Một vài phân tích nhỏ về các dấu hiệu kiểm tra sự hội tụ chuỗi số

Standard

Xét chuỗi số thực

\sum\limits_{n=1}^\infty u_n. \quad \quad(1)

Ta bắt đầu từ điều kiện cần, một dấu hiệu khá đơn giản, dễ kiểm tra như sau:

Nếu chuỗi (1) hội tụ thì \lim\limits_{n\to\infty}u_n=0.

Chú ý rằng nếu \lim\limits_{n\to\infty}u_n=0 thì

\limsup\limits_{n\to\infty}|u_n|=0.

Chú ý này khá hữu ích vì khi thực hành ta thường dùng điều kiện cần theo cách ngược, nghĩa là:

nếu ta tìm được một dãy con \{u_{n_k}\}_{k=1}^\infty của dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty sao cho dãy con đó hội tụ đến một số khác 0 thì chuỗi (1) phân kỳ.

Một cách phát biểu khác:

nếu ta tìm được một số dương \epsilon_0 sao cho có vô số số tự nhiên n thỏa mãn

|u_n|>\epsilon_0

thì chuỗi (1) phân kỳ.

Chẳng hạn ta xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty (1+(-1)^n).

Cũng cần lưu ý rằng điều kiện cần không phải là đủ qua ví dụ

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}.

Tuy nhiên nếu quan sát lại chuỗi trên một chút ta nhận thấy dãy các số hạng tổng quát của nó ngoài tiến về 0 còn là dãy đơn điệu giảm. Với quan sát này ta lưu ý đến dấu hiệu sau:

Nếu chuỗi (1) hội tụ, dãy các số hạng tổng quát là dãy đơn điệu thì

\lim\limits_{n\to\infty}nu_n=0.

Ngược lại, dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty là dãy đơn điệu và có số \epsilon_0 sao cho bất phương trình

n|u_n|>\epsilon_0

có vô số nghiệm thì chuỗi (1) phân kỳ.

So với điều kiện cần dấu hiệu trên cần đến tính đơn điệu. Khi đó ta nâng được n^0u_n thành n^1u_n. Câu hỏi: ta thu được điều gì khi quan sát n^su_n, s>1?

Với chú ý chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty n^s, s>1, hội tụ

ta có dấu hiệu sau.

Nếu có số dương Cs>1 sao cho với mọi số tự nhiên n ta có

n^s|u_n|<C

thì chuỗi (1) hội tụ.

Cũng cần lưu ý rằng nếu s=1 thì cho dù có

\lim\limits_{n\to\infty}nu_n=0

và dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty đơn điệu cũng không dẫn đến chuỗi (1) hội tụ. Chẳng hạn ta xét chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n\ln(n+1)}.

Với chuỗi đơn điệu dương này ta cần đến tiêu chuẩn sau.

Giả sử dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty là dãy không âm, đơn điệu giảm. Khi đó chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi

chuỗi \sum\limits_{k=1}^\infty 2^ku_{2^k} hội tụ.

Tiếp theo ta quan tâm đến các dấu hiệu cho chuỗi dương. Từ đây trở đi ta sẽ chỉ xét chuỗi (1) khi u_n\ge 0, \forall n\in\mathbb N.

Dấu hiệu căn Cauchy (root test) là dấu hiệu dựa trên quan sát giới hạn

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=d.

+ Khi d>1 thì chuỗi (1) phân kỳ.

+ Khi d<1 thì chuỗi (1) hội tụ.

+ Khi d=1 thì chưa kết luận được gì.

Khi d>1 là trường hợp riêng của điều kiện cần, nghĩa là nếu d>1 thì có \lim\limits_{n\to\infty}u_n=+\infty. Từ đây có thể thấy ta có thể giảm nhẹ dấu hiệu

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=d>1

bởi dấu hiệu: có vô số số tự nhiên n sao cho

\sqrt[n]{u_n}\ge 1

thì chuỗi (1) phân kỳ.

Thực ra dấu hiệu này vẫn chỉ là hệ quả đơn giản của điều kiện cần. Tuy nhiên từ dấu hiệu này dẫn đến: những chuỗi còn phải xét chỉ có hữu hạn số hạng tổng quát thỏa mãn

\sqrt[n]{u_n}\ge 1

nói cách khác

\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}\le 1.

Từ đây dẫn đến dấu hiệu căn Cauchy dựa trên quan sát

\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=d'.

+ Khi d'>1 thì chuỗi (1) phân kỳ.

+ Khi d'<1 thì chuỗi (1) hội tụ.

+ Khi d'=1 thì chưa kết luận được gì.

Chú ý rằng: khi có giới hạn

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=d

thì d'=d. Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng có giới hạn mà chỉ có giới hạn trên. Chẳng hạn ta xét các chuỗi sau:

\sum\limits_{n=1}^\infty 2^{-n}(1+\sin n)^n, \sum\limits_{n=1}^\infty(1-\sin n)^n.

Nhận xét: Các dấu hiệu trên chỉ quan tâm đến từng số hạng tổng quát mà chưa quan tâm đến mối liên hệ giữa các số hạng. Dưới đây ta quan tâm đến mối quan hệ

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}.

Dấu hiệu D'Alembert (ratio test) quan tâm đến giới hạn

\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=d_1.

+ Khi d_1>1 thì chuỗi (1) phân kỳ.

+ Khi d_1<1 thì chuỗi (1) hội tụ.

+ Khi d_1=1 thì chưa kết luận được gì.

Khi d_1>1 chỉ đơn thuần là hệ quả của điều kiện cần. Tuy nhiên khác với dấu hiệu căn Cauchy, việc dùng điều kiện cần chỉ ta dấu hiệu sau

nếu từ một thời điểm n_0 ta đều có

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1, \forall n\ge n_0

thì chuỗi (1) phân kỳ.

Dĩ nhiên nếu

\liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1

thì ta có điều trên. Nhưng khác với dấu hiệu căn Cauchy, nếu chỉ có

\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1

thì ta chưa kết luận được gì. Chẳng hạn ta xét các ví dụ sau

\sum\limits_{n\to\infty}\dfrac{2+(-1)^n}{n}, \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2+(-1)^n}{n^2}.

Ngược lại, nếu

\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1

thì chuỗi (1) hội tụ.

Các trường hợp còn lại

\liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le 1\le \limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}.

Một vài so sánh giữa các dấu hiệu trên:

– Về việc dẫn đến sự phân kỳ, điều kiện cần tổng quát hơn hẳn các dấu hiệu căn Cauchy và D'Alembert. Khi thực hành thường ta kiểm tra điều kiện cần đầu tiên, sau đó mới kiểm tra các dấu hiệu.

– Về bản chất dấu hiệu căn Cauchy và dấu hiệu D'Alembert đều đi so sánh chuỗi cần xét với chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty q^n, q>0. Tuy nhiên từ đánh giá

\liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le \liminf\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}\le\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}\le\limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{n_n}

nên trong thực hành ta thường kiểm tra D'Alembert trước, nếu thấy chưa được mới tiếp tục kiểm tra căn Cauchy.

Trong trường hợp các dấu hiệu trên chưa cho ta kết luận gì ta tiếp tục quan tâm đến giới hạn

\lim\limits_{n\to\infty}n\Big(\dfrac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\Big)=d_2.

Về bản chất của việc quan tâm đến giới hạn này là ta đem so sánh chuỗi (1) với chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-s}. Ta có dấu hiệu Raabe sau.

+ Khi d_2>1 thì chuỗi (1) hội tụ.

+ Khi d_2<1 thì chuỗi (1) phân kỳ.

+ Khi d_2=1 thì chưa kết luận gì.

Khi d_2>1 dẫn đến từ thời điểm n_0 nào đó ta có

\dfrac{u_{n}}{u_{n+1}}\ge 1+\dfrac{r}{n}, r=\dfrac{1+d_2}{2}, n\ge n_0.

Từ đó ta sẽ so sánh được chuỗi (1) với chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-r}. Như vậy, về bản chất ta có dấu hiệu sau:

nếu có số dương r>1 sao cho từ thời điểm n_0 nào đó ta có

\dfrac{u_n}{u_{n+1}}\ge 1+\dfrac{r}{n}

thì chuỗi (1) hội tụ.

Có thể nói điều này không hơn gì việc ta tìm số s>1 và số dương C sao cho

n^s|u_n|<C, \forall n\in\mathbb N.

Tuy nhiên về mặt thực hành thì câu hỏi tìm s như nào thì có lẽ Raabe là cách tìm tốt! Ngoài ra Raabe cũng cho ta dấu hiệu dẫn đến sự phân kỳ tốt hơn điều kiện cần. Chẳng hạn ta xét chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Với chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} ta cần dấu hiệu Raabe tốt hơn một chút như sau.

Nếu từ thời điểm n_0 nào đó ta có

\dfrac{u_n}{u_{n+1}}\le 1+\dfrac{1}{n}, \forall n\ge n_0

thì chuỗi (1) phân kỳ.

Tiếp tục quan sát tỷ số u_{n+1}/u_n ta có các dấu hiệu Gauss, Bertrand, Kummer. Các bạn có thể tham khảo trang

http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test

hay các bài tập 866-868, trong sách “Bài tập Giải tích, Tập II” của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn.

3 responses »

  1. Xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty u_n, không nhất thiết dương.

    Giả sử có giới hạn, có thể vô hạn,

    R=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_n|}.

    Nếu R<1 thì chuỗi đang xét hội tụ tuyệt đối. Khi đó nó hội tụ.

    Nếu R>1 thì chuỗi đang xét phân kỳ tuyệt đối, nghĩa là chuỗi tuyệt đối phân kỳ. Điều này có vẻ như chưa giúp ta đi đến kết luận: chuỗi đang xét phân kỳ, vì có những trường hợp bán hội tụ như chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n/n. Tuy nhiên nếu phân tích kỹ một chút, ta dùng điều kiện cần ta sẽ kết luận được chuỗi đang xét phân kỳ.

    Như vậy dấu hiệu D'Alembert dùng được cho chuỗi bất kỳ. Tương tự với dấu hiệu căn Cauchy, các bạn thử nghĩ một chút xem.

  2. Bảng đưa ra thứ tự chọn các dấu hiệu

    http://www.math.hawaii.edu/~jamal/SeriesConvTests.pdf

    hay

    http://www.math.tamu.edu/~austin/serieschart.pdf

    hoặc

    https://www.csusm.edu/mathlab/documents/SeriesConvergeDiverge.pdf

    Khi sử dụng dấu hiệu căn Cauchy ta có thể gặp tình huống xét căn thức

    \sqrt[n]{n!}.

    Ở đây ta có thể sử dụng công thức Stirling

    \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}=1.

    Về công thức Stirling các bạn có thể tham khảo thêm

    http://en.m.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s