Trường véc-tơ đầy đơn giản

Standard

Seminar thứ Sáu, 07/03/2014, thầy Dũng có đưa ra khái niệm về trường véc-tơ đầy trên đa tạp. Dưới đây ta quan sát một số trường véc-tơ đơn giản trên đa tạp một chiều.

Trước hết ta xem trường véc-tơ đầy trên đường tròn là gì? (Trên đa tạp nói chung hơi trừu tượng!)

Hàm véc-tơ F=(F_1, F_2): \mathbb S\to \mathbb R^2 cho ta một trường véc-tơ đầy trên đường tròn \mathbb S nếu

-các thành phần F_1, F_2 của nó là hàm trơn,

-với mỗi (x, y)\in\mathbb S véc-tơ F(x, y)=(F_1(x, y), F_2(x, y)) là véc-tơ tiếp xúc với đường tròn \mathbb S tại điểm (x, y),

-với mỗi (x_0, y_0)\in\mathbb S, hệ phương trình

x'(t)=F_1(x, y),

y'(t)=F_2(x, y)

với điều kiện x(0)=x_0, y(0)=y_0

có nghiệm xác định trên toàn bộ đường thẳng.

Có thể thấy trường véc-tơ

F(x, y)=(-y, x) là trường véc-tơ đầy.

Chuyển động tròn đều

Có thể thấy hình ảnh của trường này khi ta có một chuyển động tròn đều: chuyển động chỉ thay đổi hướng mà không thay đổi tốc độ.

Trường véc-tơ thú vị khác

F(x, y)=(-xy, x^2).

Rọt nước rơi

Có thể hình dung “không hoàn toàn chính xác” về trường này: đặt vòng đứng rồi rỏ nước xuống đỉnh của vòng tròn, chuyển động của các giọt nước cho ta trường véc-tơ này.

Ta xét hệ phương trình

x'(t)=-x(t)y(t),

y'(t)=-x^2(t)

với x(0)=0, y(0)=1.

Không khó để thấy từ hệ

x(t)x'(t)+y(t)y'(t)=0

nên

x^2(t)+y^2(t)=x^2(0)+y^2(0)=1.

Do đó

(+) y^2\le 1,

(+) y'(t)=y^2(t)-1.

Các bạn thử chứng minh xem bài toán trên chỉ có duy nhất nghiệm hằng x=0, y=1?

Lúc đầu tôi nghĩ đây là trường không đầy! Nghiệm hằng đã đẩy lùi suy nghĩ không đúng này.

Thực ra đã có kết quả sau:

Mọi trường trơn trên đa tạp compact đều đầy!

Kết quả này có thể nói là hệ quả của Định lý thác triển nghiệm đến tận biên trong phương trình vi phân.

Có vẻ như việc tìm trường không đầy là khó khăn! Quay trở lại đường thẳng thực là đa tạp một chiều đơn giản. Trường véc-tơ trơn trên đường thẳng là hàm trơn f:\mathbb R\to\mathbb R. Trường véc-tơ trơn f trên đường thẳng là đầy nếu

với mỗi x_0\in\mathbb R

phương trình

x'(t)=f(x)

với điều kiện

x(0)=x_0

có nghiệm trên toàn đường thẳng.

Có thể thấy vài trường véc-tơ đầy trên đường thẳng, chẳng hạn

f(x)=x hay f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}.

Trong trường hợp đường thẳng thực này việc đưa ra ví dụ trường không đầy lại khá dễ. Chẳng hạn

f(x)=x^2.

Để chứng minh điều này, xét phương trình

x'(t)=x^2(t),

với điều kiện x(0)=1.

Có thể thấy nghiệm

x(t)=\dfrac{1}{t+1}

không xác định tại t=-1.

Do đó trường véc-tơ f(x)=x^2 không đầy.

One response »

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s