Khai triển Taylor của hàm hợp

Standard

Trong bài tập giải tích có một số bài yêu cầu khai triển Taylor của các hàm

(\cos x)^{\sin x},

e^{2x-x^2} hay \ln(\cos x).

Những hàm này đều có dạng hàm hợp f(g(x)) với f, g đều là các hàm cơ bản, có khai triển Taylor tại x=0. Ngoài ra, g(0)=0. Cụ thể:

– với ví dụ (\cos x)^{\sin x}

f(x)=e^x, g(x)=\sin(x)\ln(\cos x) ;

– với ví dụ \ln(\cos x)

f(x)=\ln(1+x), g(x)=\cos x-1.

Để khai triển thành chuỗi Taylor ta có thể theo cách tính các đạo hàm

\dfrac{d^n}{dx^n}(f(g(x))), n=1, 2, \dots.

Tuy nhiên có thể nhìn thấy được sự khó khăn do công thức tính sẽ rất cồng kềnh khi n lớn.

Câu hỏi: liệu có cách nào khác? liệu có sử dụng được khai triển của f và g?

Câu trả lời như sau.

Giả sử f, g có khai triển Taylor tại x=0 như sau

f(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k+o(x^n),

g(x)=\sum\limits_{k=0}^m b_kx^k+o(x^m), b_0=0.

Để viết được khai triển Taylor tại x=0 của f(g(x)) ta cần chú ý:

+ khi k>n thì x^k=o(x^n),

+ nếu h_1, h_2 đều là o(x^n) thì

h_1+h_2=o(x^n), h_1h_2=o(x^{2n}).

Khi đó khai triển Taylor tại x=0 của f(g(x))

\sum\limits_{k=0}^p c_kx^k+o(x^p)

với

+) c_0=a_0=f(0),

+) c_1=a_1b_1,

+) c_2=a_1b_2+a_2b_1^2.

Câu hỏi: một cách tổng quát c_k=?

Ta có

\sum\limits_{k=0}^p c_kx^k+o(x^p)=\sum\limits_{k=0}^na_k(\sum\limits_{j=1}^mb_jx^j+o(x^m))^k +o(x^n).

Nói chung ta cần m=n=p! (Tại sao?) Tuy nhiên trong một số trường hợp:

+) a_1=0 thì m\le p/2+1, n=p,

+) b_1=0, p=3 thì n=1, m=3, .v.v.

Để tiếp tục, ta lấy ví dụ cụ thể như sau:

Tính \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^3}(1-(\cos x)^{\sin x}).

Để tính giới hạn trên ta cần khai triển Taylor đến cấp 3 hàm

(\cos x)^{\sin x}=e^{\sin(x)\ln(\cos x)}.

Trước hết ta khai triển Taylor đến cấp 3 các hàm:

+) \sin x= x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3),

+) \cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^3),

+) \ln(1+t)=t-\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^3}{6}+o(t^3)

nên

\ln(\cos x)=\ln(1+(\cos x-1))=\dfrac{x^2}{2}+o(x^3)

\sin(x)\ln(\cos x)=\dfrac{x^3}{2}+o(x^3).

Như vậy ta chỉ cần khai triển Taylor đến cấp 1 hàm

e^x=1+x+o(x)

(\cos x)^{\sin x}=1+\dfrac{x^3}{2}+o(x^3).

Khi đó giới hạn cần tìm

\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^3}(1-(\cos x)^{\sin x})=\dfrac{1}{2}.

Các bạn thử khai triển Taylor đến cấp 5 tại x=0 của

(\cos x)^{\sin x}?

2 responses »

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s