Tính chất của nghiệm phương trình truyền sóng – Di truyền từ điều kiện ban đầu

Standard

Bằng phương pháp đặc trưng (characteristic method) ta đã biết nghiệm tổng quát của phương trình truyền sóng

u_{tt}(x, t)=a^2u_{xx}(x, t), x\in\mathbb R, t>0, \quad(a>0),

có dạng

u(x, t)=\dfrac{1}{2}(F(x-at)+G(x+at))

trong đó

F(x-at) được gọi là sóng tiến (forward wave) vì khi t tăng đồ thị của F(x-at) sẽ tiến về phía phải,

G(x+at) được gọi là sóng lùi (backward wave) vì khi t tăng đồ thị của G(x+at) sẽ lùi về phía trái.

Nếu ta biết thêm điều kiện ban đầu

u(x, 0)=f(x), u_t(x, 0)=g(x)

ta có công thức D’Alembert cho sóng tiến, sóng lùi

F(x-at)=f(x-at)-g^*(x-at), G(x+at)=f(x+at)+g^*(x+at)

với g^*(x)=\dfrac{1}{a}\int\limits_0^x g(y)dy.

Nếu các điều kiện ban đầu f, g đủ tốt, cụ thể

f\in C^2(\mathbb R), g\in C^1(\mathbb R)

thì nghiệm u(x, t) có đạo hàm riêng đến cấp 2 và nó thỏa mãn phương trình truyền sóng và các điều kiện ban đầu theo nghĩa thông thường. Lúc này ta nói nghiệm u(x, t) là nghiệm cổ điển (classical solution).

Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng có được điều kiện ban đầu tốt. Khi đó câu hỏi: liệu nghiệm thu được nhờ công thức D’Alembert có là nghiệm cổ điển không? Cụ thể hơn:

+ nghiệm u(x, t) có đạo hàm riêng đến cấp 2 không?

+ nếu có, các đạo hàm riêng cấp 2 của u(x, t) có thỏa mãn phương trình truyền sóng không?

+ nghiệm u(x, t) có thỏa mãn điều kiện ban đầu không?

Thường thì điều kiện ban đầu thỏa mãn. Việc kiểm tra chủ yếu sẽ nằm ở câu hỏi đầu. Một cách chi tiết ta sẽ kiểm tra từng bước như sau:

+ kiểm tra tính liên tục của u(x, t), nếu không thì dừng,

+ nếu liên tục, tính các đạo hàm riêng cấp 1 của u(x, t), nếu không có thì dừng,

+ nếu có đạo hàm riêng cấp 1, tính các đạo hàm riêng u_{tt}(x, t)u_{xx}(x, t), nếu không có thì dừng,

+ nếu có thử lại phương trình.

Nếu ta làm các việc trên tại mọi điểm thì đây là điều không làm được! Để làm được ta quan sát

u(x, t)=F(x-at)+G(x+at).

Để ý rằng nếu F, G tốt thì tổng của nó

tốt + tốt = tốt.

Như vậy để xem tại điểm (x_0, t_0) hàm u(x, t) có tốt không thì ta xem tại thời điểm ban đầu t=0

Huc1

+ sóng tiến F(x) có tốt tại x_0-at_0,

+ sóng lùi G(x) có tốt tại x_0+at_0.

Như vậy việc kiểm tra cho nghiệm u(x, t) được chuyển về việc kiểm tra sóng tiến, sóng lùi tại thời điểm ban đầu.

Ta có kết quả sau:

– Tại thời điểm ban đầu, nếu sóng tiến F(x) khả vi đến cấp 2 tại (x_0-at_0) và sóng lùi G(x) khả vi đến cấp 2 tại (x_0+at_0) thì nghiệm u(x, t) sẽ có các đạo hàm riêng

u_{xx}(x_0, t_0)=F"(x_0-at_0)+G"(x_0+at_0),

u_{tt}(x_0, t_0)=a^2[F"(x_0-at_0)+G"(x_0+at_0)]

và chúng thỏa mãn phương trình truyền sóng tại (x_0, t_0).

Tuy nhiên tại chỗ không tốt ta cần xem xét cẩn thận. Lý do các bạn có thể tham khảo

https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/09/08/trao-doi-bai-giang-giai-tich-1-lop-k59a3/#comment-3206

Nói cách khác: nếu điều kiện ban đầu tốt nó sẽ di truyền tính tốt đến nghiệm, còn nếu điều kiện ban đầu không tốt chưa hẳn nó sẽ di truyền sự không tốt đến nghiệm.

Ta sẽ xem xét chi tiết phần không tốt.

Bắt đầu với tính liên tục. Ta nhìn từ thời điểm ban đầu. Giả sử

– sóng tiến F(x) không liên tục tại y_1,

– sóng lùi G(x) không liên tục tại y_2.

Khi đó

– tại những điểm (x_0, t_0) nằm trên đường thẳng x-at=y_1 sóng tiến F(x-at) không liên tục tại x_0-at_0,

– tại những điểm (x_0, t_0) nằm trên đường thẳng x+at=y_2 sóng lùi G(x+at) không liên tục tại x_0+at_0.

Do

có+không=không

nên nếu (x_0, t_0) chỉ nằm trên một trong hai đường x-at=y_1, x+at=y_2 thì nghiệm u(x, t) không liên tục tại (x_0, t_0).

Vấn đề nằm ở chỗ

không + không bằng gì ta chưa biết

nên nếu (x_0, t_0) là giao của hai đường x-at=y_1, x+at=y_2 thì ta chưa biết u(x, t) có liên tục tại (x_0, t_0) hay không?

Ta xét ví dụ: tốc độ lan truyền a=1 và các điều kiện ban đầu

f(x)=\begin{cases} sgn(x) \; khi \; 1\le |x| \le 2,\\ 0 \; otherwise,\end{cases} \quad\quad g(x)=0

ta có tại thời điểm t=0

+ sóng tiến và sóng lùi bằng nhau F(x)=G(x)=f(x).

songtruocsau

Như vậy sóng tiến và sóng lùi tại thời điểm ban đầu đều chỉ không liên tục tại x\in\{\pm 1, \pm 2\}. Khi đó tại những điểm không trên các đường đặc trưng x\pm t=C đi qua các điểm (0, \pm 1), (0, \pm 2) hàm u(x, t) liên tục tại các điểm đó. Chỉ còn lại các điểm không nằm trên các đường này, cụ thể tám đường

x\pm t=\pm 1, x\pm t=\pm 2.

dactrung

Tại những điểm (x, t) chỉ nằm trên chỉ một trong tám đường trên là những điểm nghiệm u(x, t) không liên tục. Vậy còn lại sáu giao điểm

(\pm 3/2, 1/2), (0, 1), (0, 2), (\pm 1/2, 3/2).

Tại

+) hai điểm (\pm 3/2, 1/2) nghiệm u(x, t) có gián đoạn khử được theo biến x, gián đoạn loại I, không khử được theo biến t,

+) hai điểm (\pm 1/2, 3/2) nghiệm u(x, t) liên tục theo biến x, gián đoạn loại I, không khử được theo biến t,

+) hai điểm (0, 1), (0, 2) nghiệm u(x, t) có gián đoạn loại I, không khử được theo từng biến.

songlientuc

Trong trường hợp sóng tiến và sóng lùi liên tục thì nghiệm sẽ liên tục. Lúc này ta tiếp tục kiểm tra các đạo hàm cấp 1. Ta có hai tình huống rõ rệt:

+ nếu điểm đang xét nằm trên hai đường đặc trưng mà xuất phát tại hai điểm tại đó sóng tiến và sóng lùi đều khả vi (một cách tương ứng) thì nghiệm sẽ có các đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm đó;

+ nếu điểm đang xét nằm trên đường đặc trưng x-at=y_1x+at=y_2

– hoặc F(x) khả vi tại y_1G(x) không khả vi tại y_2,

– hoặc F(x) không khả vi tại y_1G(x) khả vi tại y_2

thì nghiệm sẽ không có đạo hàm riêng tại đó.

Tình huống cần phân tích là giao điểm các đường đặc trưng xuất phát từ các điểm mà sóng tiến, sóng lùi không khả vi (một cách tương ứng). Để làm rõ ta xét ví dụ sau.

Tốc độ lan truyền a=1 và các điều kiện ban đầu

f(x)=0, \quad g(x)=\begin{cases} sgn(x)\; khi \; 1\le |x|\le 2,\\ 0\; otherwise.\end{cases}

Khi đó

g^*(x)=\int\limits_0^x g(y)dy=\begin{cases} 1 \;khi \; |x|\ge 2,\\ |x|-1\; khi \; 1\le |x|\le 2, \\ 0 \; otherwise. \end{cases}

Sóng tiến F(x)=-g^*(x) và sóng lùi G(x)=g^*(x).

songtruocsau1

Cũng giống ví dụ trước:

– những điểm không nằm trên tám đường

x\pm t=\pm1, x\pm t=\pm 2

nghiệm u(x, t) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại đó,

– những điểm chỉ nẳm trên một trong tám đường trên thì nghiệm u(x, t) không có đạo hàm riêng cấp 1 tại đó.

Chỉ còn lại sáu điểm

(\pm 3/2, 1/2), (0, 1), (0, 2), (\pm 1/2, 3/2).

songkhavi

Khác so với ví dụ trên, từ hình vẽ ta thấy:

+ tại hai điểm (\pm 3/2, 1/2) nghiệm u(x, t) không có đạo hàm riêng theo x, không có đạo hàm riêng theo t,

+ tại hai điểm (\pm1/2, 3/2) nghiệm u(x, t) không có đạo hàm riêng theo x, không có đạo hàm riêng theo t,

+ tại hai điểm (0, 1), (0, 2) nghiệm u(x, t) có đạo hàm riêng cả xt.

3 responses »

  1. Trong ví dụ sau trên đồ thị là các đường gấp khúc nên dễ nhìn ra tính không khả vi. Bài 1 đề thi giữa kỳ lớp K56A1 nhóm 1

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2014/04/dethigiuakyk56a1.pdf

    có đồ thị của u(x, 1/3) không chỉ gồm các đoạn thẳng, đường thẳng. Khi đó ta nên tính các đạo hàm riêng trái và phải. Các bạn có thể tham khảo điều này ở bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/04/09/gioi-han-cua-dao-ham-la-dao-ham/

  2. Bài 4.13/trang 96 trong sách của Y. Pinchover và J. Rubinstein hỏi về những điểm bất thường (kỳ dị – singular) của nghiệm của bài toán

    u_{tt}=4u_{xx}-4e^{x}, -\infty<x<\infty, t>0,

    u(x, 0)=f(x)=\begin{cases} 0 \; khi \; x\le 0 \; hay \; x\ge 3,\\ x\; khi \; 0\le x\le 1,\\ 1\; khi \; 1\le x\le 2,\\ 3-x\; khi \; 2\le x\le 3,\end{cases}

    u_t(x, 0)=\begin{cases} 1-x^2 \; khi \; |x|\le1, \\ 0 \; otherwise.\end{cases}

    Khi đó công thức nghiệm D’Alembert

    u(x, t)=\dfrac{1}{2}(f(x-2t)+f(x+2t))+\dfrac{1}{4}\int\limits_{x-2t}^{x+2t}g(y)dy +e^x.

    f, g là các hàm liên tục nên u(x, t) liên tục.

    g liên tục nên u(x, t) không có đạo hàm riêng cấp 1 khi và chỉ khi

    v(x, t)=\dfrac{1}{2}(f(x-2t)+f(x+2t)) không khả vi.

    song

    Như vậy có thể thấy những điểm nghiệm không có đạo hàm riêng cấp 1 nằm trên tám đường

    x\pm 2t=0, x\pm 2t=1, x\pm 2t=2, x\pm 2t -3.

    Lưu ý thêm u(x, 1/4) chỉ không có đạo hàm riêng theo x tại (-1/2, 1/4), (3/2, 1/4), (7/2, 1/4). Đặc biệt u(x, t) có các đạo hàm riêng

    v_x(1/2, 1/4)=1/2, v_t(1/2, 1/4)=0

    v_{xx}(1/2, 1/4)=0, v_{tt}(1/2, 1/4)=0.

    Tại những điểm không nằm trên tám đường trên nghiệm có đạo hàm riêng cấp 1. Khi đó, nghiệm không có đạo hàm riêng cấp hai khi và chỉ khi

    \bar{u}(x, t)=\bar{F}(x-2t)+\bar{G}(x+2t) không có đạo hàm riêng cấp 2,

    trong đó \bar{G}(x)=-\bar{F}(x)=\int\limits_0^x g(y)dy.

    song

    Như vậy, nghiệm có đạo hàm riêng cấp 1 và không có đạo hàm riêng cấp 2 trên hai đường

    x\pm 2t=-1.

    Như vậy tập tất cả các điểm bất thường của nghiệm D’Alembert là mười đường trên. Những điểm nằm ngoài mười đường này nghiệm D’Alembert có đạo hàm riêng đến cấp 2 và thỏa mãn phương trình.

    • Vài điểm thú vị

      v(1/2, t)=v(5/2, t)=1/2 khi 0\le t\le 3/4,

      v(1, t)=1 khi 0\le t\le 1/4.

      Câu hỏi: với mỗi x_0\in\mathbb R

      \lim\limits_{t\to\infty}v(x_0, t)=?

      \lim\limits_{t\to\infty}\bar{u}(x_0, t)=?

      \lim\limits_{t\to\infty}u(x_0, t)=?

      Tại (1/2, 1/4), (5/2, 1/4) hàm u(x, t) có đạo hàm riêng cấp 1. Hỏi tại đó chúng có đạo hàm riêng cấp 2 theo từng biến không?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s