Đề thi giữa kỳ K57TN

Standard

Trang 1 - De GK -2015

Trang 2 - De GK - 2015

Tôi đã chấm xong bài giữa kỳ môn PTĐHR cho lớp K57TN. Điểm cao nhất 9.5.

10 responses »

  1. Một số bạn yêu cầu tôi viết thang điểm cho đề thi. Thang điểm như sau:

    Câu 1: 1.5+1.0+1.5;

    Câu 2: 0.5+1+2.5;

    Câu 3: 1.0+2.0;

    Câu 4: 1.5+1.5+1.0.

    Riêng câu 1, vẽ các đường các đặc trưng chi tiết được cộng thêm 0.5.

    Thời gian làm bài: 110 phút.

    Tổng điểm 15.5.

  2. em chào thầy ạ!
    thưa thầy, thầy có thể gợi ý cho em bài 1 câu c trong đề kiểm tra giữa kì lớp k57TN được không ạ? làm thế nào để ta xác định nghiệm tìm được có phải là duy nhất không? và nếu không thì tìm nghiệm khác như thế nào ạ?
    em cảm ơn thầy ạ!

    • Công thức hình bình hành chính là điểm gợi ý:

      – đề bài cho biết nghiệm trên hai đường y=x^3/3, y=-x^3/3 khi x> 0 nên nghiệm xác định duy nhất trong miền

      -x^3/3<y<x^3/3, x> 0;

      – phần còn lại trên nửa không gian x> 0 ta có thể giữ nguyên công thức tìm được từ trên, và cách thứ hai ta thêm điều kiện u(0, y)=0 rồi dùng công thức hình bình hành tính.

  3. Sáng nay tôi đã chữa bài 1, nghiệm tổng quát

    u(x, y)=H(y- x^3/3)+G(y+x^3/3).

    Khi biết thêm điều kiện

    u(x, x^3/3)=u(x, -x^3/3)=\sin x khi x>0

    ta xác định được nghiệm

    u(x, y)=\sin\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2}(x^3/3-y)}\right)+\sin\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2}(x^3/3 +y)}\right)

    một cách duy nhất trong miền \{-x^3/3<y < x^3/3, x> 0\}.

    Lý do: từ điều kiện ta chỉ tính được G(x), H(-x) khi x\ge 0.

    Vậy trong miền CL=\{|y|>x^3/3, x>0\} nghiệm sẽ như nào?

    C1: ta vẫn dùng công thức nghiệm như trên với để ý

    u(0, y)=0. (trên lớp tôi nhầm)

    C2: ta chọn

    u(x, y)=\begin{cases} \sin\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2}(x^3/3 +y)}\right)\; khi \; y> x^3/3 > 0,\\ \sin\left(\sqrt[3]{\frac{3}{2}(x^3/3 -y)}\right) \; khi \; y < -x^3/3 < 0.\end{cases}

    Điểm lưu ý: các nghiệm tìm được kỳ dị trên đường \{|y|=x^3/3, x>0\}.

  4. Hôm nay một bạn lên chữa bài 4. Đề bài có vài điểm không đẹp. Nếu giữ nguyên đề:

    có hai họ đường cong đặc trưng

    traffic

    +) họ thứ nhất

    x(t, \xi)=A(1-u(\xi, 0)/B)t+\xi=A(1-C/B)t+\xi,

    +) họ thứ hai

    x(t, t_0)=A(1-u(0, t_0)/B)t+D=D với x(t_0, t_0)=0 nên

    x(t, t_0)=0.

    Hai họ này không cắt nhau trong miền x < 0, t> 0 nên không có shock. Nghiệm chỉ đơn giản

    u(x, t)=C khi x< 0, t> 0.

    • Nguyên gốc bài này tôi lấy từ mô hình giao thông trước đèn giao thông (x=0), khi thời điểm ban đầu t=0 là thời điểm bắt đầu chuyển từ đèn tín hiệu đỏ sang xanh, với hàm u(x, t) là hàm mật độ các phương tiện giao thông ở vị trí x thời điểm t. Khi đó hàm mật độ thỏa mãn

      u_t+A(1-2u/B)u_x=0 khi x< 0, y> 0.

      Tại thời điểm ban đầu, trước cột đèn mật độ u(x, 0)=C.

      Tại cột đèn mật độ u(0, t)=B.

      Do đèn chuyển từ đỏ sang xanh nên B là mật độ lớn nhất và B>C.

      Khi đó hai họ đường cong đặc trưng

      +) họ thứ nhất

      x(t, \xi)=A(1-2C/B)t+\xi,

      +) họ thứ hai

      x(t, t_0)=-At+At_0.

      Khi B>2C có hình ảnh

      traffic

      Khi B< 2C có hình ảnh

      traffic

      Trong cả hai trường hợp đều xảy ra hiện tượng giao giữa hai họ đường đặc trưng. Việc tìm đường shock dựa vào tích phân

      \dfrac{d}{dt}\int\limits_{x_1}^{x_2}u(x, t)dx+\int\limits_{x_1}^{x_2}A(1-2u(x, t)/B)u_x(x, t)dx=0.

      Đây là điểm trong đề sai.

      Từ đây dẫn đến tốc độ của đường shock

      \gamma'(t)=A-A(u_++u_-)/B=-AC/B.

      Trên lớp tôi nhầm

      “khi B>Cx=-At nằm trên x=-ACt/B“.

      Đúng phải đổi nằm dưới, vì lấy x=-1

      B/CA>1/A.

      traffic

      Khi đó nghiệm

      u(x, t)=\begin{cases} C \; khi \; x<-ACt/B, \\ B \; khi \; -ACt/B<x<0.\end{cases}

      Đường shock cho ta thấy hiện tượng: khi đèn chuyển từ đỏ sang xanh rất dễ xảy ra tai nạn vì mật độ xe ở cột đèn đang cao, trong khi các xe phía sau đang tiến lên.

      Bài này tôi tham khảo từ cuốn “Applied PDEs” của R. Haberman, trang 572-573.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s