Hai câu hỏi thú vị của ngày bảo vệ KLTN-K55

Standard

Câu hỏi 1 (của thầy Lê Huy Chuẩn cho khóa luận của Trần Thị Nhâm): Liệu ánh xạ tuyến tính A:\ell_p \to \ell_q có bị chặn không?

Câu hỏi 2 (của thầy Dư Đức Thắng cho khóa luận của Bùi Mai Linh): Nếu bài toán đặt trên mặt cong thì câu trả lời như nào?

Tôi thử trả lời một phần hai câu hỏi đó như sau.

Câu hỏi 1: Nói chung là không. Tuy nhiên, nếu A là ma trận tam giác dưới và p, q\in(1, \infty) có câu trả lời khẳng định. Thật vậy, giả sử A không bị chặn nghĩa là có một dãy x^{(n)}\in \ell_p thỏa mãn:

(i) \lim\limits_{n\to\infty}||x^{(n)}||_p=0,

(ii) ||Ax^{(n)}||_q=1.

Từ (i) dẫn đến sự hội tụ điểm

\lim\limits_{n\to\infty}x^{(n)}_j=0.

Lại có A=(a_{kj}) là ma trận tam giác dưới nên

tọa độ thứ k của y^{(n)}=Ax^{(n)}

y^{(n)}_k=\sum\limits_{j=1}^k a_{kj}x^{(n)}_j hội tụ về 0 khi n\to\infty.

Khi đó ta có dãy y^{(n)}=Ax^{(n)}\in\ell_q thỏa mãn

+) dãy chuẩn hội tụ vì ||y^{(n)}||_q=1,

+) hội tụ điểm: \lim\limits_{n\to\infty}y^{(n)}_j=0, j=1, 2, \dots

nên nó hội tụ đến y\in\ell_q.

Đến đây có điều mâu thuẫn 1=0! (Tại sao?)

Câu hỏi 2: bài toán dạng rời rạc đặt trên một góc tam diện (trihedral) Oxyz với các góc \alpha=\angle Oxy, \beta=\angle Oyz, \gamma=\angle Ozx đều không tù.

images

Cho ba điểm A, B, C lần lượt trên ba cạnh Ox, Oy, Oz. Giả sử chu vi tam giác \Delta ABC cố định. Hỏi với vị trí nào của A, B, C tổng diện tích của ba tam giác \Delta OAB, \Delta OBC, \Delta OCA lớn nhất?

Đặt OA=a, OB=b, OC=c. Khi đó chu vi của \Delta ABC

L=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}+\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos\beta}+\sqrt{c^2+a^2-2ca\cos\gamma}.

Còn tổng diện tích của ba tam giác \Delta OAB, \Delta OBC, \Delta OCA

\dfrac{1}{2}(ab\sin\alpha+bc\sin\beta+ca\sin\gamma).

TH: \alpha=\beta=\gamma dễ thấy câu trả lời a=b=c.

TH: \alpha=\beta=\pi/2, \gamma=\pi/3 câu trả lời không dễ?

One response »

  1. Liên quan đến câu hỏi của thầy Chuẩn các bạn có thể tham khảo

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/07/20/anh-xa-tuyen-tinh/

    Có thể lấy một ví dụ về ánh xạ tuyến tính

    A: \ell_p \to \ell_q, 1\le p, q<\infty

    không liên tục như sau.

    Với mỗi x=(x_1, x_2, \dots) có tất cả trừ ra hữu hạn các tọa độ khác không ta đặt

    Ax=(\sum\limits_{n=1}^\infty nx_n, 0, \dots).

    Ta thu được ánh xạ tuyến tính trên c_{00} (không gian các x như trên) mà

    +) x^{(k)} có các tọa độ bằng 0 trừ x^{(k)}=1/k là dãy

    ||x^{(k)}||_p=1/k\to 0, k\to\infty,

    +) Ax^{(k)}=(1, 0, \dots) là dãy

    ||Ax^{(k)}||_q=1.

    Bằng Bổ đề Zorn ta có thể thác triển ánh xạ tuyến tính trên thành ánh xạ tuyến tính đi từ \ell_p vào \ell_q. Dĩ nhiên nó không bị chặn.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s