Định lý Cantor-Lebesgue

Standard

Bổ đề Riemann-Lebesgue cho ta biết hệ số Fourier của hàm khả tích Lebesgue hội tụ về 0. Cụ thể, với f\in L(\mathbb T) thì

\lim\limits_{|n|\to\infty}\hat{f}(n)=0

với \hat{f}(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\mathbb T}e^{-inx}f(x)dx.

Với chuỗi lượng giác

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_n e^{inx}, c_n\in\mathbb C,

thì sao?

G. Cantor cho ta kết quả sau:

Nếu chuỗi lượng giác

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_ne^{inx}

hội tụ khắp nơi trong \mathbb T

thì \lim\limits_{|n|\to\infty}|c_n|=0.

Phát biểu của G. Cantor tổng quát hơn một chút: chuỗi lượng giác hội tụ điểm trong một đoạn nào đó. Sau đó H. Lebesgue đưa ra phát biểu tổng quát hơn: chuỗi lượng giác hội tụ điểm trong một tập có độ đo dương. Đến đây ta thử so sánh với Bổ đề Riemann-Lebesgue. Nếu hàm f\in L^p(\mathbb T), p>1, thì theo Định lý Carleson-Hunt ta có chuỗi Fourier của nó hội tụ hầu khắp nơi. Khi đó nhờ Định lý Cantor-Lebesgue ta có thể dẫn đến Bổ đề Riemann-Lebesgue cho hàm thuộc L^p(\mathbb T), p> 1. Tuy nhiên nếu chỉ khả tích Lebesgue thì Kolmogorov đã xây dựng được ví dụ mà chuỗi Fourier của hàm khả tích Lebesgue phân kỳ khắp nơi. Ta không thể sử dụng Định lý Cantor-Lebesgue cho trường hợp này được, mặc dù vẫn có Bổ đề Riemann-Lebesgue. Ngược lại, nếu chuỗi lượng giác hội tụ hầu khắp nơi đến một hàm khả tích thì chuỗi Fourier của hàm khả tích này chưa chắc là chuỗi lượng giác ban đầu. Do đó không thể dùng Bổ đề Riemann-Lebesgue một cách trự tiếp để suy ra Định lý Cantor-Lebesgue! Tuy nhiên như trình bày dưới đây ta sẽ thấy Bổ đề Riemann-Lebesgue là công cụ hữu ích dẫn đến chứng minh ngắn gọn của Định lý Cantor-Lebesgue.

Ta tiếp tục với việc chứng minh dạng phát biểu của G. Cantor. Chứng minh này được trình bày trong bài

“Uniqueness of Representation by Trigonometric Series”, Amer. Math. Monthly 1989, pp. 873-885, J. M. Ash.

Trước hết ta cần hiểu chuỗi

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_ne^{inx}

hội tụ tại x_0 nghĩa là dãy số

S_n(x_0)=\sum\limits_{j=-n}^n c_je^{ijx_0}

hội tụ.

Từ đó, theo điều kiện cần ta có

\lim\limits_{n\to\infty}A_n(x_0)=0,

với A_n(x)=c_{-n}e^{-inx}+c_ne^{inx}.

Chú ý rằng ta không có điều ngược lại. Tuy nhiên các chứng minh dưới đây chỉ cần dùng A_n(x) hội tụ về 0. Ta “thực hóa” phát biểu bằng cách viết c_n=a_n+ib_n, a_n, b_n\in\mathbb R

A_n(x)=(A_n\cos(nx)+B_n\sin(nx))+i(A'_n\cos(nx)+B'_n\sin(nx))

với A_n=a_{-n}+a_n, A'_n=b_{-n}+b_n, B_n=b_{-n}-b_n, B'_n=a_n-a_{-n}.

Khi đó

2(|c_n|^2+|c_{-n}|^2)=|A_n|^2+|B_n|^2+|A_{-n}|^2+|B_{-n}|^2.

Dạng phát biểu của Cantor sẽ được suy ra từ dạng phát biểu thực sau:

Nếu dãy hàm A_n\cos(nx)+B_n\sin(nx), n=1, 2, \dots, hội tụ về 0 với mọi x thì \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{A_n^2+B_n^2}=0.

Để chứng minh kết quả này ta dùng Bổ đề sau.

Cho dãy \{n_k\}_{k=1}^\infty gồm các số tự nhiên thỏa mãn

n_{k+1}>3n_k, k=1, 2, \dots,

và dãy \{\theta_k\}_{k=1}^\infty gồm các số thực \theta_k\in[0, 2\pi].

Khi đó tồn tại \xi\in[0, 2\pi] để

\cos(n_k\xi+\theta_k)\ge 1/2, \forall k=1, 2, \dots.

Các bạn thử hoàn thiện chứng minh trên, cụ thể:

– chứng minh Bổ đề trên,

– sử dụng Bổ đề trên chứng minh phát biểu của Cantor (gợi ý: dùng phản chứng).

Ta chuyển sang chứng minh của Định lý Cantor-Lebesgue. Trước hết tôi trình bày hai cách có sử dụng Định lý Egorov. Hai cách này được trình bày trong bài báo

“The Cantor-Lebesgue theorem”, Amer. Math. Monthly 1979, pp. 558-565, R. L. Cooke.

Trước hết ta xem Định lý Egorov:

Cho các hàm đo được f_n, f:E\to\mathbb C, n=1, 2, \dots, là các hàm đo được, trong đó E\subset\mathbb R là tập có độ đo hữu hạn. Giả sử dãy hàm f_n(x) hội tụ hầu khắp nơi trên E đến f(x). Khi đó với bất kỳ số dương $latex\epsilon$ ta đều tìm được tập con đo được F\subset E thỏa mãn

+) |E\setminus F|< \epsilon,

+) f_n(x) hội tụ đều đến f(x) trên F.

Quay trở lại Định lý Cantor-Lebesgue, giống như phát biểu của G. Cantor, ta có thể phát biểu như sau:

Nếu A_n(x) hội tụ điểm về 0 trên tập E có độ đo dương thì \lim\limits_{n\to\infty}|c_{-n}|^2+|c_n|^2=0.

Theo Định lý Egorov có tập con F\subset E có độ đo dương sao cho A_n(x) hội tụ đều về 0 trên F.

C1: (Chứng minh trực tiếp.) Có đẳng thức

|A_n(x)|^2+|A_n(y)|^2=2(|c_n|^2+|c_{-n}|^2)\sin^2(n(x-y))+

+2Re(A_n(x)\overline{A_n(y)}\cos(n(x-y))).

Do F có độ đo dương nên, theo Định lý Steinhaus, tồn tại số dương d sao cho

(-d, d)\subset F-F=\{x-y|\; x, y\in F\}.

Khi đó với mỗi số tự nhiên n> \pi/2d đều có x_n, y_n\in F sao cho

x_n-y_n=2\pi/n.

Khi đó

|A(x_n)|^2+|A(y_n)|^2=2(|c_n|^2+|c_{-n}|^2).

Kết hợp với sự hội tụ đều trên F ta có đpcm.

C2: (Chứng minh phản chứng.) Giả sử phản chứng, nghĩa là |c_{-n}|^2+|c_n|^2 không hội tụ về 0. Khi đó có số dương \alpha và dãy con \{n_k\}_{k=1}^\infty sao cho

|c_{-n_k}|^2+|c_{n_k}|^2>\alpha.

Bằng cách đặt d_n=\dfrac{c_n}{\sqrt{|c_{-n}|^2+|c_n|^2}} ta có thể giả sử dãy \{c_n\}_{n\in\mathbb Z} bị chặn.

Do

|A_n(x)|^2=|c_n|^2+|c_{-n}|^2+c_{-n}\overline{c_n}e^{-2inx}+c_n\overline{c_{-n}}e^{-2inx}

nên

\int\limits_{-\pi}^\pi \chi_F(x)|A_n(x)|^2dx=(|c_n|^2+|c_{-n}|^2)\int\limits_{-\pi}^\pi \chi_F(x)dx+R_n

trong đó

R_n=c_{-n}\overline{c_n}\int\limits_{-\pi}^\pi \chi_F(x)e^{-2inx}dx+c_n\overline{c_{-n}}\int\limits_{-\pi}^\pi \chi_F(x)e^{2inx}dx.

Do \{c_n\}_{n\in\mathbb Z} bị chặn và Bổ để Riemann-Lebesgue nên

\lim\limits_{n\to\infty}R_n=0.

|c_{n_k}|^2+|c_{-n_k}|^2>\alpha>0 nên

\limsup\limits_{k\to\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi \chi_F(x)|A_{n_k}(x)|^2dx\ge 2\pi\alpha.

Do sự hội tụ đều trên F nên

\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi \chi_F(x)|A_n(x)|^2dx=0.

Từ đó ta có điều mâu thuẫn.

Cách tiếp theo trình bày trong cuốn “Trigonometric series” của A. Zygmund. Cách này không dùng đến Định lý Egorov, mà chỉ cần đến Bổ đề Riemann-Lebesgue. Về ý tưởng chính nó giống như cách vừa trình bày. Cụ thể, ta chuyển sang dạng thực Định lý Cantor-Lebesgue:

Nếu dãy hàm A_n\cos(nx)+B_n\sin(nx) hội tụ điểm về 0 trên tập E có độ đo dương thì \lim\limits_{n\to\infty}|A_n|^2+|B_n|^2=0.

Giống như cách vừa trình bày, ta dùng phản chứng. Khi đó có số dương \alpha và có dãy tăng các số tự nhiên \{n_k\}_{k=1}^\infty sao cho

|A_{n_k}|^2+|B_{n_k}|^2> \alpha.

Khi đó

\cos(n_k x-\theta_k) hội tụ điểm về 0 trên E,

trong đó \theta_k=\arccos(A_{n_k}/\sqrt{|A_{n_k}|^2+|B_{n_k}|^2}).

Khi đó theo Định lý hội tụ trội Lebesgue ta có

\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{-\pi}^\pi \chi_E(x)\cos^2(n_kx-\theta_k)dx=0.

Lại có

\cos^2(n_kx-\theta_k)=\dfrac{1}{2}(1+\cos(2n_kx)\cos(2\theta_k)+\sin(2n_kx)\sin(2\theta_k)).

Khi đó sử dụng Bổ đề Riemann-Lebesgue sẽ dẫn đến điều mâu thuẫn.

One response »

  1. Pingback: Toán tử dịch chuyển – Định lý Steinhauss | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s