em câu d) của bài này không ạ.em không hiểu ý nghĩa của nó là gì ạ?

    Trả lời

    • Nghiệm bài này có dạng chuỗi nên phải xem chuỗi có hội tụ không. Sau đó tính đạo hàm riêng theo các biến chuỗi nghiệm với lưu ý cần kiểm tra điều kiện để đẩy đạo hàm qua dấu tổng. Cuối cùng kiểm tra lại phương trình và các điều kiện biên và ban đầu.

      Trả lời

      • có nghĩa là khi thay ngược trở lại nghiệm phải thỏa mãn phương trình truyền nhiệt ,điều kiện biên và điều kiện ban đầu ạ? vậy khi nào nghiệm là không cổ điển ạ?

      • thưa Thầy!
        ở câu này để tìm a_n thì khai triển Phuarie của f(x) là khai triển chẵn theo hệ{cos(1/2+n)x} chu kì 2.Pi phải không ạ?
        khi đó hàm f(x) phải thỏa mãn :
        f(0)=-f(Pi).
        nhưng trong bài cho f(x) không thỏa mãn điều kiện trên .
        thì khi đó làm sao để tìm được a_n ạ?

  76. Thưa thầy!
    Nay em đang giải bài 5.10((Y.Pinchover) còn câu c em chưa biết giải ạ?
    cho(Pi)^2<apha<(4.Pi)^2 thì khi đó lim u(x,t) khi t tiến đến vô cùng có tồn tại với mọi Hàm f (X) không,nếu không thì tìm điều kiện cần và đủ của f để giới hạn đó tồn tại?
    thầy hướng dẫn cho em câu này với ạ.
    nghiệm em tìm ra ở câu b là: u(x,t)=tong(a_n.e^(-((k.pi)^2 +apha)).sin(k.Pi.x))

    Trả lời

    • Chuỗi nghiệm em đưa ra chưa đúng, cần đổi e^{-(…+\alpha)t} thành e^{-….+\alpha t}. Khi đó em sẽ thấy điều kiện gì đặt lên f(x) mới có giới hạn.

      Trả lời

      • em làm thế này có phải không ạ.
        ta tách tổng đó ra
        tai k=1 => 0< alpha-(Pi)^21 => alpha-(k.Pi))^2u(x,t)=a_n.e^((alpha-(Pi)^2).t).sin(k.Pi.x) + tong_(k>2)(a_n .e^((alpha-(k.Pi)^2).t).sin(k.Pi.x).
        vậy để đưa được lim qua tổng thì chuỗi tong_(k>2)(a_n .e^((alpha-(k.Pi)^2).t).sin(k.Pi.x). phải hội tụ
        nghĩa là hàm f phải liên tuc ,khả tích và f(0)=f(1).

      • phần trên em viết sai ạ.
        em làm thế này có phải không ạ.
        ta tách tổng đó ra

        tai k=1 => 0< alpha-(Pi)^21 =>alpha-(k.Pi))^2u(x,t)=a_n.e^((alpha-(Pi)^2).t).sin(k.Pi.x) + tong_(k>2)(a_n .e^((alpha-(k.Pi)^2).t).sin(k.Pi.x).

        vậy để đưa được lim qua tổng thì chuỗi tong_(k>2)(a_n .e^((alpha-(k.Pi)^2).t).sin(k.Pi.x). phải hội tụ
        nghĩa là hàm f phải liên tuc ,khả tích và f(0)=f(1).

      • Đề bài yêu cầu xét TH \pi^2<\alpha < 4\pi^2 nên tổng các số hạng k>1 hội tụ. Như vậy chuỗi nghiệm hội tụ khi t ra vô cùng nếu và chỉ nếu số hạng đầu tiên bằng 0, hay a_1=0.

  78. Em thưa thầy,ở bài 5.5 sách Pinchover trang 125 ý a yêu cầu là sử dụng phương pháp tách biến tìm nghiệm của bài toán…mô tả sự truyền nhiệt của 1 thanh cách nhiệt. Em phải hiểu như thế nào ạ? Tìm nghiệm là mô tả rồi hay phải mô tả như thế nào ạ?

    Trả lời

    • Thanh cách nhiệt (insulated one dimension rod) là thanh mà ở hai đầu không có hiện tượng truyền nhiệt u_x() tại hai đầu bằng 0, như đề bài đưa ra. Đề bài yêu cầu tìm nghiệm của bài toán đã đưa ra. Ý nghĩa của bài toán nó mô tả sự truyền nhiệt của thanh cách nhiệt.

      Trả lời

    • Nghiệm dừng (steady state solution) là nghiệm không phụ thuộc t, có dạng v(x). Chẳng hạn quá trình đun nước khi đạt nhiệt độ sôi thì nhiệt độ không tăng không giảm.

      Trả lời

  81. Em thưa thầy,ở công thức (8.2.13) sách thầy hợp là công thức tính tích phân suy rộng của hàm ( exp(…).cosbx) vậy nếu thay hàm đó bằng hàm (exp(..).sinbx) thì công thức tính là như thế nào ạ?

    Trả lời

  82. Thưa thầy,thầy có thể cho em biết kết quả của 2 tích phân trên được không ạ? Em đã thử tính theo hướng dẫn ở trong sách với trường hợp cos(bx) nhưng hơi lằng nhằng nên hình như kết quả không chính xác.

    Trả lời

    • Tích phân đầu bằng 0 do tính chẵn lẻ.

      Tích phân tiếp tính như trong sách thầy Hợp là một hướng đúng. Em có thể viết kết quả ra được không?

      Trả lời

  83. Thưa thầy,hôm qua em tính nhầm ạ, khi tính tích phân từng phần như trong sách thầy Hợp đối với sin(beta.x) thì có cả hằng số 1/beta+… Tính đạo hàm J(alpha,beta) dưới dấu tích phân theo biến beta,rồi làm như ở trong sách thì dẫn đến 1 phương trình vi phân dJ(alpha,beta)/dbeta=(1-beta.J)/(2.(alpha)^2). Em không giải được phương trình vi phân này ạ. Thầy hướng dẫn cho em với ạ.

    Trả lời

  84. thưa thầy trong bài 3 trang 191 sách powers em xét nghiệm tách biến . nhưng đề bài chỉ cho 1 điều kiện biên của U. vậy em phải tính tiếp như thế nào ạ?

    Trả lời

  87. thưa thầy!bài 11/151 với đk u_x(0,t)=0,u_x(1,t)=-u(1,t)
    th k>0,k là hằng số tách biến
    e ra nghiệm tách biến Xn(x)=Cn(cos(Kn)x) có đúng ko ak?
    +vs e hỏi đồ thị của cot(k)=-k vẽ the nao ak?
    +khi vẽ xong e cần chọn bao nhiêu giá trị của k để tìm nghiệm ?e cảm ơn thầy!

    Trả lời

    • Nghiệm tách biến em tìm chưa đúng. Các phương trình và điều kiện khi tách biến em dẫn ra được những gì?

      Hoặc em vẽ đồ thị riêng cotan(k) và -k riêng. Mục đích tìm nghiệm của phương trình, nghĩa là giao điểm của hai đồ thị này. Vẽ xong em sẽ thấy có vô số nghiệm, những nghiệm này liên quan đến chuỗi nghiệm của bài toán.

      Trả lời

    • Đề bài yêu cầu tìm đường không điểm, đường luôn ở vị trí cân bằng, của các hàm đã cho. Cụ thể tìm các đường trên mặt phẳng 0xy mà

      u(x, y, t)=0 trên đường đó với mọi t>0.

      Trả lời

  91. từ X'(1)=-c1ksin(k)+kc2cos(k)= -c1cos(k)-c2sin(k) vi c2=0
    -c1(ksin(k)-cos(k))=0
    neu c1=0 thì phương trình lại có nghiệm tầm thường->c1 khac 0
    =>ksin(k)-cos(k)=0cot(k)=k(e chia 2 vế cho sin)
    +e hỏi khi vẽ đồ thị y=cot(k) và y=k e về đc các giao điểm của 2 dthi nhg làm cách nào để tìm đc giá trị của nó hả thầy?

    Trả lời

    • Bài 7/162 yêu cầu lập bài toán giá trị riêng (eigenvalue problem) tương ứng với bài toán truyền nhiệt trong mục 3, trang 149. Tiếp đến giải bài toán này.

      Bài 7/192 xét bài toán truyền nhiệt trong nửa trục. Đề bài yêu cầu chỉ ra điều kiện cần để giải bài toán \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=T_0. Với điều kiện này hãy giải bài toán.

      Trả lời

  96. em t­­hưa Thầy!
    Trong sách (Asmer/trang 162-163) bài 7 ạ.
    ở câu b ạ yêu cầu vẽ đồ thị và minh họa dao động của màng .cái này phải vẽ trên máy tính chứ ạ. Vậy trên giấy thì vẽ sao ạ?

    Trả lời

    • Đoạn dẫn dắt đến bài toán tôi không dịch nhé. Đề bài xét phương trình

      Sh_t-Th_{xx}-aKh_x=I+\phi.

      (a) Cho S, T, a, K, I là hằng số, \phi=0. Tìm nghiệm dừng v(x) của phương trình với các điều kiện như trong đề bài.

      (b) Lập bài toán cho hàm w=u-v.

      (c) Giải bài toán trong câu (b).

      (d) Tìm các giá trị riêng với các dữ liệu đã cho, chú ý đơn vị đo.

      Trả lời

  100. thưa thầy !
    ở bài 6.14(Y.Pinchover)(t170)
    khi em tìm ra nghiệm u(x,t) thì ở cả hai ý a,b đều ra nghiệm khá phức tạp.
    mà u(x,0) là ở dang chuỗi số chứa(cos(1/2+n).thì có thể kết luận luôn là nghiệm không phải nghiệm cổ điển được không ạ.
    VD: câu a em tìm ra chuỗi nghiệm là:
    u(x,t)={(-4)/(1/2+n)^3.sin{(1/2+n).Pi}.e^(-(4+(1/2+n)^2)).cos{(1/2+n).x}}
    =>u(x,0)={(-4)/(1/2+n)^3.sin{(1/2+n).Pi}.cos{(1/2+n).x}}
    mà f(x)=x^2-(Pi)^2.
    thì có phải u(x,0)chỉ xấp xỉ bằng f(x) thôi phải không ạ.
    em đã kiểm tra u(x,t) thỏa mãn tính hội tụ,phương trình ban đầu,điều kiện biên rồi.nhưng còn mắc ở đây thôi ạ.
    thầy chỉ giúp em với ạ.

    Trả lời

  105. Em thưa thầy,ở bài 1 trang 144 sách Asmar đề bài yêu cầu là đưa ra 1 lời giải thích về ý nghĩa của bài toán. Em phải làm như thế nào ạ? Em không hiểu rõ về những ý nghĩa vật lí của các bài toán truyền nhiệt lắm ạ. Thầy giải thích giúp em với ạ.

    Trả lời

  106. Em chào thầy. thầy có thể giải thích cho e đề này đc không ạ. như thế nào gọi là bảo toàn theo mùa ạ. có phải là thời điểm mà nhiệt độ tại x bằng nhiệt độ trên mặt đất k ạ.
    Đây là để c. Withω as in part b, find the depth (as a function of k) at which seasons
    are reversed.

    Trả lời

  110. Bạn Giáp Lĩnh và hong trang chịu khó xem các trả lời bên trên trước khi hỏi. Tôi đã trả lời câu hỏi này cho bạn ngô thương ngày 04/04/2014 rồi.

    Trả lời

  111. Thầy ơi. Thầy hướng dẫn giúp e cách làm bài tập dạng này với ạ. Cho pt truyền sóng. Utt = 4Uxx (0<t<x) thỏa mãn điều kiện biên u(x,x) = x. Điều kiện ban đầu
    U(x,0) = sinx va Ut(x,0) = cosx.

    Trả lời

    • Bài này chia miền xác định (0<t<x) thành hai phần bởi đường đặc trưng đi qua gốc.

      Một miền có thể sử dụng ngay công thức D'Alembert để giải.

      Một miền dùng đẳng thức hình bình hành để giải.

      Trả lời

  113. Em thưa thầy,ở bài 1- đề 2- đề giữa kì 2 năm 2012-1013, em làm như bình thường thì để tìm nghiệm tổng quát mình cần giải ptvp dài và lằng nhằng,em nghĩ là tìm 1 hàm v(x,y) thỏa mãn phương trình đã cho rồi đặt w(x,y)=u(x,y)-v(x,y) để đưa phương trình đã cho về dạng thuần nhất sẽ dễ dàng tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng hơn. Nhưng em không mò được hàm v(x,y),thầy có thể hướng dẫn em được không ạ? Em muốn hỏi nữa là hàm v(x,y) có thể nằm trong trường số phức được không ạ?

    Trả lời

  114. thầy cho e hỏi trong phương trình truyền nhiệt ut=a^2 uxx+f{x,t}-h{u-uM} là nhiệt từ bên ngoài truyền vào thanh tại nhiệt độ là uM vậy khi bài toán nhiệt từ thanh tản ra xung quanh tại nhiệt độ uM thì phương trình có dạng như thế nào ạ?

    Trả lời

  115. thưa thầy ở phuog trình truyền sóng thầy có sửa lại pt là:
    utt= a^2 uxx+ f{x,t} – hUt – hu.
    ở đây hu là lực phục hồi. thầy cho e hỏi lực phục hồi có đc coi là ngoại lực k? nếu có thì theo như câu trả lời của thầy mà chị thương có hỏi là cho 1 dây dao động chịu ngoại lực tỉ lệ với dao động của dây với hệ số h = a = const pt dạng utt= c^2 uxx + au. Như vậy e phải chọn là -hu hay +hu ạ?

    Trả lời

  116. thầy cho e hỏi câu 2 đề số 5 của bài giữa kì MAT20241 K56 toán tin khi ra chuỗi nghiệm tổng quát mà muốn giải ra các hệ số bằng cách đồng nhất hệ số sử dụng điều kiện ban đầu thì giải tìm nghiệm như nào ạ? e k biết giải pt tan 3k – k = 0 có dãy nghiệm dương thuộc {npi/3; pi/6+ npi/3}

    Trả lời

    • Ở bài này -\infty<x<\infty. Em tìm các nghiệm tách biến của phương trình rồi lập công thức nghiệm dạng tích phân. Cách làm giống phương trình truyền nhiệt trên đường thẳng.

      Trả lời

  122. Thưa thầy!cho em hỏi bài 5/168-sách Asmar:
    em chia hình chữ nhật ban đầu chia làm 4 phần.tức là nghiệm hinh chữ nhật sẽ la u=u1+u2+u3+u4
    Em hỏi là ta có đc sử dụng luôn công thức để tìm u1,u2,u3,u4 ko?hay phải giải hẳn từng phần ra để tìm nghiệm u1,u2,u3,u4 ak?e cam on thay

    Trả lời

  123. Em thưa thầy, ở bài giảng của thầy trên lớp thầy suy ra chuỗi nghiệm u(r,theta)=….. có cách nào để làm mất cái chuỗi của r^-n.(An.cos(n.theta+..) không ạ? Ví dụ mình xét bài toán Dirichlet trong của miền D là hình tròn. Em đọc trong sách thấy họ lí luận là ngiệm của bài toán Dirichlet trong đĩa nên có giới hạn tại biên 0 (0<r<a) vì vậy nệ số của r^-n =0 do đó mà chuỗi nghiệm chỉ còn Ao+ chuỗi của r^n? Em không hiểu chỗ này lắm, thầy giải thích giúp em với ạ.

    Trả lời

    • Vì nghiệm cần xác định tại gốc, nghĩa là tại r=0, trong khi đó r^{-n}, n=1, 2, \dots, không xác định tại r=0 nên chúng không xuất hiện trong chuỗi nghiệm.

      Chú ý:

      – với số hạng ln(r) cũng lý luận như vậy,

      – với TH miền ngoài hình tròn ta dùng tính bị chặn để loại.

      Trả lời

  125. 28/04/2014 tôi đã trình bày

    – dùng tích phân năng lượng dẫn đến tính duy nhất nghiệm của các bài toán biên (hỗn hợp), và lưu ý bài toán biên Neumann cho phương trình Laplace,

    – công thức giá trị trung bình, nguyên lý cực đại cho phương trình Laplace với việc sử dụng công thức Green:

    với u, v:\Omega\to\mathbb R là các hàm khả vi đến cấp 2, ta có

    \iint\limits_\Omega (u\Delta v-v\Delta u)dxdy=\int\limits_{\partial\Omega}(uv_x-u_xv)dy-(uv_y-u_yv)dx

    với định hướng dương của \partial \Omega phù hợp với \Omega,

    từ đó nếu u_{xx}+u_{yy}=0 và v=1 thì

    0=\int\limits_{\partial\Omega}-u_xdy+u_ydx=\int\limits_{\partial\Omega}\dfrac{\partial u}{\partial n}ds

    với n là pháp tuyến ngoài đơn vị của \partial\Omega;

    (điều kiện để bài toán biên Neumann có nghiệm)

    còn nếu u_{xx}+u_{yy}=0 và v=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+y^2) ta sẽ dẫn đến công thức giá trị trung bình;

    – bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa không âm,

    – nguyên lý cực đại cho phương trình truyền nhiệt (còn dở).

    Trả lời

  126. Thưa thầy, thầy dịch giúp em bài 10,11,12, trang 274 sách Power với ạ. Theo em hiểu thì bài 10 yêu cầu tìm dạng nghiệm của pt delta(u)=0 trong miền 0<x<a, y thuộc R với điều kiện u(x,y) bị chặn khi y tiến đến âm và dương vô cùng. Đề bài có đúng như thế không ạ? Nếu là đề bài như vậy em phải làm thế nào ạ? Thầy hướng dẫn em hướng làm của bài này và bài 12 luôn với ạ. Em cảm ơn thầy!

    Trả lời

    • Bài 10 tìm các nghiệm dạng tách biến hay còn gọi dạng tích (product solutions) u=X(x)Y(y) của phương trình Laplace. Lưu ý chỉ tìm nghiệm bị chặn.

      Bài 11 yêu cầu giải bài toán biên cho phương trình trong bài 10 với các điều kiện biên đưa ra trong bài.

      Bài 12 yêu cầu giống bài 11.

      Cách làm: lập công thức nghiệm dạng tích phân.

      Với bài 11: khi tìm nghiệm tách biến nên dùng thêm điều kiện thuần nhất.

      Bài 12 nên tách thành hai bai toán con.

      Trả lời

    • Dễ kiểm tra hàm v=e^{-t} sin x thoả mãn phương trình và hai điều kiện biên. Em xét hàm w=u-v và áp dụng nguyên lý cực đại cho w với chú ý tính toán các điều kiện biên và ban đầu.

      Trả lời

  128. Thưa thầy, thầy xem giúp em đề bài bài 6 trang 177 sách Asmar với ạ,hình như đề bài bị sai. Ở phương trình đề bài cho ∇2 U = Uxx+ U, đơn giản 2 vế mình được phương trình Uyy=U. Tìm nghiệm dạng tách biến của bài toán này với điều kiện biên đề bài cho thì chỉ tìm được Y(y)=0. Nên em nghĩ đề bài sai.

    Trả lời

    • Bài 9 hỏi về các đường đẳng nhiệt ( isotherms), nghĩa là các đường mà trên đó u(x, y) là hằng số, nằm trên các nhánh của các đường hyperbol có tâm tại gốc.

      Trả lời

    • Câu b dùng công thức giá trị trung bình (mean value formula).

      Câu c dùng công thức Poisson với chú ý chuyển sang hệ toạ độ cực: đoạn (0, y), 0<= y<=6 ứng với \theta=\pi/2, 0<=r<=6.

      Trả lời

  132. Tôi vừa xem bài tập phần phương trình Laplace cho nhóm 2. Về cơ bản nhóm 2 làm khá tốt. Có vài điểm lưu ý:

    – bài 31/trong sách thầy Hợp có thể làm đơn giản hơn bằng việc tìm hàm v(x, y) để

    v_{xx}+v_{yy}=2x,

    tuy nhiên cách làm này sẽ không tốt bằng cách của nhóm khi làm trong trường hợp không đặc biệt như đề ra,

    – trong bài 7.17/trong sách của Rubinstein và Pinchover, nhóm chưa kiểm tra nghiệm tìm được có thực sự thỏa mãn phương trình, việc dùng nguyên lý cực đại chỉ dẫn đến chuỗi nghiệm liên tục đến tận biên nên nó thỏa mãn điều kiện biên và ban đầu,

    – trong bài 7.21/trong sách của Rubinstein và Pinchover, khi dùng nguyên lý cực đại nhóm chưa đưa vào các điều kiện biên.

    Trả lời

  133. 05/05/2014, một số bạn dùng phương pháp tách biến và tích phân Fourier để tìm nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace trong nửa mặt phẳng hay góc phần tư. Công thức nghiệm cuối cùng đều có dạng tích phân suy rộng. Một cách tiếp cận khác cũng cho ta công thức nghiệm dạng tích phân, cụ thể công thức Poisson. Tôi đã trình bày công thức Poisson cho phương trình Laplace trong hình tròn vào tuần trước. Công thức Poisson cho trường hợp khác các bạn tham khảo

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/06/02/cong-thuc-poisson-dan-tu-ham-phuc/

    và

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/05/30/cong-thuc-poisson-cong-thuc-tong-poisson/

    Trả lời

    • Muốn công thức hiện ra em thêm “latex” như hướng dẫn ở cột bên phải.

      Để tính được tích phân này trước hết quan sát phần mũ

      -\dfrac{1}{4t}(\xi-x)^2-\xi^2=-\dfrac{1+4t}{4t}\Big(\xi-\dfrac{x}{1+4t}\Big)^2-\dfrac{x^2}{4t+1}.

      Bước trên: dùng phương pháp Lagrange chuyển dạng toàn phương về dạng chính tắc.

      Bước tiếp: đổi biến

      \zeta=\xi-\dfrac{x}{1+4t}.

      Phần còn lại dùng công thức (8.2.13) trong sách của thầy N. T. Hợp:

      \int\limits_0^\infty e^{-\alpha^2\lambda^2}\cos(\beta\lambda)d\lambda=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\alpha}e^{-\frac{\beta^2}{4\alpha^2}}.

      Trả lời

  140. thưa th. ý e là thầy k cho cái đạo hàm đấy bằng cái gì khi y = 0 ? e nghĩ là du/dv khi y =0 bằng – du/dy khi y = 0 như thế e vẫn k suy ra đc đk về dw/dteta như của th đc ak.

    Trả lời

  141. Thưa thầy! Vecto pháp tuyến ngoài của bài toán trên có phải là có điểm đầu đặt trên trục Ox và song song ngược chiều với trục Oy đúng không ạ?

    Trả lời

  142. Pingback: Trao đổi bài giảng môn PT ĐHR lớp K57A1C | Giải tích

    • Với miền trong hình tròn điều kiện biên đặt trên đường tròn, với miền ngoài hình tròn cũng vậy và thêm điều kiện bị chặn.

      Về bài tập phương trình sóng và nhiệt, nếu em đang học với K57A1 em có thể xem trong danh sách bài tập và sách kèm theo ở trang trao đổi với K57A1T và K57TN.

      Trả lời

Gửi phản hồi cho hongtrang Hủy trả lời

Trang web này sử dụng Akismet để lọc thư rác. Tìm hiểu cách xử lý bình luận của bạn.