Toán tử compact

Standard

Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính bị chặn A: X\to Y được gọi là toán tử compact nếu nó biến tập bị chặn thành tập compact tương đối, hay đơn giản hơn ảnh của hình cầu đơn vị A(B), B=\{x\in X|\; ||x||_X\le 1\}, là tập compact tương đối.

Một vài ví dụ đơn giản về toán tử compact.

VD1. X, Y là các không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính A: X\to Y đều là toán tử compact.

VD2. X= C^1([0, 1]) là không gian các hàm giá trị thực khả vi liên tục trên đoạn [0, 1], có đạo hàm trái tại 1 và đạo hàm phải tại 0, với chuẩn

||f||_{C^1}=\sup\limits_{x\in[0, 1]}(|f(x)|+|f'(x)|).

Y=C([0, 1]) là không gian các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [0, 1] với chuẩn

||f||_C=\sup\limits_{x\in[0, 1]}|f(x)|.

Khi đó phép nhúng C^1([0, 1])\hookrightarrow C([0, 1]) là toán tử compact.

VD3. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Ánh xạ tuyến tính bị chặn A: X\to Y có ảnh A(X) là không gian hữu hạn chiều được gọi là toán tử có hạng hữu hạn (finte rank). Khi đó nó cũng là toán tử compact.

Một dãy các toán tử compact A_k: X\to Y, k\in\mathbb N, hội tụ theo chuẩn đến toán tử tuyến tính bị chặn A: X\to Y, nghĩa là

\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{x\in B}||A_kx-Ax||_Y=0,

thì toán tử A là compact.

VD4. Cho X=Y=L^2(0, 1) là không gian các hàm giá trị phức bình phương khả tích Lebesgue trên (0, 1) và nhân K\in C([0, 1]\times(0, 1)). Khi đó ánh xạ

f\mapsto \int\limits_0^1 K(x, y)f(y)dy

là toán tử compact trên L^2(0, 1).

VD5. Cho X=Y là không gian Banach. Ký hiệu B(X), B_0(X) lần lượt là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên X và tập tất cả các toán tử compact trên X. Khi đó B(X) là một đại số Banach với các phép toán tuyến tính và phép nhân là phép hợp thành. Lúc này B_0(X) là ideal hai phía trong B(X), nghĩa là

AK, KA\in B_0(X), \forall A\in B(X), \forall K\in B_0(X).

Theo VD2 ta có B_0(X) là tập đóng trong B(X).

Câu hỏi: nếu ta biết K\in B_0(X) thì ta được gì?

Khi đó toán tử T=I_X -K là toán tử Fredholm với chỉ số

index(T)=dim(Ker T)-codim(Ran T)=0.

Điều này giúp ta tìm hiểu phương trình

x-Kx=y, y\in X.

Nếu T là đơn ánh thì phương trình trên giải được với mọi y\in X. Khi đó tồn tại ánh xạ ngược (I_X-K)^{-1}\in B(X).

Quay trở lại VD2, nếu ta có dãy các toán tử compact K_n\in B_0(X), n\in\mathbb N, hội tụ theo chuẩn đến toán tử K\in B(X). Khi đó K\in B_0(X) và các kết quả sau.

– Nếu T_n=I_X-K_n đều khả nghịch và dãy T_n^{-1}, n\in\mathbb N, bị chặn đều

nghĩa là có M>0 để ||T_n^{-1}||\le M, \forall n\in\mathbb N,

thì T=I_X-K cũng khả nghịch. Hơn nữa

||T^{-1}||\le M.

– Ngược lại, nếu T khả nghịch thì tồn tại n_0\in\mathbb N để

dãy T_n, n\ge n_0 khả nghịch và T_n^{-1}, n\ge n_0 bị chặn đều.

Có thể cảm thấy được ý nghĩa của kết quả trên. Tuy nhiên việc kiểm tra sự hội tụ theo chuẩn của dãy K_n không phải lúc nào cũng thực hiện được vì khó hoặc vì không có điều này, thay vào đó ta chỉ biết rằng dãy K_n hội tụ điểm, nghĩa là

\lim\limits_{n\to\infty}K_n x=Kx, \forall x\in X.

Nếu chỉ có hội tụ điểm thì giới hạn của dãy toán tử compact chưa chắc compact. Chẳng hạn

K_n: \ell_1(\mathbb N;\mathbb R)\to \ell_1(\mathbb N; \mathbb R), K_nx=(x_1, \dots, x_n, 0, \dots).

Vậy điều kiện gì để toán tử giới hạn là compact?
Câu trả lời: tập \cup_{n\in\mathbb N} K_n(B) là tiền compact.

Đây chính là điểm đưa ra khái niệm “collective compactness” của P. M. Anselone (1967), tôi học được từ bài giảng của GS. E. Bonnetier.

Cụ thể như sau: một họ \mathcal K các toán tử K\in B(X) được gọi là “collectively compact” nếu

\cup_{K\in \mathcal K} K(B) là tiền compact.

Khi đó, với mỗi K\in\mathcal K đều là toán tử compact.

VD6. Dĩ nhiên một dãy các toán tử compact hội tụ theo chuẩn đến một toán tử bị chặn sẽ cho ta một họ “collectively compact”.

VD7. Cho X=\ell_1(\mathbb N; \mathbb R) với e_n=(0, \dots, 0, \underbrace{1}_{n}, 0, \dots). Xét dãy toán tử K_n:\ell_1(\mathbb N; \mathbb R)\to \ell_1(\mathbb N; \mathbb R), K_n(x)=x_n e_1. Có thể thấy:

– dãy K_n, n\in\mathbb N, lập thành một họ “collectively compactness”,

– dãy K_n, n\in\mathbb N, hội tụ điểm về toán tử 0, (theo điều kiện cần)

– chuẩn ||K_n||=1, \forall n\in\mathbb N.

VD8. Cho X=C([0, 1]), và dãy các toán tử

K_n: C([0, 1])\to C([0, 1]), K_n(f)(x)=\dfrac{\cos(x)}{n}\sum\limits_{j=1}^n f(j/n).

Khi đó, ta có

– dãy K_n, n\in\mathbb N, là họ “collectively compactness,”

– dãy K_n, n\in\mathbb N, hội tụ điểm về toán tử

K(f)(x)=\cos(x)\int\limits_0^1 f(x)dx,

– chuẩn ||K_n-K||=1, \forall n\in\mathbb N.

Để ý rằng mặc dù hai ví dụ sau không hội tụ theo chuẩn nhưng toán tử giới hạn vẫn là toán tử compact. Nói cách khác nếu một dãy các toán tử compact K_n\in B_0(X) là “collectively compactness” và hội tụ điểm về toán tử K thì K là toán tử compact. Hơn nữa ta cũng có kết quả tương tự trên, cụ thể như sau.

– Nếu T_n=I_X-K_n đều khả nghịch và T_n^{-1}, n\in\mathbb N, bị chặn đều bởi M thì T=I_X-K cũng khả nghịch. Hơn nữa

||T^{-1}||\le M.

– Ngược lại, nếu T=I_X-K khả nghịch thì tồn tại n_0\in\mathbb N để

T_n, n\ge n_0, đều khả nghịch và T_n^{-1}, n\ge n_0, bị chặn đều.

Một số tính chất khác về họ “collectively compact” bạn đọc có thể tham khảo trong

http://i.stanford.edu/pub/cstr/reports/cs/tr/67/76/CS-TR-67-76.pdf

One response »

  1. Tương tự VD8 các bạn có thể xem xét các dãy toán tử sau.

    +) K_nf(x)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n \cos(x-j/n)f(j/n).

    +) K_nf(x)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n \cos(jx/n)f(j/n).

    Lưu ý rằng: nếu K_n, K là các toán tử compact và K_n hội tụ điểm đến K thì chưa chắc có

    \cup_{n\in\mathbb N}K_n(B) là tiền compact.

    Chằng hạn, X=Y=\ell_1(\mathbb N; \mathbb R)

    K_nx=(0, \dots, 0, \underbrace{n^2x_n}_{n}, 0, \dots)

    hội tụ điểm về toán tử 0 nhưng dãy K_ne_n, n\in\mathbb N, không bị chặn. Ở đây e_n=(0, \dots, 0, \underbrace{1}_{n}, \dots).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s