Định lý Sard trong trường hợp 1-chiều

Standard

Trong bài “Phản ví dụ Định lý Sard” tôi đã trình bày ví dụ của E. L. Grinberg: một hàm f\in C^1(\mathbb R^2; \mathbb R) mà tập các giá trị tới hạn của nó chứa đoạn [0, 2]. Ví dụ này cho thấy nếu k<1+\max\{n-m, 0\} thì có thể có hàm f\in C^k(\mathbb R^n; \mathbb R^m) mà tập các giá trị tới hạn của nó có độ đo dương trong \mathbb R^m. Cụ thể ở ví dụ này

+) k=1<2=1+\max\{2-1, 0\};

+) tập [0, 2] có chiều dài 2 trên đường thẳng \mathbb R.

Trong trường hợp 1-chiều, nghĩa là f:\mathbb R\to\mathbb R tình hình có nhiều điểm rất khác. Dưới đây tôi sẽ trình bày điểm khác biệt này.

Trước hết ta phát biểu Định lý Sard.

Cho f\in C^k(\mathbb R; \mathbb R). Nếu k\ge 1=1+\max\{1-1, 0\} thì tập các giá trị tới hạn

\{f(x)|\; f'(x)=0\}

có độ đo không.

Như vậy ít nhất ta cần đến f\in C^1(\mathbb R; \mathbb R). Ta thử chứng minh khi có giả thiết này. Do

\{f(x)|\; f'(x)=0\}=\cup_{j=1}^\infty \{f(x)|\; x\in(-j, j), f'(x)=0\}

nên ta chỉ cần chứng minh tập

A_j=\{f(x)|\; x\in(-j, j), f'(x)=0\}

có độ đo không.

Lấy \epsilon>0. Ta sẽ chứng minh tập A_j được phủ bởi một số hữu hạn các đoạn mà tổng độ dài của các đoạn này không quá \epsilon. Điều này làm được sẽ dẫn đến A_j có độ dài không.

Do đoạn [-j, j] là compact nên hàm f'(x) liên tục đều trên [-j, j]. Đây là điểm ta dùng giả thiết f\in C^1(\mathbb R; \mathbb R). Khi đó với \epsilon đã cho sẽ có \delta>0 để

khi x, y\in [-j, j]|x-y|<\delta thì

|f'(x)-f'(y)|<C\epsilon,

với hằng số C chọn sau.

Ta chia đoạn [-j, j] thành 2N đoạn I_l, l=1, 2, \dots, 2N, có độ dài bằng nhau và bằng j/N. Nếu một đoạn I_l chứa một điểm tới hạn x thì

+) I_l\subset [x-j/N, x+j/N] hay nếu y\in I_l thì

|x-y|\le j/N.

Theo Lagrange có z nằm giữa xy sao cho

|f(x)-f(y)|=|f'(z)||x-y|.

Lại có f'(x)=0x là điểm tới hạn. Do đó |f'(z)|=|f'(z)-f'(x)|.

Do |x-z|\le |x-y|\le j/N nên với N đủ lớn (cụ thể N>j/\delta) thì

|x-z|\le \delta.

Lúc này ta có

|f(x)-f(y)|=|f'(z)-f'(x)||x-y|\le C\epsilon j/N.

Như vậy f(y)\in [f(x)-C\epsilon j/N, f(x)+C\epsilon j/N] hay

f(I_l)\subset [f(x)-C\epsilon j/N, f(x)+C\epsilon j/N].

Khi đó độ dài |f(I_l)|\le 2C \epsilon j/N.

a\in A_j khi và chỉ khi có một điểm x\in(-j, j)f'(x)=0. Do đó A_j nằm trong hợp của tất cả các tập f(I_l)I_l có chứa điểm tới hạn. Có nhiều nhất 2N tập như vậy nên

|A_j|\le 4C\epsilon j.

Chọn C=1/4j ta có điều phải chứng minh.

Trong cách trên ta chưa xem xét kỹ việc thực sự có những I_l nào chứa điểm tới hạn. Cách chứng minh dưới đây sẽ xem xét khía cạnh này. Cách làm này sẽ cho thấy không cần phải đòi hỏi gì hàm f, điều ngược lại với phản ví dụ của E. L. Grinberg?

Xét tập các điểm tới hạn

B_j=\{x\in(-j, j)|\; f'(x)=0\}.

Như vậy tập các giá trị tới hạn

A_j=f(B_j).

Nếu x\in B_j thì

f'(x)=\lim\limits_{y\to x}\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=0.

Với \epsilon>0 như trên sẽ có \delta_x\in (0, 1) để

|f(y)-f(x)|\le C\epsilon|x-y|\le C\epsilon |I_x(\delta_x)|/2, \forall y\in I_x(\delta_x)=(x-\delta_x, x+\delta_x)

I_x(\delta_x)\subset (-j, j),

với hằng số C chọn sau.

Khi đó |f(I_x(\delta_x))|\le C\epsilon |I_x(\delta_x)|.

Như vậy B_j được phủ bởi các đoạn I_x(\delta_x/5), x\in B_j. Điểm này khác rất nhiều so với cách trước. Ta cần một kết quả hình học tốt, cụ thể Bổ đề phủ Vitali như sau.

Cho một họ bất kỳ các khoảng mở I_\alpha, \alpha\in \mathcal A

\sup_{\alpha\in\mathcal A}|I_\alpha|<\infty.

Khi đó ta có thể trích ra từ họ này ra một số đếm được các khoảng I_{\alpha_l}, l=1, 2, \dots sao cho

+) chúng đôi một rời nhau,

+) \cup_{\alpha\in\mathcal A} I_\alpha\subset \cup_{j=l}^\infty 5I_{\alpha_l}

với 5I_{\alpha_l} là khoảng mở có cùng điểm chính giữa với I_{\alpha_l} nhưng chiều dài gấp 5 lần.

Áp dụng Bổ đề phủ Vitali cho các khoảng mở I_x(\delta_x/5), x\in B_j ta trích ra được một số đếm được các x_l\in B_j sao cho

+) các khoảng mở I_{x_l}(\delta_{x_l}/5) đôi một rời nhau,

+) \cup_{x\in B_j} I_x(\delta_x/5)\subset \cup_{l=1}^\infty I_{x_l}(\delta_{x_l}).

Do

+) I_{x_l}(\delta_{x_l}/5)\subset (-j, j) nên

\sum\limits_{l=1}^\infty |I_{x_l}(\delta_{x_l})|\le 2j;

+) B_j\subset \cup_{x\in B_j}I_x(\delta_x/5) nên

A_j=f(B_j)\subset f(\cup_{l=1}^\infty I_{x_j}(\delta_{x_j}))\subset\cup_{l=1}^\infty f(I_{x_j}(\delta_{x_j})).

Nhớ rằng |f(I_x(\delta_x))|\le C\epsilon|I_x(\delta_x)| nên

|A_j|\le \sum\limits_{l=1}^\infty C\epsilon |I_{x_l}(\delta_{x_l})|\le 2jC\epsilon.

Giống như trên ta cũng có tập A_j có độ dài không mà không cần đòi hỏi gì về hàm f.

One response »

  1. Liệu có gì mâu thuẫn giữa cách tiếp cận thứ hai về ĐỊnh lý Sard trong trường hợp 1-chiều và phản ví dụ của Grinberg?

    Một hàm f:\mathbb R^2\to\mathbb R khả vi tại (x_0, y_0) và có các đạo hàm riêng tại đó

    f_x(x_0, y_0)=f_y(x_0, y_0)=0

    thì với mỗi \epsilon>0 đều có \delta>0 sao cho

    |f(x, y)-f(x_0, y_0)|\le \epsilon ||(x-x_0, y-y_0)||, \forall (x, y)\in B_\delta(x_0, y_0).

    Từ đó

    f(B_\delta(x_0, y_0))\subset I_{\epsilon\delta}(f(x_0, y_0)).

    Liệu từ đây ta có thể dùng Vitali như trong trường hợp 1-chiều không?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s