Tính duy nhất nghiệm – Giá trị riêng – Bất đẳng thức Friedrichs

Standard

Sáng 05/05/2014, trong bài giảng cho lớp K56A1T tôi có xét phương trình elliptic trong hình vuông

u_{xx}+u_{yy}=ku, 0<x, y<\pi,

trong đó k là hằng số.

Trường hợp k=-2 tôi đã chỉ ra rằng:

– không có nguyên lý cực đại cho phương trình trên,

– không có tính duy nhất nghiệm cho bài toán biên Dirichlet cho phương trình trên

bằng việc đưa ra hàm

u(x, y)=\sin(x)\sin(y).

Trường hợp k\ge 0 tôi nói rằng:

– phương trình đang xét có nguyên lý cực đại,

– bài toán biên Dirichlet cho phương trình đang xét có duy nhất nghiệm.

Trường hợp -2<k<0 tôi chưa nói đầy đủ. Dưới đây tôi thử nói vài khía cạnh của trường hợp này.

Không khó khăn để thấy phương trình trên với -2<k<0 không có nguyên lý cực đại qua hàm

\sin(ax), a=\sqrt{|k|}.

Vấn đề tôi còn quan tâm: tính duy nhất nghiệm của bài toán biên Dirichlet, nói cách khác tôi cần xem bài toán biên cho phương trình trên với điều kiện biên thuần nhất

u(x, 0)=u(x, \pi)=u(0, y)=u(\pi, y)=0

có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường không?

Nếu có ta sẽ nói (-k) là giá trị riêng của toán tử Laplace trong hình vuông với điều kiện biên Dirichlet. Như vậy có thể thấy

bài toán biên Dirichlet có duy nhất nghiệm

khi và chỉ khi

(-k) không là giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet.

Vậy ta có thể tìm được tất cả các giá trị riêng đó hay không?

Bằng phương pháp tách biến ta tìm được các giá trị riêng

-k=(m^2+n^2), m, n\in\mathbb N

với các hàm riêng tương ứng

u_{mn}(x, y)=\sin(mx)\sin(ny).

Câu hỏi đặt ra lúc này: liệu còn những giá trị riêng nào khác không?

Câu trả lời: không.

Để có câu trả lời này người ta dựa vào:

mỗi hàm u(x, y), đủ tốt, đều có thể phân tích một cách duy nhất thành chuỗi

\sum\limits_{m, n\in\mathbb N}a_{mn}\sin(mx)\sin(ny),

trong đó

a_{mn}=\dfrac{4}{\pi^2}\iint\limits_{[0, \pi]\times[0, \pi]}u(x, y)\sin(mx)\sin(ny)dxdy.

Chuỗi này sẽ hội tụ điểm đến hàm u(x, y) trong [0, \pi]\times[0, \pi].

Các kết quả vừa dẫn là những sự kiện không dễ trong giải tích Fourier. Vẫn còn nhiều câu hỏi mở (chưa có lời giải) liên quan đến vấn đề này.

Quay trở lại trường hợp ta đang xét -2<k<0 hay

-\lambda_{1,1}<k<0

ta có bài toán biên Dirichlet cho phương trình ban đầu có duy nhất nghiệm.

Ta cũng có thể dùng tích phân năng lượng

I=\iint_{[0, \pi]\times[0, \pi]}(u_x^2+u_y^2+ku^2)dxdy

với u thỏa mãn phương trình ban đầu với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất.

Do u thỏa mãn phương trình ban đầu và bằng 0 trên bốn cạnh hình vuông nên

I=0.

Lại do u=0 trên bốn cạnh hình vuông nên ta có bất đẳng thức Friedrichs

\lambda_{1,1}\iint\limits_{[0, \pi]\times[0, \pi]}u^2dxdy\le \iint\limits_{[0, 1]\times[0, 1]}(u_x^2+u_y^2)dxdy

với chú ý \lambda_{1, 1} là giá trị riêng nhỏ nhất của toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet.

Do đó

\iint_{[0, 1]\times[0, 1]}(\lambda_{1,1}+k)u^2dxdy\le 0.

Điều này chỉ xảy ra khi u\equiv0.

3 responses »

  1. Em thưa thầy, ở đáp án bài 2 của thầy, thầy suy ra X(x)=sin(nx), Y(y)=sin(my/2). Em nghĩ chỗ này thầy đã sử dụng tách biến và giải 2 bài toán Cauchy với 2 ptvp của X và Y như sáng nay ở lớp em có hỏi thầy.Nhưng thầy bảo không được làm như thế và bảo bọn em sử dụng luôn chuỗi nghiệm mà người ta đã tìm được ạ. Hay ở trong đáp án chỗ suy ra X(x) và Y(y) thầy làm thế nào thế ạ?

    • Điểm khác nhau giữa hai bài:

      – bài sáng nay u=XY là nghiệm của phương trình Laplace

      u_{xx}+u_{yy}=0,

      – ở bài 2, u=XY là nghiệm của phương trình

      u_{xx}+u_{yy}=hu.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s