Chiều thứ Sáu ở tổ Giải tích

Standard

Chiều thứ Sáu, 28/02/2014, thầy Chuẩn có đưa ra một tiêu chuẩn khá thú vị về tính khả tích Riemann của hàm bị chặn. Như đã học trong Giải tích 1, điều kiện cần và đủ để một hàm bị chặn f: [a, b]\to\mathbb R khả tích Riemann là

với mỗi \epsilon>0 cần tìm \delta>0 để

với bất kỳ phân hoạch P của đoạn [a, b] sao cho đường kính phân hoạch d(P)<\delta thì

\overline{S}(f, P)-\underline{S}(f, P)<\epsilon.

Việc kiểm tra với bất kỳ phân hoạch P chỉ với một không chế về đường kính phân hoạch đôi lúc rất phức tạp vì việc phân bố các điểm chia không có định hướng.

Thầy Chuẩn trao đổi một tiêu chuẩn nhẹ hơn và dễ thực hành hơn.

Điều kiện cần và đủ để một hàm bị chặn f: [a, b]\to\mathbb R khả tích Riemann là

với mỗi \epsilon>0 cần tìm một phân hoạch P của đoạn [a, b] sao cho

\overline{S}(f, P)-\underline{S}(f, P)<\epsilon.

Để thấy được sự tiện lợi của tiêu chuẩn này ta thử một vài ví dụ sau.

VD1: Xét hàm f: [0, 1]\to\mathbb R xác định bởi

f(x)=\begin{cases}0 \quad khi \quad 0\le x<1/2,\\ 1 \quad khi \quad 1/2\le x\le 1.\end{cases}

Có thể thấy khi xét phân hoạch bất kỳ khi tính các tổng Darboux trên và dưới sẽ vướng phải câu hỏi: điểm 1/2 có phải là điểm chia của phân hoạch hay không? Ta sẽ phải chia trường hợp.

Với tiêu chuẩn sau với mỗi \epsilon\in(0, 1) ta chỉ cần chỉ ra một phân hoạch P_\epsilon=\{0, \frac{1-\epsilon}{2}, \frac{1+\epsilon}{2}, 1\} sẽ thấy f khả tích trên [0, 1]. Trong trường hợp này ta còn thấy

\underline{S}(f, P_\epsilon)<1/2<\overline{S}(f, P_\epsilon)

nên \int\limits_0^1 f(x)dx=1/2.

Có thể thấy cả hai cách trên đều cần xem mối quan hệ giữa điểm 1/2 và phân hoạch. Cái khác ở đây

– khi dùng tiêu chuẩn đầu ta có nhiều tình huống,

– khi dùng tiêu chuẩn sau ta chọn tình huống thuận lợi nhất có thể.

VD2: Ta có thể làm gọn chứng minh kết quả hàm liên tục f:[a, b]\to\mathbb R khả tích trên [a, b] bằng việc dùng phân hoạch đều.

VD3: Xét hàm Riemann f:(0, 1]\to\mathbb R

f(x)=\begin{cases}0 \quad khi \quad x\not\in\mathbb Q,\\ \dfrac{1}{q}\quad khi \quad x=\dfrac{p}{q},  USCLN(p, q)=1.\end{cases}

Đây là hàm gián đoạn tại các điểm hữu tỷ và liên tục tại các điểm vô tỷ. Do đó tập các điểm gián đoạn của nó là đếm được. Khi đó theo Lebesgue nó khả tích trên (0, 1]. Tuy nhiên ta muốn phân tích việc chứng minh tính khả tích bằng việc dùng hai tiêu chuẩn trên.

Cũng giống VD1, nếu làm theo tiêu chuẩn đầu ta phải xử lý các tình huống có thể liên quan giữa các điểm hữu tỷ và các điểm chia của phân hoạch. Thay vì làm như vậy, ta chọn một tình huống thuận lợi sau.

Lấy \epsilon>0. Có một số tự nhiên n_0 để

\dfrac{2}{n_0}<\epsilon.

Khi đó, tập các số hữu tỷ

M=\{\dfrac{p}{q}|\; p, q\in\mathbb N, p<q\le n_0, USCLN(p, q)=1 \}

có số phần tử n_1 không nhiều hơn n_0^2.

Ta sắp xếp các phần tử của tập M

1/n_0<x_1<x_2<\dots<x_{n_1}<1.

Ta chọn phân hoạch P với các điểm chia như sau:

0, x_1-\dfrac{1}{2n_0^2}, x_1+\dfrac{1}{2n_0^2}, \dots, x_{n_1}-\dfrac{1}{2n_0^2}, x_{n_1}+\dfrac{1}{2n_0^2}, 1.

Các bạn giúp tôi chi tiết hóa phần còn lại?

Lưu ý

– các điểm chia trên đã được sắp đúng thứ tự (tại sao?),

– nếu x\in\mathbb Q\cap[0, 1]\setminus M thì f(x)\le 1/n_0 (tại sao?).

Các ví dụ trên đều cho các hàm khả tích. Câu hỏi tiếp: vậy kiểm tra một hàm không khả tích thì tiêu chuẩn nào thuận lợi hơn?

Trước hết ta phát biểu tiêu chuẩn không khả tích.

Tiêu chuẩn đầu:

điều kiện cần và đủ để một hàm bị chặn f: [a, b]\to\mathbb R không khả tích Riemann là

cần tìm \epsilon_0>0 và một dãy các phân hoạch P_n của đoạn [a, b] sao cho đường kính phân hoạch d(P)<1/n để

\overline{S}(f, P)-\underline{S}(f, P)\ge \epsilon_0.

Tiêu chuẩn sau:

điều kiện cần và đủ để một hàm bị chặn f: [a, b]\to\mathbb R không khả tích Riemann là

cần tìm \epsilon_0>0 để

với bất kỳ phân hoạch P của đoạn [a, b] thì

\overline{S}(f, P)-\underline{S}(f, P)\ge\epsilon_0.

Ta cũng sẽ thông qua các ví dụ để so sánh hai tiêu chuẩn này.

VD4: Xét hàm Dirchlet f:[0, 1]\to\mathbb R

f(x)=\begin{cases}0\quad khi \quad x\not\in\mathbb Q, \\ 1 \quad khi\quad x\in\mathbb Q\end{cases}

là hàm gián đoạn tại mọi nơi.

Khá dễ dàng để thấy hàm Dirchlet không khả tích trên đoạn [0, 1] bằng các tiêu chuẩn.

VD5: Xét hàm f: [0, 1]\to\mathbb R

f(x)=\begin{cases}0\quad khi\quad x\not\in\mathbb Q,\\ x\quad khi \quad x\in\mathbb Q\end{cases}

là hàm gián đoạn tại mọi nơi trừ 0.

Có thể cảm thấy việc tính toán các tổng Darboux trên với phân hoạch bất kỳ không cho ta kết quả rõ ràng. Cụ thể với phân hoạch P=\{x_0=0, x_1, \dots, x_n=1\}

\overline{S}(f, P)=\sum\limits_{j=1}^n x_j(x_j-x_{j-1}).

Cần có vài ước lượng để tìm ra \epsilon_0.

Với tiêu chuẩn sau ta chỉ cần lấy phân hoạch đều P=\{0, 1/n, 2/n, \dots, 1\}

\overline{S}(f, P)=\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{j}{n^2}=\dfrac{n+1}{2n}>\dfrac{1}{2}.

Câu hỏi nhỏ:có hàm f:[0, 1]\to\mathbb R có tập điểm gián đoạn là tập các số vô tỷ không?

Trả lời: không!

Các bạn có thể tham khảo các trang

http://math.stackexchange.com/questions/518632/set-of-discontinuous-points

http://math.stackexchange.com/questions/137972/no-function-that-is-continuous-at-all-rational-points-and-discontinuous-at-irrat

Cô Huyền có hỏi: có hàm nào thú vị liên quan đến tập Cantor?

Trước hết, tập Cantor có dạng

C=\cap_{m=1}^\infty \cap_{k=0}^{3^m-1} \Big(\big[0, \frac{3k+1}{3^m}\big]\cup\big[\frac{3k+2}{3^m}, 1\big]\Big)

là một tập đóng, có độ đo không và không đếm được.

Khi đó hàm f: [0, 1]\to\mathbb R

f(x)=\begin{cases}1 \quad khi \quad x\in C, \\ 0 \quad khi \quad x\not\in C\end{cases}

là hàm có tập các điểm gián đoạn là tập C.

Các bạn thử dùng hai tiêu chuẩn trên để kiểm tra tính khả tích của hàm f?

Ngày 21/02/2014, cô Huyền và thầy Tiệp có trao đổi về bài toán tìm quả cân giả trong 12 quả cân chỉ sau ba lần cân biết

– chỉ có đúng một quả giả,

– quả giả có khối lượng khác quả thật (chưa biết nặng hơn hay nhẹ hơn).

Ý tưởng:
– đánh dấu từ 1 đến 12 các quả cân,
– đến lần thứ 3 ta cần biết quả giả chỉ nằm trong tối đa ba quả cân và trong ba quả này ta tách được nhóm nặng nhóm nhẹ.

Lần cân đầu chỉ có một cách khả dĩ, ta chia ba rồi cân

1 2 3 4 và 5 6 7 8

Lần cân thứ 2 có khá nhiều cách.

TH1: lần đầu cân thăng bằng ta có thông tin

quả giả nằm trong bốn quả chưa cân: 9, 10, 11, 12.

C1: chỉ dùng một quả thật, chẳng hạn cân

9 10 và 1 11.

C2: chỉ dùng hai quả thật, chẳng hạn cân

9 10 và 1 2.

C3: dùng ba quả thật, chẳng hạn cân

9 10 11 và 1 2 3.

TH2 lần đầu cân không thăng bằng, chẳng hạn

1 + 2 + 3 + 4 < 5 + 6 + 7 + 8.

Khi đó, các quả 9, 10, 11, 12 là thật.

C1: chỉ dùng các quả đã cân, chẳng hạn

1 2 5 và 3 4 6.

C2: dùng thêm hai quả chưa cân, chẳng hạn

1 2 5 6 và 4 8 9 10.

C3: dùng thêm ba quả chưa cân, chẳng hạn

1 5 6 7 và 8 9 10 11

C4: dùng cả bốn quả chưa cân

1 2 5 6 7 và 8 9 10 11 12.

3 responses »

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s