Bài toán Hilbert thứ 13

Standard

Bài toán Hilbert thứ 13 quan tâm đến việc giải nghiệm của đa thức bậc cao

\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k=0.

Sơ qua về lịch sử việc giải phương trình đại số trên:

– Từ thời Babylon, cách đây khoảng 4000 năm, con người đã biết cách giải đa thức bậc 2.

– Đến thế kỷ thứ 16, Ferro, Tartaglia và Cardano đưa ra công thức giải đa thức bậc 3, và Ferrari đưa ra công thức cho đa thức bậc 4.

Các công thức nghiệm trên đều có dạng căn thức. Bài toán đặt ra tiếp: với đa thức bậc lớn hơn 4 có giải được bằng căn thức?

– Đầu thế kỷ 19, Abel chỉ ra rằng không thể tìm được công thức như vậy, còn Galois đưa ra tiêu chuẩn để một đa thức có thể giải được bằng căn thức. Bài toán trên được giải quyết trọn vẹn.

Đầu thế kỷ 20, năm 1900, Hilbert đưa ra 23 bài toán, trong đó bài toán thứ 13 đặt ra như sau:

nếu thay căn thức, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia bởi các hàm hai biến liên tục thì có giải được nghiệm của đa thức hay không?

Cụ thể hơn Hilbert đưa ra đa thức bậc 7:

x^7+ax^3+bx^2+cx+1=0.

Hilbert đặt ra giả thuyết: không thể giải phương trình đại số trên bằng các hàm liên tục hai biến.

Cách viết giả thuyết như vậy có vẻ khá tù mù? Ta có thể nhìn lại như sau:

Đa thức bậc 7, theo Gauss, có đúng bảy nghiệm (phức) z_j, j=\overline{1, 7}. Có thể thấy rằng khi a, b, c thay đổi nhỏ thì từng nghiệm này cũng thay đổi nhỏ, nói cách khác các nghiệm này là các hàm ba biến liên tục z_j(a, b, c). Bằng cách tách phần thực, phần ảo, giả thuyết Hilbert lúc này có thể viết như sau:

Với bất kỳ hàm liên tục f: \mathbb R^3\to\mathbb R. Không thể biểu diễn f dưới dạng hợp thành của các hàm hai biến liên tục.

Gần 60 năm sau, năm 1957, V. Arnold (lúc đó mới 19 tuổi) đã phủ định giả thuyết Hilbert bằng định lý:

Với bất kỳ hàm liên tục ba biến f: [0, 1]^3\to\mathbb R, đều có các hàm liên tục hai biến h_j, g_j:[0, 1]^2\to\mathbb R sao cho

f(x_1, x_2, x_3)=\sum\limits_{j=1}^3h_j[g_j(x_1, x_2), x_3].

Cũng trong năm 1957, Kolmogorov, thầy của Arnold, đưa ra kết quả mạnh hơn:

Với bất kỳ hàm liên tục f: [0, 1]^n\to\mathbb R

đều có các hàm liên tục một biến g_j, h_{j, k}:\mathbb R\to\mathbb R sao cho

f(x_1, x_2, \dots, x_n)=\sum\limits_{j=1}^{2n+1}g_j(\sum\limits_{k=1}^{n}h_{jk}(x_k)).

Các hàm bên trong h_{jk} không phụ thuộc vào hàm f.

Có nhiều phát triển tiếp về kết quả trên của Kolmogorov, chẳng hạn như Lorentz chỉ ra rằng có thể tìm g_j như nhau với mọi j. Đặc biệt năm 1965, Sprecher đưa ra dạng có thể tính toán được sau:

Với mỗi số tự nhiên N\ge 2, có một hàm thực, đơn điệu tăng \psi\in Lip(\ln(2)/\ln(2N+2)) sao cho

với bất kỳ số dương \delta có số hữu tỷ \epsilon\in(0, \delta) để với bất kỳ số tự nhiên n\in[2, N], bất kỳ hàm liên tục f:[0, 1]^n\to\mathbb R đều có thể viết dưới dạng

f(x)=\sum\limits_{j=1}^{2n+1} \chi\left(\sum\limits_{k=1}^n \lambda^k\psi(x_k+\epsilon k)+k\right)

trong đó \chi:\mathbb R\to\mathbb R là hàm liên tục, còn \lambda là hằng số không phụ thuộc f.

Dạng khác của Sprecher đưa ra:

Cho các số tự nhiên n, m, \gamma thỏa mãn

n\ge 2, m\ge 2n, \gamma\ge m+2.

Đặt

X_j=(x_1+ja, x_2+ja, \dots, x_n+ja), a=[\gamma(\gamma-1)]^{-1},

\alpha_1=1, \alpha_j=\sum\limits_{r=1}^\infty \gamma^{-(j-1)\beta(r)} \; khi \; j> 1, \beta(r)=(n^r-1)/(n-1).

Khi đó với bất kỳ hàm liên tục f:[0, 1]^n\to\mathbb R đều có các hàm liên tục \Phi_j:\mathbb R\to\mathbb R, j=0, 1, \dots, m sao cho

f(x)=\sum\limits_{j=0}^m \Phi_j(\xi(x_j)),

trong đó \xi(x_j)=\sum\limits_{k=1}^n \alpha_k\psi(x_k+ja)

còn hàm \psi:[0, 1]\to\mathbb R, đến năm 1996, được Sprecher xây dựng như sau.

Với mỗi số tự nhiên k, ký hiệu

\mathcal D_k=\mathcal D_k(\gamma)=\{d_k\in\mathbb Q|\; d_k=\sum\limits_{j=1}^k i_j\gamma^{-j}, i_j\in\{0, 1, \dots, \gamma-1\}\},

\mathcal D=\cup_{k=1}^\infty \mathcal D_k trù mật trong [0, 1].

Việc xây dựng hàm liên tục \psi:[0, 1]\to\mathbb R thực chất là xác định \psi(x) khi x\in\mathcal D_k, k\in\mathbb N.

Ta cần một vài ký hiệu

+) \langle i_1\rangle=[i_1]=0,

+) với j\ge 2

\langle i_j\rangle=\begin{cases}0 \; khi \; i_j=0, 1, \dots, \gamma-2, \\ 1 \; khi \; i_j=\gamma-1,\end{cases}

[i_j]=\begin{cases}0 \; khi \; i_j=0, 1, \dots, \gamma-3, \\ 1 \; khi \; i_j=\gamma-2, \gamma-1,\end{cases}

+) \tilde{i}_j=i_j-(\gamma-2)\langle i_j\rangle,

+) m_j=\langle i_j\rangle\left(\sum\limits_{\ell=1}^{j-1}[i_s]\cdots[i_{j-1}]\right).

Khi đó, với d_k=\sum\limits_{j=1}^k i_j\gamma^{-j}, i_j\in\{0, 1, \dots, \gamma-1\}

\psi(d_k)=\sum\limits_{j=1}^k \tilde{i}_j2^{-m_j}\gamma^{-\beta(j-m_j)}.

Tuy nhiên hàm \psi được xây dựng như trên không liên tục! Năm 2002 Koppen đưa ra cách xây dựng khác như sau:

Xây dựng dãy hàm \psi_k: \mathcal D_k\to\mathbb R bằng truy hồi:

\psi_k(d_k)=\begin{cases}d_k \; khi \; k=1, \\ \psi_{k-1}(d_k-i_k\gamma^{-k})+i_k\gamma^{-\beta(k)}\; khi \; k> 1, i_k< \gamma-1, \\\frac{1}{2}\left(\psi_{k-1}(d_k-i_k\gamma^{-k})+\psi_{k-1}(d_k+\gamma^{-k})+i_k\gamma^{-\beta(k)}\right)\; khi \; k> 1, i_k=\gamma-1.\end{cases}

Với mỗi x\in[0, 1] ta có biểu diễn duy nhất

x=\sum\limits_{j=1}^\infty i_j \gamma^{-j}=\lim\limits_{k\to\infty}d_k, i_j\in\{0, 1, \dots, \gamma-1\}.

Khi đó

\psi(x)=\lim\limits_{k\to\infty}\psi_k(d_k).

Chi tiết phần này bạn đọc tham khảo bài

remonkoe

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s