Trao đổi bài giảng Giải tích 1 lớp K60A3

/ datuan5pdes

Hôm nay 08/09/2014 tôi bắt đầu dạy Giải tích 1 cho lớp K59A3. Đề cương môn học các bạn xem

Đề cương môn học-Ngành Toan tin-Giai tich 1

Ngoài ra các bạn có thể tham khảo thêm bài trao đổi với lớp K59A3 ở

https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/09/08/trao-doi-bai-giang-giai-tich-1-lop-k59a3/

Các bạn có gì cần trao đổi có thể viết vào phần “Phản hồi” ở phía dưới bài viết.

Một suy nghĩ 46 thoughts on “Trao đổi bài giảng Giải tích 1 lớp K60A3”

  1. Hôm nay tôi đã nói:

    – giáo trình sẽ sử dụng để dạy Giải tích 1,

    – đề cương vắn tắt môn học,

    – sau đó bắt đầu vào môn học.

    Tôi đi qua phần số thực:

    – lịch sử sơ qua về số tự nhiên, số 0, số nguyên, số hữu tỷ và số thực,

    – điểm phân biệt đáng chú ý giữa tập số hữu tỷ và tập số thực: tiên đề cận trên đúng,

    – nói qua về nguyên lý Archimede, các bạn tham khảo thêm

    https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_property

    phân biệt với

    https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes%27_principle

    – tiếp đến tôi trình bày dãy số thực: với khái niệm hội tụ, phân kỳ, giới hạn của dãy số, bị chặn, đơn điệu.

    Về dãy số các bạn có thể tham khảo sơ qua trong bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2011/12/02/t%E1%BB%95ng-h%E1%BB%A3p-v%E1%BB%81-day/

    đặc biệt bài tổng hợp

    Click to access nguyenthihanh1004_nguyenthithanhthuy_k56a2.pdf

    Sẽ có lúc tôi cho kiểm tra:

    – chứng minh một số, dạng căn thức, là số vô tỷ,

    – tìm cận trên đúng và cận dưới đúng của một tập đã cho.

    Việc chỉ ra số Euler e và số pi là các số vô tỷ là công việc không dễ, đặc biệt số pi. Các bạn có thể tham khảo bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/10/08/so-euler-e-va-so-pi/

    Trả lời

  2. Hôm nay 22/09/2015, tôi đã cơ bản trình bày xong phần dãy số thực:

    – một số tính chất cơ bản của các dãy hội tụ: tổng, tích, .v.v., của các dãy hội tụ,

    – dãy con, giới hạn riêng, giới hạn trên, dưới,

    – tiêu chuẩn Cauchy,

    – giới hạn bằng vô cùng.

    Tôi có nhắc lại về số thực với tính trù mật.

    Cuối giờ tôi có đưa ra một số bài tập nhờ một số bạn lên chữa:

    – bài về số vô tỷ,

    – bài tìm số lớn nhất, số bé nhất,

    – bài về ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh,

    – bài tập về dãy đơn điệu, bị chặn.

    Trả lời

  3. Ngày 22/09/2015 tôi còn nợ các bạn việc chỉ ra dãy

    u_n=\tan n

    không bị chặn trên.

    Ngoài ra việc chứng minh dãy trên là đơn điệu tăng bằng cách lấy đạo hàm là sai! Hàm f(x)=\tan x chỉ tăng trong từng chu kỳ của nó!!! Có thể nói dãy trên không tăng, không giảm:

    tan 1> 0,

    tan 2< 0;

    tan 4 > 0.

    Như tôi đã nói trên lớp:

    Bạn nào viết hoàn chỉnh chứng minh

    “Chỉ ra dãy con của dãy u_n=\sin n là dãy hội tụ.$”

    tôi sẽ cho bạn đó 10,0 điểm giữa kỳ.

    Một bài cũng tương tự với tính chất như vậy, nghĩa là: tôi cũng sẽ cho 10,0 điểm thường xuyên bạn nào đưa ra chứng minh hoàn chỉnh:

    “Chỉ ra dãy con của dãy u_n=\tan n hội tụ đến +\infty.”

    Trả lời

    • Tôi có đưa ra cách chứng minh bằng phản chứng rằng dãy u_n=\sin n phân kỳ. Trong cách chứng minh đó tôi có sử dụng “điều kiện cần” sau:

      Nếu dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty hội tụ thì

      với mọi số tự nhiên k cố định ta đều có

      \lim\limits_{n\to\infty}(u_{n+k}-u_n)=0.

      Chú ý đây chỉ là điều kiện cần (nesessary condition) chứ không phải điều kiện đủ (sufficient condition), nghĩa là

      nếu hội tụ thì “điều kiện” xảy ra,

      và

      nếu “điều kiện” xảy ra thì chưa chắc hội tụ.

      Tôi đã lấy ví dụ dãy phân kỳ

      u_1=1, u_2=1+\dfrac{1}{2}, u_3=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}, \dots,

      u_n=\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{1}{j}

      mà điều kiện cần vẫn xảy ra.

      Một cách khác chứng minh dãy u_n=\sin n phân kỳ có thể xem

      http://math.stackexchange.com/questions/260766/divergence-of-the-sequence-sinn?lq=1

      Trong cách này có sử dụng tính “trù mật” của tập số tự nhiên trong tập các số thực dương theo nghĩa:

      với bất kỳ hai số thực dương a, b thỏa mãn a-b> 1

      ta đều tìm được số tự nhiên n sao cho

      n\in (a, b).

      Nó khác tính trù mật của tập số hữu tỷ trong tập số thực ở điểm

      a-b> 1.

      Trả lời

  4. Ngày 29/09/2015 tôi nhắc lại một số tính chất về dãy số:

    – đặc biệt lưu ý chỉ có: giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn, khi các giới hạn tồn tại,

    – bổ sung nguyên lý so sánh, từ đó dẫn đến nguyên lý kẹp, đây chính là một trong các biểu hiện của nguyên lý Cantor về dãy lồng nhau, thắt lại,

    – tôi có nói về Định lý Heine-Borel, nhưng thực chất tôi nói về phát biểu tương đương Định lý Bolzano-Weierstrass, các bạn có thể xem

    https://en.wikipedia.org/wiki/Heine%E2%80%93Borel_theorem

    https://en.wikipedia.org/wiki/Bolzano%E2%80%93Weierstrass_theorem

    Sau đó tôi có trình bày giới hạn hàm số: cho hàm một biến và hàm hai biến:

    – điểm tụ, điểm cô lập,

    – giới hạn của hàm số tại điểm tụ,

    – tính chất của giới hạn hàm số,

    – mối quan hệ giữa dãy số và giới hạn hàm số, ứng dụng vào việc tính giới hạn dãy số x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}, x_1=\sqrt{2}, và chứng minh không có giới hạn \lim\limits_{x\to 0}\sin(1/x),

    – tính liên tục của hàm số.

    Cuối giờ tôi cho bài kiểm tra ngắn:

    1. Chứng minh rằng \sqrt{2/3}\not\in\mathbb Q.

    2. Xét tập A=\{(-1)^n/n:\; n\in\mathbb N\}. Tính \inf A, \sup A.

    Trả lời

  5. Ngày 29/09/2015 tôi có đưa ra một số ví dụ để thấy chưa chắc có

    \lim\limits_{n\to\infty}(u_n+v_n)=\lim\limits_{n\to\infty}u_n +\lim\limits_{n\to\infty}v_n.

    Những ví dụ đó đều có hiện tượng

    cả hai dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty, \{v_n\}_{n=1}^\infty phân kỳ.

    Một tình huống khác giới hạn của tích cũng được nhắc đến: chưa chắc có giới hạn của dãy tích bằng tích các giới hạn. Một điều trùng hợp: “tích” của hai số vô tỷ chưa chắc vô tỷ. Nhưng một số bạn làm bài kiểm tra ngắn cuối giờ, sau khi chỉ ra \sqrt{2}, \sqrt{3} là các số vô tỷ dẫn đến \sqrt{2/3} là số vô tỷ. Lập luận này là không đúng! Vì nếu đúng thì \sqrt{2/2} là số vô tỷ!?!

    Một số lưu ý về những tình huống kiểu này các bạn xem

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/09/08/trao-doi-bai-giang-giai-tich-1-lop-k59a3/#comment-3206

    Trả lời

  6. 06/10/2015 tôi bắt đầu bằng việc chữa bài kiểm tra ngắn lần trước, rồi nhờ một số bạn lên chữa các bài về tính đơn điệu, bị chặn của dãy số cũng như chứng minh điểm tụ, điểm cô lập của một tập.

    Tiếp đến tôi trình bày:

    – hàm một biến: giới hạn trái, giới hạn phải, gián đoạn loại I, loại II, hàm đơn điệu, hàm bị chặn,

    – hàm hai biến: giới hạn lặp, giới hạn kép,

    – tiêu chuẩn Cauchy, dấu hiệu đơn điệu và bị chặn dẫn đến có giới hạn,

    – nhắc lại vài tính chất của giới hạn hàm số, bổ sung tính bảo toàn thứ tự và nguyên lý kẹp,

    – hàm một biến: giới hạn tại vô cùng và giới hạn bằng vô cùng,

    – khái niệm VCL, VCB của hàm số một biến tại điểm tụ.

    Tuần tới tôi tiếp tục phần VCL, VCB rồi chuyển sang tính chất của hàm liên tục.

    Trả lời

    • Xét hàm một biến f: (a, b)\to\mathbb R, A\subset \mathbb R, x_0\in (a, b).

      TH1: tồn tại giới hạn của f tại x_0 và

      \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\not=f(x_0)

      ta nói f có gián đoạn loại I khử được tại x_0.

      VD: f:\mathbb R\to \mathbb R xác định bởi

      f(x)=\begin{cases}x \; khi \; x\not=0,\\ 1 \; khi \; x=0\end{cases}

      có gián đoạn loại I khử được tại x=0.

      TH2: có giới hạn trái và giới hạn phải của f tại x_0 và

      \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)\not=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)

      ta nói f có gián đoạn loại I không khử được tại x_0.

      VD: f:\mathbb R\to\mathbb R xác định bởi

      f(x)=\begin{cases}1 \; khi \; x\ge 0,\\ 0 \; khi \; x< 0\end{cases}

      có gián đoạn loại I không khử được tại x=0.

      TH3: tại x_0 hàm f không có giới hạn trái, hoặc không có giới hạn phải hoặc không có cả hai ta nói f có gián đoạn loại II tại x_0.

      VD: f:\mathbb R\to\mathbb R xác định bởi

      f(x)=\begin{cases}\sin(1/x) \; khi \; x\not=0,\\ 0\; khi \; x=0\end{cases}

      có gián đoạn loại II tại x=0.

      Trả lời

  9. Hôm nay 13/10/2015 tôi bắt đầu bằng việc cho các bạn làm quen với:

    – giới hạn riêng, điểm tụ, điểm cô lập, gián đoạn

    – giới hạn trái, giới hạn phải, giới hạn kép.

    Sau đó tôi sửa lại kết quả về đơn điệu và bị chặn của giới hạn hàm số. Từ đó dẫn đến: hàm đơn điệu chỉ có gián đoạn loại I.

    Tôi nói tiếp về VCL, VCB:

    – bậc cao hơn, cùng bậc,

    – tương đương và kỹ thuật thay thế VCB tương đương khi tính giới hạn hàm số.

    Tiếp đến tôi chuyển sang các tính chất của hàm liên tục:

    – các phép tuyến tính, phép nhân, phép chia,

    – phép hợp thành.

    Sau đó tôi chuyển sang một số tính chất của hàm liên tục trên [a, b] và [a, b]\times[c, d]:

    – tính bị chặn, đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,

    – tính liên thông.

    Cuối giờ tôi cho bài kiểm tra ngắn:

    1. Xét dãy u_n=\sin^2n.

    a (4 điểm). CMR: (-1/2) không là giới hạn riêng của dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty.

    b. (Cộng điểm: 2 điểm) CMR: tập các giới hạn riêng của dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty nằm trong [0, 1].

    2. Xét tập A=[-1, 1]\times[-1, 1]\cup\{(2, 0)\}.

    a. (3 điểm) CMR: (0, 0) là điểm tụ của A.

    b. (3 điểm) CMR: (2, 0) là điểm cô lập của A.

    Trả lời

  10. Hôm nay 20/10/2015 tôi bắt đầu bằng việc chữa bài kiểm tra ngắn tuần trước:

    – các bạn có thể làm câu 1 bằng việc dùng tính bảo toàn thứ tự của giới hạn dãy số,

    – cách bọc điểm (-1/2) “rời khỏi” dãy đang xét giống như cách bọc điểm (2, 0) “rời khỏi” phần còn lại của tập đang xét.

    Sau đó tôi có nhờ một số bạn chữa bài tập:

    – về hàm được cho bởi các công thức khác nhau,

    – hàm hợp,

    – giới hạn lặp.

    Sau đó tôi quay trở lại hàm liên tục một biến và nhiều biến, đặc biệt với hàm một biến ta có các kết quả:

    – Nếu f: [a, b]\to\mathbb R là hàm đơn điệu thì

    f liên tục trên [a, b]

    khi và chỉ khi

    f([a, b])=\{ y|\; y nằm giữa f(a) và f(b)\}.

    – Nếu f:[a, b]\to\mathbb R là hàm liên tục, đơn ánh thì

    +f là hàm đơn điệu,

    +f là song ánh từ [a, b] vào f([a, b]),

    + ánh xạ ngược f^{-1}: f([a, b])\to[a, b] là hàm liên tục.

    Tôi cũng đưa ra các ví dụ cho thấy các kết quả trên sai khi bỏ đi một trong các giả thiết.

    Tôi kết thúc phần giới hạn hàm số và hàm liên tục bằng một vài hàm cơ bản và các VCL ở +\infty:

    e^x, x^\alpha, \ln(x),

    và tính liên tục theo từng biến của hàm hai biến.

    Sau đó tôi chuyển sang khái niệm khả vi:

    – điểm trong, tập mở,

    – hàm khả vi tại điểm trong tập mở,

    – đạo hàm trái, phải.

    Cuối cùng tôi đưa ra ví dụ về hàm cho bởi nhiều công thức.

    Trả lời

  11. Hôm nay, 27/10/2015, tôi tiếp tục phần phép tính vi phân của hàm số:

    – một số tính chất: đạo hàm hàm tổng, hàm tích, hàm thương, hàm hợp của hàm một biến và hàm nhiều biến,

    – chú ý đạo hàm tại một điểm của hàm một biến là một số, hàm nhiều biến là một véc-tơ,

    – hàm nhiều biến khả vi thì nó có đạo hàm riêng và đạo ánh tại một điểm là véc-tơ gồm các đạo hàm riêng tại đó,

    – ví dụ về hàm có đạo hàm riêng và không khả vi,

    – tiếp đến là Định lý Fermat về cực trị địa phương, Định lý Rolle, Định lý Lagrange, Định Cauchy và sơ qua về L’Hopital.

    Cuối giớ tôi cho kiểm tra ngắn:

    1. Xét dãy u_n=(-1)^n+\dfrac{(-1)^n}{n}, n=1, 2, \dots.

    (a) (4 điểm) CMR: -1, 1 là giới hạn riêng của dãy \{u_n\}_{n=1}^\infty.

    (b) (Cộng 2 điểm) CMR: \limsup\limits_{n\to\infty}u_n=1, \liminf\limits_{n\to\infty}u_n=-1.

    2. Cho f:\mathbb R\to\mathbb R xác định bởi

    f(x)=\begin{cases} ax+b \; khi \; x\le 0, \\ \ln(x+1) \; khi \; x> 0.\end{cases}

    (a) (3 điểm) Tìm tất cả a, b để f liên tục trên \mathbb R.

    (b) (3 điểm) Tìm tất cả a, b để f khả vi tại 0.

    Trả lời

    • Khi nói về Định lý Fermat về cực trị tôi có nói về Định lý Fermat:

      Không có các số nguyên x, y, z để

      x^n+y^n=z^n

      với n là số tự nhiên, n\ge 3.

      Các bạn xem

      https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

      Để chứng minh Định lý Fermat cần đến đường cong đại số. Đường cong đại số dẫn đến kỹ thuật mật mã,

      Click to access 2012-Curves-Crypto-with-Exercises.pdf

      Tôi cũng nói đến mật mã hình vuông. Các bạn xem

      https://en.wikipedia.org/wiki/Polybius_square

      https://en.wikipedia.org/wiki/Four-square_cipher

      Các kỹ thuật mật mã trên liên quan đến đại số và số học. Kỹ thuật mật mã liên quan đến giải tích, cụ thể sóng nhỏ các bạn xem

      Click to access 20110427.pdf

      Trả lời

    • Bài 1 câu b, trong đề kiểm tra ngắn, một số bạn tách dãy đã cho thành hai dãy con chẵn và lẻ, rồi tính được giới hạn hai dãy con này. Từ đó kết luận đó là tất cả các giới hạn riêng của dãy ban đầu. Làm như này chưa đầy đủ. Chẳng hạn: chưa trả lời được câu hỏi tại sao những số khác hai giới hạn riêng tìm được lại không là giới hạn riêng của dãy đã cho?

      Để cụ thể tôi xét ví dụ sau:

      Cho dãy u_n=\left(n-\dfrac{k(k+1)}{2}\right)^{-1} khi \dfrac{k(k+1)}{2}< n\le \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} với k=0, 1, 2, \dots.

      Ta liệt kê mười số đầu tiên của dãy:

      1, 1, 1/2, 1, 1/2, 1/3, 1, 1/2, 1/3, 1/4, \dots.

      Với mỗi r\in\mathbb N cố định xét dãy con

      u_{r+k(k+1)/2}, k=0, 1, 2, \dots.

      Không khó để thấy:

      +) u_{r+k(k+1)/2}=1/r\to 1/r khi k\to\infty,

      +) các dãy con này phủ kín dãy ban đầu.

      Vậy tập \{1/r, r\in\mathbb N\} có phải là tất cả các giới hạn riêng của dãy đã cho?

      Trả lời

  12. 03/11/2015 tôi bắt đầu bằng việc chữa bài kiểm tra ngắn. Một câu hỏi nhỏ từ bài kiểm tra ngắn:

    – liệu đẳng thức

    \lim\limits_{x\to 0_+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0_+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}

    có đúng không?

    Tiếp theo tôi có nhờ một số bạn lên tính đạo hàm riêng và khảo sát tính khả vi của hàm hai biến.

    Sau đó tôi nhắc lại Định lý Fermat cho hàm một biến và hai biến, Định lý Lagrange cho hàm một biến và hai biến, đặc biệt với hàm véc-tơ “không có” Định lý Lagrange. Tôi chuyển qua Định lý hàm ngược cho hàm một biến, rồi hàm véc-tơ hai biến. Tiếp đến tôi nói về phép tính vi phân cấp 1.

    Cuối giờ tôi cho bài kiểm tra ngắn:

    Xét hàm

    f(x, y)=\begin{cases}\sqrt{x^2+y^2}\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)\; khi \; (x, y)\not=(0, 0), \\ 0\; khi \; (x, y)=(0, 0).\end{cases}

    (a) (6 điểm + 2 điểm) Tính các đạo hàm riêng \dfrac{\partial f}{\partial x}(0, 0), \dfrac{\partial f}{\partial y}(0, 0).

    (b) (2 điểm) Hỏi f có khả vi tại điểm (0, 0)?

    Trả lời

  13. Em chào Thầy, Thầy ơi vừa rồi em có đọc lại một tài liệu về phép tính vi phân hàm một biến và có đọc một dòng giới thiệu : ” Tư tưởng cơ bản của phép tính vi phân là thay hàm đã cho trong một lân cận điểm nào đó bởi một hàm tuyến tính với các sai số là vô cùng bé bậc cao hơn so với số gia tương ứng của đối số ” . Em không hiểu là việc thay mà lời giới thiệu đề cập tới có phải là ở chỗ : Nếu f là hàm có đạo hàm thì đenta(y) = f (x+ đenta x) – f(x) = f ‘ (x) . đenta x + vô cùng bé bậc cao hơn so với đenta x , khi đó f ‘ (x) . đenta x là vi phân của f tại x . Nếu như thế này thì vi phân thay thế cho đenta y chứ sao lại nói là : thay hàm đã cho trong một lân cận điểm nào đó bởi một hàm tuyến tính với các sai số là vô cùng bé bậc cao hơn so với số gia tương ứng của đối số ạ , Thầy có thể giải thích cho em hiểu được không ạ , em cám ơn Thầy .

    Trả lời

  14. Hôm nay 10/11/2015 tôi chữa bài kiểm tra tuần trước với các chú ý:

    – để hàm nhiều biến khả vi thì nó phải có đạo hàm riêng,

    – để chứng minh hàm không có giới hạn thì phải chọn hai dãy .v.v..

    Tiếp đến tôi quay lại phép vi phân:

    – chứng minh hình thức Định lý hàm ẩn cho đường cong trong mặt phẳng, trong không gian, và mặt cong trong không gian,

    – đạo hàm cấp cao, vi phân cấp cao hàm một biến và công thức Leibniz.

    Tiếp đến tôi nói về đạo hàm theo hướng của hàm hai biến và mối liên hệ với đạo hàm riêng.

    Sau đó tôi trình bày công thức Taylor cho hàm một biến với các phần dư dạng:

    – Peano: vô cùng bé,

    – Lagrange, Cauchy: đạo hàm cấp cao tại điểm trung gian.

    Sử dụng công thức Taylor:

    – xác định cực trị địa phương, điểm uốn,

    – đưa ra các vô cùng bé tương đương,

    – chứng minh một số bất đẳng thức.

    Tôi nói qua về L’Hopital cho hàm số. Lúc đó tôi có nói đến dạng tương tự cho dãy số, Bổ đề Stolz hay còn gọi Định lý Stolz-Cesaro:

    Cho hai dãy \{a_n\}_{n\in\mathbb N}, \{b_n\}_{n\in\mathbb N} thỏa mãn:

    +) dãy \{b_n\}_{n\in\mathbb N} tăng thực sự, nghĩa là b_{n+1}> b_n\;\forall n, và tiến ra vô cùng, (trên lớp tôi nhầm là hai dãy tiến về 0)

    +) tồn tại giới hạn

    \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\ell.

    Khi đó tồn tại giới hạn

    \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\ell.

    Với hàm số ta ngoài dạng 0/0, ta cũng có L’Hopital tương tự như trên:

    Cho f, g:(a, b)\setminus\{x_0\}\to \mathbb R là các hàm khả vi, x_0\in(a, b). Giả sử:

    +) \lim\limits_{x\to x_0}|g(x)|=\infty,

    +) tồn tại \epsilon> 0 để g'(x)\not=0\; \forall x\in(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)\setminus\{x_0\}, (tính đơn điệu chặt gần x_0),

    +) tồn tại giới hạn

    \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\ell.

    Khi đó tồn tại giới hạn

    \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\ell.

    Ví dụ sử dụng Stolz-Cesaro:

    Tính giới hạn

    \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n k^4}{n^5}.

    Lấy a_n=\sum\limits_{k=1}^n k^4, b_n=n^5 có

    +) \{n^5\}_{n\in\mathbb N} tăng thực sự ra vô cùng,

    +) \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^4}{(n+1)^5-n^5}=1/5.

    Giới hạn cần tính bằng 1/5.

    Các bạn có thể tham khảo thêm về L’Hopital và Stolz-Cesaro ở

    https://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule

    https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem

    Về hàm lồi các bạn tự đọc trong sách hoặc

    https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function

    Trả lời

  15. Hôm nay, 17/11/2015, tôi bắt đầu bằng việc nhờ một số bạn lên chữa các bài tập về:

    – tính vi phân cấp 1, cấp 2 của hàm dạng ẩn, dạng tham số,

    – tính đạo hàm theo hướng.

    Chẳng hạn tính dy/dx, d^2y/dx^2 khi

    x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t).

    Có

    dx=a(1-\cos t)dt, dy=a\sin tdt.

    Một bạn lên tính d^2y/dx^2 như sau:

    d^2y=a\cos tdt^2,

    dx^2=a^2(1-\cos t)^2dt^2

    nên

    d^2y/dx^2=\dfrac{\cos t}{a(1-\cos t)^2}.

    So với cách tính của tôi

    y'(x)=\dfrac{\sin(t(x))}{1-\cos(t(x))},

    t'(x)=\dfrac{1}{a(1-\cos(t(x)))},

    d^2y/dx^2=y"(x)=\dfrac{1+2\cos t}{a(1-\cos t)^2}.

    Vậy cách nào đúng? Lý do?

    Cách tôi làm đúng, cách bạn kia làm còn thiếu!

    Cụ thể:

    dy=a\sin tdt,

    d^2y=a\cos tdt^2+ a\sin td^2t (bạn đó thiếu số hạng thứ 2).

    Khi t là biến thực sự (không là hàm của biến nào) thì

    d^2t=0.

    Trong trường hợp này

    t=t(x), là hàm theo biến x

    nên

    d^2t= t"(x)dx^2=\dfrac{t'(x)\sin t}{a(1-\cos t)^2}dx^2.

    Các bạn thử hoàn thiện phần còn lại?

    Tiếp đến tôi có nói đến việc sử dụng khai triển Taylor để tính gần đúng chẳng hạn \sqrt{1000}.

    Sau đó tôi chuyển sang hàm nhiều biến:

    – đạo hàm riêng cấp 2, Định lý Schwarz về tính đối xứng,

    – khai triển Taylor đến cấp 2,

    – dùng tính xác định dương, xác định âm và đổi dấu của ma trận Hessian để xem điểm dừng là cực tiểu địa phương, cực đại địa phương, điểm yên ngựa (một cách tương ứng),

    – chú ý có TH ta không dùng được cách trên để xem điểm dừng thuộc loại nào, tuy nhiên vẫn có thể trực tiếp kiểm tra, chẳng hạn hàm f(x, y)=x^4+y^4,

    – cực trị có điều kiện.

    Như vậy tôi đã kết thúc phần phép tính vi phân. Tuần tới tôi chuyển sang phép tính tích phân hàm một biến.

    Cuối giờ tôi cho kiểm tra ngắn:

    1. Xét hàm

    f(x, y)=xe^y.

    Tính đạo hàm theo hướng e, trong đó e hợp với chiều dương trục 0y một góc 60^o, tại điểm (1, 0).

    2. (a) Tính các vi phân dy/dx, d^2y/dx^2, d^3y/dx^3 của

    y^2+\sin x=0.

    (b) Khai triển Taylor đến cấp 3 hàm y(x), ở câu (a), tại điểm (-\pi/2, 1).

    Thang điểm: 1 (3 điểm), 2a (4 điểm + 3 điểm + 2 điểm), 2b (2 điểm).

    Trả lời

    • Lấy bài kiểm tra vừa rồi để thực hành

      y^2+\sin x=0.

      Lấy vi phân hai vế

      \cos xdx +2ydy=0\quad\quad (1)

      nên

      y'(x)=dy/dx=-\cos x/(2y)\quad\quad(2).

      C1: Tiếp tục lấy vi phân (2) với chú ý y=y(x).

      d^2y/dx^2=y"(x)=\dfrac{\sin x}{2y}+\dfrac{y'(x)\cos x}{2y^2}.

      C2: Lấy vi phân (1), với chú ý x là biến thực sự nghĩa là d^2x=0,

      -\sin xdx^2+2dy^2+2yd^2y=0

      nên

      \dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\sin x}{2y}-\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2.

      Bạn tự hoàn chỉnh nhé.

      Trả lời

  18. 24/11/2015 tôi bắt đầu bằng việc chữa bài kiểm tra ngắn tuần trước. Sau đó tôi nhờ một số bạn lên tìm cực trị, cực trị có điều kiện. Tôi có nói về việc dùng wolframalpha.com để vẽ đồ thị:

    – hàm x^4+y^4-x^2-2xy-y^2

    http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427en0qdkjmr19

    – hàm x+y+4\sin(x)\sin(y)

    http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e9jm0l17ohm

    Tiếp theo tôi nói về nguyên hàm với chú ý:

    – nguyên hàm của 0,

    – nguyên hàm của hàm xác định từng đoạn,

    – nguyên hàm của hàm xác định trên các khoảng mở rời nhau,

    – cách tính: đổi biến, tích phân từng phần, tích phân hàm hữu tỷ.

    Tôi có tính thử nguyên hàm

    \int \sqrt{x^2+1}dx.

    Dùng wolframalpha.com

    http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eb6l3qrgovm

    với hàm ngược

    sinh^{-1}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}).

    Các bạn tự đọc tính nguyên hàm

    – hàm hữu tỷ,

    – hàm chứa căn thức,

    – hàm nhị thức,

    – hàm lượng giác.

    Vài điểm lưu ý

    – không phải hàm nào cũng có nguyên hàm,

    – có những hàm có nguyên hàm không tính được dưới dạng hàm cơ bản.

    Câu hỏi rất khó:

    – hàm có đặc trưng gì thì có nguyên hàm?

    – hàm có đặc trưng gì thì có nguyên hàm viết được dưới dạng hàm cơ bản?

    Trả lời

    • Bài xét cực trị hàm

      u=x^4+y^4-x^2-2xy-y^2

      tại điểm (0, 0)

      có dạng toàn phương

      u_{xx}(0, 0)dx^2+2u_{xy}(0, 0)dxdy+u_{yy}(0, 0)dy^2=-(dx+dy)^2.

      Tôi có kết luận trên lớp (0, 0) là điểm cực đại địa phương. Kết luận này sai!

      Nếu nhìn trên đường x=-y:

      u(x, -x)=x^4+y^4\ge 0 = u(0, 0),

      còn theo đường x=y

      u(x, x)=2x^4-4x^2 \le 0=u(0, 0) khi |x|\le 1

      nên kết luận đúng phải là

      (0, 0) là điểm yên ngựa.

      Trả lời

  19. 01/12/2015 tôi bắt đầu bằng việc sửa lại lỗi sai của bài cực trị tuần trước. Tiếp đến tôi nhờ một số bạn lên tìm nguyên hàm của các hàm hữu tỷ, hàm chứa căn, hàm nhị thức. Tuần tới tôi sẽ chữa các bài liên quan đến hàm lượng giác.

    Sau đó tôi chuyển sang tích phân xác định với ví dụ:

    – hàm khả tích và không có nguyên hàm,

    – hàm không bị chặn thì không khả tích,

    – hàm bị chặn và không khả tích,

    – tính tích phân xác định bằng định nghĩa.

    Tôi tiếp tục chuyển sang một số tính chất của tích phân xác định:

    – tuyến tính,

    – chia miền,

    – tính khả tích của hàm tích, hàm min, hàm max, hàm trị tuyệt đối,

    – bảo toàn thứ tự,

    – Định lý Newton-Leibniz, các bạn có thể tham khảo

    https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus

    – các Định lý giá trị trung bình.

    Trả lời

  21. Hôm nay 08/12/2015 tôi bắt đầu bằng bài kiểm tra ngắn:

    Câu 1: (5 điểm) Tìm cực trị của hàm

    f(x, y)=3x^4+y^4-4x^3y.

    Câu 2: (5 điểm) Tìm GTLN, GTNN của hàm

    u(x, y)=x^2+y^2

    với điều kiện

    (x-2)^2+4y^2=1.

    Sau đó tôi nhắc lại Định lý cơ bản của phép tính vi-tích phân với lưu ý:

    – sử dụng nguyên hàm để tích tích phân xác định, đặc biệt phép đổi biến,

    – sử dụng tích phân xác định để tính nguyên hàm.

    Tiếp đến tôi có nói về việc sử dụng tổng tích phân để:

    – tính giới hạn dãy số bằng tích phân xác định,

    – thiết lập công thức tính diện tích của miền nằm giữa hai đồ thị, miền quạt trong tọa độ cực,

    – thiết lập công thức tính độ dài đường cong,

    – thiết lập công thức tính diện tích xung quanh, thể tích của hình tròn xoay.

    Tôi chuyển sang phần tích phân suy rộng:

    – với ví dụ về tính toán cụ thể hàm Gamma,

    – định nghĩa khái niệm hội tụ, phân kỳ,

    – tiêu chuẩn Cauchy,

    – dấu hiệu so sánh.

    Cuối giờ tôi cho bài kiểm tra ngắn thứ hai:

    Câu 1. (6 điểm) Cho f:(-2, 2)\to\mathbb R xác định bởi

    f(x)=\begin{cases}2-x \; khi \; -2< x\le -1, \\ 3\; khi \; -1\le x\le 1, \\ 2+x \; khi \; 1\le x< 2.\end{cases}

    Tính tích phân không xác định \int f(x)dx.

    Câu 2. (4 điểm) Cho đường cong

    C: r=1+\cos\varphi, 0\le\varphi\le 2\pi.

    Tính diện tích miền được bao quanh bởi C.

    Trả lời

  22. 15/12/2015, tôi bắt đầu bằng việc chữa hai bài kiểm tra ngắn tuần trước với chú ý:

    – bài tìm cực trị, khi ta không nhận biết được điểm dừng là cực trị hay không bằng việc sử dụng đạo hàm riêng cấp 2 thì ta phải quay trở lại nhìn hàm đã cho và xét trực tiếp,

    – bài tìm GTLN, GTNN, khi tìm được điểm dừng ta không cần xét đạo hàm riêng cấp 2 mà so sánh giá trị của hàm tại các điểm dừng và điểm biên,

    – bài tìm nguyên hàm có hai cách: dùng tích phân xác định với cận thay đổi, hay tính nguyên hàm trên từng đoạn, nhớ chú ý các hằng số,

    – bài tính diện tích miền cho bởi hệ tọa độ cực chú ý miền của góc quay.

    Tiếp đến tôi có nhờ một số bạn tính đạo hàm, giới hạn của các tích phân xác định có cận thay đổi (tích phân phụ thuộc tham số) với chú ý việc sử dụng Newton-Leibniz và đạo hàm hàm hợp.

    Sau đó tôi quay trở lại tích phân suy rộng với:

    – ví dụ về việc dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh tích phân suy rộng phân kỳ, hội tụ,

    – tính toán cụ thể một vài tích phân suy rộng bằng định nghĩa.

    Cuối giờ tôi nhờ một số bạn lên tính nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng. Các bạn chú ý các kỹ năng tính nguyên hàm của:

    – hàm hữu tỷ,

    – hàm chứa căn thức,

    – hàm dạng nhị thức,

    – hàm lượng giác.

    Ngoài ra việc tính tích phân suy rộng chú ý việc tách tích phân thành tổng hai tích phân suy rộng.

    Tuần tới là buổi tôi dành để trả lời các câu hỏi về môn học. Các bạn xem lại những gì đã học và chuẩn bị các câu hỏi.

    Trả lời

    • Tích phân gõ

      int

      (viết tắt integral).

      Nếu tích phân có cận dưới a, cận trên là b, thì gõ

      int_a^b

      Chẳng hạn tìm nguyên hàm

      \int \sin(x^2)dx

      gõ

      int \sin(x^2)dx

      Còn tính tích phân xác định

      \int_0^x \sin(t^2)dt

      gõ

      int_0^x \sin(t^2)dt

      Trả lời

  24. Buổi cuối cùng, một số bạn lên chữa các bài kiểm tra cuối kỳ K58 và K59. Sau đó một số bạn chữa một số bài ứng dụng tích phân xác định tính

    – độ dài đường cong: tham số hóa, nghĩa là viết các tọa độ x, y là hàm theo cùng một biến, chẳng hạn t, xác định miền chạy của t, từ đó lắp vào công thức tính độ dài đường cong là tích phân xác định với cận là miền chạy biến t,

    sao

    – diện tích miền nằm giữa hai đường cong: viết các đường cong dưới dạng hàm y=y(x), xác định giao điểm các đường cong, từ đó lắp vào công thức tính diện tích là tích phân xác định với cận là các hoành độ của giao điểm,

    la

    – thể tích của vật thể: cắt vật thể thành các lát mỏng bởi các mặt phẳng vuông với trục 0x, tính thiết diện mỗi lát mỏng, lắp vào công thức tính thể tích với cận tích phân là điểm xuất phát và điểm cuối của hai mặt phẳng vuông góc chạm vào vật.

    nem

    Trả lời

Gửi phản hồi cho datuan5pdes Hủy trả lời

Trang web này sử dụng Akismet để lọc thư rác. Tìm hiểu cách xử lý bình luận của bạn.