Tập điểm phân kỳ – Chuỗi Fourier

Standard

Như trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/12/11/chuoi-fourier-cua-ham-lien-tuc/

với bất kỳ điểm x_0\in\mathbb T ta đều tìm được một hàm liên tục trên \mathbb T mà chuỗi Fourier của nó phân kỳ tại điểm đó. Câu hỏi bài viết này quan tâm:

Tập các điểm mà có một hàm liên tục có chuỗi Fourier của nó phân kỳ trên tập đó là tập như nào?

Tập điểm như vậy ta gọi là tập phân kỳ.

Trước hết ta nhắc lại ví dụ trong cuốn “An introduction to Harmonic Analysis” của Y. Katznelson, xét hàm

f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}\varphi_{\lambda_n}(\lambda_n x)

với \varphi_n(x)=\sigma_{n^2}(\psi_n, x) (tổng Fejer thứ n^2 của hàm \psi_n),

\psi_n(x)=sgn(D_n(x)), D_n(x) là nhân Dirichlet.

Khi ta chọn \lambda_n=2^{3^n} ta có chuỗi Fourier của f(x) phân kỳ tại x=0. Ngoài cách chọn này ta còn có thể chọn nhiều cách khác miễn sao nó thỏa mãn

\lambda_n^2<\lambda_{n+1}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(\lambda_n)}{n^2}=\infty.

Cũng để ý phân tích

f(x)=\underbrace{\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{1}{j^2}\varphi_{\lambda_j}(\lambda_j)(x)}_{I_1}+\underbrace{\sum\limits_{j=n+1}^\infty\dfrac{1}{j^2}\varphi_{\lambda_j}(\lambda_j x)}_{I_2}

+) I_1 là đa thức lượng giác có bậc không quá \lambda_n^2 nên chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm hay

chuỗi Fourier của f phân kỳ tại x_0 khi và chỉ khi chuỗi Fourier của I_2 phân kỳ tại x_0;

+) I_2 là hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi/\lambda_{n+1}\lambda_{n+1} là ước số của \lambda_k, k\ge n+1.

Do f có chuỗi Fourier phân kỳ tại x=0 nên I_2 có chuỗi Fourier phân kỳ tại x=0. Lại do I_2 tuần hoàn chu kỳ 2\pi/\lambda_{n+1} nên chuỗi Fourier của I_2 cũng phân kỳ tại các điểm j2\pi/\lambda_{n+1}, j\in\mathbb Z. Khi đó f có chuỗi Fourier phân kỳ tại các điểm

j2\pi/\lambda_n, n\in\mathbb N, j\in\mathbb Z.

Nếu ta lấy \lambda_n=n!2^{3^n} thì hàm f có chuỗi Fourier phân kỳ tại các điểm

r\pi, r\in\mathbb Q.

Có hai điểm trong ví dụ này cần quan tâm:

– ngoài những điểm r\pi, r\in\mathbb Q chuỗi Fourier của f còn phân kỳ tại những đâu,

– tập các điểm dạng r\pi, r\in\mathbb Q đếm được đặc biệt.

Hai điểm này dẫn đến câu hỏi:

cho trước một tập gồm tối đa đếm được điểm, liệu ta có thể tìm được một hàm liên tục mà chuỗi Fourier của nó phân kỳ tại mọi điểm của tập tối đa đếm được cho trước không, và hội tụ tại những điểm khác?

Để giải quyết vấn đề này thực chất ta chỉ cần trả lời câu hỏi:

liệu có hàm liên tục nào mà chuỗi Fourier của nó chỉ phân kỳ tại đúng điểm x=0?

Thật vậy, giả sử ta tìm được hàm liên tục f_0(x). Nếu tập cho trước chỉ gồm hữu hạn điểm phân biệt t_1, t_2, \dots, t_m\in \mathbb T thì hàm liên tục cần tìm

f(x)=\sum\limits_{j=1}^m f_0(x-t_j)

là hàm có chuỗi Fourier chỉ phân kỳ tại các điểm t_1, t_2, \dots, t_m.

Nếu tập cho trước gồm đếm được điểm phân biệt t_1, t_2, \dots, thì việc xây dựng cần thêm chút kỹ thuật. Nếu ta xây dựng được hàm liên tục f_0 thỏa mãn:

– chuỗi Fourier của nó chỉ phân kỳ tại x=0,

– dãy tổng riêng của chuỗi Fourier của nó bị chặn đều

thì hàm cần tìm

f(x)=\sum\limits_{j=1}^\infty \dfrac{1}{j^2}f_0(x-t_j).

Các bạn thử giải thích cách làm trên thực sự cho ta điều cần tìm?

Việc xây dựng f_0 như vậy chính là nhờ Fejer:

f_0(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^2}Q(x, 2^{k^2+1}, 2^{k^2})

với

Q(x, N, n)=\sum\limits_{|k|\le n\atop k\not=0} \dfrac{\cos(N+k)x}{k}.

Đến đây ta gặp câu hỏi:

vậy độ lớn của tập điểm phân kỳ là bao nhiêu?

Vào năm 1966:

– L. Carleson chứng minh được rằng: chuỗi Fourier của hàm bình phương khả tích trên \mathbb T hội tụ hầu khắp nơi, điều này dẫn đến tập điểm phân kỳ phải có độ đo 0;

– J. P. Kahane và Y. Katznelson chứng minh được rằng: bất kỳ tập độ đo 0 nào cũng là tập điểm phân kỳ.

Như vậy ta có câu trả lời có vẻ như trọn vẹn cho câu hỏi trên. Tuy nhiên còn có điểm chưa rõ:

với bất kỳ tập có độ đo 0 đều có hàm liên tục có chuỗi Fourier phân kỳ trên đó, nhưng liệu còn có điểm nào ngoài tập này chuỗi Fourier của hàm liên tục phân kỳ không?

Nói cách khác nếu ta định nghĩa chặt chẽ hơn tập điểm phân kỳ như sau:

tập E được gọi là tập điểm phân kỳ nếu có một hàm liên tục f mà chuỗi Fourier của nó

– hội tụ tại tất cả các điểm x\not\in E,

– phân kỳ tại tất cả các điểm x\in E,

thì ta chưa có câu trả lời trọn vẹn.

Các bạn có thể tham khảo thêm ở

http://mathoverflow.net/questions/67093/sets-of-divergence-of-fourier-series

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s