Dãy không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0 – chuỗi Fourier

Standard

Dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} được gọi là dãy lồi, chẵn nếu:

+) a_{n-1}+a_{n+1}\ge 2a_n, n\ge 1,

+) a_{-n}=a_n.

Nếu dãy lồi, chẵn \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} chỉ gồm các số không âm và hội tụ về 0 thì

+) dãy \{a_n-a_{n+1}\}_{n\in\mathbb N} là dãy giảm về 0,

+) dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb N} là dãy giảm về 0,

+) \lim\limits_{n\to\infty} n(a_n-a_{n+1})=0,

+) chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty (a_n-a_{n+1}) hội tụ đến a_0,

+) chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n) hội tụ đến a_0,

+) chuỗi \sum\limits_{n=|k|+1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n)(1-\frac{|k|}{n}) hội tụ đến a_{|k|}.

Dãy không âm, lồi, chẵn và hội tụ về 0 liên quan gì đến chuỗi Fourier? Xét chuỗi hàm sau

\sum\limits_{n=1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n)K_{n-1}(t)

với K_{n-1}(t) là nhân Fejer

K_{n-1}(t)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{m=0}^{n-1} \sum\limits_{k=-m}^m e^{ikt}=\sum\limits_{k=-n+1}^{n-1} (1-\frac{|k|}{n})e^{ikt}=\dfrac{1}{n}\Big(\dfrac{\sin(\frac{nx}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}\Big)^2.

Một số tính chất của nhân Fejer:

+) K_n(t), n=1, 2, \dots, là các hàm không âm, tuần hoàn chu kỳ 2\pi,

+) hệ số Fourier \hat{K}_n(k)=\begin{cases}1-\dfrac{|k|}{n+1}\; khi \; |k|\le n,\\ 0 \; khi \; |k|>n+1\end{cases},

+) ||K_n||_{L^1}=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}K_n(t)dt=1.

Do chuỗi dương

\sum\limits_{n=1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n) hội tụ

nên chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n)K_{n-1}(t) hội tụ trong L^1(\mathbb T).

Khi đó chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n)K_{n-1}(t) hội tụ hầu khắp nơi đến f\in L^1(\mathbb T) (nào đó).

Hệ số Fourier của f chính là \hat{f}(k)=a_k

– với mỗi k\in\mathbb Z, dãy tổng riêng \sum\limits_{n=1}^N n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n)K_{n-1}(t)e^{-ikt} hội tụ hầu khắp nơi, và bị chặn bởi f\in L^1(\mathbb T) nên

\hat{f}(0)=\sum\limits_{n=1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_{n})\hat{K}_{n-1}(0)=a_0,

\hat{f}(k)=\sum\limits_{n=|k|+1}^\infty n(a_{n-1}+a_{n+1}-2a_n)\hat{K}_{n-1}(k)=a_{|k|}=a_k.

Như vậy với mỗi dãy không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0 ta đều tìm được hàm f\in L^1(\mathbb T) có hệ số Fourier chính là dãy đã cho. Điều này sẽ giúp ta trả lời một số câu hỏi như sau:

+ Bổ đề Riemann-Lebesgue là tốt nhất trong lớp hàm khả tích Lebesgue? Nghĩa là với bất kỳ dãy số không âm \{m_n\}_{n\in\mathbb N} hội tụ về 0 nào ta cũng tìm được hàm f\in L^1(\mathbb T)

\hat{f}(n)\ge m_{|n|}, n\in\mathbb Z\setminus\{0\}.

+ Chuỗi Fourier của một hàm khả tích Lebesgue có “hội tụ” không? Nếu hội tụ nó có hội tụ về hàm đã cho không? Nghĩa là

– dãy tổng riêng

S_n(f, x)=\sum\limits_{k=-n}^n \hat{f}(n)e^{inx}=\dfrac{1}{2\pi} D_n*f(x),

với D_n(x)=\sum\limits_{k=-n}^n e^{ikx}=\dfrac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)} (nhân Dirichlet),

có hội tụ điểm, hội tụ trong L^1(\mathbb T) không?

– nếu dãy tổng riêng hội tụ điểm thì S_n(f, x) có hội tụ đến f(x) với x\in\mathbb T không?

– nếu dãy tổng riêng hội tụ trong L^1(\mathbb T) thì

\lim\limits_{n\to\infty}||S_n(f)-f||_{L^1}=0 không?

Để trả lời câu hỏi đầu ta trả lời câu hỏi sau:

từ một dãy không âm, hội tụ về 0 liệu có thể xây dựng một dãy không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0 không bé hơn dãy đã cho không? Nghĩa là

cho dãy không âm \{m_n\}_{n\in\mathbb N} hội tụ về 0, cần xây dựng dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} là dãy không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0

a_{n}\ge m_{|n|}, n\in\mathbb Z\setminus\{0\}.

Ta xây dựng bằng quy nạp như sau:

B1: Do \lim\limits_{n\to\infty}m_n=0, m_n\ge 0 nên có n_0\in\mathbb N để

0\le m_n<1, n\ge n_0.

Đặt M_0=\max\{m_1, m_2, \dots, m_{n_0}, 1\}, k_0=[n_0M_0]-1. Với k=1, 2, \dots, k_0 lấy

(k, a_k) là các điểm nằm trên đường thẳng nối (0, M_0+1)(n_0, M_0).

+) M_0\le a_k\le M_0+1, 1\le k\le n_0,

+) 1\le a_k \le M_0, n_0\le k\le k_0,

+) a_{k-1}+a_{k+1}-2a_k=0, k=2, \dots, k_0-1.

B2: Do \lim\limits_{n\to\infty}m_n=0, m_n\ge 0 nên có n_1\in\mathbb N để

0\le a_n\le 1/2, n\ge k_0+n_1.

Đặt M_1=a_{k_0}1<M_1<M_0, k_1=k_0+n_1+[n_1/(2M_1-2)]-1. Với k=k_0+1, k_0+2, \dots, k_1

lấy (k, a_k) là các điểm nằm trên đường thẳng nối (k_0, M_1)(k_0+n_1, 1).

Tiếp tục làm như vậy ta sẽ thu được dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} cần tìm.

Hình ảnh cho việc làm trên

Riemann_Lebesgue

Chuyển sang câu hỏi tiếp. Do xuất phát từ dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0, theo Dirichlet, có chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)

hội tụ điểm tại x\in\mathbb R\setminus\{2\pi\mathbb Z\},

nên dãy tổng riêng S_n(f, x), f\in L^1(\mathbb T) có hệ số Fourier \hat{f}(n)=a_n, hội tụ hầu khắp nơi trên \mathbb T đến một hàm g nào đó. Khi đó dãy tổng Fejer \sigma_n(f, x) cũng sẽ hội tụ hầu khắp nơi đến g. Mà

\sigma_n(f, x)=K_n*f(x) hội tụ đến f trong L^1(\mathbb T)

nên f=g hầu khắp nơi. Hay dãy tổng riêng S_n(f, x), f\in L^1(\mathbb T) có hệ số Fourier \{\hat{f}(n)\}_{n\in\mathbb Z} là dãy không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0, sẽ hội tụ hầu khắp nơi đến f(x).

Còn lại câu hỏi S_n(f, x) có hội tụ trong L^1(\mathbb T) không? Nếu hội tụ thì lý luận giống trên nó sẽ hội tụ đến f. Như vậy để trả lời câu hỏi này ta xét giới hạn của dãy

||S_n(f)-f||_{L^1}=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|S_n(f, x)-f(x)|dx.

Trả lời câu hỏi này ta thu được kết quả thú vị sau:

Cho f\in L^1(\mathbb T) có dãy hệ số Fourier \{\hat{f}(n)\}_{n\in\mathbb Z} là dãy không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0. Khi đó dãy tổng riêng S_n(f) hội tụ trong L^1(\mathbb T) khi và chỉ khi

\lim\limits_{n\to\infty} \hat{f}(n)\log n=0.

Từ đây ta có thể chỉ ra được những hàm f\in L^1(\mathbb T) có chuỗi Fourier không tụ trong L^1(\mathbb T), chẳng hạn

\sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{\cos(nx)}{\log n}.

Để chứng minh kết quả trên, ta biến đổi tổng riêng S_n(f, x) như sau.

Do \hat{f}(n)=\hat{f}(-n) nên

S_n(f, x)=\sum\limits_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx}=\hat{f}(0)+\sum\limits_{k=1}^n \hat{f}(k)(e^{ikx}+e^{-ikx}).

Do D_k(x)=\sum\limits_{j=-k}^k e^{ikx} nên

S_n(f, x)=\hat{f}(0)D_0(x)+\sum\limits_{k=1}^n \hat{f}(k)(D_{k}(x)-D_{k-1}(x))

=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(\hat{f}(k)-\hat{f}(k+1))D_k(x)+\hat{f}(n)D_n(x).

Do K_k(x)=\dfrac{1}{k+1}\sum\limits_{j=0}^k D_j(x) nên

S_n(f, x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} (\hat{f}(k)-\hat{f}(k+1))((k+1)K_k(x)-kK_{k-1}(x))+\hat{f}(n)D_n(x)

=\sum\limits_{k=0}^{n-2}(k+1)(\hat{f}(k)+\hat{f}(k+2)-2\hat{f}(k+1))K_k(x)+

+n(\hat{f}(n-1)-\hat{f}(n))K_{n-1}(x)+\hat{f}(n) D_n(x).

Đến đây ta có |S_n(f, x)-f(x)| nằm giữa

a_n|D_n(x)|\pm \Big(\sum\limits_{k=n-1}^\infty (k+1)(\hat{f}(k)+\hat{f}(k+2)-2\hat{f}(k+1))K_k(x)+

+ n(\hat{f}(n-1)-\hat{f}(n))K_{n-1}(x)\Big).

+) \int\limits_0^{2\pi}|D_n(x)|dx~\log n,

+) K_k(x)\ge 0, ||K_k||_{L^1}=1,

+) \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0,

+) \sum\limits_{k=1}^\infty k(\hat{f}(k-1)+\hat{f}(k+1)-2\hat{f}(k)) là chuỗi dương, hội tụ,

+) \lim\limits_{n\to\infty}n(\hat{f}(n-1)-\hat{f}(n))=0

nên kết quả trên được chứng minh.

3 responses »

  1. Với dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0 chuỗi lượng giác

    \sum\limits_{n\in\mathbb Z} a_ne^{inx}

    là chuỗi Fourier của một hàm f\in L^1(\mathbb T).

    Do tính chẵn nên chuỗi lượng giác trên có thể viết dưới dạng chuỗi cosine

    a_0+2\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx).

    Ta có thể nghĩ đến chuỗi sine

    \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\sin(nx)

    khi dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} là dãy lẻ.

    Câu hỏi: dãy lẻ \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} cần thỏa mãn tính chất gì để chuỗi sine là chuỗi Fourier của một hàm tuần hoàn, khả tích Lebesgue?

    Điều kiện cần:

    Nếu dãy không âm, lẻ \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} hội tụ về 0 là dãy hệ số Fourier của một hàm f\in L^1(\mathbb T) thì

    chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n} hội tụ.

    Điều kiện đủ:

    Nếu dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb Z} là dãy không âm, lẻ, đơn điệu giảm về 0 và thỏa mãn

    chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n} hội tụ

    thì chuỗi sine \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\sin(nx) hội tụ trong L^1(\mathbb T).

    Từ đây có thể thấy chuỗi sine

    \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{\sin(nx)}{\log n}

    là chuỗi hội tụ điểm trên \mathbb T,

    không là chuỗi Fourier.

  2. Việc xây dựng dãy không âm, lồi, chẵn, hội tụ về 0 từ dãy không âm \{m_n\}_{n\in\mathbb N} hội tụ về 0 có thể làm theo cách khác như sau.

    B1: Sắp xếp lại dãy (Gợi ý của thầy Phạm Trọng Tiến)

    đặt \bar{m}_n=\sup\limits_{k\ge n} m_n có:

    +) dãy \bar{m}_n giảm về 0,

    +) \bar{m}_n\ge m_n.

    B2: Đặt a_1=\bar{m}_1+1.

    Đặt n_1 là số tự nhiên bé nhất mà

    \bar{m}_{n_1}<\bar{m}_2.

    Với k=2, 3, \dots, n_1-1 lấy (k, a_k) là các điểm nằm trên đoạn nối (1, a_1)(n_1-1, \bar{m}_2).

    B3: Giả sử ta đã xây dựng được a_1, a_2, \dots, a_j. Đặt n_j là số tự nhiên bé nhất mà

    \bar{m}_{n_j}<\bar{m}_{j+1}.

    Với k=j+1, \dots, n_j-1 lấy (k, a_k) là các điểm nằm trên đoạn nối (j, a_j)(n_j-1, a_{n_j-1}), với

    a_{n_j-1}=\max\{\bar{m}_{n_j-1}, (n_j-j)a_j-(n_j-1-j)a_{j-1}\}.

    Việc cuối cùng: chứng minh

    +) \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0.

  3. Pingback: Một số cách chứng minh Bất đẳng thức Bernstein – Bất đẳng thức Bohr | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s