Định lý Abel – Định lý Dirichlet (tiếp)

Standard

Bài trước

https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/12/14/d%E1%BB%8Bnh-ly-abel-d%E1%BB%8Bnh-ly-dirichlet/

tôi có trao đổi các Định lý Abel và Định lý Dirichlet về sự hội tụ của tích phân suy rộng dạng

\int\limits_a^\infty f(x)g(x)dx.

Trong bài này tôi sẽ quan tâm đến các Định lý này về sự hội đều cho chuỗi hàm

\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x).

Cụ thể tôi sẽ đưa ra các ví dụ để thấy các điều kiện trong các Định lý này là cần thiết, hay nói cách khác tôi đưa ra các ví dụ chuỗi hàm mà một trong các điều kiện của các Định lý này không thỏa mãn và chúng đều không hội tụ đều.

Ta bắt đầu với Định lý Dirichlet. Định lý được phát biểu như sau.

Cho các hàm u_n, v_n: A\to\mathbb R thỏa mãn

(i) dãy tổng riêng

S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n u_k(x)

bị chặn đều trên A, nghĩa là có hằng số dương M sao cho

|S_n(x)|\le M, \forall x\in A, \forall n;

(ii) dãy hàm v_n(x) đơn điệu theo n trên A, nghĩa là

(chẳng hạn đơn điệu giảm)

v_n(x)\ge v_{n+1}(x), \forall x\in A, \forall n,

(iii) dãy hàm v_n(x) hội tụ đều về 0 trên A, nghĩa là

\lim\limits_{n\to\infty}\sup_{x\in A}|v_n(x)|=0.

Khi đó chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x) hội tụ đều trên A.

VD1: (Điều kiện (iii) bị phá vỡ.)

Trước khi đưa ra ví dụ, trong trường hợp tập A là tập compact, chẳng hạn A=[0, 1], thì Định lý Dini cho thấy

từ

(ii) + hội tụ điểm về 0 trên A+ tính liên tục của v_n(x)

ta có

(iii).

Ngoài ra, nếu (iii) chỉ bị mất tính đều, nghĩa là dãy hàm v_n(x) hội tụ điểm đến 0 trên A thì ta vẫn có chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x) hội tụ điểm trên A.

Trong ví dụ này A=(0, 1). Các hàm

u_n(x)=(-1)^n, v_n(x)=\dfrac{1}{nx}.

Tính

S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n (-1)^k=\begin{cases} 0\quad khi\quad n =2m,\\ -1 \quad khi \quad n=2m-1\end{cases}

nên

|S_n(x)|\le 2, \forall x\in(0, 1).

Không khó để thấy dãy v_n(x)=\dfrac{1}{nx} đơn điệu giảm và hội tụ điểm về 0 trên (0, 1).

Tính

\sup_{x\in(0, 1)}\dfrac{1}{nx}=\infty

nên dãy v_n(x) không hội tụ đều về 0 trên (0, 1).

Như vậy các điều kiện (i), (ii) thỏa mãn còn điều kiện (iii) không thỏa mãn.

Bằng tiêu chuẩn Cauchy và việc chọn

n_k=k, p_k=1, x_k=1/(k+1)

ta có

\sum\limits_{n=k+1}^{k+1} u_n(x_k)v_n(x_k)=(-1)^{k+1}

dẫn đến chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{x}

không hội tụ đều trên (0, 1).

VD2: (Điều kiện (ii) bị phá vỡ.)

Trong ví dụ này tập A=\mathbb R còn các hàm

u_n(x)=(-1)^n, v_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{n}.

Các hàm này đều là hàm hằng nên tính đều đương nhiên thỏa mãn.

Giống ví dụ trên, dãy tổng riêng

S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n u_n(x)

bị chặn đều bởi 2 trên \mathbb R.

Không khó để thấy dãy v_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{n} hội tụ đều về 0 trên \mathbb R. Tuy nhiên dãy hàm này không đơn điệu vì

(-1)^{2k+1}<(-1)^{2k} dẫn đến không đơn điệu tăng,

(-1)^{2k+1}<(-1)^{2k+2} dẫn đến không đơn điệu giảm.

Chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}

phân kỳ mọi nơi trên \mathbb R.

VD3: (Điều kiện (ii) bị phá vỡ – chuỗi hội tụ điểm.)

Vẫn ví dụ trên nhưng đổi hàm

v_n(x)=\dfrac{(-1)^n\sin(nx)}{n}

cũng là dãy hàm hội tụ đều về 0 trên \mathbb R.

Lúc này, chuỗi hàm

\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(nx)}{n}

hội tụ điểm trên \mathbb R

nhưng không hội tụ đều trên đó.

Các bạn có thể xem chi tiết trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2010/03/10/hi%E1%BB%87n-t%C6%B0%E1%BB%A3ng-gibbs/

VD4: (Điều kiện (i) bị phá vỡ.)

Ta tiếp tục phân tích chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\sin(nx)}{n}

với A=[0, \pi] và các hàm

u_n(x)=\sin(nx), v_n(x)=\dfrac{1}{n}.

Dãy tổng riêng

S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n \sin(kx)=\begin{cases}0\quad khi \quad x=0,\\ \dfrac{\cos(x/2)-\cos\big((2n+1)x/2\big)}{2\sin(x/2)}\quad khi\; 0<x\le \pi\end{cases}

nên nó bị chặn điểm trên [0, \pi],

nhưng không bị chặn đều trên [0, \pi]

S_n(1/n)=\dfrac{\sin(\frac{1}{2})\sin(\frac{n+1}{2n})}{\sin(\frac{1}{2n})}>2n \sin^2(1/2).

Dãy hàm v_n(x)=1/n hội tụ đều về 0 trên [0, \pi].

Lưu ý, trong ví dụ trên dãy tổng riêng bị chặn điểm nên chuỗi hội tụ điểm.

Qua bốn ví dụ ta thấy được nếu chỉ cần một trong ba điều kiện (i)-(iii) bị phá vỡ thì kết luận của Định lý Dirichlet không còn đúng.

Ta tiếp tục với Định lý Abel. Định lý được phát biểu như sau.

Cho các hàm u_n, v_n: A\to\mathbb R thỏa mãn

(i) dãy tổng riêng

S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n u_k(x)

hội tụ đều trên A,

(ii) dãy hàm v_n(x) đơn điệu theo n trên A,

(iii) dãy hàm v_n(x) hội tụ đều trên A.

Khi đó chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x) hội tụ đều trên A.

Các ví dụ về phần này thực chất là các ví dụ cho Định lý Dirichlet nhưng cách phân tích u_n(x), v_n(x) khác. Chẳng hạn ta quay trở lại VD1 ta có VD5 sau.

VD5:(Điều kiện (iii) bị phá vỡ.)

Lấy A=(0, 1), u_n(x)=\dfrac{(-1)^n}{n^{1/2}}, v_n(x)=\dfrac{1}{n^{1/2}x}.

Tất cả các lý luận giống như trong VD1 chỉ khác

chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n^{1/2}} hội tụ đều trên (0, 1).

Các bạn thử làm tương tự với các VD2, VD3, VD4 xem sao?

2 responses »

  1. Các ví dụ trên cho thấy sự cần thiết của các điều kiện trong các Định lý Dirichlet và Định lý Abel. Câu hỏi đặt ra: liệu có thể giảm nhẹ các điều kiện đó không? Chẳng hạn, khi tập A là compact, trong Định lý Abel thay vì phải kiểm tra các điều kiện (iii) ta chỉ cần kiểm tra xem dãy hàm v_n(x) có liên tục không và có hội tụ điểm trên A đến một hàm liên tục không?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s