Tiêu chuẩn Cauchy

Standard

Khi bắt đầu học về dãy số ta bắt gặp tiêu chuẩn Cauchy. Tiêu chuẩn Cauchy cho ta biết khi nào một dãy hội tụ chỉ bằng những thông tin lấy ra từ trong bản thân dãy đó. Dĩ nhiên, cũng cần lưu ý rằng chỉ có tiêu chuẩn Cauchy cho dãy số thực chứ không có tiêu chuẩn Cauchy cho dãy số hữu tỷ! Nghĩa là một dãy Cauchy gồm các số hữu tỷ chưa chắc đã hội tụ đến một số hữu tỷ, mặc dù chắc chắn nó hội tụ đến một số thực. Chẳng hạn dãy

u_n=(1+\frac{1}{n})^n\in\mathbb Q, n\in\mathbb N,

hội tụ đến số e\not\in\mathbb Q.

Câu hỏi bài viết này quan tâm: những không gian nào có tiêu chuẩn Cauchy hay những không gian nào đầy đủ?

Ta bắt đầu với không gian \mathbb R là không gian có tiêu chuẩn Cauchy. Các bạn có thể xem một vài chứng minh ở

https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/09/08/trao-doi-bai-giang-giai-tich-1-lop-k59a3/#comment-3176

Tiếp đến không gian \mathbb R^n gồm các điểm x=(x_1, x_2, \dots, x_n)n-tọa độ thực. Một dãy điểm \{x^{(k)}\}_{k\in\mathbb N} trong \mathbb R^n được gọi là hội tụ nếu từng thành phần của nó hội tụ, và được gọi là Cauchy nếu từng thành phần của nó Cauchy. Như vậy, không khó khăn để thấy không gian \mathbb R^n có tiêu chuẩn Cauchy. Tuy nhiên cách nhìn này chưa được chính thống. Người ta thường nhìn \mathbb R^n là không gian véc-tơ trên trường thực, có chuẩn

||x||=(\sum_{j=1}^n |x_j|^2)^{1/2}.

Khi đó điểm a=(a_1, a_2, \dots, a_n) là giới hạn của dãy \{x^{(k)}\}_{k\in\mathbb N} nếu

\lim\limits_{k\to\infty}||x^{(k)}-a||=0.

Một dãy \{x^{(k)}\}_{k\in\mathbb N} được gọi là dãy Cauchy nếu

với mỗi \epsilon>0 đều có k_0\in\mathbb N sao cho

||x^{(k)}-x^{(l)}||<\epsilon, \forall k, l\ge k_0.

Các bạn thử xem các khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy định nghĩa bởi chuẩn có tương đương với các định nghĩa bằng từng thành phần?

Nếu chỉ quan tâm đến hội tụ ta có thể xem mặt phẳng phức \mathbb C như \mathbb R^2. Như vậy \mathbb C có tiêu chuẩn Cauchy.

Tiếp tục ta quan tâm đến không gian các điểm có vô hạn tọa độ \ell_1=\ell_1(\mathbb N; \mathbb R) gồm các dãy số thực x=(x_1, x_2, \dots, x_n, \dots)

chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty |x_n| hội tụ.

Có thể thấy \ell_1 là không gian véc-tơ trên trường thực. Khi đó ta xác định chuẩn trên \ell_1

||x||_1 = \sum\limits_{n=1}^\infty |x_n|.

Ta cũng định nghĩa dãy hội tụ, dãy Cauchy qua chuẩn ||.||_1 như trên. Không khó để thấy dãy hội tụ là dãy mà từng thành phần của nó hội tụ, còn gọi là hội tụ điểm. Tương tự như vậy với dãy Cauchy. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng! Các bạn thử tìm các ví dụ:

– dãy có từng thành phần hội tụ và không hội tụ.

Câu hỏi: liệu không gian \ell_1 có tiêu chuẩn Cauchy không?

Ta xuất phát từ một dãy Cauchy trong \ell_1. Dãy này là dãy có từng thành phần là dãy Cauchy thực nên từng thành phần của dãy hội tụ. Để trả lời câu hỏi trên ta cần trả lời hai câu hỏi:

– điểm giới hạn có thành phần là giới hạn của từng thành phần của dãy Cauchy có thuộc vào \ell_1 không?

– dãy Cauchy có hội tụ đến điểm giới hạn trên trong \ell_1 không?

Ta sẽ trả lời các câu hỏi này như sau. Giả sử dãy \{x^{(k)}\}_{k\in\mathbb N} là dãy Cauchy trong \ell_1. Khi đó từng thành phần \{x^{(k)}_n\}_{k\in\mathbb N}, n\in\mathbb N, là dãy Cauchy thực nên chúng đều hội tụ, gọi giới hạn x_n.

Do dãy Cauchy là dãy bị chặn nên có M>0 sao cho

||x^{(k)}||_1\le M, \forall k\in\mathbb N.

Cố định mỗi N\in\mathbb N, từ tính hội tụ điểm ta có k_0\in\mathbb N sao cho

\sum\limits_{n=1}^N |x^{(k)}_n-x_n|\le 1, \forall k\ge k_0

hay

\sum\limits_{n=1}^N |x_n|\le 1+\sum\limits_{n=1}^N |x^{(k)}_n|, \forall k\ge k_0.

Như vậy với mỗi N\in\mathbb N

\sum\limits_{n=1}^N |x_n|\le 1+M

hay x\in\ell_1. Ta đã trả lời được câu hỏi đầu.

Ta còn phải chứng minh

\lim\limits_{k\to\infty}||x^{(k)}-x||_1=0.

Lấy \epsilon>0. Do dãy \{x^{(k)}\}_{k\in\mathbb N} là Cauchy nên có k_0\in\mathbb N để

||x^{(k)}-x^{(l)}||_1<\epsilon, \forall k, l\ge k_0.

Cố định mỗi N\in\mathbb N

\sum\limits_{n=1}^N |x^{(k)}_n-x^{(l)}_n|<\epsilon, \forall k, l\ge l_0.

Do \lim\limits_{l\to\infty}x^{(l)}_n=x_n, \forall n\in\mathbb N nên

\sum\limits_{n=1}^N |x^{(k)}_n-x_n|\le \epsilon, \forall k\ge k_0.

Do \epsilon là số dương không phụ thuộc N nên cho N\to\infty ta có

||x^{(k)}-x||_1\le \epsilon, k\ge k_0.

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Một cách tương tự ta cũng chứng minh được \ell_p, 1<p\le \infty, là không gian có tiêu chuẩn Cauchy.

Do dãy hội tụ thì bị chặn nên không gian các dãy số thực hội tụ, ký hiệu c, là không gian con của \ell_\infty. Hơn nữa không gian c là không gian con đóng trong \ell_\infty, nghĩa là

nếu x^{(k)}=(x^{(k)}_1, \dots, x^{(k)}_n, \dots), k\in\mathbb N, là các dãy hội tụ và có một dãy số thực x=(x_1, \dots, x_n, \dots) sao cho

\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{n\in\mathbb N}|x^{(k)}_n-x_n|=0

thì dãy x=(x_1, \dots, x_n, \dots) hội tụ. Hơn nữa giới hạn của dãy x chính là giới hạn của dãy giới hạn của dãy x^{(k)}, nghĩa là

\lim\limits_{n\to\infty}(\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)}_n)=\lim\limits_{k\to\infty}(\lim\limits_{n\to\infty}x^{(k)}_n).

Như vậy không gian (c, ||.||_\infty) là không gian có tiêu chuẩn Cauchy.

Không khó để thấy không gian c_{00}=\{x\in\ell_\infty|\; x_n=0 với tất cả các n\in\mathbb N, trừ ra một số hữu hạn \} với chuẩn ||.||_\infty không có tiêu chuẩn Cauchy. Lý do: bao đóng của c_{00} trong \ell_\infty là không gian các dãy hội tụ về 0, ký hiệu c_0.

Ta có thể nhìn không gian dãy như không gian các hàm xác định trên \mathbb N. Bước tiếp ta quan sát không gian các hàm xác định trên đoạn [0, 1].

Ta bắt đầu với không gian các hàm liên tục C[0, 1]. Do hàm liên tục xác định trên tập compact có giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất nên ta xét chuẩn

||f||_\infty=\max\limits_{x\in[0, 1]}|f(x)|, f\in C[0, 1].

Không gian (C[0, 1], ||.||_\infty) cũng là không gian có tiêu chuẩn Cauchy. Việc chứng minh điều này cũng tương tự như trong \ell_1, gồm các bước:

– dãy hàm Cauchy là dãy hàm hội tụ điểm,

– từ hội tụ điểm dẫn đến hội tụ (theo chuẩn),

– từ hội tụ theo chuẩn (còn gọi là hội tụ đều) dẫn đến hàm giới hạn là hàm liên tục.

Từ Định lý Weierstrass về xấp xỉ: mọi hàm liên tục trên đoạn [0, 1] đều có thể xấp xỉ bởi dãy các đa thức ta có

không gian các đa thức P[0, 1]=\{\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k|\; a_k\in\mathbb R, 1\le k\le n, n\in\mathbb Z_+, x\in [0, 1]\} với chuẩn ||.||_\infty không có tiêu chuẩn Cauchy.

Quay trở lại không gian các hàm liên tục C[0, 1], do hàm liên tục thì khả tích nên ta có thể xét chuẩn

||f||_1=\int\limits_0^1 |f(x)|dx.

Xét dãy hàm f_n\in C[0, 1] xác định bởi

f_n(x)=\begin{cases}1-nx\; khi \; 0\le x\le 1/n,\\ 0\; khi \; 1/n\le x\le 1.\end{cases}

||f_n-f_m||_1=\dfrac{|m-n|}{2mn}

nên dãy \{f_n\}_{n\in\mathbb N} là dãy Cauchy trong (C[0, 1], ||.||_1). Dãy hàm này hội tụ điểm đến hàm

f(x)=\begin{cases}1\; khi \; x=0,\\ 0\; khi \; 0<x\le 1.\end{cases}

Cũng không khó để thấy:

+) \lim\limits_{n\to\infty}||f_n-f||_1=0,

+) f\not\in C[0, 1].

Tuy nhiên nếu ta thay f bởi hàm 0 ta vẫn có

+) \lim\limits_{n\to\infty}||f_n-0||_1=0,

+) nhưng 0\in C[0, 1].

Có điều gì không ổn ở đây? Phải chăng (C[0, 1], ||.||_1) vẫn có tiêu chuẩn Cauchy với cách nhìn khéo léo nào đấy? Chẳng hạn ta xem hai hàm là một khi chúng chỉ khác nhau một vài điểm? Tuy nhiên ví dụ sau cho ta thấy (C[0, 1], ||.||_1) thực sự không có tiêu chuẩn Cauchy. Xét dãy hàm

g_n(x)=\begin{cases}0 \; khi \; 0\le x\le \frac{n-1}{2n},\\ nx-\frac{n-1}{2}\; khi \; \frac{n-1}{2n}\le x\le \frac{n+1}{2n}, \\ 1\; khi \; \frac{n+1}{2n}\le x\le 1.\end{cases}

Dãy này là dãy Cauchy và không thể tìm được một hàm liên tục g\in C[0, 1] nào để

\lim\limits_{n\to\infty}||g_n-g||_1=0.

Vì để có điều này

g(x)=\begin{cases}0\; khi \; 0\le x<1/2, \\ 1\; khi \; 1/2<x\le 1.\end{cases}

Liệu mở rộng một chút: không gian các hàm khả tích Riemann với chuẩn ||.||_1 có tiêu chuẩn Cauchy?

Ta có thể xây dựng được dãy hàm liên tục trong C[0, 1] hội tụ theo chuẩn ||.||_1 đến hàm Dirichlet

D(x)=\begin{cases}1\; khi \; x\in\mathbb Q,\\ 0\; khi \; x\not\in\mathbb Q.\end{cases}.

Ta biết rằng hàm Dirichlet không khả tích Riemann nên mở rộng trên chưa đủ! Một trong các lý do xuất hiện độ đo Lebesgue có thể là đây?

Không gian L^1[0, 1] là không gian các hàm khả tích Lebesgue trên đoạn [0, 1] với chuẩn ||.||_1. Ta có C[0, 1] là tập trù mật trong L^1[0, 1]. Nói cách khác L^1[0, 1] là không gian có tiêu chuẩn Cauchy, theo chuẩn ||.||_1, bé nhất chứa C[0, 1]. Việc chứng minh L^1[0, 1] có tiêu chuẩn Cauchy hơi khác so với các chứng minh vì:

dãy Cauchy trong L^1[0, 1] chưa chắc là dãy hội tụ điểm.

Để chứng minh ta làm theo các bước:

– xây dựng một dãy con hội tụ điểm (hội tụ hầu khắp nơi),

– dãy Cauchy là dãy bị chặn nên dùng Định lý hội tụ bị chặn dẫn đến hội tụ theo chuẩn,

– từ dãy con hội tụ theo chuẩn sẽ dẫn đến dãy ban đầu hội tụ theo chuẩn.

Lưu ý: dãy bị chặn trong L^1[0, 1] chưa chắc trích ra được dãy con hội tụ, điểm khác biệt giữa không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều.

Chi tiết các việc này các bạn có thể tham khảo khóa luận của Trịnh Thu Trang

https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2011/06/kl-trang29-5-11.pdf

One response »

  1. Trong bài xuất hiện: phép lấy giới hạn có thực sự giao hoán với nhau hay nói cách khác việc đổi thứ tự lấy giới hạn có cho cùng một kết quả hay không?

    Nói chung câu trả lời là không. Chẳng hạn xét ví dụ

    x^{(k)}=(\underbrace{1, \dots, 1}_{k}, 0, \dots)

    \lim\limits_{n\to\infty}(\lim\limits_{k\to\infty}x^{(k)}_n)=1

    còn

    \lim\limits_{k\to\infty}(\lim\limits_{n\to\infty}x^{(k)}_n)=0.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s