Mối quan hệ giữa không gian dãy và không gian các toán tử

Standard

Cho H là không gian Hibert phức, khả ly. Khi đó H có một cơ sở trực chuẩn đếm được \{e_n\}_{n\in\mathbb N}. Ký hiệu B(H) gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên H. Xét ánh xạ

\Phi: \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C)\to B(H), (a_n)_{n\in\mathbb N}\mapsto \Phi((a_n)_{n\in\mathbb N})=A với

A(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb N}a_n\langle x, e_n\rangle e_n.

Không khó khăn để thấy:

+) \Phi là một phép đẳng cự vì

– do \{e_n\}_{n\in\mathbb N} là cơ sở trực chuẩn nên

||Ax||^2=\sum\limits_{n\in\mathbb N}|a_n|^2|\langle x, e_n\rangle|^2\le ||(a_n)_{n\in\mathbb N}||^2_{\ell_\infty}||x||\; \forall x\in H,

||Ae_n||=|a_n|\; \forall n\in\mathbb N;

+) \Phi là một đồng cấu đại số vì

– nó bảo toàn phép toán tuyến tính

(\alpha A+\beta B)(e_n)=\alpha A(e_n)+\beta B(e_n);

– nó bảo toàn phép nhân với chú ý

(a_n)_{n\in\mathbb N}(b_n)_{n\in\mathbb N}=(a_nb_n)_{n\in\mathbb N}.

Tuy nhiên \Phi không là toàn ánh vì A\in \Phi(\ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C)) nhận cơ sở \{e_n\}_{n\in\mathbb N} là các hàm riêng. Điều này không làm giảm ý nghĩa của phép đồng cấu đại số, đẳng cự này. Dưới đây tôi sẽ trình bày ý nghĩa này.

Có thể thấy, nếu ký hiệu c_{00}\subset \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C) là không gian các dãy có tất cả các phần tử, trừ ra một số hữu hạn, đều bằng 0 thì

\Phi(c_{00}) là không gian con của không gian các toán tử hạng hữu hạn B_{00}(H)

\Phi^{-1}(B_{00}(H))=c_{00}.

Còn nếu ký hiệu c_0\subset \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C) là không gian các dãy (a_n)_{n\in\mathbb N}\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 thì

\Phi(c_0) là không gian con của không gian các toán tử compact K(H)

\Phi^{-1}(K(H))=c_0.

Chú ý rằng

\Phi(c_{00})\not= B_{00}(H), \Phi(c_0)\not=K(H).

Tuy nhiên ta thấy có điểm tương đồng:

+) c_{00}, c_{0} là các ideal hai phía của \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C), nghĩa là

(a_n)_{n\in\mathbb N}\in\ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C)(c_n)_{n\in\mathbb N}\in c_{00}\;(hay \; c_0)

thì (a_n)_{n\in\mathbb N}(c_n)_{n\in\mathbb N}, (c_n)_{n\in\mathbb N}(a_n)_{n\in\mathbb N}\in c_{00}\;(hay \; c_{0});

+) B_{00}(H), K(H) cũng là các ideal hai phía của B(H);

+) c_0 là bao đóng của c_{00} trong \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C), nghĩa là

– nếu (a_n)_{n\in\mathbb N} là giới hạn của một dãy các (c^k_n)_{n\in\mathbb N}\in c_{00}, k=1, 2, \dots, theo chuẩn ||.||_{\ell_\infty} thì (a_n)_{n\in\mathbb N}\in c_0,

– với mỗi (a_n)_{n\in\mathbb N}\in c_0 đều có một dãy các (c^k_n)_{n\in\mathbb N}\in c_{00}, k=1, 2, \dots, hội tụ đến (a_n)_{n\in\mathbb N} theo chuẩn ||.||_{\ell_\infty};

+) K(H) là bao đóng của B_{00} trong B(H).

Ta có

c_{00}\subset c_0\subset \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C),

B_{00}\subset K(H)\subset B(H).

Trong không gian các dãy có hai không gian khá quan trọng \ell_1, \ell_2\subset\ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C) là không gian các dãy (a_n)_{n\in\mathbb N} mà chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty a_n hội tụ tuyệt đối, bình phương khả tổng (tương ứng).

Câu hỏi: trong không gian các toán tử trên H liệu có các không gian nào tương ứng?

Ta xét ảnh của \ell_1, \ell_2 qua ánh xạ \Phi ta có

+) \Phi(\ell_1) là không gian con của không gian các toán tử A\in B(H) thỏa mãn

\sum\limits_{n=1}^\infty|\langle Ae_n, e_n\rangle|<\infty,

khi đó A được gọi là toán tử lớp vết (trace class, hay còn gọi nuclear);

+) \Phi(\ell_2) là không gian con của không gian các toán tử A\in B(H) thỏa mãn

\sum\limits_{n=1}^\infty ||Ae_n||^2<\infty,

khi đó A được gọi là toán tử Hilbert-Schmidt.

Với A\in B(H)\{f_n\}_{n\in\mathbb N} là một cơ sở trực chuẩn của H, các bạn thử biến đổi xem

\sum\limits_{n=1}^\infty \langle Ae_n, e_n\rangle=\sum\limits_{n=1}^\infty\langle Af_n, f_n\rangle\;\; (được gọi là vết của A, ký hiệu tr(A)),

\sum\limits_{n=1}^\infty ||Ae_n||^2=\sum\limits_{n=1}^\infty ||A^*f_n||^2.

Từ đó có thể thấy rằng định nghĩa các toán tử lớp vết, toán tử Hilbert-Schmidt không phụ thuộc vào cơ sở trực chuẩn. Ta ký hiệu B_1(H) là không gian các toán tử lớp vết, B_2(H) là không gian các toán tử Hilbert-Schmidt.

Không khó để thấy

\Phi^{-1}(B_1(H))=\ell_1, \Phi^{-1}(B_2(H))=\ell_2.

Giống như c_0, c_{00} ta cũng có \ell_1, \ell_2 là các ideal hai phía trong \ell_\infty(\mathbb N; \mathbb C). Một cách tương tự ta có B_1(H), B_2(H) cũng là các ideal hai phía trong B(H). Ngoài ra

\ell_2\ell_2=\ell_1B_2(H)B_2(H)=B_1(H).

Về mặt tôpô, trên \ell_1 có chuẩn

||(a_n)_{n\in\mathbb N}||=\sum\limits_{n=1}^\infty|a_n|

còn trên \ell_2 có tích vô hướng

\langle (a_n)_{n\in\mathbb N}, (b_n)_{n\in\mathbb N}\rangle=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\bar{b}_n.

Khi đó ta có các phép nhúng liên tục

\ell_1\hookrightarrow \ell_2\hookrightarrow (c_0, ||.||_{\ell_\infty}).

Ngoài ra c_{00} trù mật trong các không gian \ell_1, \ell_2.

Đối ngẫu của c_0\ell_1;

đối ngẫu của \ell_1\ell_\infty.

Ánh xạ lấy tổng \sum\limits_{n=1}^\infty a_n là một phần tử trong không gian đối ngẫu của \ell_1.

Một cách tương tự các bạn thử kiểm tra cho không gian các toán tử B_{00}(H), B_1(H), B_2(H), K(H), B(H) như trong bảng

Day_Toan tu

Các bạn cũng có thể xem chi tiết trong bài

hilbert_schmidt_nuclear

One response »

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s