Trao đổi bài giảng môn Giải tích 2 cho lớp K59A3

Standard

Đề cương môn học

Đề cương môn học-Ngành Toan tin-Giai tich 2 (1)

Có gì cần trao đổi về bài giảng cũng như bài tập các bạn có thể viết vào phần “Phản hồi”.

110 responses »

  1. Thầy ơi bây giờ bọn em muốn đổi lại sang học lớp thầy được không ạ? Do nhầm lẫn giữa 2 bên nên các bạn đăng kí nhầm hết ạ.

  2. 21/01/2015, tôi dạy lý thuyết thay cho giờ bài tập. Từ tuần sau lớp trở lại học như thời khóa biểu. Tôi bắt đầu về chuỗi số với

    – tiêu chuẩn Cauchy cho hội tụ, phân kỳ,

    – điều kiện cần để chuỗi hội tụ,

    – các dấu hiệu: D’Alembert, dấu hiệu căn Cauchy, dấu hiệu Raabe, dấu hiệu tích phân Cauchy, so sánh cho chuỗi dương,

    – khảo sát sự hội tụ của hai chuỗi quan trọng

    \sum\limits_{n=1}^\infty q^n, q>0\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-s}, s>0,

    – một số phép toán cho các chuỗi hội tụ: phép cộng, phép nhân với hằng số, phép nhân (Cauchy) hai chuỗi.

    Cuối giờ tôi có nói về chuỗi hội tụ tuyệt đối. Từ đây ta có thể xem xét một chuỗi bất kỳ nhờ chuỗi tuyệt đối của nó. Chuỗi tuyệt đối là chuỗi không âm nên ta có thể dùng các dấu hiệu trên.

  3. 22/01/2015 tôi kết thúc phần chuỗi số và bắt đầu phần dãy hàm.

    Tôi bắt đầu giờ học bằng một số chú ý về cách phát biểu tinh tế hơn về các dấu hiệu D’Alembert, căn Cauchy, Raabe và nói thêm về dấu hiệu Gauss.

    Tiếp đến tôi nói về sự thay đổi thứ tự lấy tổng hữu hạn, thêm bớt một số hữu hạn. Đặc biệt tôi trình bày các kết quả sâu sắc:

    + Định lý Dirichlet về chuỗi hội tụ tuyệt đối khẳng định: dù thay đổi cách lấy tổng như nào đi nữa thì chuỗi hội tụ tuyệt đối vẫn hội tụ về đúng giá trị của chuỗi đó.

    + Định lý Riemann về chuỗi bán hội tụ khẳng định: ta có thể thay đổi cách lấy tổng để chuỗi bán hội tụ hội tụ đến giá trị bạn muốn, kể cả vô cùng.

    Sau đó tôi trình bày Định lý Leibniz cho chuỗi đan dấu, các Định lý Abel, Dirichlet cho chuỗi có dạng \sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n.

    Tiết cuối tôi trình bày dãy hàm với các khái niệm:

    – miền hội tụ,

    – hội tụ điểm, hàm giới hạn,

    – hội tụ đều.

    Khái niệm hội tụ đều được quan tâm vì nó đảm bảo tính liên tục của hàm giới hạn được bảo đảm nếu dãy hàm đã cho gồm các hàm liên tục.

    Tiêu chuẩn Cauchy cho khái niệm hội tụ đều cũng được trình bày kèm theo ví dụ cụ thể.

    • Trường hợp đơn giản nhất f(x)=1 hàm g(x) không có đạo hàm tại 1.

      Trường hợp khác f(x)=x-1 thì g'(1)=0.

      Bài tập em đưa ra có câu trả lời phụ thuộc vào từng trường hợp f cụ thể.

  4. 26/01/2015 một số bạn chữa bài tập về tính chuỗi số nhờ tính được công thức của dãy tổng riêng. Cũng cần lưu ý

    không phải lúc nào cũng tính được giới hạn này!

    Để tính được tổng riêng ta thường phân tích số hạng tổng quát thành

    u_n=a_{n+1}-a_n.

    Chẳng hạn

    – chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty q^n ta phân tích

    q^n=a_{n+1}-a_n, a_n=\dfrac{q^{n-1}}{q-1};

    – chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \sin n ta phân tích

    \sin n=a_{n+1}-a_n, a_n=-\dfrac{\cos(n-1/2)}{2\sin(1/2)}.

    Sau đó một vài bạn chữa bài tập xét sự hội tụ của chuỗi số nhờ tiêu chuẩn Cauchy. Cụ thể cố gắng đánh giá tổng

    u_{n+1}+u_{n+2}+\cdots+u_{n+p}.

  5. 28/01/2015 tôi đã kết thúc phần dãy hàm với một số Định lý về tính liên tục, khả tích, khả vi của hàm giới hạn. Một số ví dụ được đưa ra để thấy được ý nghĩa của giả thiết hội tụ đều trong các Định lý. Với tính khả vi, chú ý điều kiện hội tụ đều đặt lên dãy đạo hàm chứ với dãy hàm thì không cần. Với tính khả tích điều kiện hội tụ đều có thể thay bởi

    hội tụ điểm + tính bị chặn đều.

    Tiếp đến tôi chuyển sang chuỗi hàm. Biểu hiện tính liên tục, khả tích, khả vi của hàm giới hạn dễ nhìn hơn:

    – liên tục: chuyển giới hạn qua dấu tổng,

    – khả tích: chuyển dấu tích phân qua dấu tổng,

    – khả vi: chuyển dấu đạo hàm qua dấu tổng.

    Với tổng hữu hạn các kết quả trên đơn giản là tính chất của phép lấy giới hạn, tích phân, đạo hàm. Với tổng vô hạn thì cần có sự hội tụ đều.

    Kiểm tra sự hội tụ đều của chuỗi hàm ta có nhiều cách hơn dãy hàm. Với dãy hàm ta chỉ có tiêu chuẩn Cauchy. Với chuỗi hàm tôi trình bày được

    – Định lý Weierstrass, Định lý Dirichlet.

    Tuần tới tôi sẽ trình bày Định lý Abel, Định lý Dini.

    • Về tính khả tích: nếu thay điều kiện hội tụ đều bởi

      hội tụ điểm + bị chặn đều

      thì tính khả tích Riemann chưa chắc đảm bảo!

      Ví dụ phức tạp sau đây cho ta thấy điều này.

      Ta đánh số tập số hữu tỷ trong (0, 1) theo cách sau:

      r_{1,1}=1/2,

      r_{2, 1}=1/3, r_{2, 2}=2/3,

      r_{3, 1}=1/4, r_{3, 3}=3/4,

      r_{n, k}=k/(n+1), trong đó 1\le k\le n, UCLN(n+1, k)=1,

      \cdots.

      Xét dãy hàm f_n:[0, 1]\to\mathbb R được xác định như sau

      f_1(x)=\begin{cases} 1- 4|x-1/2|\; khi \; 1/4\le x\le 3/4,\\ 0 \; othercases;\end{cases}

      f_n(x)=\begin{cases} 1- 2^{2n}|x-r_{j, k}| \; khi \; |x-r_{j, k}|\le 2^{-2n}, 1\le k\le j\le n, UCLN(j+1, k)=1,\\ 0 \; otherwise.\end{cases}

      Dãy hàm này hội tụ điểm đến hàm Dirichlet

      D(x)=\begin{cases} 1\; khi \; x\in \mathbb Q\cap (0, 1), \\ 0\; otherwise,\end{cases}

      và bị chặn đều.

      Cũng cần chú ý thêm hàm Dirichlet khả tích Lebesgue. Có lẽ đây là một trong nhiều lý do về việc mở rộng tích phân Riemann sang tích phân Lebesgue.

  6. 02/02/2015 tôi tiếp tục chữa bài tập về chuỗi số. Ngoài ra tôi nhờ các bạn phân nhóm 2 K59A3 thành sáu nhóm, mỗi nhóm không quá năm sinh viên. Tôi hy vọng đến thứ Năm, 05/02/2015, các bạn sẽ cho tôi danh sách của sáu nhóm. Về bài tập cho các nhóm tôi đã đưa cho nhóm trưởng. Bài tập phần chuỗi số này có hạn nộp cuối sáng thứ Năm, 12/02/2015.

    • Một số bạn chữa bài tập sử dụng dấu hiệu so sánh, đặc biệt so sánh với chuỗi

      \sum\limits_{n=1}^\infty n^\alpha.

      Một số bài khi làm cần biết cách tách số hạng tổng quát, chẳng hạn

      \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \dfrac{\sin^2n}{n}.

      Một số bài đòi hỏi phải biết ghép các số hạng tổng quát, chẳng hạn

      1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{32}+\cdots.

  7. Em thưa thầy, đây là danh sách nhóm của lớp ạ:
    Nhóm 1: Nguyễn Tuấn Anh, Trần Bá Hợi, Nguyễn Duy Nam,Dương Anh Tuấn, Nguyễn Đức Hạnh.
    Nhóm 2: Hoàng Trung Kiên, Trần Minh Ngọc, Nguyễn Bảo Lộc.
    Nhóm 3: Phùng Văn Thành, Sơn, Phạm Phương, Phạm Hoàng Minh
    Nhóm 4: Nguyễn Thị Thu (96), Phạm Thu Trang, Đặng Khắc Toàn, Tuân.
    Nhóm 5: Nguyễn Thị Thu, Hữu Tuấn, Hùng, Đức Mạnh
    Nhóm 6: Oanh, Duy Vũ, Thông, Lâm Văn Thịnh.

  8. 05/02/2015, tôi trình bày tiếp các Định lý Abel, Định lý Dini (dạng chuỗi, dạng dãy) về sự hội tụ đều. Sau đó tôi trình bày chuỗi lũy thừa:

    – tính chất của chuỗi lũy thừa: bán kính hội tụ, miền hội tụ,

    – các phép toán: lấy giới hạn, lấy đạo hàm, lấy nguyên hàm chuỗi lũy thừa,

    – khai triển Taylor của hàm khả vi vô hạn,

    – sử dụng chuỗi lũy thừa, khai triển Taylor để tính một số chuỗi số.

    Cuối giớ tôi cho một bài kiểm tra ngắn:

    Xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(3n)}{\sqrt{n}}.

    -) Tính dãy tổng riêng

    S_k=\sum\limits_{n=1}^k \sin(3n).

    -) CMR: dãy S_k phân kỳ.

    -) CMR: dãy S_k bị chặn.

    -) CMR chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(3n)}{\sqrt{n}} hội tụ.

    • Tôi đã xem bài kiểm tra. Một vài nhận xét:

      – hầu hết không biết cách tính tổng riêng S_k,

      – hầu hết không chứng minh được dãy tổng riêng phân kỳ, chỉ có hai bài đưa ra chứng minh cụ thể dựa vào việc chứng minh dãy \sin(3n) không hội tụ về 0,

      – từ đánh giá |S_k|\le k dẫn đến tính bị chặn của dãy tổng riêng là sai,

      – một số bài sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, rất khó kiểm tra trong bài cụ thể này,

      – một số bài dùng chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-1/2} hội tụ là sai.

    • Từ bài 69-74/trang 624 yêu cầu tính xấp xỉ các chuỗi số bằng cách chỉ tính tổng của (chẳng hạn bài 71) mười số hạng đầu. Tiếp đó dùng bài 67/trang 624 để xem phần dư còn lại có cỡ như nào?

      Từ bài 15-28/trang 630 yêu cầu dùng dấu hiệu so sánh (dạng lấy giới hạn) để kiểm tra sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số. Chú ý, thường ta so sánh với chuỗi

      \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^\alpha} hay \sum\limits_{n=1}^\infty q^n.

      Bài 103/trang 616: Tổng chi phí hằng năm cho du lịch ở một thành phố nọ là 200 tỷ đô la. Khoảng 75% số này được chi tiêu trong thành phố. Cũng khoảng 75% chi phí này lại được chi tiêu trong thành phố. Cứ như vậy, hãy tính tổng chi tiêu như vậy từ 200 tỷ đô la.

  9. 09/02/2015 tôi tiếp tục chữa một số bài tập về chuỗi số, sau đó chuyển dần sang bài tập về chuỗi hàm. Các bài tập này đòi hỏi việc biện luận và vận dụng các kỹ năng kiểm tra sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số.

    Chẳng hạn bài

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(n\pi/4)}{n^p+\sin(n\pi/4)}.

    B1. Cần viết rõ \sin(n\pi/4).

    B2. TH p\le 0 dùng điều kiện cần dạng giới hạn trên của số hạng tổng quát.

    B3. TH p>0 ta để ý kẹp

    \dfrac{1}{n^p+1}\le \Big|\dfrac{\sin(n\pi/4)}{n^p+\sin(n\pi/4)}\Big|\le \dfrac{1}{n^p-1}.

    Từ đó dùng dấu hiệu so sánh:

    +) p>1 chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối;

    +) 0<p\le 1 chuỗi ban đầu phân kỳ tuyệt đối. Ở trường hợp này ta còn phải xem chuỗi ban đầu có hội tụ hay không. Ta cần đến kỹ thuật ghép các số hạng tổng quát rồi so sánh ta có

    -) 0<p\le 1/2 chuỗi ban đầu phân kỳ,

    -) 1/2<p\le 1 chuỗi ban đầu hội tụ.

    Hay bài chuỗi hàm

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2n-1}\Big(\dfrac{1-x}{1+x}\Big)^n.

    B1. Chuỗi chí xác định khi x\not=-1.

    B2. Dùng dấu hiệu căn Cauchy (nhớ lấy trị tuyệt đối)

    \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt[n]{2n-1}}\dfrac{|1-x|}{|1+x|}=\dfrac{|1-x|}{|1+x|}.

    B3. TH: \dfrac{|1-x|}{|1+x|}>1 có chuỗi phân kỳ.

    TH: \dfrac{|1-x|}{|1+x|}<1 có chuỗi hội tụ tuyệt đối.

    TH: x=0, dùng Leibniz và so sánh, chuỗi bán hội tụ.

  10. 11/02/2015, hai bạn chữa bài khá khó như sau. Tìm miền hội tụ của các chuỗi

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(x+n)^p},

    \sum\limits_{n=1}^\infty (2-x)(2-x^{1/2})\cdots (2-x^{1/n}), x>0.

    Hai bài này có đặc điểm chung:

    – có những điểm đặc biệt: chuỗi đầu không xác định tại các điểm là các số tự nhiên, còn chuỗi sau thực chất chỉ là tổng hữu hạn tại các điểm lũy thừa của 2,

    – khi n đủ lớn các số hạng tổng quát có cùng dấu nên ta có thể dùng các dấu hiệu cho chuỗi dương.

    Sau đó một số bạn chữa bài tập về sự hội tụ đều của dãy hàm. Để làm bài này ta chia làm hai bước sau.

    B1. Xác định hàm giới hạn.

    B2. Xét “khoảng cách” giữa hàm giới hạn và dãy hàm đã cho. Khảo sát “khoảng cách này”.

    B3. Xem giới hạn của dãy các khoảng cách có tiến về 0 hay không?

  11. 12/02/2015 tôi đã kết thúc phần Chuỗi số, dãy hàm, chuỗi hàm bằng việc trình bày chuỗi Fourier và sử dụng nó để tính một số chuỗi số, chẳng hạn

    \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-2},

    \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-4}.

    Để tính các chuỗi số trên tôi đã khai triển Fourier dạng cosine hàm f(x)=x^2, 0<x<\pi, rồi dùng

    + Định lý về sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier,

    + Đẳng thức Parseval.

    Cuối giờ tôi cho bài kiểm tra ngắn:

    Xét dãy hàm

    f_n(x)=(x/2)^n-(x/3)^n.

    (a) Xác định miền hội tụ của dãy hàm trên. Gợi ý: xét ba trường hợp

    TH1: |x|\le 2,

    TH2: 2<|x|<3,

    TH3: |x|\ge 3, dùng bất đẳng thức

    1/2^n> 2/3^n, n\ge 2.

    (b) Hỏi dãy hàm đã cho có hội tụ đều trên miền hội tụ không?

    (c) CMR: dãy hàm đã cho hội tụ đều trên [-1, 1].

    • Tôi đã xem xong bài kiểm tra ngắn. Một số lỗi các bạn gặp như sau.

      – Một số bạn cho chuỗi vào bài làm. Chú ý rằng đề bài chỉ xét dãy, không có chuỗi nào.

      – Một số bạn viết

      x^n/2^n-x^n/3^n<x^n/2^n.

      Điều này chỉ đúng khi n chẵn hay x>0. Khi x<0, n lẻ ta có bất đẳng thức ngược lại.

      – Rất nhiều bạn không tính được

      \sup_{x\in [-1, 1]} |x^n/2^n-x^n/3^n|.

      Các bạn chỉ tính đạo hàm rồi tìm cực trị mà quên rằng giá trị lớn nhất, bé nhất có thể đạt được ở các đầu mút. Từ đó các bạn tính sup trên bằng 0, trong khi đó kết quả đúng

      1/2^n-1/3^n.

  12. Thầy ơi, thầy có thể giới thiệu cho em một số tài liệu giáo khoa tương tự như quyển Calculus nhưng viết sâu hơn về chuỗi hàm/hàm fourier không ạ?

  13. Tôi đã chấm xong bài tập phần chuỗi số. Một vài nhận xét như sau.

    – Nhóm 1, 2 làm bài không tốt. Nhiều bài không làm đúng yêu cầu của đề ra, chẳng hạn bài yêu cầu dùng dấu hiệu tích phân Cauchy để kiểm tra thì lại dùng so sánh, hoặc tiêu chuẩn Cauchy; hay bài yêu cầu tính tổng chuỗi thì chỉ mới kết luận nó hội tụ.

    – Một số bạn vẫn còn nhầm dãy số và chuỗi số.

    – Ta có thể dùng dấu hiệu căn Cauchy, dấu hiệu D’Alembert cho chuỗi bất kỳ nhưng chú ý lấy trị tuyệt đối.

    – Dấu hiệu so sánh chỉ dùng cho chuỗi dương. Một số bạn xét chuỗi trị tuyệt đối thấy phân kỳ kết luận chuỗi ban đầu phân kỳ là chưa chính xác vì rất có thể nó bán hội tụ.

    – Một số bài mới tính tổng riêng mà không lấy giới hạn của dãy tổng riêng. Nhớ rằng tổng riêng chưa phải là giá trị của chuỗi.

    – Có một số bài làm trùng bài nhau, một số bài làm không đúng bài được giao.

  14. Bảng các dấu hiệu kiểm tra sự hội tụ, phân kỳ cho chuỗi số

    (lấy từ “Calculus: Early Transcendental Functions, 5th Edition” của Ron Larson, Bruce H. Edwards)

    Test

    Phân biệt giữa dãy số và chuỗi số:

    – với dãy số ta có rất ít cách để “nhìn” thấy được nó hội tụ hay phân kỳ,

    – dãy \{2^n\}_{n\in\mathbb N} phân kỳ, chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty 2^n cũng phân kỳ,

    – dãy \{1/n\}_{n\in\mathbb N} hội tụ, chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty 1/n phân kỳ,

    – (điều kiện cần) chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty u_n hội tụ thì dãy số hạng tổng quát \{u_n\}_{n\in\mathbb N} hội tụ về 0.

  15. 02/03/2015 một số bạn đã lên chữa lại một số bài tập trong phần bài tập lần 1. Một số điểm chú ý:

    – sử dụng dấu hiệu tích phân Cauchy và dấu hiệu Leibniz khi phải chứng minh tính đơn điệu ta xét đạo hàm, và tính đơn điệu không nhất thiết xảy ra ngay từ đầu;

    – tính toán một số chuỗi mà dãy số hạng tổng quát là cấp số nhân;

    – tính xấp xỉ và ước lượng sai số nhờ tích phân của một số chuỗi số;

    – sử dụng chuỗi số tính diện tích, độ dài,.v.v.

  16. 04/03/2015 tôi tiếp tục chữa các bài tập:

    – dãy hàm: xác định miền hội tụ, hàm giới hạn, hỏi về hội tụ đều,

    – chuỗi hàm: xác định miền hội tụ, hỏi về hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ.

    Việc sử dụng một số các bất đẳng thức là kỹ thuật khá phổ biến, chẳng hạn

    |\sin x|\le |x|,

    |\arctan x|\le |x|, .v.v.

    Khá nhiều bài có dạng chuỗi “lũy thừa”. Với những bài này nên tính “bán kính hội tụ”. Chú ý các điểm mút.

    Việc so sánh với một số chuỗi số cơ bản là thao tác hay gặp. Các bạn nên ‘thuộc lòng’ các chuỗi số

    \sum\limits_{n=1}^\infty n^\alpha\sum\limits_{n=1}^\infty q^n.

  17. 05/03/2015, tôi bắt đầu bằng việc chữa bài kiểm tra ngắn trước Tết. Sau đó tôi nhắc lại các kiến thức đã học:

    – chuỗi số: hội tụ, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ và một số cách để kiểm tra sự hội tụ,

    – dãy hàm, chuỗi hàm: miền hội tụ, hội tụ điểm, hội tụ đều và một số cách kiểm tra sự hội tụ, đặc biệt việc chuyển qua dấu tổng các phép lấy giới hạn, phép đạo hàm, phép tích phân,

    – chuỗi lũy thừa: bán kính hội tụ,

    – chuỗi Fourier: thác triển chẵn, lẻ, tuần hoàn,

    – ứng dụng khai triển Taylor, khai triển Fourier để tính giới hạn một số chuỗi số.

    Cuối cùng tôi chuyển sang tích phân phụ thuộc tham số với hai kết quả:

    – tính liên tục,

    – tính khả tích

    của tích phân phụ thuộc tham số.

    Lưu ý về khái niệm hội tụ đồng thời theo cả hai biến và khái niệm hội tụ theo từng biến. Tôi đưa ra hai ví dụ để thấy nếu chỉ hội tụ theo từng biến tính liên tục và việc đổi thứ tự lấy tích phân của tích phân phụ thuộc tham số có thể không có.

    VD1: Xét hàm f:[0, 1]\times[0, 1]\to\mathbb R xác định bởi

    f(x, y)=\begin{cases} 0 \; khi \; y=0,\\ x/y^2\; khi \; 0\le x\le y,\\ (2y-x)/y^2 \; khi \; y\le x\le 2y,\\ 0 \; khi \; x\ge 2y.\end{cases}

    Khi đó

    +) I(y)=\int\limits_0^1 f(x, y)dx=1 khi 0<y<1/2,

    +) \lim\limits_{y\to 0_+}f(x, y)=0.

    Ví dụ này là quá trình liên tục hóa bài tập 16/trang 194 trong sách "Giáo trình Giải tích tập 2" của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn.

    Tiếp tục tính toán ví dụ này theo cách xét tích phân phụ thuộc tham số

    J(x)=\int\limits_0^1 f(x, y)dy=2\ln 2-x khi 0<x\le 1

    ta có

    \lim\limits_{x\to 0_+}J(x)=2\ln 2,

    f(0, y)=0.

    Với ví dụ này ta có

    \int\limits_0^1 I(y)dy=\int\limits_0^1 J(x)dx=2\ln2-1/4.

    VD2. Xét hàm f: [0, 1]\times[0, 1]\to\mathbb R xác định bởi

    f(x, y)=\begin{cases}0\; khi \; xy=0,\\  \dfrac{(x-y)xy}{(x^2+y^2)^3}\; khi \; xy\not=0.\end{cases}.

    Tích phân phụ thuộc tham số

    I(y)=\int\limits_0^1 f(x, y)dx

    không khả tích trên [0, 1].

    http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e8s0hdqd5ju

    • Việc tính toán tích phân phụ thuộc tham số ở VD2

      I(y)=\int\limits_0^1 \dfrac{(x-y)xy}{(x^2+y^2)^3}dx

      dựa vào một số tính toán như sau:

      I_1=\int\limits_0^1 \dfrac{xy^2}{(x^2+y^2)^3}dx=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{y^2}{(1+y^2)^2}\right),

      từ công thức truy hồi

      \int\limits_0^1\dfrac{dx}{(x^2+y^2)^n}=\dfrac{1}{(1+y^2)^n}+\int\limits_0^1\dfrac{2nx^2dx}{(x^2+y^2)^{n+1}}

      \int\limits_0^1\dfrac{dx}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{y}\arctan(1/y)

      \int\limits_0^1 \dfrac{x^2y}{(x^2+y^2)^3}=\dfrac{y}{4}\left[\int\limits_0^1\dfrac{dx}{(x^2+y^2)^2}-\dfrac{1}{(1+y^2)^2}\right]

      =\dfrac{y}{4}\left[\dfrac{1}{2y^2}\left(\dfrac{1}{y}\arctan(1/y)+\dfrac{1}{1+y^2}\right)-\dfrac{1}{(1+y^2)^2}\right].

      Do \arctan(1/y)\le \pi/2 nên

      I(y)\le -\dfrac{4-\pi}{16y^2}+\dfrac{1}{8y(1+y^2)}+\dfrac{y-y^2}{4(1+y^2)^2}.

      Khi đó

      -) I(y) không bị chặn trên [0, 1] nên không khả tích Riemann trên [0, 1],

      -) tích phân suy rộng \int\limits_0^1 I(y)dy cũng không hội tụ.

      • Ta cần ví dụ mà việc đổi thứ tự lấy tích phân sẽ cho các kết quả khác nhau. Cụ thể ta xét ví dụ sau.

        VD4. Xét hàm f(x, y):[0, 1]\times[0, 1]\to\mathbb R xác đinh bởi

        f(x, y)=\begin{cases}0 \; khi \; xy=0,\\ \dfrac{(x-y)xy}{(x^2+y^2)^{5/2}}\; khi \; xy\not=0.\end{cases}

        ta có

        I(y)=\int\limits_0^1 \dfrac{(x-y)xy}{(x^2+y^2)^{5/2}}dx =\dfrac{y^2}{3(1+y^2)^{3/2}},

        \int\limits_0^1 I(y)dy=\dfrac{\ln(3+\sqrt{2})-\sqrt{2}}{6};

        J(x)=\int\limits_0^1\dfrac{(x-y)xy}{(x^2+y^2)^{5/2}}dy =-\dfrac{x^2}{(1+x^2)^{3/2}},

        \int\limits_0^1 J(x)dx=-\dfrac{\ln(3+\sqrt{2})-\sqrt{2}}{6}.

        Như vậy \int\limits_0^1 I(y)dy\not=\int\limits_0^1 J(x)dx.

  18. 09/03/2015 tôi tiếp tục chữa các bài tập về chuỗi hàm và dãy hàm. Một số bài đòi hỏi việc chia trường hợp khá phức tạp:

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^ny^n}{x^n+y^n}, x> 0, y> 0,

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n+y^n}, y\ge 0.

    Những bài này đòi hỏi việc xem xét mối quan hệ giữa x, y, hay nói cách khác xác định miền hội tụ, bán hội tụ, phân kỳ trên mặt phẳng 0xy.

    Tiếp đến một số bài sử dụng:

    – Định lý Weierstrass,

    – Định lý Dirichlet

    để xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm. Chú ý tính đều trong các đánh giá.

    Cuối giờ một số bạn làm các bài liên quan đến việc xem xét các tính chất: tính liên tục, khả vi của hàm giới hạn.

    Chú ý phân biệt dãy và chuỗi!

    Ngoài ra, nếu không có gì thay đổi lịch thi giữa kỳ sẽ là sáng thứ Hai, ngày 30/03/2015. Nội dung thi từ đầu cho đến chuỗi Fourier.

    • Hình ảnh miền hội tụ-phân kỳ của chuỗi

      \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n+y^n}, y\ge 0

      Mien hoi tụ

      Ta chia ra các trường hợp sau.

      TH1: |x|<1, so sánh với chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty x^n..

      TH2: x=1,

      – hoặc so sánh với chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty 1/n khi 0\le y\le 1,

      – hoặc so sánh với chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty 1/y^n khi y>1.

      TH3: x=-1,

      – hoặc dùng Leibniz khi 0\le y\le 1,

      – hoặc so sánh với chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty 1/y^n khi y>1.

      TH4: |x|>1

      – hoặc so sánh với chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty (|x|/y)^n khi |x|<y,

      – hoặc dùng điều kiện cần khi |x|\ge y\ge 0.

  19. em thưa thầy, nếu hàm giới hạn của một dãy mà ko liên tục thì có thể kết luận luôn dãy không hội tụ đều đúng không ạ?

    • Cần có

      – dãy hàm hội tụ điểm đến hàm giới hạn trong miền hội tụ A,

      – các hàm của dãy hàm là các hàm liên tục trên B,

      – hàm giới hạn không liên tục tại điểm x_0

      ngoài ra B chứa x_0

      thì kết luận dãy hàm đang xét không hội tụ đều trên B.

      Chú ý khi B không chứa x_0 thì vẫn có thể xảy ra:

      dãy hàm đang xét vẫn hội tụ đều trên B.

      • Ví dụ dãy hàm f_n(x)=x^n có miền hội tụ (-1, 1] và hàm giới hạn

        f(x)=\begin{cases}0 \; khi \; -1< x< 1,\\ 1\; khi \; x=1.\end{cases}

        Hàm giới hạn gián đoạn tại x=1.

        Dãy hàm f_n(x)

        – hội tụ đều trên [-1/2, 1/2] (miền không chứa điểm gián đoạn x=1),

        – không hội tụ đều trên (-1, 1/2] (miền không chứa điểm gián đoạn x=1),

        – không hội tụ đều trên [0, 1] (miền chứa điểm gián đoạn x=1).

  20. 11/03/2015, một số bạn lên chữa

    – bài tập về tính liên tục, khả vi của hàm giới hạn,

    – sử dụng Weierstrass để chứng minh chuỗi hàm hội tụ đều,

    – sử dụng Abel để chứng minh chuỗi hàm hội tụ đều.

    Phát biểu của Định lý Abel:

    Cho các hàm u_n, v_n :A\to\mathbb R, n=1,2 , \dots. Nếu

    + chuỗi hàm \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x) hội tụ đều trên A,

    + dãy hàm \{v_n(x)\}_{n=1}^\infty đơn điệu, bị chặn đều trên A

    thì chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)v_n(x) hội tụ đều trên A.

    Việc dùng Weierstrass ta cần tính

    \sup\limits_{x\in A}|u_n(x)|=a_n

    để từ sự hội tụ của chuỗi số \sum\limits_{n=1}^\infty a_n dẫn đến sự hội tụ đều của chuỗi hàm \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x) trên A.

    Để tính sup trên ta thường khảo sát hàm số, hay sử dụng một vài bất đẳng thức nào đó.

  21. Em thưa thầy, nếu có 1 chuỗi cần chứng mình phân kỳ, em có thể tách thành tổng 2 chuỗi: 1 hội tụ, 1 phân kỳ đc ko ạ?

  22. 12/03/2015, tôi cho các bạn tính toán một số tích phân phụ thuộc tham số để thấy được:

    – việc chuyển phép lấy giới hạn qua dấu tích phân,

    – việc chuyển phép lấy đạo hàm qua dấu tích phân,

    – việc đổi thứ tự lấy tích phân

    là những việc cần có những kiểm tra điều kiện nhất định.

    Các bạn có thể xem thêm các ví dụ về điều này ở bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/02/14/trao-doi-bai-giang-giai-tich-2-lop-k58a3/

    Về ví dụ đổi thứ tự lấy tích phân, nếu các hàm chỉ cần xác định trên hình vuông mở (0, 1)\times (0, 1) (bỏ bốn cạnh) thì các ví dụ còn nhẹ nhàng hơn như sau:

    f_\alpha: (0, 1)\times (0, 1)\to\mathbb R, \alpha>0

    f_\alpha(x, y)=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^\alpha};

    hay

    g_\alpha:(0, 1)\times (0, 1)\to\mathbb R, \alpha>0

    g_\alpha(x, y)=\dfrac{x-y}{(x^2+y^2)^\alpha}.

    Ngoài các hàm này các bạn còn có thể kiểm tra hàm

    h_\alpha:(0, 1)\times (0, 1)\to\mathbb R, \alpha>0

    h_\alpha(x, y)=\dfrac{x-y}{(x+y)^\alpha}.

    Về ví dụ chuyển phép đạo hàm qua dấu tích phân các bạn có thể tham khảo thêm các ví dụ khác ở

    http://mathoverflow.net/questions/105769/counterexamples-to-differentiation-under-integral-sign

  23. Thầy giáo dịch giúp em đề bài bài tập phần chuỗi lũy thừa mục 9.10 bài tập từ bài 67-74 với ạ?
    Thày có thể kèm theo hướng giải các bài đó được không ạ?
    Em cảm ơn.

    • Các bài tập này yêu cầu dùng chuỗi lũy thừa để tính xấp xỉ các tích phân đã cho với sai số 10^{-4}.

      Một cách tổng quát ta xét tích phân \int\limits_a^b f(x)dx.

      Khai triển Taylor tại x=0 hàm f(x)

      \sum\limits_{n=0}^N \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n +R_N(f, x)

      trong đó phần dư R_N(f, x) nên chọn dạng Lagrange. Từ đó tìm N để

      \int\limits_a^b |R_N(f, x)|dx<10^{-4}

      hay

      |R_N(f, x)|<\dfrac{1}{10^4(b-a)}, x\in(a, b).

  24. 16/03/2015 các bạn chữa một số bài:

    – kiểm tra sự hội tụ đều của dãy hàm, chuỗi hàm,

    – tính toán các phép lấy đạo hàm, lấy tích phân dãy hàm và chuỗi hàm.

    Chú ý:

    – việc chuyển dấu đạo hàm qua dấu tổng:

    + nếu chỉ có chuỗi hàm hội tụ đều thì chưa đủ,

    + nếu chuỗi chỉ hội tụ điểm còn chuỗi đạo hàm hội tụ đều là đủ;

    – việc chuyển dấu tích phân qua dấu tổng:

    + nếu có hội tụ đều thì chuyển được,

    + nếu chuyển được thì chưa chắc có hội tụ đều.

    Một kỹ thuật nhỏ khi xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm:

    \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x).

    Khảo sát hàm số để tính

    \sup\limits_{x\in A}|u_n(x)|=a_n.

    (Weierstrass) Nếu chuỗi số \sum\limits_{n=1}^\infty a_n hội tụ thì chuỗi hàm ban đầu hội tụ đều trên A.

    (Tiêu chuẩn Cauchy) Nếu có số dương M (không phụ thuộc n) để có vô số số n sao cho

    a_n>M

    thì chuỗi đã cho không hội tụ đều trên A.

    Các bạn thử làm bài 2 trong đề thi cuối kỳ cho K58

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2014/06/decuoikygt2_2014_1.pdf

    Tiếp đến các bạn làm các bài tập liên quan đến chuỗi lũy thừa:

    – tính bán kính hội tụ,

    – kiểm tra hai đầu mút.

  25. Một số bạn hỏi tôi “long division” là gì? Nó là phép chia hai đa thức cho nhau. Chẳng hạn

    \dfrac{1}{1-x}

    + được 1 dư x,

    + lấy x chia (1-x) được x dư x^2,

    + lấy x^2 chia cho (1-x) được x^2 dư x^3

    .v.v.

    Còn “binomial series” là chuỗi sinh ra từ khai triển hàm

    (1+x)^\alpha, \alpha có thể âm hay dương, không nguyên đều được.

  26. 18/03/2015 một số bạn đã chữa các bài tập về chuỗi lũy thừa:

    – Một số bài tính bán kính hội tụ, xác định miền hội tụ: chú ý tại các đầu mút không dùng D’Alembert hay căn Cauchy được, thường dùng điều kiện cần, Leibniz, hay Raabe. Trong các bài đã chữa có bài sử dụng công thức xấp xỉ Stirling. Các bạn tham khảo

    http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

    – Một số bài về việc khai triển thành chuỗi lũy thừa: chú ý cách phân tích hàm đang xét thành các hàm đơn giản.

    – Sử dụng chuỗi lũy thừa tính gần đúng một số tích phân: chú ý cách đánh giá phần dư.

  27. 19/03/2015 tôi bắt đầu bằng bài kiểm tra ngắn về tích phân phụ thuộc tham số.

    1. Cho f:(0, 1)\times (0, 1)\to\mathbb R xác định bởi

    f(x, y)=\dfrac{x-y}{(x+y)^3}.
    a. Tính I(x)=\int\limits_0^1f(x, y)dy, J(y)=\int\limits_0^1 f(x, y) dx.

    b. Tính \int\limits_0^1 I(x)dx, \int\limits_0^1 J(y)dy.

    2. Cho g:[0, 1]\times [0, 1]\to\mathbb R xác định bởi

    g(x, y)=\begin{cases} 0\; khi \; y=0,\\ \frac{y^2}{x}\; khi \; 0< y\le x\le 1,\\ \frac{x}{y^2}\; khi \; 0\le x< y\le 1.\end{cases}

    Tính K(x)=\int\limits_0^1g(x, y)dy, K(0), \lim\limits_{x\to 0_+} K(x).

    Sau đó một số bạn lên chữa bài kiểm tra. Tiếp đến một số bạn lên tính đạo hàm tích phân phụ thuộc tham số.

    Cuối cùng bằng các biến đổi tích phân và việc đổi thứ tự lấy tích phân suy rộng tôi đã tính các tích phân suy rộng

    \int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx,

    \int\limits_0^\infty e^{ix^2}dx,

    \int\limits_0^\infty\dfrac{\sin x}{x}dx.

    Tuần tới tôi sẽ chuyển sang phần tích phân bội. Ngoài ra tôi sẽ chữa một số bài trong đề cuối kỳ giải tích 2 lớp K58.

    • Tôi vừa chấm xong bài kiểm tra ngắn. Một số lỗi hay gặp:

      – tích phân theo biến x thì không đưa được x ra ngoài tích phân, chẳng hạn

      \int\limits_0^1 \dfrac{x}{(x+y)^3}dx=x\int\limits_0^1 \dfrac{1}{(x+y)^3}dx

      là sai;

      – tích phân theo biến x khi đổi biến thì phải đổi x sang biến mới, chẳng hạn đổi u=x+y

      \int\limits_0^1\dfrac{x}{(x+y)^3}dx=\int\limits_0^1\dfrac{x}{u^3}du

      là chưa được;

      – ngại rút gọn hay rút gọn sai biểu thức

      \dfrac{1}{1+y}-\dfrac{y}{(1+y)^2};

      – tích phân theo biến x thì các cận tích phân không được phụ thuộc vào x, chẳng hạn

      \int\limits_0^y g(x, y)dy

      là sai.

      Có một bài 10,0.

  28. Tôi đã chấm xong phần bài tập nhóm về chuỗi lũy thừa.

    Nhóm 1 và 2 rất yếu.

    Nhóm 6 làm trên TB một chút.

    Nhóm 5 làm tốt nhất.

  29. 23/03/2015 tôi chuyển sang chữa các bài tập về chuỗi Fourier. Để khai triển Fourier ta cần làm các bước:

    B1. Xem hàm đã xác định trên toàn đường thẳng hay chưa? Tuần hoàn chu kỳ nào? Chẵn hay lẻ?

    Nếu hàm đã cho xác định và tuần hoàn chu kỳ 2L trên toàn đường thẳng ta chuyển sang B2.

    Nếu hàm đã cho xác định trên một chu kỳ ta cần thác triển nó thành hàm tuần hoàn trên toàn trục số.

    Nếu đề bài yêu cầu khai triển thành chuỗi cosine thì hàm đã cho mới xác định trên nửa chu kỳ, thường [0, L]. Khi đó ta thác triển chẵn, tuần hoàn chu kỳ 2L trên toàn trục số.

    Còn nếu khai triển thành chuỗi sine ta thác triển lẻ, tuần hoàn.

    Sau khi thác triển xong ta quan sát lại tính chẵn, lẻ của hàm sau thác triển, tạm ký hiệu f^*, rồi chuyển sang B2.

    B2. Tính các hệ số a_n, b_n qua các công thức

    a_n=\dfrac{1}{L}\int\limits_{-L}^L f^*(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx,

    b_n=\dfrac{1}{L}\int\limits_{-L}^L f^*(x)\sin(\frac{n\pi x}{L})dx.

    Nếu hàm sau thác triển f^* là hàm chẵn thì b_n=0

    a_n=\dfrac{2}{L}\int\limits_0^L f^*(x)\cos(\frac{n\pi x}{L})dx.

    Tương tự khi hàm f^* là hàm lẻ.

    B3. Viết khai triển Fourier

    \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(a_n\cos(\frac{n\pi x}{L})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{L})\right).

    Chẳng hạn bài cuối giờ sáng nay f(x)=|\cos x|, x\in\mathbb R là hàm tuần hoàn chu kỳ \pi trên toàn bộ đường thẳng. Có đồ thị

    |cos|

    B1. Hàm đã cho là hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ 2\pi.

    B2. Các hệ số b_n=0, còn

    a_n=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi |\cos x|\cos(nx)dx.

    Ta cần phá trị tuyệt đối. Chú ý |\cos x|\cos(nx) là hàm chẵn nhưng miền lấy tích phân [0, \pi] không đối xứng qua gốc nên

    a_n\not=\dfrac{4}{\pi}\int\limits_0^{\pi/2}|\cos x|\cos(nx)dx.

    Chính xác

    a_n=\dfrac{2}{\pi}\left(\int\limits_0^{\pi/2}\cos(x)\cos(nx)dx-\int\limits_{\pi/2}^\pi \cos(x)\cos(nx)dx\right).

    Để ý rằng:

    \cos(x)=-\cos(\pi-x),

    \cos(nx)=(-1)^{n}\cos(n(\pi-x))

    nên bằng cách đổi biến tích phân sau t=\pi-x

    a_n=\dfrac{2(1+(-1)^n)}{\pi}\int\limits_0^{\pi/2}\cos(x)\cos(nx)dx.

    Khi đó

    a_n=0 khi n lẻ,

    a_{2k}=\dfrac{4(-1)^{k+1}}{\pi (4k^2-1)}.

    B3. Khai triển Fourier của hàm f(x)=|\cos x|

    \dfrac{2}{\pi}-\dfrac{4}{\pi}\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k}}{4k^2-1}\cos(2kx).

    Chú ý rằng cách nhìn hàm đã cho ở trên tuần hoàn chu kỳ 2\pi thì khai triển Fourier có dạng

    \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)),

    với các hệ số Fourier tính như các bước trên. Còn nếu ta nhìn nó là hàm tuần hoàn chu kỳ \pi thì khai triển Fourier

    \dfrac{A_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (A_n\cos(2nx)+B_n\sin(2nx))

    với hệ số Fourier

    A_n=\dfrac{4}{\pi}\int\limits_0^{\pi/2}|\cos x|\cos(2nx)dx,

    B_n=\dfrac{4}{\pi}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}|\cos x|\sin(2nx)dx=0.

    Một cách tương tự với hàm f(x)=(x)=\min\{|x-n||\; n\in\mathbb Z\} ta có thể nhìn nó

    – là hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ 2 có khai triển Fourier

    \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x))

    với hệ số Fourier

    a_n=2\int\limits_0^1 (x)\cos(n\pi x)dx, b_n=0;

    – là hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ 1 có khai triển Fourier

    \dfrac{A_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty A_n\cos(2n\pi x)

    với hệ số Fourier

    A_n=4\int\limits_0^{1/2}(x)\cos(2n\pi x)dx=4\int\limits_0^{1/2}x\cos(2n\pi x)dx.

    Đồ thị của hàm này

    http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427ea7vs1h0db2

    Tôi có nói về chuỗi

    \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2+t^2}, t>0.

    Để tính chuỗi số này ta dùng khai triển Fourier của hàm

    f(x)=e^{tx}, x\in(-\pi, \pi).

  30. 25/03/2015 tôi tiếp tục chữa các bài tập về khai triển Fourier của một số hàm. Chú ý chu kỳ tuần hoàn để có công thức tính hệ số Fourier cho đúng. Kỹ thuật dùng tích phân từng phần được sử dụng khá nhiều.

    Sau đó tôi nhắc lại một vài điểm về chuỗi hàm, chuỗi số. Tuần tới tôi chuyển dần sang chữa bài tập về tích phân bội.

  31. 26/03/2015 tôi bắt đầu bằng bài kiểm tra ngắn.

    Cho \alpha> 0, \beta >0.

    1. Biết \int\limits_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx=\pi/2. Chứng minh rằng

    \int\limits_0^\infty\dfrac{\cos(\alpha x)\sin(xy)}{x}dy=\begin{cases}0 \; khi \; 0< y < \alpha,\\ \pi/4 \; khi \; y=\alpha, \; (bonus)\\ \pi/2 \; khi \; y> \alpha.\end{cases}

    2. Biết \dfrac{1}{x}\int\limits_0^\infty e^{-\beta y}\sin(xy)dy=\dfrac{1}{x^2+\beta^2}, x>0. Tính

    \int\limits_0^\infty \dfrac{\cos(\alpha x)}{\beta^2+x^2}dx.

    Tiếp đến tôi trình bày về tích phân bội, cụ thể tích phân hai lớp:

    – phân hoạch, đường kính phân hoạch,

    – tổng tích phân, tổng trên, tổng dưới,

    – khả tích Riemann.

    Điều kiện cần: tính bị chặn của hàm số.

    Khi nói đến tích phân Riemann:

    – miền lấy tích phân bị chặn,

    – hàm dưới dấu tích phân bị chặn trên miền lấy tích phân.

    Tôi nói qua Định lý Fubini về việc chuyển tích phân bội về tích phân lặp.

    Cuối cùng tôi chữa các bài trong đề thi cuối kỳ của K58A2+A3.

    • Tôi đã chấm bài kiểm tra ngắn. Khá nhiều bài làm được câu đầu. Câu sau chỉ vài bài biết cách chuyển tích phân cần tính thành tích phân lặp rồi đổi thứ tự lấy tích phân. Một số bạn để ý việc tách trường hợp của y nhưng quên mất rằng tích phân lấy theo y gồm các trường hợp đó. Nói cách khác các bạn mới để ý việc phân chia nhưng quên mất việc tổng hợp lại, nghĩa là cộng các phần khác nhau mới ra kết quả của tích phân.

      Điểm cao nhất 9,0.

    • Trong đề thi cuối kỳ K58A2+A3 có vài điểm lưu ý:

      Khi xét tính hội tụ tuyệt đối của chuỗi số

      \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\arctan(1/\sqrt{n})

      ta có thể dùng dấu hiệu so sánh dạng tương đương

      \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\arctan(1/\sqrt{n})\; ~ \;\dfrac{1}{n}.

      Tuy nhiên để dùng khi xét tính hội tụ thì cần lưu ý các ví dụ sau:

      \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n u_n,

      trong đó

      vd1: u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{(-1)^n}{n};

      vd2: u_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{(-1)^n}{n\ln n};

      vd3: u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n-(-1)^n}}.

      • Thầy ơi, thầy xem giúp em câu này có hội tụ đều không ạ?

        f_n(x) = x^2/(x^2 +(nx-1)^2) trên [0,1]
        Bài này em ra f(x) = 0
        -Nếu lấy g(x) = |f_n – f|, em chọn x = 1/n thì |f_n-f| = (1/n^2)/(1/n^2), tức là lim sẽ bằng 1 => không hội tụ đều.
        -Nhưng nếu lấy đạo hàm của g(x)=0 thì x = 1/3n => thay vào g(x) thì lim sup = 0 => hội tụ đều.

        Em cảm ơn thầy ạ

  32. 01/04/2015 tôi chữa các bài tập về tích phân phụ thuộc tham số:

    – lấy giới hạn, lấy đạo hàm,

    – lấy tích phân: liên quan đến tích phân lặp.

    Tiếp đến tôi chữa các bài tập tích phân bội hai lớp:

    – vẽ hình ảnh miền lấy tích phân,

    – chuyển về tích phân lặp.

  33. 02/04/2015, tôi tiếp tục phần tích phân bội với chú ý việc xây dựng tích phân bội hai lớp trong hình chữ nhật và tích phân bội ba lớp trong hình hộp chữ nhật là như nhau. Tiếp đến tôi xây dựng tích phân bội trên miền tổng quát. Chú ý miền tổng quát cần phải là miền bị chặn, Jordan. Các tính chất của tích phân bội giống như tích phân xác định. Để tính tích phân bội hai lớp tôi trình bày các cách sau:

    C1: chuyển về tích phân lặp;

    C2: dùng hệ tọa độ cực.

    Sau đó tôi chuyển sang chữa bài kiểm tra giữa kỳ. Một vài điểm về đề thi:

    B1: câu a dùng Leibniz và so sánh; câu b dùng Dirichlet rồi Abel, và so sánh cùng với tách số hạng tổng quát.

    B2: chú ý điểm x=0.

    B3: chú ý điểm x=0, ngoài ra sử dụng đánh giá trội. Tính liên tục của chuỗi hàm hội tụ đều.

    B4: Sử dụng các dấu hiệu D’Alembert, căn Cauchy và điều kiện cần. Chú ý lấy trị tuyệt đối số hạng tổng quát. Có các câu là trường hợp riêng của các bài trong sách “Bài tập Giải tích tập 2” của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn:

    Bài 931/tr 129: \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^ny^n}{x^n+y^n};

    Bài 932/tr 129: \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n+y^n}.

    Cho x\ge 0, y\ge 0.

    Khi đó

    \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+x^n}=\max\{x, 1\};

    \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x^n+y^n}=\max\{x, y\}.

    B5. Điểm xuất phát khai triển chuỗi lũy thừa

    \dfrac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n

    sau đó tích phân lên, đạo hàm xuống.

    B6. Chú ý việc thác triển chẵn, thác triển lẻ và chu kỳ, tính liên tục của hàm đã cho.

  34. 06/04/2015 tôi chữa các bài tập về tích phân hai lớp:

    – chuyển tích phân bội về tích phân lặp,

    – đổi thứ tự lấy tích phân,

    – sử dụng hệ toạ độ cực tính tích phân.

    • Bài 11-22/1018 yêu cầu tính khối lượng, khối tâm của bản mỏng được cho bởi miền trong mặt phẳng với hàm mật độ \rho(x, y). Chẳng hạn bài 19 cho \rho(x, y)=k là hằng số.

      Bài 51-54/1019 yêu cầu tính

      y_a=\overline{y}-\dfrac{I_{\overline{y}}}{hA}

      trong đó \overline{y} là tọa độ của khối tâm trên trên trục Oy, I_{\overline{y}} là moment quán tính của cổng (miền tím) quanh đường y=\overline{y}, h là khoảng cách từ bề mặt đến đường y=\overline{y}, A là diện tích của miền tím.

  35. 08/04/2015 tôi tiếp tục chữa bài tập tích phân hai lớp:

    – sử dụng hệ tọa độ cực,

    – tính diện tích một số miền phẳng.

    Một vài công thức liên quan đến một miền D trong mặt phẳng:

    – công thức tính diện tích

    S=\iint_D 1dxdy;

    – công thức tính khối lượng bản mỏng D khi biết hàm mật độ khối \rho: D\to[0, \infty):

    M=\iint_D\rho(x, y)dxdy;

    – trọng tâm G(x_G, y_G) của miền D có tọa độ

    x_G=\dfrac{1}{S}\iint_D xdxdy,

    y_G=\dfrac{1}{S}\iint_Dxdxdy;

    – khối tâm P(x_p, y_p) của bản mỏng D với hàm mật độ khối như trên có tọa độ

    x_P=\dfrac{1}{M}\iint_D x\rho(x, y)dxdy,

    y_P=\dfrac{1}{M}\iint_Dx\rho(x, y)dxdy.

    Một số công thức khác các bạn tham khảo thêm

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2008/11/05/m%E1%BB%99t-s%E1%BB%91-cong-th%E1%BB%A9c-tinh-kh%E1%BB%91i-l%C6%B0%E1%BB%A3ng-kh%E1%BB%91i-tam-cac-moment/

  36. 09/04/2015 tôi dạy xong phần tích phân bội:

    – Định lý Fubini cho khối trong không gian,

    – hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu,

    – phép đổi biến với chú ý: xác định miền ảnh sau đổi biến và tính trị tuyệt đối của Jacobian.

    Sau đó tôi chuyển sang tích phân đường loại I, loại II.

  37. 13/04/2015 tôi tiếp tục chữa các bài tập về tích phân hai lớp:

    – các bài có chứa trị tuyệt đối: cần chia miền để phá trị tuyệt đối,

    – dùng hệ tọa độ cực mở rộng: dịch tâm, co giãn, .v.v.,

    – dùng phép đổi biến thích hợp.

  38. 15/04/2015 tôi chữa các bài tính diện tích, thể tích bằng tích phân hai lớp. Các bước thường làm:

    – xác định tích phân hai lớp cần tính:

    + miền lấy tích phân: chú ý xác định giao điểm, trong trường hợp tính thể tích miền lấy tích phân thường là hình chiếu,

    + hàm lấy tích phân,

    – tính tích phân hai lớp ở trên:

    + dùng Fubini,

    + dùng hệ tọa độ cực thích hợp,

    + dùng phép đổi biến thích hợp.

    Sáng nay tôi vướng phải tích phân

    I=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{\sin\theta\cos\theta}d\theta.

    Đặt t=\sin^2\theta thì tích phân trên trở thành

    I=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 t^{-1/4}(1-t)^{-1/4}dt=\dfrac{B(3/4, 3/4)}{2}.

    Tích phân này có dạng tích phân của vi phân nhị thức

    x^m(a+bx^n)^p

    với m=p=-1/4, n=1

    không thuộc vào các dạng

    +) p nguyên vì p=-1/4,

    +) (m+1)/n nguyên vì (-1/4+1)/1=3/4,

    +) (m+1)/n + p nguyên vì (-1/4+1)/1+(-1/4)=1/2.

  39. 16/04/2015 tôi nhờ một số bạn lên tính một vài tích phân đường loại I:

    + tính chu vi đường tròn, chu vi đường ellip với chú ý chu vi đường ellip là tích phân elliptic, các bạn có thể tham khảo thêm

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2009/10/25/tich-phan-elliptic/

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2009/11/14/tinh-b%E1%BA%A5t-bi%E1%BA%BFn-c%E1%BB%A7a-tich-phan-elliptic/

    hay

    http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral

    + tính chiều dài đường đi của một điểm trên vòng tròn khi vòng tròn lăn hết một vòng,

    + tính tọa độ trọng tâm của đường ellip với chú ý về tính đối xứng của miền lấy tích phân, tính lẻ của hàm dưới dấu tích phân;

    và một số bạn tính vài tích phân đường loại II:

    + công sinh bởi trường trọng lực F(x, y)=0.i -1.j trên đi từ (-R, 0) đến (R, 0) theo nửa đường tròn trên x^2+y^2=R^2, y>0;

    + công của trường sinh lực sinh bởi điện tích dương

    F(x, y)=\dfrac{(-x)}{x^2+y^2}\cdot i+\dfrac{(-y)}{x^2+y^2}\cdot j

    đi kín một đường tròn theo chiều kim đồng hồ có tâm tại gốc, đi kín một đường tròn không bao quanh gốc theo chiều kim đồng hồ;

    trong đó i=(1, 0), j=(0, 1).

    Sau đó tôi chuyển sang công thức Green:

    – miền đơn liên, miền đa liên,

    – hướng dương của đường cong phù hợp với miền bao quanh,

    – sử dụng Green tính các tích phân đường loại II ở trên,

    – sử dụng Green tính các tích phân hai lớp, đặc biệt tính diện tích của tam giác, đa giác, tính tọa độ trọng tâm, .v.v.

    Cuối giờ tôi trình bày mối liên hệ giữa tích phân đường loại II và I trong mặt phẳng:

    – tham số hóa phù hợp với hướng dương của đường cong.

  40. Tôi đã chấm xong bài tập nhóm về phần tích phân hai lớp:

    – nhóm 1 không nộp bài,

    – nhóm 3 và 5 làm tốt hơn cả,

    – vẫn còn hiện tượng không ghi rõ bài tập làm trang nào, phần nào.

  41. 20/04/2015 tôi chữa các bài tập về tích phân bội ba lớp:

    – dùng Fubini chuyển về tích phân lặp,

    – sử dụng hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu,

    – tính thể tích một số hình khối.

  42. 22/04/2015 tôi tiếp tục chữa các bài tập về tích phân bội ba lớp:

    – tính thể tích, trọng tâm,

    – khối lượng, khối tâm

    của các hình khối.

    Chú ý việc sử dụng:

    – hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu,

    – phép co giãn, chẳng hạn một số bài có hình khối có dạng bị bẹt ta cần làm tròn nó

    +) hình (x/a)^{2/3}+(y/b)^{2/3}+(z/c)^{2/3}=1, x> 0, y> 0, z> 0

    ta thổi bằng phép biến đổi

    x=au^3, y=bv^3, z=ct^3

    hình ban đầu được thổi thành hình

    u^2+v^2+t^2=1, u> 0, v> 0, t>0

    với tỷ lệ thể tích J=27abcu^2v^2t^2;

    – sử dụng tính đối xứng: trọng tâm nằm trên trục đối xứng, với khối tâm ta cần có tính đối xứng của hàm mật độ khối (khối lượng riêng).

    Cuối giờ tôi chữa bài tính thể tích hình bao quanh bởi

    \left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)^2+\dfrac{z^2}{c^2}=1, z=0, x\ge 0, y\ge 0.

    Ta có thể dùng tích phân xác định để tính thể tích khối này bằng tích phân

    \int\limits_0^c |S(z)|dz

    trong đó S(z) là thiết diện khi cắt khối đã cho bởi mặt phẳng vuông góc với trục 0z.

    Để ý cố định z\in[0, c]

    thiết diện S(z) là tam giác vuông

    x\ge 0, y\ge 0, x/a+y/b\le \sqrt{1-z^2/c^2}

    với các cạnh góc vuông có độ dài

    a\sqrt{1-z^2/c^2}, b\sqrt{1-z^2/c^2}.

    Như vậy thể tích của khối đã cho

    V=\dfrac{ab}{2}\int\limits_0^c (1-z^2/c^2)dz=\dfrac{abc}{3}.

    Từ đây có thể thấy tính chất thú vị của khối này:

    mặt phẳng x/a+y/b+z/c chia khối đã cho thành hai phần có cùng thể tích.

    • Cách sáng nay tôi chữa: cắt khối theo các mặt phẳng song song với mặt phẳng x/a+y/b=1. Khi đó thể tích của khối cho bởi tích phân xác định sau

      \int\limits_0^h |S_{a, b}(t)|dt

      trong đó S_{a, b}(t) là thiết diện khi cắt khối đã cho bởi mặt phẳng x/a+y/b=h(t)

      còn h=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} là khoảng cách từ gốc đến mặt phẳng x/a+y/b=1,

      h(t)=\dfrac{t\sqrt{a^2+b^2}}{ab} sao cho khoảng cách từ gốc đến mặt phẳng x/a+y/b=h(t) bằng t.

      . Để ý rằng thiết diện này

      S_{a, b}(t)=\{0\le z\le c\sqrt{1-t^2}, x/a+y/b=h(t), x\ge 0, y\ge 0\}

      là hình chữ nhật có độ dài các cạnh

      c\sqrt{1-t^2}, h(t)\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{t(a^2+b^2)}{ab}.

      Khi đó thể tích của khối đã cho

      \dfrac{(a^2+b^2)c}{ab}\times\int\limits_0^{ab/\sqrt{a^2+b^2}}t\sqrt{1-t^2}dt.

      Một cách tương tự ta có thể tính thể tích khối nằm trong mặt

      \left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\right)^2=\dfrac{x}{h}

      bằng cách cắt khối bởi các thiết diện vuông góc với trục 0x.

      Để ý:

      +) khối nằm giữa mặt x=0x=(a^4/h)^{1/3},

      +) với mỗi x\in (0, (a^4/h)^{1/3}) thiết diện cắt bởi mặt phẳng đi qua điểm x là hình ellip

      \dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=\sqrt{\dfrac{x}{h}}-\dfrac{x^2}{a^2}

      nên có diện tích

      \pi bc\left(\sqrt{\dfrac{x}{h}}-\dfrac{x^2}{a^2}\right).

      Thể tích của khối

      \pi bc\int\limits_0^{(a^4/h)^{1/3}}\left(\dfrac{x^{1/2}}{\sqrt{h}}-\dfrac{x^2}{a^2}\right)dx.

  43. 23/04/2015, tôi bắt đầu bằng bài kiểm tra ngắn về tích phân đường.

    1. Cho hình số 8:

    (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2), a> 0.

    a) Trong hệ tọa độ cực

    x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi

    hãy xác định r theo \varphi, và miền của \varphi.

    b) Chứng minh rằng chu vi của đường số 8 được cho bởi

    4\int\limits_0^{\pi/4}\sqrt{r^2+r_\varphi^2}d\varphi.

    Từ đó dẫn đến chu vi của đường số 8 là

    4\int\limits_0^{\pi/4}\dfrac{a}{\sqrt{\cos(2\varphi)}}d\varphi.

    c) Đổi biến t=\cos^2(2\varphi), hãy chứng minh chu vi của đường số 8 là

    aB(1/4, 1/2).

    2. Xét tích phân

    I=\int\limits_C Pdx+Qdy

    với đường cong C: x^2+y^2=1 có hướng ngược chiều kim đồng hồ,

    P=\dfrac{-y}{x^2+y^2}, Q=\dfrac{x}{x^2+y^2}.

    a) Chứng minh rằng \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{x}.

    b) Tính I. Hỏi có thể áp dụng được công thức Green không?

    Tiếp đến tôi chuyển sang trình bày tích phân mặt:

    + tích phân mặt loại I:

    – tham số hóa mặt cong: phương trình, miền biến chạy,

    – tính vi phân mặt,

    – thiết lập tích phân hai lớp và tính;

    – sau đó tôi tính toán ví dụ một phần mặt phẳng, mặt cầu với tham số hóa bằng hệ tọa độ cầu, .v.v.;

    + tích phân mặt loại II:

    – hướng dương của mặt cong,

    – tham số hóa mặt: phương trình, biến chạy,

    – tính (A, B, C) và xem xét sự phù hợp với hướng dương của mặt cong,

    – thiết lập tích phân hai lớp và tính,

    – sau đó tôi đưa ra ví dụ về trường điện sinh bởi mặt cầu tích điện (ví dụ này không đúng).

    • Ví dụ cuối giờ về trường điện sinh ra bởi mặt cầu tích điện dương đều sinh ra lực tác động vào điện tích thử âm đặt tại gốc. Ví dụ này liên quan đến tích phân mặt loại I chứ không phải loại II. Lực tác động có ba thành phần, mỗi thành phần sẽ ứng với một tích phân mặt loại I. Cụ thể như sau:

      – mỗi điểm trên mặt cầu đơn vị tác động lên điện tích thử một “vi phân lực” (bỏ qua một số thứ)

      (P, Q, R)=\dfrac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}(x, y, z),

      – tổng hợp lực do mặt cầu đơn vị tác động lên điện tích thử có ba thành phần lần lượt

      +) \iint\limits_S \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}dS,

      +) \iint\limits_S \dfrac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}dS,

      +) \iint\limits_S \dfrac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}dS.

      Không khó để thấy các tích phân trên đều bằng 0.

      Một cách tổng quát nếu điện tích thử đặt tại (x_0, y_0, z_0) thì lực do mặt cầu tác động

      +) \iint\limits_S \dfrac{x-x_0}{((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2)^{3/2}}dS,

      +) \iint\limits_S \dfrac{y-y_0}{((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2)^{3/2}}dS,

      +) \iint\limits_S \dfrac{z-z_0}{((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2)^{3/2}}dS.

    • Tôi đã chấm xong bài kiểm tra ngắn. Vài nhận xét:

      – chỉ có một hay hai bài chứng minh được vi phân đường

      ds=\sqrt{r^2+r_\varphi^2}d\varphi,

      – có đúng một bài viết được giải thích việc không sử dụng được công thức Green theo cách hiểu của mình, còn lại chỉ chép sách mà không hiểu,

      – đường tròn trong đề có bán kính cụ thể 1, có nhiều bài chép lấy đường tròn bán kính R.

      Điểm cao nhất 9,5.

  44. Cách đây vài tuần tôi còn mắc bài 25b/ trang 131 trong sách “Giáo trình Giải tích 3” của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn.
    Cụ thể bài yêu cầu tính tích phân

    I=\iint_D (x^2-y^2)e^{xy}dxdy

    trong đó D=\{(x, y)|\; x^2+y^2\le 1, x+y\ge 1, x-y\ge 0 \}.

    tron

    Hôm đó một bạn lên làm bằng cách dùng Fubini trực tiếp nên rất phức tạp. Cụ thể ta sẽ gặp một trong hai cách

    C1:

    \int\limits_{1/2}^{1/\sqrt{2}}dx\int\limits_{1-x}^x f(x, y)dy+\int\limits_{1/\sqrt{2}}^1 dx\int\limits_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x, y)dy;

    tron

    C2:

    \int\limits_0^{1/2}dy \int\limits_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x, y)dx+\int\limits_{1/2}^{1/\sqrt{2}} dy\int\limits_{x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x, y)dx.

    tron

    Hôm đó tôi nghĩ cần đổi biến để đưa về tích phân tính dễ hơn nhưng chưa nghĩ ra. Cách đổi biến tôi vừa nghĩ

    u=x-y, v=x+y

    có hàm dưới dấu tích phân

    uve^{(v^2-u^2)/4}

    và miền lấy tích phân trở thành

    u^2+v^2\le 2, u\ge 0, v\ge 1

    tron

    Có thể cảm nhận phép đổi biến trên là phép quay theo chiều kim đồng hồ một góc \pi/4, và vị tự tại gốc tỷ lệ 1:\sqrt{2}. Khi đó Jacobian của phép đổi biến |J|=1/2. Tích phân cần tính

    I=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^{-u^2/4}du \int\limits_1^{\sqrt{2-u^2}}ve^{v^2/4}dv.

    • Ta có thể dùng tích phân đường loại II để tính tích phân hai lớp này:

      \int_C -xe^{xy}dx-ye^{xy}dy

      với C là đường đi từ (1, 0) theo cung tròn x^2+y^2=1 đến điểm (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}), tiếp đến đi theo đường y=x đến điểm (1/2, 1/2), rồi cuối cùng theo đường x+y=1 về điểm ban đầu (1, 0).

  45. 25/04/2015 tôi chuyển sang chữa bài tập về tích phân đường:

    – việc tham số: loại I cần xác định miền của biến, loại II cũng vậy và thêm việc xác định hướng di chuyển của biến dựa vào hướng đường cong,

    – tính vi phân: loại I tính vi phân đường ds=\sqrt{x_t^2+y_t^2}dt còn loại II tính dx=x_tdt, dy=y_tdt.

    Việc sử dụng Green cho tích phân đường loại II có thể ví như con dao hai lưỡi:

    – nếu biết sử dụng nó giúp việc tính toán khá nhanh,

    – nếu sử dụng không đúng nó làm bài giải sai.

    Việc sử dụng không đúng nằm ở:

    – hàm xác định trên đường cong nhưng không xác định trên miền phía trong,

    – đường cong không khép kín, hướng của đường cong so với miền.

  46. Tôi đã chấm xong bài tập nhóm phần tích phân ba lớp:

    – nhóm 1 không nộp bài,

    – nhóm 2 chỉ có bạn Vũ Phương Nam nộp bài,

    – nhóm 4 và 6 mắc lỗi: làm nhầm bài của nhóm khác, làm sai yêu cầu đề (đề yêu cầu đổi thứ tự lấy tích phân, các bạn lại tính và không đổi),

    – nhóm 3 làm tốt hơn cả.

  47. 27/04/2015 tôi nhờ một số bạn lên làm các bài tập về tích phân mặt loại I, loại II:

    – tham số hoá: chú ý xác định miền biến chạy,

    – tính vi phân: loại I tính E, F, G rồi vi phân mặt dS, loại II tính véc-tơ (A, B, C) và so sánh với hướng dương của mặt,

    – cách sử dụng công thức Ostrogradskii-Gauss.

    Với tích phân hai lớp dxdy=dydx, với tích phân mặt loại II ta lại có

    dxdy=-dydx.

    • Từ bài 47-50/tr1081 yêu cầu:

      – chứng minh trường véc-tơ F(x, y)=P(x, y)i+ Q(x, y)j và véc-tơ tiếp xúc (tangent vector) r'(t) vuông góc với nhau,

      – chứng minh tích phân đường \int_C F(x, y)\cdot dr=\int_C P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 bằng cách tính trực tiếp.

      Chú ý đường cong C: r(t)=x(t)i+y(t)j, a\le t\le b, có véc-tơ tiếp xúc

      r'(t)=x'(t)i+y'(t)j.

      Từ bài 5-10/tr 1090 yêu cầu chứng minh tính bảo toàn (conservative) của trường đã cho. Chẳng hạn trong trường hợp hai chiều F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j, ta cần kiểm tra

      \dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}=0.

      Trong trường hợp ba chiều F(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k ta cần kiểm tra hệ

      \dfrac{\partial P}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial x}=0,

      \dfrac{\partial Q}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial y}=0,

      \dfrac{\partial R}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial z}=0.

      Các véc-tơ

      i=(1, 0), j=(0, 1) (trong trường hợp hai chiều),

      i=(1, 0,  0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1) (trong trường hợp ba chiều).

  48. 04/05/2015 một số bạn chữa các bài tập về tích phân đường loại II, tích phân mặt loại II có sử dụng các công thức Green, Ostrogradskii-Gauss. Một vài điểm lưu ý:

    – cần áp dụng đúng: hàm dưới dấu tích phân, hướng đường cong, hướng của mặt cong,

    – với trường bảo toàn, hay còn gọi trường thế vị, tích phân đường loại II chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và cuối,

    – khi chuyển về tích phân bội nên để ý ý nghĩa của nó vì có thể nhờ nó mà không cần tính tích phân,

    – với đường cong chưa kín hay mặt cong chưa kín ta vẫn có thể sử dụng công thức bằng cách ghép thêm cho kín, khi đó cần chú ý hướng của phần ghép thêm và phải nhớ trừ đi nó.

  49. 06/05/2015 tôi chữa một số bài về việc tính diện tích, trọng tâm, chu vi của một số miền trong mặt phẳng:

    + miền nằm trong r=2\cos\theta nằm ngoài r=1,

    H1

    + miền nằm trong r=2+2\cos\theta nằm ngoài r=1,

    H2

    + miền nằm trong r=3\cos\theta nằm noài r=1+\cos\theta.

    H3

    Chú ý trong hệ tọa độ cực vi phân đường

    ds=\sqrt{r^2+r_\theta^2}d\theta.

    Sau đó tôi chuyển sang các miền nằm trong không gian vẫn viết như trên nhưng trong hê tọa độ cầu

    x=r\cos\theta,

    y=r\sin\theta\cos\varphi,

    z=r\sin\theta\sin\varphi.

    Chú ý trong hệ tọa độ cầu vi phân mặt được tính

    dS=r\sin\theta\sqrt{r^2+r_\theta^2}d\theta d\varphi.

  50. 07/05/2015 tôi bắt đầu bằng việc chữa bài kiểm tra ngắn ngày 23/04/2015. Trong lúc chữa tôi có tính toán vi phân mặt dạng

    r=r(\theta, \varphi)

    trong hệ tọa độ cầu, được cho bởi

    dS=r\sqrt{(r^2+r_\theta^2)\sin^2\theta+r_\varphi^2}d\theta d\varphi.

    Một vài trường hợp đặc biệt:

    – mặt tròn xoay, nghĩa là r không phụ thuộc vào \varphi, ta có

    dS=r\sin\theta\sqrt{r^2+r_\theta^2}d\theta d\varphi,

    – mặt cầu, nghĩa là r=R là hằng số

    dS=R^2\sin\theta d\theta d\varphi.

    Sau đó tôi chuyển sang trường thế và việc tìm hàm thế của trường thế. Khi đó, từ công thức Green áp dụng cho trường trong mặt phẳng, công thức Stokes áp dụng cho trường trong không gian ta có

    – tích phân đường loại II của trường thế chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối, không phụ thuộc vào đường đi, nó bằng hiệu của giá trị hàm thế tại điểm cuối trừ đi giá trị hàm thế tại điểm đầu.

    Trong công thức Stokes chú ý về sự phù hợp hướng dương của đường cong và hướng dương của mặt cong nhờ quy tắc bàn tay trái:

    – ngón cái chỉ hướng dương của đường cong, ngón chỏ chỉ hướng dương của mặt cong thì ngón giữa chỉ vào mặt cong.

    Sau đó tôi trình bày lại ý nghĩa của tích phân mặt loại II:

    – thông lượng của dòng có trường véc-tơ vận tốc F=(P, Q, R) qua mặt S theo hướng dương của nó.

    Chẳng hạn mặt S nằm trong mặt phẳng y=a thì các thành phần PR không tham gia vào việc dòng đi qua mặt S nên thông lượng

    \iint_S Qdzdx.

    Tiếp đến tôi trình bày công thức Ostrogradskii-Gauss về mối liên hệ giữa tích phân mặt loại II và tích phân bội ba lớp.

    Cuối giờ tôi chữa các bài trong đề kiểm tra GT2 cho lớp K58 liên quan đến tích phân bội, đường mặt.

  51. 14/05/2015 tôi kết thúc việc dạy lý thuyết môn GT2 cho lớp K59A3 với việc:

    – trình bày mối liên hệ giữa tích phân mặt loại I và II,

    – sử dụng công thức Stokes để tính diện tích của mặt nằm trong mặt phẳng, mặt trụ bởi tích phân đường loại II,

    – sử dụng tích phân mặt loại II để tính diện tích mặt xung quanh nón cụt.

    Tôi thông báo điểm thường xuyên cho lớp.

    • Thầy Lê Huy Tiễn chịu trách nhiệm về việc ra đề. Tôi sẽ hỏi thầy Tiễn. Thứ Hai tới tôi sẽ có câu trả lời.

      Các bạn làm thế nào?

      • Mấy bài chuỗi và dãy đa số làm được ạ. 2 bài cuối thì nhiều người mắc ạ. Em vừa làm lại bị sai bài 5 rồi ạ T.T. Em bị đánh rơi mất cái Jacobian. Em rất xl thầy :((. Bài có được cộng điểm vẽ hình ko ạ :”>>>?

      • Tôi không biết? Hai bài cuối tôi ra đấy. Câu 6 lẽ ra còn dài nữa nhưng thầy Tiễn cắt bớt! Câu 6 gần giống Câu 5 đề cuối kỳ của K58 tôi đã chữa.

        Câu 5 tôi đã chữa những bài gần giống.

        Hơi tiếc!

      • Hình cho câu 5:

        nằm trong hình tròn r=2, nằm ngoài hình cardioid r=2-2\sin\theta

        tron

        Gần giống với bài đã chữa ngày 06/05/2015 ở trên.

  52. Thang điểm:

    Câu 1: 2,5 điểm,

    Câu 2: 2,5 điểm,

    Câu 3: 2,5 điểm,

    Câu 4: 2,5 điểm,

    Câu 5: 2 điểm,

    Câu 6: 2 điểm.

    Có bảy bài được 10,0 điểm (trên tổng 109 bài).

  53. Pingback: Trao đổi bài giảng GT2 lớp K60A3 | Giải tích

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s