Vài nét về bài toán Sturm-Liouville

Standard

Xét phương trình cấp 2 trên đoạn hữu hạn

A(x)y"(x)+B(x)y'(x)+C(x)y(x)=F(x), a\le x\le b,

trong đó A, B, C là các hàm liên tục trên [a, b]

A(x)> 0, \forall x\in [a, b].

Bằng cách nhân cả hai vế phương trình trên với

\dfrac{1}{A(x)}exp\{\int[B(x)/A(x)]dx\}

ta chuyển phương trình trên về dạng

L[y](x)=f(x)

với L[y]=-[p(x)y']'+q(x)y là toán tử Sturm-Liouville,

p(x)=exp\{\int[B(x)/A(x)]dx\}, q(x)=-[p(x)/A(x)]C(x), f(x)=-[p(x)/A(x)]F(x).

Như vậy phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 bất kỳ, với hệ số cả dương, đều có thể chuyển về phương trình Sturm-Liouville. Phần tiếp của bài viết quan tâm đến bài toán giá trị riêng Sturm-Liouville

L[y](x)=\lambda r(x)y, a< x< b,

với điều kiện biên

B_a[y]=0, B_b[y]=0,

trong đó r\in C[a, b], r(x)> 0\; \forall x\in[a, b],

L[y]=-[p(x)y']'+q(x)y,

p\in C^1[a, b], p(x)> 0\; \forall x\in [a, b], q\in C[a, b],

B_a[y]=\alpha y(a)+\beta y'(a), B_b[y]=\gamma y(b)+\delta y'(b),

các hằng số cho trước \alpha, \beta, \gamma, \delta\in\mathbb R, |\alpha|+|\beta|> 0, |\gamma|+|\delta|> 0,

còn hằng số \lambda \in\mathbb C là hằng số cần tìm để bài toán trên có nghiệm không tầm thường.

Khi đó \lambda được gọi là giá trị riêng của bài toán Sturm-Liouville, còn nghiệm không tầm thường được gọi là hàm riêng ứng giá trị riêng đó.

Không gian tìm nghiệm E_r[a, b]

– gồm các hàm liên tục từng khúc,

– hai hàm được gọi là bằng nhau nếu nó chỉ sai khác nhau tại hữu hạn điểm,

– với tích vô hướng

\langle f,g\rangle_r=\int_a^b f(x)g(x)r(x)dx.

Không gian E_r[a, b] là không gian Hilbert trên trường thực.

Từ đồng nhất thức Lagrange

vL[u]-uL[v]=\dfrac{d}{dx}(p(x)W(u, v))

trong đó W(u, v)=uv'-u'v là Wronskian của u, v,

ta có

– nếu u, v là hàm riêng của cùng một giá trị riêng thì

W(u, v)=0

hay mỗi giá trị riêng có không gian con riêng tương ứng đều là không gian 1-chiều, ta còn nói là giá trị riêng đơn,

– nếu u, v thỏa mãn các điều kiện biên

B_a[y]=B_b[y]=0

thì ta thu được công thức Green sau

\int_a^b (vL[u]-uL[v])dx=0.

Từ công thức Green dẫn đến tính đối xứng của toán tử Sturm-Liouville, từ đó dẫn đến:

– các giá trị riêng đều thực,

– hai hàm riêng ứng với hai giá trị riêng khác nhau trực giao với nhau, theo tích vô hướng \langle\cdot, \cdot\rangle_r.

Bước tiếp bằng cách dùng hàm Green ta chuyển bài toán Sturm-Liouville thành phương trình tích phân, hay nói cách khác bài toán giá trị riêng của toán tử tích phân.

Ta lấy u, v lần lượt là các nghiệm không tầm thường của phương trình Sturm-Liouville và thỏa mãn

B_a[u]=0, B_b[v]=0.

Giả sử rằng bài toán

L[y]=0, B_a[y]=B_b[y]=0

chỉ có nghiệm tầm thường.

Khi đó u, v độc lập tuyến tính. Xét hàm Green

g(x, s)=\begin{cases}v(x)u(s)\; khi \; a\le s\le x\le b,\\ u(x)v(s) \; khi \; a\le x\le s\le b.\end{cases}

Xét toán tử tích phân

Ky(x)=\int_a^b g(x, s)y(s)ds

K: E_r[a, b]\to E_r[a, b] là toán tử compact, đối xứng.

Khi đó nếu (\lambda, y) là giá trị riêng – hàm riêng của bài toán Sturm-Liouville

khi và chỉ khi

(\lambda^{-1}, y) là giá trị riêng – hàm riêng của toán tử tích phân K.

Toán tử K là toán tử compact, đối xứng

– nó có dãy vô hạn các giá trị riêng hội tu về 0,

– một trong hai giá trị

\pm||K||=\pm\sup\limits_{||u||_r=1}\langle Ku, u\rangle_r

là giá trị riêng của K,

– với mỗi giá trị riêng \lambda ký hiệu X_\lambda là không gian con riêng thì bao đóng của \bigoplus X_\lambda là toàn bộ không gian E_r[a, b].

Do đó bài toán Sturm-Liouville có:

– dãy các giá trị riêng xếp theo chiều tăng:

\lambda_0< \lambda_1< \lambda_2 < \dots,

\lim\limits_{n\to\infty}\lambda_n=+\infty,

còn \lambda_0=\inf\limits_{u\in V\atop ||u||_r=1}\int\limits_a^b uL[u]dx (công thức Rayleigh-Ritz)

trong đó V=\{v\in C^2[a, b]|\; B_a[v]=B_b[v]=0\};

– dãy các hàm riêng đã được chuẩn hóa tương ứng:

v_0, v_1, v_2, \dots

lập thành hệ trực chuẩn đầy đủ của E_r[a, b], theo nghĩa

với bất kỳ f\in E_r[a, b]

chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty\langle f, v_n\rangle_rv_n hội tụ đến f theo chuẩn ||\cdot||_r.

Nếu f\in C[a, b] và trơn từng khúc thì chuỗi trên hội tụ đều về f.

Về độ tăng của dãy giá trị riêng ta có luật Weyl (Weyl law) như sau

\lambda_n \sim \left(\dfrac{n\pi}{\ell}\right)^2,

với \ell=\int_a^b \sqrt{\frac{r(x)}{p(x)}}dx.

Chú ý rằng nếu ta dùng phép đổi biến Liouville

x\mapsto z=\dfrac{\pi}{\ell}\int_a^x \sqrt{\frac{r(t)}{p(t)}}dt

thì phương trình Sturm-Liouville trở thành

-u"(z)+m(z)u(z)=\mu u(z), 0< z < \pi,

với u(z)=(r(x(z))p(x(z)))^{1/4}y(x(z)), \mu =\lambda\dfrac{\ell^2}{\pi^2},

m(z)=\dfrac{\theta"(z)}{\theta(z)}+\dfrac{\ell^2}{\pi^2}\dfrac{q(x(z))}{r(x(z))}, \theta(z)=(r(x(z))p(x(z)))^{1/4}.

One response »

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s