Sử dụng tích phân Fourier để giải PTĐHR

Standard

Chuỗi Fourier được J. Fourier đưa ra như một công cụ để giải các phương trình truyền nhiệt và truyền sóng. Khi nghiên cứu phương trình truyền nhiệt trên một đoạn hữu hạn bằng phương pháp tách biến ta thu được họ đếm được các hàm riêng (còn gọi là phổ). Từ đó ta lập được công thức nghiệm dạng chuỗi Fourier. Vẫn dùng phương pháp này cho phương trình truyền nhiệt trên toàn đường thẳng ta sẽ thu được một họ “liên tục”, không đếm được các phổ. Khi đó ta lập công thức nghiệm dạng “tổng liên tục” hay “tích phân Fourier”. Trong bài “Từ chuỗi Fourier đến tích phân Fourier”

https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/04/10/tu-chuoi-fourier-den-tich-phan-fourier/

tôi đã trình bày quá trình “liên tục” hóa này và đi đến biến đổi tích phân Fourier của hàm “đủ tốt” f:\mathbb R\to\mathbb C

\mathcal Ff(\xi)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\mathbb R}f(x)e^{-i\xi x}dx.

Hàm đủ tốt ở đây sẽ phụ thuộc vào một số tình huống cụ thể, chẳng hạn để tích phân trên có nghĩa hàm f cần khả tích Lebesgue trên toàn đường thẳng. Trong trường hợp tốt hơn như trong bài “Từ chuỗi Fourier đến tích phân Fourier”, nghĩa là f liên tục, trơn từng khúc và khả tích tuyệt đối thì ta có thể khôi phục f từ biến đổi Fourier của nó qua biến đổi ngược Fourier sau

f(x)=p.v.\int\limits_{\mathbb R}\mathcal Ff(\xi)e^{i\xi x}d\xi=\lim\limits_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R \mathcal Ff(\xi)e^{i\xi x}d\xi.

Để sử dụng biến đổi Fourier này vào việc giải các phương trình đạo hàm riêng ta cần đến một số tính chất của biến đổi Fourier và khi đó ta sẽ đòi hỏi thêm về tính “đủ tốt”. Dưới đây ta đi vào cụ thể một số trường hợp đơn giản.

Quay trở lại phương trình truyền nhiệt trên toàn đường thẳng

u_t(x, t)=u_{xx}(x, t), x\in\mathbb R, t>0.

Để dùng được biến đổi Fourier ta giả sử u:\mathbb R\to\mathbb R là hàm khả vi liên tục đến cấp 2 và nó cũng như các đạo hàm đến cấp 2 của nó khả tích tuyệt đối, nghĩa là

các tích phân suy rộng \int\limits_{-\infty}^\infty f^{(k)}(x)dx, k=0, 1, 2, hội tụ tuyệt đối.

Khi đó, do

f(x)=f(0)+\int\limits_0^x f'(y)dy, f'(x)=f'(0)+\int\limits_0^x f"(y)dy

nên tồn tại các giới hạn

\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x), \lim\limits_{x\to\pm\infty}f'(x).

Lại do các tích phân

\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|dx, \int\limits_{-\infty}^\infty |f'(x)|dx

hội tụ, và các hàm f(x), f'(x) liên tục nên các giới hạn trên phải bằng 0.

Khi đó sử dụng tích phân từng phần ta có

\mathcal F(f")(\xi)=(i\xi)^2\mathcal Ff(\xi).

Giả sử nghiệm u(x, t) của phương trình truyền nhiệt có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 theo x, và các đạo hàm riêng này khả tích tuyệt đối theo biến x. Ta lấy biến đổi Fourier theo biến x hai vế của phương trình truyền nhiệt ta có phương trình

\dfrac{\partial}{\partial t}\mathcal Fu(\xi, t)=-\xi^2\mathcal Ff(\xi, t).

Khi đó tích phân phương trình trên ta có

\mathcal Fu(\xi, t)=A(\xi)e^{-\xi^2 t}.

Như vậy nghiệm của phương trình truyền nhiệt trên toàn đường thẳng

u(x, t)=\lim\limits_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R A(\xi)e^{-\xi^2 t}e^{i\xi x}d\xi.

Nếu ta biết thêm điều kiện ban đầu u(x, 0)=f(x) thì

f(x)=\lim\limits_{R\to\infty}\int_{-R}^R A(\xi)e^{i\xi x}d\xi.

Do đó

A(\xi)=\mathcal Ff(\xi).

Như vậy nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt

u(x, t)=p.v. \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal Ff(\xi)e^{-\xi^2t+i\xi x}d\xi.

Bằng vài phép biến đổi kỹ thuật:

– đổi thứ tự lấy tích phân,

– tích phân của hàm lẻ trên miền đối xứng bằng 0,

– tích phân \int\limits_{\mathbb R}\cos((x-y)\xi)e^{-\xi^2t}d\xi=\sqrt{\frac{\pi}{t}}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}

ta có công thức nghiệm Poisson

u(x, t)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int\limits_{\mathbb R}f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}dy.

Ta chuyển sang phương trình truyền sóng trên toàn đường thẳng

u_{tt}(x, t)=u_{xx}(x, t), x\in\mathbb R, t>0.

Cũng với giả thiết đặt lên nghiệm như phương trình truyền nhiệt, ta lấy biến đổi Fourier hai vế của phương trình truyền sóng ta được

\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\mathcal Fu(\xi, t)=-\xi^2\mathcal Fu(\xi, t).

Tích phân phương trình này ta được

\mathcal Fu(\xi, t)=A(\xi)\cos(\xi t)+B(\xi)\sin(\xi t).

Như vậy nghiệm của phương trình truyền sóng

u(x, t)=\lim\limits_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R \left(A(\xi)\cos(\xi t)+B(\xi)\sin(\xi t)\right)d\xi.

Nếu ta có thêm các điều kiện ban đầu u(x, 0)=f(x), u_t(x, 0)=g(x) thì

A(\xi)=\mathcal Ff(\xi),

\xi B(\xi)=\mathcal Fg(\xi).

Các bạn thử biến đổi công thức nghiệm trên về công thức nghiệm D’Alembert?

Câu hỏi: Liệu ta có thể làm tương tự với trường hợp tổng quát hơn không? Chẳng hạn phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng? Hay phương trình đạo hàm riêng tuyến tính?

Với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng: ta có kết quả sâu sắc Định lý Malgrange-Ehreinpreis. Các bạn có thể tham khảo bài

http://mat1.uibk.ac.at/wagner/psfiles/monthly.pdf

hay

http://www.math.mcgill.ca/gantumur/math580f11/downloads/MalgrangeEhrenpreis.pdf

Với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bất kỳ nói chung chưa được giải quyết trọn vẹn. Tuy nhiên trong một số trường hợp ta vẫn có lời giải, chẳng hạn bài 2 trong đề thi cuối kỳ cho lớp K55TT-TN(kỳ II, năm học 2012-2013) xét phương trình

u_t(x, t)=-4u_{xxxx}(x, t)+xu_x(x, t), x\in\mathbb R, t>0.

Với hàm u(x, t) đủ tốt ta có

\mathcal F(u_{xxxx})(\xi, t)=\xi^4\mathcal Fu(\xi, t),

\mathcal F(xu_x)(\xi, t)=-\xi\dfrac{\partial}{\partial\xi}\mathcal Fu(\xi, t)-\mathcal Fu(\xi, t).

Đặt v(\xi, t)=\mathcal Fu(\xi, t) ta có phương trình cấp 1 sau

v_{t}(\xi, t)=-(4\xi^4+1) v(\xi, t)-\xi v_\xi(\xi, t), \xi\in\mathbb R, t>0.

Lại có điều kiện ban đầu trở thành

v(\xi, 0)=\mathcal Ff(\xi).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s