Đề thi – Đáp án môn GT1 lớp K60A2+A3

Standard

2015_2016_Giaitich1_ky1MTKHTT

Chúng tôi đã chấm xong bài thi môn GT1 cho lớp K60A2+A3. Điểm cao nhất 9,5.

4 responses »

  1. Bài hình xuyến có hình

    xuyen

    Có bạn dùng cách lấy thiết diện theo các mặt phẳng vuông góc với Oy. Việc tính diện tích thiết diện như vậy không dễ.

    Một cách tổng quát: hai cung thay bởi

    (C_1): f_1(x)=R+\sqrt{r^2-x^2}, |x|\le r,

    (C_2): f_2(x)=R-\sqrt{r^2-x^2}, |x|\le r,

    có diện tích xung quanh 4\pi^2 Rr,

    và thể tích 2\pi^2 Rr^2,

    trong đó 0< r< R.

    Các bạn tham khảo

    https://en.wikipedia.org/wiki/Torus

  2. Bài tích phân suy rộng, nếu tách

    \int_0^\infty \dfrac{\cos xdx}{x^2}-\int_0^\infty\dfrac{\cos(2x)dx}{x^2}

    thì ta được các số hạng phân kỳ. Không kết luận được gì.

    Nhưng nếu tách

    \int_0^1\dfrac{\cos(x)-\cos(2x)}{x^2}dx+\int_1^\infty \dfrac{\cos xdx}{x^2}-\int_1^\infty\dfrac{\cos(2x)dx}{x^2}

    thì kết luận được tích phân hội tụ bằng:

    – Weierstrass,

    – Dirichlet.

    Đề bài chỉ yêu cầu chỉ ra tích phân suy rộng hội tụ chứ không yêu cầu tính. Tuy nhiên ta có thể tính được tích phân suy rộng này:

    \int_0^\infty\dfrac{\cos(x)-\cos(2x)}{x^2}dx=\int_0^\infty \dfrac{dx}{x}\int_1^2\sin(tx)dt

    =\int_1^2dt \int_0^\infty\dfrac{\sin(t x)dx}{x},

    chú ý

    \int_0^\infty \dfrac{\sin(tx)dx}{x}=\pi/2, 1\le t\le 2,

    nên tích phân suy rộng có giá trị \pi/2.

    Các bạn tham khảo

    http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e2tcncpubhr

    http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eb9np7v42ml

    Có thể thấy trong việc chứng minh sự hội tụ ở trên phải chú ý điểm 0, nếu bỏ đi nghĩa là chỉ xét

    \int_1^\infty\dfrac{\cos(x)-\cos(2x)}{x^2}dx

    thì việc chứng minh sự hội tụ đỡ rắc rối hơn. Tuy nhiên để tính tích phân này thì không dễ! Lý do, việc tính

    \int_1^\infty \dfrac{\sin xdx}{x}

    không dễ!

    Quay trở lại việc xét sự hội tụ. Việc dùng Dirichlet khá mạnh và không chỉ ra sự hội tụ tuyệt đối. Nhưng nếu xét

    \int_0^\infty\dfrac{\cos(x)-\cos(2x)}{x}dx

    thì không dùng được Weierstrass mà phải cần đến Dirichlet để chỉ ra sự hội tụ. Đây là tích phân bán hội tụ. Ngoài ra nó có dạng tích phân Frullani

    \int_0^\infty\dfrac{f(ax)-f(bx)}{x}dx.

    Các bạn tham khảo

    http://mathworld.wolfram.com/FrullanisIntegral.html

  3. Cảm ơn bạn Thảo đã chỉ ra lỗi trong đáp án cho bài cực trị tôi quên chưa sửa. Tôi đã sửa lại. Hình ảnh của bài cực trị

    cuctri

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s