Bài toán đẳng chu trên mặt tròn xoay

Standard

Tiếp tục trả lời câu hỏi của thầy Dư Đức Thắng: bài toán đẳng chu trên mặt cong có kết quả như nào?

Trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/06/04/hai-cau-hoi-thu-vi-cua-ngay-bao-ve-kltn-k55/

tôi xét trường hợp rời rạc đặc biệt là góc tam diện. Tiếp theo tôi xét góc n-diện Ox_1x_2\dots x_n có các góc

\angle Ox_jx_{j+1}, j=1, 2, \dots, n(x_{n+1}=x_1) bằng nhau. Đặt \alpha=\angle Ox_jx_{j+1}.

Bài toán đẳng chu: xác định vị trí các điểm A_j\in Ox_j, j=1, 2, \dots, n sao cho

+ tổng độ dài các cạnh \sum\limits_{j=1}^n |A_jA_{j+1}|=L cố định,

+ tổng diện tích các tam giác \sum\limits_{j=1}^n |\Delta OA_jA_{j+1}| lớn nhất,

trong đó A_1=A_{n+1}.

Nếu đặt |OA_j|=a_j thì

+) \sum\limits_{j=1}^n|A_jA_{j+1}|=\sum\limits_{j=1}^n \sqrt{a_j^2+a_{j+1}^2-2a_ja_{j+1}\cos\alpha},

+) \sum\limits_{j=1}^n |\Delta OA_jA_{j+1}|=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^n a_ja_{j+1}\sin\alpha.

Đến đây ta có thể nghĩ đến việc sử dụng Giải tích để tiếp cận. Dưới đây tôi thử tiếp cận bằng hình học.

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử: góc n-diện nằm trên mặt nón với đỉnh là O và các cạnh Ox_j là các đường sinh. (Tại sao?)

Xét mặt phẳng P đi qua O và vuông góc với trục của góc n-diện. Khi đó góc nghiêng giữa P và các mặt Ox_jx_{j+1} là như nhau, đặt là \beta. Nếu chiếu vuông góc các đỉnh A_j xuống P có hình chiếu B_j thì

+) |A_jA_{j+1}|\ge |B_jB_{j+1}|,

+) |\Delta OA_jA_{j+1}|=\dfrac{1}{\cos\beta}|\Delta OB_jB_{j+1}|.

Như vậy ta có

+) \sum\limits_{j=1}^n |A_jA_{j+1}|\ge \sum\limits_{j=1}^n |B_jB_{j+1}|,

với dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cạnh A_jA_{j+1} song song với P với mọi j hay

a_1=a_2=\dots a_n;

+) \sum\limits_{j=1}^n |\Delta OA_jA_{j+1}|=\dfrac{1}{\cos\beta}|B_1B_2\dots B_n|

với |B_1B_2\dots B_n| là diện tích n-giác B_1B_2\dots B_n;

+) nếu cố định diện tích |B_1B_2\dots B_n| thì chu vi của nó

\sum\limits_{j=1}^n |B_jB_{j+1}|

nhỏ nhất khi và chỉ khi nó là đa giác đều hay

a_1=a_2=\dots=a_n.

Như vậy, nếu cố định tổng diện tích

\sum\limits_{j=1}^n|\Delta OA_jA_{j+1}|

thì tổng độ dài

\sum\limits_{j=1}^n|A_jA_{j+1}|

bé nhất khi và chỉ khi a_1=a_2=\dots=a_n.

Ta có bất đẳng thức đẳng chu

\sum\limits_{j=1}^n |\Delta OA_jA_{j+1}|\le \dfrac{1}{4n\cos\beta\tan(\pi/n)}\Big(\sum\limits_{j=1}^n|A_jA_{j+1}|\Big)^2

hay với a_j\ge 0, a_1=a_{n+1}

\sum\limits_{j=1}^n a_ja_{j+1}\le \dfrac{1}{4n\sin^2(\alpha/2)}\big(\sum\limits_{j=1}^n\sqrt{a_j^2+a_{j+1}^2-2a_ja_{j+1}\cos\alpha}\big)^2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a_1=a_2=\dots=a_n.

Một cách tương tự cho bài toán đẳng chu trong một góc sẽ được phát biểu như sau.

Cho một góc Ox_0x_1\dots x_n

\angle Ox_jx_{j+1}=\alpha, j=0, 1, \dots, n-1.

Lấy các đỉnh A_j\in Ox_j, j=0, 1, \dots, n sao cho

tổng độ dài \sum\limits_{j=0}^{n-1} |A_jA_{j+1}| cố định.

Tổng diện tích

\sum\limits_{j=0}^{n-1}|\Delta OA_jA_{j+1}|

lớn nhất khi và chỉ khi |OA_0|=|OA_1|=\dots=|OA_n|.

Nếu đặt a_j=|OA_j| ta có bất đẳng thức

\sum\limits_{j=0}^{n-1} a_ja_{j+1}\le \dfrac{1}{4n\sin^2(\alpha/2)}\big(\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sqrt{a_j^2+a_{j+1}^2-2a_ja_{j+1}\cos\alpha}\big)^2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a_0=a_1=\dots=a_n.

Ta chuyển sang bài toán đẳng chu liên tục trên mặt nón C có đỉnh O. Bài toán được phát biểu:

Tìm đường cong kín, không tự cắt, bao quanh đỉnh O sao cho nó bao quanh một miền trên mặt nón có diện tích lớn nhất.

Bằng cách chiếu xuống mặt phẳng P (đi qua O và vuông góc với trục xoay của nón) ta cũng có kết quả:

đường cong cực đại nằm trên mặt phẳng song song với P.

Ta có bất đẳng thức đẳng chu trên mặt nón

A\le \dfrac{1}{4\pi\cos\beta}L^2, \beta góc nghiêng giữa mặt nón và mặt vuông góc với trục xoay,

với L là chu vi của đường cong kín và A là diện tích miền trên mặt nón được bao quanh bởi đường cong đó. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đường cong đó nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục xoay.

Nếu đặt hệ trục tọa độ có gốc tại O và trục Oz là trục xoay của mặt nón. Phương trình mặt nón có dạng

z=k\sqrt{x^2+y^2} với k là hằng số dương.

Chuyển sang hệ tọa độ trụ

x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi, z=kr.

Khi đó đường cong kín được tham số hóa bởi

x=r(\varphi)\cos\varphi, y=r(\varphi)\sin(\varphi), z=kr(\varphi)

với r:\mathbb R\to[0, +\infty) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi, liên tục, trơn từng khúc.

Chu vi của đường cong

L=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{[r'(\varphi)]^2(1+k^2)+r^2(\varphi)}d\varphi.

Diện tích của miền trên mặt nón được bao quanh bởi đường cong

A=\dfrac{\sqrt{1+k^2}}{2}\int\limits_0^{2\pi}r^2(\varphi)d\varphi.

Chú ý \cos\beta=\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2}}.

Ta có bất đẳng thức đẳng chu dạng Giải tích

\int\limits_0^{2\pi}r^2(\varphi)d\varphi\le \dfrac{1}{2\pi}\Big(\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{[r'(\varphi)]^2(1+k^2)+r^2(\varphi)}d\varphi\Big)^2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi r(\varphi)=const.

Chú ý:

– ta có thể thay 2\pi bởi một góc \alpha_0\in(0, \pi), khi đó ta có bất đẳng thức đẳng chu cho một góc trên mặt nón,

– khi k=0 ta thu được bất đẳng thức đẳng chu trên mặt phẳng.

Ta tiếp tục chuyển sang bài toán đẳng chu trên mặt cầu.

Bài toán được phát biểu: trên nửa mặt cầu trên, trong các đường cong có cùng chu vi đường cong nào bao quanh miền có diện tích lớn nhất.

Để giải bài toán ta cần đến

– tính lồi trên mặt cầu: miền D trên mặt cầu được gọi là miền lồi nếu với bất kỳ hai điểm P, Q\in D đoạn ngắn nhất (trên mặt cầu) nối PQ nằm trong D, chú ý đoạn ngắn nhất chính là cung bé của đường tròn lớn đi qua hai điểm P, Q;

– phép hai điểm – đối xứng

doixung

cho D là một miền trên mặt cầu, H là mặt phẳng chia không gian thành hai nửa H^+, H^-, khi đó phép hai điểm – đối xứng biến miền D thành

\tau_H(D)=((D\cap \sigma_H(D))\cap H^-)\cup((D\cup\sigma_H(D))\cap H^+)

với \sigma_H(D)=\{Q|\; \exists P\in D: P, Q đối xứng qua H\}.

Khi đó

– ta luôn giả sử đường cong bao quanh miền lồi,

– phép hai điểm – đối xứng bảo toàn chu vi và diện tích nhưng không bảo toàn tính lồi,

– miền D có tính chất \tau_H(D) lồi với bất kỳ mặt phẳng H đi qua tâm thì miền D được bao quanh bởi đường tròn.

Chi tiết phần này các bạn tham khảo bài

“Two-point symmetrization and convexity” của Guillaume Aubrun và Matthieu Fradelizi.

Đường link

http://perso-math.univ-mlv.fr/users/fradelizi.matthieu/pdf/syma2points.pdf

Như vậy đáp án của bài toán đẳng chu trên mặt cầu: đường tròn. Khi đó ta có mối liên hệ

L^2=4\pi A-\dfrac{1}{R^2}A^2

với L là chu vi đường tròn, A là diện tích miền trên mặt cầu bán kính R được bao quanh bởi đường tròn.

Lưu ý nếu xét trên cả mặt cầu đường cong chia mặt cầu thành hai phần:

– phần chỉ nằm trong một nửa mặt cầu sẽ có diện tích lớn nhất,

– phần còn lại sẽ có diện tích nhỏ nhất

khi đường cong là đường tròn.

Như vậy ta có bất đẳng thức đẳng chu trên mặt cầu

4\pi A -\dfrac{1}{R^2}A^2\le L^2.

Nếu ta tham số hóa đường cong bởi

z=z(\varphi), x=\sqrt{R^2-z^2(\varphi)}\cos\varphi, y=\sqrt{R^2-z^2(\varphi)}\sin\varphi,

khi đặt hệ trục tọa độ có gốc tại tâm mặt cầu, đường cong bao quanh trục Oz,

thì

– chu vi của đường cong

L=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{\frac{[z'(\varphi)]^2R^2}{R^2-z^2(\varphi)}+R^2-z^2(\varphi)}d\varphi,

– diện tích của miền được bao quanh bởi đường cong

A=R\int\limits_0^{2\pi}z(\varphi)d\varphi.

Khi đó dạng Giải tích của bất đẳng thức đẳng chu trên mặt cầu

4\pi R\int\limits_0^{2\pi}z(\varphi)d\varphi-\big(\int\limits_0^{2\pi}z(\varphi)d\varphi\big)^2\le

\le \Big(\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{\frac{[z'(\varphi)]^2R^2}{R^2-z^2(\varphi)}+R^2-z^2(\varphi)}d\varphi\Big)^2

với z:[0, R]\to [0, R] là hàm liên tục, trơn từng khúc.

Để ý rằng 1/R^2 là độ cong Gauss của mặt cầu bán kính R nên bất đẳng thức đẳng chu trên mặt cầu là trường hợp riêng của bất đẳng thức Bol-Fiala

4\pi A-K_0A^2\le L^2

là bất đẳng thức đẳng chu trên mặt cong có độ cong Gauss K_0.

Bài toán đẳng chu trên các mặt tròn xoay cụ thể, chẳng hạn mặt paraboloid tròn xoay được Benjamini và Cao trả lời là đường tròn, mặt tròn xoay có độ cong Gauss là hàm giảm thực sự theo khoảng cách đến đỉnh của mặt được FRANK MORGAN, MICHAEL HUTCHINGS, và HUGH HOWARDS trả lời là đường tròn.

Công thức tính độ cong Gauss của mặt tròn xoay

x=f(z)\cos\varphi, y=f(z)\sin\varphi, z=z,

với f:[0, \infty)\to[0, \infty) là hàm trơn,

được cho bởi

K=-\dfrac{f"(z)}{f(z)(1+f'(z))^2}.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s