Nguyên lý bị chặn đều Steinhaus-Banach – Chuỗi Fourier

Standard

Trong bài “Chuỗi Fourier của hàm liên tục”

https://bomongiaitich.wordpress.com/2012/12/11/chuoi-fourier-cua-ham-lien-tuc/

tôi đã đưa ra cách chỉ ra hàm liên tục tuần hoàn có chuỗi Fourier phân kỳ tại một điểm cho trước của H. Lebesgue bằng việc dùng Nguyên Lý Bị Chặn Đều. Dưới đây tôi sẽ trình bày một số cách nhìn Nguyên Lý Bị Chặn Đều trong chuỗi Fourier.

Nói nôm na về Nguyên Lý Bị Chặn Đều:

Từ tính bị chặn điểm sẽ dẫn đến tính bị chặn đều, trong môi trường phù hợp.

Hệ quả của nó:

Từ sự hội tụ điểm sẽ dẫn đến tính bị chặn đều, trong môi trường phù hợp.

Dĩ nhiên ta có:

Tính bị chặn đều dẫn đến bị chặn điểm.

Nhưng không phải lúc nào cũng có:

Tính bị chặn đều dẫn đến hội tụ điểm.

Ta sẽ thấy điều thú vị này trong một số tình huống cụ thể trong chuỗi Fourier sau đây.

Ta bắt đầu tình huống đầu tiên với khái niệm không gian Banach thuần nhất trên đường tròn đơn vị \mathbb T:

Không gian con B của L^1(\mathbb T) có chuẩn riêng ||\cdot||_B được gọi là không gian Banach thuần nhất trên \mathbb T nếu:

+) (B, ||\cdot||_B) là không gian Banach,

+) ||f||_{L^1}\le ||f||_B, \forall f\in B,

+) f\in B, \tau\in\mathbb T thì f_\tau(\cdot)=f(\cdot-\tau)\in B

||f_\tau||_B=||f||_B,

+) f\in B, \tau_0\in\mathbb T thì

\lim\limits_{\tau\to\tau_0}||f_\tau-f_{\tau_0}||_B=0.

Một số ví dụ về không gian Banach thuần nhất trên \mathbb T:

+) (C(\mathbb T), ||\cdot||_\infty)

+) L^p(\mathbb T), 1\le p< \infty.

Không gian L^\infty(\mathbb T) không là không gian Banach thuần nhất trên \mathbb T.

Nhắc lại tổng riêng của chuỗi Fourier:

Với mỗi f\in L^1(\mathbb T), tổng riêng thứ n

S_n(f, x)=\sum\limits_{k=-n}^n \hat{f}_ke^{ikx}, \hat{f}_k=\dfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb T}f(x)e^{-ikx}dx.

Ta đến với tình huống thứ nhất có sự kiện

“Hội tụ điểm” khi và chỉ khi “Bị chặn đều”.

Cho B là không gian Banach thuần nhất. Với mỗi n\in\mathbb N

S_n: B\to B là ánh xạ tuyến tính liên tục.

Khi đó ta có:

Dãy \{S_nf\}_{n=1}^\infty hội tụ điểm trong B với mọi f\in B

khi và chỉ khi

dãy \{S_n\}_{n=1}^\infty bị chặn đều trong B.

Nhờ kết quả này ta có:

– sự hội tụ của chuỗi Fourier trong L^p(\mathbb T), 1< p< \infty (xem trong khóa luận Hà Đức Thái

https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2015/06/khoaluan_thai04-6-1.pdf)

– có hàm f\in L^1(\mathbb T) mà chuỗi Fourier của nó phân kỳ trong L^1(\mathbb T).

Chú ý sự hội tụ hay phân kỳ theo chuẩn trong L^p(\mathbb T) khác hẳn với sự hội tụ hầu khắp nơi. Chẳng hạn câu hỏi:

Ví dụ của Kolmogorov hàm trong L^1(\mathbb T) có chuỗi Fourier phân kỳ khắp nơi. Liệu chuỗi Fourier này hội tụ hay phân kỳ trong L^1(\mathbb T)?

Để tìm hiểu về sự hội tụ điểm (hầu khắp nơi) của chuỗi Fourier ta cần đến tính bị chặn đều theo cách khác. Cụ thể ta quan tâm đến toán tử cực đại

S^*_n(f, x)=\sup\limits_{1\le k\le n}|S_k(f, x)|.

Kết quả đầu tiên về mối liên hệ giữa toán tử cực đại này và hội tụ hầu khắp nơi là kết quả của Kolmogorov-Seliverstov-Plessner (1926):

Cho f\in L^2(\mathbb T) thỏa mãn

\sum\limits_{n\in\mathbb Z\setminus\{0\}}|\hat{f}_n|^2\ln|n|< \infty.

Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ hầu khắp nơi.

Để chứng minh kết quả này ba ông đã chứng minh:

\int\limits_{\mathbb T}S^*_n(f, x)dx\le C(\sum\limits_{0< |k|\le n}|\hat{f}_k|^2\ln |k|)^{1/2}

với hằng số C không phụ thuộc n.

Cụ thể hơn, các ông chứng minh:

Với bất kỳ hàm đo được t:\mathbb T\to \{0, 1, 2, \dots, n\} ta có

\int\limits_{\mathbb T}S_{t(x)}(f, x)dx\le C(\sum\limits_{0< |k|\le n}|\hat{f}_k|^2 \ln |k|)^{1/2}

với hằng số C không phụ thuộc n, t.

Carleson-Hunt (1966) chứng minh được kết quả mạnh hơn:

||S_{t(\cdot)}f(\cdot)||_{L^p}\le C||f||_{L^p}, 1< p< \infty,

trong đó hằng số C không phụ thuộc t, n, f.

Từ kết quả này ta có Định lý Carleson-Hunt:

Chuỗi Fourier của hàm f\in L^p(\mathbb T), 1< p< \infty, hội tụ hầu khắp nơi.

Bằng cách nghiên cứu

S_{t(x)}f(x)=\int\limits_{\mathbb R}e^{2\pi i(x\xi+2\pi t(x)\xi^2)}\hat{f}(\xi)d\xi

trong đó f\in L^2(\mathbb R), t:\mathbb R\to(0, 1) là hàm đo được,

Carleson-Dahlberg-Kenig (1980-1981) chứng minh được rằng:

S_{t}f(x)\to f(x) hầu khắp nơi khi t\to 0_+ với mọi f\in H^s(\mathbb R)

khi và chỉ khi

s\ge 1/4.

Ở đây H^s(\mathbb R) là không gian Sobolev

\{f\in L^2(\mathbb R)|\; (1+\xi^2)^s|\hat{f}(\xi)|^2\in L^1(\mathbb R)\},

còn \hat{f}(\xi)=\int\limits_{\mathbb R}e^{-i2\pi x\xi}f(x)dx.

Ta kết thúc bằng hai giả thuyết sau:

– Sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier vô hạn chiều:

\sum\limits_{|m|\le R}\hat{f}(m)e^{imx} hội tụ hầu khắp nơi khi R\to\infty, với mọi f\in L^2(\mathbb T^n),

trong đó x=(x_1, \dots, x_n)\in\mathbb T^n, m=(m_1, \dots, m_n)\in\mathbb Z_n,

|m|=(\sum\limits_{j=1}^n m_j^2)^{1/2}, mx=\sum\limits_{j=1}^n m_jx_j,

\hat{f}(m)=\dfrac{1}{(2\pi)^n}\int\limits_{\mathbb T^n}e^{-imx}f(x)dx.

– Sự hội tụ điểm của nghiệm phương trình Schrodinger

S_tf(x)=\int\limits_{\mathbb R^n}e^{2\pi i(x\xi-2\pi t|\xi|^2)}\hat{f}(\xi)d\xi hội tụ hầu khắp nơi khi t\to 0_+, với mọi f\in H^s(\mathbb R^n)

khi và chỉ khi

s\ge 1/4,

trong đó x, \xi\in\mathbb R^n, x\xi=\sum\limits_{j=1}^nx_j\xi_j, |\xi|^2=\sum\limits_{j=1}^n\xi_j^2.

One response »

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s