Mặt tròn xoay

Standard

Mặt tròn xoay (surface of revolution) được tạo bởi đồ thị của hàm khả vi liên tục y=f(x): [a, b]\to[0, +\infty) quay quanh trục 0x. Chẳng hạn f:[1, 2]\to[0, \infty), f(x)=x^3 cho ta mặt

219847.image5

Diện tích mặt tròn xoay được cho bởi

2\pi\int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx.

Khi f(x)=h>0 mặt tròn xoay là mặt trụ và diện tích của nó

2\pi h(b-a)

tỷ lệ thuận với độ dày (b-a).

Mặt trụ không phải là mặt duy nhất có tính chất này. Thật vậy, bài 5 trong đề thi cuối kỳ GT2 lớp K58A2+A3 nói rằng mặt cầu cũng có tính chất như vậy. Cụ thể, ta xét phần mặt cầu f(x)=\sqrt{R^2-x^2}, R>b>a>-R. Khi đó, tính toán ta có

f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}=R

nên diện tích của phần mặt cầu này

2\pi R(b-a).

Do đó nó cũng tỷ lệ thuận với bề bày (b-a).

Câu hỏi: liệu còn mặt tròn xoay nào khác cũng có tính chất này?

Trả lời: về cơ bản chỉ có mặt trụ và mặt cầu.

Thật vậy, để diện tích của mặt tròn xoay tỷ lệ thuận với bề dày của nó thì

f^2(x)+[f(x)f'(x)]^2 là hằng số!

Điều này dẫn đến phương trình

h'(x)(2+h"(x))=0 với h(x)=f^2(x).

Đến đây các bạn thử viết tiếp câu trả lời?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s