Karl Hermann Amandus Schwarz

Standard

Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) là nhà toán học Đức, đồng tác giả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Trong không gian Hilbert H

|\langle x, y\rangle|\le ||x||\cdot||y||, \forall x, y\in H,

trong đó \langle \cdot, \cdot\rangle là tích vô hướng, và ||\cdot|| là chuẩn.

Chẳng hạn H=\mathbb R^n, x=(x_1, \dots, x_n), y=(y_1, \dots, y_n)\in \mathbb R^n

+) tích vô hướng

\langle x, y\rangle=\sum\limits_{j=1}^n x_jy_j,

+) chuẩn

||x||=(\sum\limits_{j=1}^n x_j^2)^{1/2}.

Khi đó ta có dạng quen thuộc của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

(\sum\limits_{j=1}^n x_jy_j)^2\le (\sum\limits_{j=1}^n x_j^2)(\sum\limits_{j=1}^n y_j^2).

Khi H=L^2(\mathbb R; \mathbb R), không gian các hàm bình phương khả tích, giá trị thực, có

+) tích vô hướng

\langle f, g\rangle=\int\limits_{\mathbb R}f(x)g(x)dx,

+) chuẩn

||f||=\left(\int\limits_{\mathbb R}|f(x)|^2\right)^{1/2}.

Khi đó ta có dạng tích phân của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

\left(\int\limits_{\mathbb R}f(x)g(x)dx\right)^2\le \left(\int\limits_{\mathbb R}|f(x)|^2dx\right)\left(\int\limits_{\mathbb R}|g(x)|^2dx\right).

Cũng cần nói thêm dạng tổng được chứng minh bởi Augustin-Louis Cauchy (1821), còn dạng tích phân được chứng minh bởi Viktor Bunyakovsky (1859). Chi tiết các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality

Trong phần tiếp của bài viết tôi muốn trình bày một số kết quả thú vị khác trong Giải tích của H.A. Schwarz.

Kết quả đầu tiên: Định lý Schwarz, hay còn gọi là Định lý Clairaut, về tính đối xứng của đạo hàm riêng cấp hai. Cụ thể như sau:

Cho f: U\to \mathbb R, U là tập mở trong mặt phẳng \mathbb R^2. Giả sử f có các đạo hàm riêng cấp hai

f_{xy}, f_{yx}: U\to\mathbb R là các hàm liên tục tại (x_0, y_0)\in U.

Khi đó f_{xy}(x_0, y_0)=f_{yx}(x_0, y_0).

Từ đây, ma trận Hessian của hàm f\in C^2(U; \mathbb R), hàm khả vi liên tục đến cấp hai, giá trị thực, là ma trận đối xứng. Ngoài ra ta có thể mở rộng cho đạo hàm riêng cấp cao hơn.

Nếu bỏ giả thiết liên tục kết quả trên nói chung sai. Các bạn thử tính toán ví dụ sau:

Xét f: \mathbb R^2\to\mathbb R xác định bởi

f(x, y)=\begin{cases}\dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\; khi \; (x, y)\not=(0, 0),\\ 0\; khi \; (x, y)=(0, 0).\end{cases}

Nói thêm một chút, nếu bỏ giả thiết liên tục thì tập các điểm mà không có dấu bằng có độ đo không. Các bạn xem thêm

https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives#Schwarz.27_theorem

Kết quả tiếp theo: là một trong các mối nối quan trọng trong chứng minh của G. Cantor về tính duy nhất của chuỗi lượng giác, mà sau này được gọi Định lý Cantor về tính duy nhất. Theo lịch sử, kết quả này không được công bố chính thức bởi H. A. Schwarz mà chỉ là bức thư trả lời của H.A. Schwarz về câu hỏi G. Cantor vấp phải khi chứng minh Định lý Cantor về tính duy nhất. Kết quả được phát biểu như sau:

Cho hàm liên tục f:(a, b)\to\mathbb R. Giả sử f có đạo hàm cấp hai Schwarz tại mọi điểm x\in(a, b), nghĩa là tồn tại giới hạn

D^2f(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}, \forall x\in(a, b).

Hơn nữa, nếu D^2f(x)\ge 0, \forall x\in(a, b), thì f là hàm lồi, nghĩa là

f(\frac{x+y}{2})\le \dfrac{f(x)+f(y)}{2}, \forall x, y\in(a, b).

Đặc biệt, nếu D^2f(x)=0, \forall x\in(a, b), thì f(x)=ax+b, với a, b là các hằng số thực.

Các bạn có thể xem

http://math.depaul.edu/mash/monthly_uniqueness.pdf

Chú ý rằng đạo hàm cấp hai Schwarz này khác với Schwarzian derivative.

Một kết quả quan trọng trong phương trình đạo hàm riêng: nguyên lý phản xạ Schwarz.

Cho u: \mathbb R^2_+=\{(x, y)|\; y\ge 0\}\to\mathbb R là hàm điều hòa, thỏa mãn u(x, 0)=0. Khi đó thác triển lẻ

U(x, y)=\begin{cases}u(x, y)\; khi \; y\ge 0,\\ -u(x, -y)\; khi \; y< 0\end{cases}

là hàm điều hòa trên toàn mặt phẳng.

Một dạng khác như sau:

Cho u: \mathbb R^2_+=\{(x, y)|\; y\ge 0\}\to\mathbb R là hàm điều hòa, thỏa mãn u_y(x, 0)=0. Khi đó thác triển chẵn

U(x, y)=\begin{cases}u(x, y)\; khi \; y\ge 0,\\ u(x, -y)\; khi \; y< 0\end{cases}

là hàm điều hòa trên toàn mặt phẳng.

Hai dạng trên là trường hợp riêng của dạng tổng quát sau:

Cho \Omega_1, \Omega_2 là các miền đơn liên rời nhau trong mặt phẳng \mathbb R^2 với các biên \Gamma_1, \Gamma_2 có phần chung \Gamma=\Gamma_1\cap\Gamma_2\not=\emptyset. Các hàm u_j:\Omega_j\cap\Gamma_j\to\mathbb R, j=1, 2, là các hàm điều hòa. Nếu

u_1\Big|_{\Gamma}=u_2\Big|_{\Gamma},

\partial_n u_1\Big|_{\Gamma}=\partial_n u_2\Big|_{\Gamma}

với n là pháp tuyến của đường \Gamma,

thì hàm u:\cup_{j=1}^2 \Omega_j\cap\Gamma_j\to\mathbb R xác định bởi

u(x)=u_j(x) khi x\in\Omega_j\cup\Gamma_j

là hàm điều hòa.

Dạng ban đầu của nguyên lý phản xạ có lẽ nằm trong Giải tích phức như sau:

Cho f:\{z\in\mathbb C|\; Im(z)\ge 0\}\to\mathbb C là hàm liên tục. Giả sử f chỉnh hình trong \{z\in\mathbb C|\; Im(z)> 0\} và có giá trị thực trên trục thực, nghĩa là f(x+i0)\in\mathbb R, x\in\mathbb R. Khi đó thác triển

F(z)=\begin{cases}f(z)\; khi \; Im(z)\ge 0,\\ \overline{f(\bar{z})}\; khi \; Im(z)< 0\end{cases}

là hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức.

Một kết quả trong Giải tích phức: Bổ đề Schwarz.

Cho f: \mathbb D\to \mathbb D là hàm chỉnh hình thỏa mãn f(0)=0, trong đó \mathbb D=\{z\in\mathbb C|\; |z|< 1\}. Khi đó |f(z)|\le |z||f'(0)|\le 1.

Nếu thêm giả thiết: |f(z)|=|z| tại điểm z\in\mathbb D nào đó thì f(z)=az, với a là hằng số phức mà |a|=1.

Kết quả này mở ra nhiều kết quả lý thú khác. Các bạn có thể tham khảo

http://www.ams.org/notices/199908/fea-osserman.pdf

Một trong số chúng là Giả thuyết Bieberbach, mà sau này là Định lý De Branges về hàm đơn diệp (univalent), hàm chỉnh hình và đơn ánh. Có thể coi Định lý De Branges như sự mở rộng sâu sắc của Bổ đề Schwarz theo nghĩa:

– nếu khai triển Taylor hàm đơn diệp f tại gốc

\sum\limits_{n=1}^\infty a_nz^n

thì Bổ đề Schwarz cho ta biết hệ số a_1|a_1|=1, còn Định lý De Branges cho ta

|a_n|\le n.

Dấu bằng đạt được khi f thuộc lớp hàm Koebe

f_\alpha(z)=\dfrac{z}{(1-\alpha z)^2}, |\alpha|=1.

Về Giả thuyết Bieberbach các bạn có thể tham khảo

https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/02/01/chuoi-luy-thua-cua-ham-don-diep-gia-thuyet-bieberbach/

Cũng cần nói thêm Bổ đề Schwarz cũng có chỗ trong chứng minh của Astala-Paivarinta về tính duy nhất trong L^\infty của bài toán Calderon. Dạng Astala-Paivarinta dùng như sau:

Cho f:\{z\in \mathbb C|\; |z|>1\}\to \mathbb D là hàm chỉnh hình. Khi đó |f(z)|< 1/|z|.

Các bạn có thể tham khảo thêm về H. A. Schwarz ở trang

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermann_Schwarz

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s