Một số tính chất thú vị của tập các chuỗi hội tụ tuyệt đối

Standard

Một phản hồi khá thú vị

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/02/04/trao-d%E1%BB%95i-gi%E1%BA%A3i-tich-34-l%E1%BB%9Bp-k56/#comment-1141

hỏi về \mathbb R^\infty.

Cái \mathbb R^\infty nếu chưa khống chế gì thì Giải tích khó chạm được vào nó. Trong Giải tích người ta nghĩ nhiều cách để tiếp cận nó, chẳng hạn tập các dãy hội tụ và trong bài này sẽ quan tâm đến tập các chuỗi hội tụ mà cụ thể là \ell_1=\ell_1(\mathbb N, \mathbb R).

Một cách chính xác

\ell_1 là không gian các x=(x_1, \dots, x_n, \dots)\in\mathbb R^\infty thỏa mãn

chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty x_n hội tụ tuyệt đối.

Khi đó không gian \ell_1 là một không gian véc-tơ trên trường thực vì

– tổng của hai chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ tuyệt đối,

– nhân một số thực vào chuỗi hội tụ tuyệt đối cũng cho ta chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Trên không gian \ell_1 ta xây dựng chuẩn bởi

||x||_1=\sum\limits_{n=1}^\infty |x_n|.

Chuẩn trên thỏa mãn ba tiên đề

(i) (xác định dương) ||x||_1\ge 0, \forall x\in\ell_1, dấu bằng chỉ xảy ra khi x=0,

(ii) (thuần nhất)

\sum\limits_{n=1}^\infty |\lambda x_n|=|\lambda|\sum\limits_{n=1}^\infty |x_n|, \forall\lambda\in\mathbb R, \forall x\in\ell_1,

(iii) (bất đẳng thức tam giác)

\sum\limits_{n=1}^\infty|x_n+y_n|\le\sum\limits_{n=1}^\infty|x_n|+\sum\limits_{n=1}^\infty|y_n|, \forall x, y\in\ell_1.

Từ đó ta có thể nói dãy x^{(k)}\in\ell_1 hội tụ đến x\in\ell_1 nếu

\lim\limits_{k\to\infty}||x-x^{(k)}||_1=0.

Dưới đây tôi sẽ trình bày vài tính chất thú vị của không gian \ell_1.

Dãy x^{(k)} hội tụ đến x trong \ell_1 thì từng thành phần của dãy x^{(k)}_n là dãy số hội tụ đến thành phần x_n một cách tương ứng. Hội tụ theo cách sau được gọi là hội tụ điểm.

Câu hỏi 1: liệu hội tụ điểm có dẫn đến hội tụ trong \ell_1?

Trong trường hợp mặt phẳng \mathbb R^2 câu trả lời có. Hay tổng quát, trường không gian \mathbb R^d cũng có câu trả lời có.

Trong \ell_1, hơi tiếc một chút, câu trả lời không. Chẳng hạn xét

x^{(k)}=(0, \dots, 0, \underbrace{1}_{k}, 0, \dots)

có từng thành phần x^{(k)}_n\to 0, k\to\infty, nghĩa là

x^{(k)} hội tụ điểm về 0 trong \ell_1.

Tuy nhiên

\lim\limits_{k\to\infty}||x^{(k)}-0||_1=1\not=0

nên x^{(k)} không hội tụ đến 0 trong \ell_1.

Câu hỏi 2: liệu từng thành phần của dãy x^{(k)} hội tụ thì dãy có hội tụ điểm không? Rõ hơn, nếu dãy x^{(k)} thỏa mãn

x^{(k)}_n\to x_n, k\to\infty, \forall n

thì x=(x_1, \dots, x_n, \dots)\in\ell_1?

Có thể viết cách khác

từ các chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty x^{(k)}_n hội tụ tuyệt đối

có các dãy số hạng tổng quát x^{(k)}_n hội tụ đến x_n một cách tương ứng

thì chuỗi giới hạn \sum\limits_{n=1}^\infty x_n có hội tụ tuyệt đối không?

Lại một câu trả lời không. Chẳng hạn xét

x^{(k)}=(\underbrace{1, \dots, 1}_{k}, 0, \dots)\in\ell_1

từng thành phần x^{(k)}_n\to 1, k\to\infty, \forall n

(1, \dots, 1, \dots)\not\in\ell_1.

Để ý một chút ví dụ này

\lim\limits_{k\to\infty}||x^{(k)}||_1=\infty.

Phải chăng đây chính là điểm dẫn đến câu trả lời không ở trên?

Lần này, thật may mắn, ta có câu trả lời đúng vậy.

Giả sử có số dương M để

||x^{(k)}||_1\le M, \forall k.

Ta sẽ chứng minh, với mọi \epsilon>0, với mọi số tự nhiên N đều có

\sum\limits_{n=1}^N |x_n|\le M+\epsilon.

Với \epsilon, N cố định, do

\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)}_n=x_n, n=1, 2, \dots, N

nên có số tự nhiên k_0 (chung cho các n\in\{1, 2, \dots, N\}) sao cho

|x_n-x^{(k_0)}_n|\le \dfrac{\epsilon}{N}.

(Tại sao có thể chọn chung?)

Khi đó, theo bất đẳng thức tam giác ta có

\sum\limits_{n=1}^N|x_n|\le \sum\limits_{n=1}^N|x_n-x_n^{(k_0)}|+\sum\limits_{n=1}^N|x_n^{(k_0)}|\le \epsilon+M.

Từ đó cho \epsilon\to 0_+, N\to\infty ta có

\sum\limits_{n=1}^\infty|x_n|\le M

x\in\ell_1.

Như vậy

từng thành phần hội tụ + bị chặn dẫn đến hội tụ điểm trong \ell_1.

Tuy nhiên, với ví dụ trong câu hỏi 1 ta thấy

hội tụ điểm + bị chặn không dẫn đến hội tụ trong \ell_1.

Trong trường hợp \ell_p=\{x\in\mathbb R^\infty|\; \sum\limits_{n=1}^\infty|x_n|^p<\infty\}, 1<p<\infty, ta lại thấy

hội tụ điểm + bị chặn dẫn đến hội tụ yếu trong \ell_p.

Các bạn có thể xem

http://math.stackexchange.com/questions/239862/boundedness-and-pointwise-convergence-imply-weak-convergence-in-ellp?rq=1

Ở đây, dãy x^{(k)}\in\ell_p được gọi là hội tụ yếu trong \ell_p, 1<p<\infty nếu

với mọi y\in\ell_q, 1/p+1/q=1, các dãy số c_k(y) hội tụ, trong đó

c_k(y)=\sum\limits_{n=1}^\infty x^{(k)}_ny_n.

Còn dãy x^{(k)}\in\ell_1 được gọi là hội tụ yếu trong \ell_1 nếu

với mọi y\in\ell_\infty=\{x\in\mathbb R^\infty|\; \sup_{n}|x_n|<\infty\}, các dãy số c_k(y) hội tụ.

Ví dụ trong câu hỏi 1 cho thấy

hội tụ điểm + bị chặn không dẫn đến hội tụ yếu trong \ell_1.

Vì lấy y=(-1, 1, \dots, \underbrace{(-1)^n}_{n}, \dots)

c_k(y)=\sum\limits_{n=1}^\infty x^{(k)}_ny_n=(-1)^k

là dãy số phân kỳ.

Câu hỏi 3: có thể với mọi y\in\ell_\infty ta không có

dãy c_k(y) hội tụ,

nhưng vài trường hợp đặc biệt, chẳng hạn

+) y_n=1, \forall n, liệu

từ tính bị chặn + hội tụ điểm và có giới hạn

\lim\limits_{k\to\infty}\big(\sum\limits_{n=1}^\infty x^{(k)}_n\big)

thì giới hạn trên có liên quan đến giới hạn của chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty x_n không?

+ liệu

từ tính bị chặn + hội tụ điểm và có giới hạn

\lim\limits_{k\to\infty}\big(\sum\limits_{n=1}^\infty |x^{(k)}_n|\big)

thì giới hạn trên có liên quan đến giới hạn của chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty |x_n| không?

Thay đổi một chút ví dụ trong câu hỏi 1 như sau

x^{(k)}=(0, \dots, 0, \underbrace{(-1)^k}{k}, 0, \dots)

ta có câu trả lời không cho câu hỏi đầu.

Bằng cách thay đổi một chút chứng minh kết quả trong câu hỏi 2 ta câu trả lời có cho câu hỏi sau. Nói cách khác, ta có kết quả sau.

Cho dãy x^{(k)}\in\ell_1 thỏa mãn

+(chuẩn hội tụ) tồn tại giới hạn \lim\limits_{k\to\infty}||x^{(k)}||_1=M,

+(từng thành phần hội tụ) tồn tại các giới hạn \lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)}_n=x_n, \forall n.

Khi đó x\in\ell_1

||x||_1=M.

Không khó khăn để dẫn đến kết quả tương tự trong \ell_p.

Quay trở lại ví dụ trong câu hỏi 1 ta vẫn thấy, trong \ell_1

hội tụ điểm + dãy chuẩn hội tụ không dẫn đến hội tụ trong \ell_1.

Tuy nhiên trong \ell_p, 1<p<\infty, lại có câu trả lời có. Cụ thể ta có kết quả sau:

Cho dãy x^{(k)}\in\ell_p, 1<p<\infty thỏa mãn

+(chuẩn hội tụ) tồn tại giới hạn \lim\limits_{k\to\infty}||x^{(k)}||_p=M,

+(từng thành phần hội tụ) tồn tại các giới hạn \lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)}_n=x_n, \forall n.

Khi đó x\in\ell_p

||x||_p=M.

Dãy x^{(k)} hội tụ yếu đến x trong \ell_p.

Từ đó dãy x^{(k)} hội tụ đến x trong \ell_p, nghĩa là

\lim\limits_{k\to\infty}||x-x^{(k)}||_p=0.

Điều cuối cùng có được nhờ, trong \ell_p, 1<p<\infty,

hội tụ yếu + dãy chuẩn hội tụ dẫn đến hội tụ trong \ell_p.

Các bạn tham khảo thêm

http://math.stackexchange.com/questions/250241/convergence-in-ellp-norm-provided-it-weakly-converges?rq=1

Vừa rồi ta thấy nhiều điều có trong \ell_p, 1<p<\infty mà không có trong \ell_1. Trong \ell_1 kết quả trên không những đúng mà còn có thể bớt đi giả thiết về chuẩn. Nó được phát biểu như sau đơn giản như sau

hội tụ yếu dẫn đến hội tụ trong \ell_1.

Các bạn có thể xem

http://math.stackexchange.com/questions/42609/strong-and-weak-convergence-in-ell1?rq=1

Như vậy để xem một dãy x^{(k)}\in\ell_1 có hội tụ trong \ell_1 ta chỉ cần xem

với mọi y\in\ell_\infty dãy c_k(y) có hội tụ hay không.

One response »

  1. Có vài điểm cần sửa lại trong bài viết trên.

    Nếu dãy x^{(k)}\in\ell_p, 1\le p<\infty, thỏa mãn

    +) (hội tụ từng thành phần) có giới hạn \lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)}_n=x_n,

    +) (dãy chuẩn hội tụ) có giới hạn \lim\limits_{k\to\infty}||x^{(k)}||_p=M

    thì chỉ suy ra được x=(x_n)\in\ell_p

    ||x||_p\le M

    chứ không dẫn đến

    ||x||_p=M

    và dãy \{x^{(k)}\}_{k\in\mathbb N} hội tụ đến x.

    Ta lấy ngay ví dụ đầu tiên

    x^{(k)}=(0, \dots, 0, \underbrace{1}_{k}, 0, \dots).

    Ta cần sửa lại như sau:

    Nếu dãy x^{(k)}\in\ell_p, 1\le p<\infty thỏa mãn

    +) (hội tụ từng thành phần) có giới hạn \lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)}_n=x_n,

    +) (dãy chuẩn hội tụ) \lim\limits_{k\to\infty}||x^{(k)}||_p=||x||_p

    thì \lim\limits_{k\to\infty}||x^{(k)}-x||_p=0.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s