Bổ đề Riemann – Lebesgue

Standard

Trong giáo trình Giải tích, khi học về chuỗi Fourier ta gặp một bổ đề quan trọng Bổ đề Riemann về dáng điệu của hệ số Fourier. Cụ thể như sau.

Cho hàm f: \mathbb R\to\mathbb R tuần hoàn chu kỳ 2\pi, khả tích Riemann trên đoạn mỗi đoạn hữu hạn. Khi đó các hệ số Fourier có tính chất

\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0

trong đó a_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx, b_n=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx, n\in\mathbb N.

Một dạng khác được dùng nhiều:

Cho f: [a, b]\to\mathbb R khả tích Riemann trên [a, b]. Khi đó hệ số Fourier tổng quát có tính chất

\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(\lambda x)dx.

So với dạng trước ta đã mở rộng:

-) đoạn [a, b] so với [-\pi, \pi],

-) biến liên tục \lambda so với biến rời rạc n.

Câu hỏi:

– ta có thể mở rộng sang miền vô hạn cho hàm có tích phân suy rộng hội tụ?

Các bạn có thể xem bài viết

http://n.ethz.ch/~lukaswi/download/WS0506/MMP1/solution9-2.pdf

Trong bài viết:

– có chứng minh chi tiết cho dạng mở rộng ở trên,

– khẳng định và chứng minh cho trường hợp miền vô hạn và hàm có tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối,

– chỉ ra phản ví dụ, cụ thể hàm f(x)=\sin(x^2) trên miền \mathbb R, có tích phân suy rộng hội tụ và không thỏa mãn Bổ đề Riemann.

Vậy Bổ đề Riemann – Lebesgue là gì? Bổ đề Riemann – Lebesgue là mở rộng của Bổ đề Riemann sang trường hợp khả tích Lebesgue.

C. S. Kahane tiếp tục mở rộng Bổ đề Riemann – Lebesgue bằng cách thay hàm \cos(\lambda x) bởi hàm tổng quát \beta(\lambda x). C. S. Kahane đưa ra điều kiện cần và đủ để hàm \beta thỏa mãn Bổ đề Riemann – Lebesgue. Chi tiết các bạn có thể xem bài báo của Kahane

http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/101660/CzechMathJ_30-1980-1_11.pdf

One response »

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s