Tập không đâu trù mật

Standard

Trong một không gian tô-pô X, một tập con A được gọi là không đâu trù mật (nowhere dense) nếu phần trong của bao đóng của nó là tập rỗng, hay

int(\bar{A})=\emptyset.

Có thể lấy rất nhiều ví dụ về tập không đâu trù mật.

Khi X=\mathbb R với tô-pô thông thường, những tập có hữu hạn điểm là tập không đâu trù mật. Tập các số tự nhiên \mathbb N, tập các số nguyên \mathbb Z đều là không đâu trù mật. Tuy nhiên tập các số hữu tỷ \mathbb Q không phải là tập không đâu trù mật.

Điểm khác nhau giữa \mathbb Z\mathbb Q là tính đóng. Nói cách khác ta có

tập con đóng có lực lượng đếm được là không đâu trù mật.

Mạnh hơn một chút ta có

tập con đóng có độ đo không là không đâu trù mật.

Chỗ này ta gặp Định lý Sard.

Cho f: A\to \mathbb R^n là hàm thuộc lớp C^1 với A là tập mở trong \mathbb R^n. Tập các giá trị tới hạn

\{f(x)|\; x\in A, det(Df(x))=0\}

là tập có độ đo không. Ngoài ra nó là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật (tập thuộc phạm trù thứ nhất).

Có thể cảm nhận rằng tập không đâu trù mật là tập khá bé. Tuy nhiên tập không đâu trù mật vẫn có thể có độ đo dương. Chẳng hạn ta xét tập kiểu Cantor như sau. Xuất phát từ đoạn A_0=[0, 1].

Với n=1 ta cắt A_0 lân cận C_1=(1/2 -1/8, 1/2 +1/8) của điểm 1/2. Ta thu được A_1.

+) |A_1|=1-1/4,

+) 1/2\not\in A_1.

Với n=2 ta tiếp tục cắt A_1 các lân cận C_{2j}=(a_j/2^2-1/2^5, a_j/2^2+1/2^5) của điểm a_j/2^2 với a_j=2j+1, j=0, 1. Ta thu được A_2. Có

+) |A_2|=1-1/4-1/8,

+) 1/4, 1/2, 3/4\not\in A_2.

Cứ thế, với mỗi n\in\mathbb N ta cắt A_{n-1} các

lân cận C_{nj}=(a_j/2^n-1/2^{2n+1}, a_j/2^n+1/2^{2n+1}) của điểm a_j/2^n với a_j=2j+1, j=0, 1, \dots, 2^{n-1}-1.

Ta thu được tập A_n có các tính chất

+) |A_n|=1-\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{1}{2^{j+1}},

+) k/2^n\not\in A_n\; \forall k=1, 2, \dots, 2^n-1.

Lấy A=\cup_{n=1}^\infty A_n

+) |A|=1/2>0A là tập đóng,

+) B=\{k/2^n|\; k=1, 2, \dots, 2^n-1, n\in\mathbb N\} trù mật trong [0, 1],

+) A\cap B=\emptyset.

Như vậy A là tập không đâu trù mật và có độ đo dương.

Một cách tổng quát ta có thể xuất phát từ một tập đếm được, trù mật trong [0, 1], chẳng hạn tập số hữu tỷ, rồi sắp xếp lại và cắt dần như trên ta sẽ thu được tập không đâu trù mật và có độ đo dương.

Như vậy có khá nhiều tập có độ đo dương và không đâu trù mật. Đến đây ta gặp Định lý Steinhaus.

Cho E\subset\mathbb R có độ đo dương. Khi đó tập E-E=\{x-y|\; x, y\in E\} chứa một lân cận của điểm gốc 0. Nói một cách khác, có số dương r sao cho

(-r, r)\subset E-E.

Như vậy, tập E-E không là không đâu trù mật.

Một cách tổng quát, với hai tập có độ đo dương E, F\subset\mathbb R, tổng Minkowski E+F=\{x+y|\; x\in E, y\in F\} chứa một khoảng mở. Do đó E+F không là không đâu trù mật.

Tiếp theo ta xem một số tập không đâu trù mật dẫn đến hàm liên tục và không đâu khả vi. Chỗ này ta gặp Định lý Baire (Baire category theorem).

Cho X là không gian metric đầy đủ. Khi đó X không thuộc phạm trù thứ nhất, nghĩa là không thể phủ X bởi đếm được các tập không đâu trù mật.

Xét không gian tô-pô

X=C[0, 1]=\{f: [0, 1]\to\mathbb R liên tục \}

với tô-pô sinh từ chuẩn

||f||_\infty=\max_{x\in[0, 1]}|f(x)|.

Với mỗi n\in\mathbb N ta xét tập

C_n=\{f\in C[0, 1]|\; \exists t\in [0, 1] để |f(t+h)-f(t)|\le nh\; \forall h\in [0, 1-t]\}.

Khi đó C_n là tập không đâu trù mật trong C[0, 1].

Do C[0, 1] là không gian metric đầy đủ nên theo Định lý Baire

\cup_{n=1}^\infty C_n là tập con thực sự của C[0, 1]

nghĩa là có f\in C[0, 1]f\not\in C_n\;\forall n\in\mathbb N.

Không khó khăn để chỉ ra rằng f là hàm liên tục trên [0, 1] và không đâu khả vi. Như vậy bên cạnh cách xây dựng hàm cụ thể như hàm Weierstrass ta còn có thể chỉ ra một cách lý thuyết sự tồn tại hàm liên tục và không đâu khả vi. Việc dùng Định lý Baire để chỉ ra sự tồn tại một cách lý thuyết cũng xảy ra trong một số trường hợp khác:

– sự tồn tại hàm khả vi khắp nơi và không đâu đơn điệu (của C.E. Weil

http://www.ams.org/journals/proc/1976-056-01/S0002-9939-1976-0396870-2/S0002-9939-1976-0396870-2.pdf),

– sự tồn tại hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi và có chuỗi Fourier phân kỳ tại một điểm.

Chú ý, trong các chứng minh sự tồn tại hàm liên tục và không đâu khả vi hay hàm khả vi và không đâu đơn điệu ta xây dựng các tập không đâu trù mật để rồi từ tính đầy đủ và Định lý Baire chỉ ra một phần tử không nằm trong các tập không đâu trù mật vừa xây dựng. Còn trong chứng minh sự tồn tại hàm liên tục, tuần hoàn có chuỗi Fourier phân kỳ tại một điểm lại xây dựng một phủ đếm được các tập rồi từ đó chỉ ra trong phủ có một tập không là không đâu trù mật.

Ngoài các ứng dụ trên, bạn đọc còn có thể tham khảo thêm bài

http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rae/1337001353

http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bb.pdf

One response »

  1. Pingback: Toán tử dịch chuyển – Định lý Steinhauss | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s