Trao đổi bài giảng môn PTĐHR lớp K58A1T

Standard

Hôm nay, 18/01/2016, tôi bắt đầu dạy môn PTĐHR cho lớp K58A1T. Về giáo trình các bạn có thể tìm đường link của một số giáo trình trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2015/01/19/trao-doi-bai-giang-mon-ptdhr-lop-k57a1t-k57tn/

Riêng giáo trình của thầy Hợp các bạn mượn thư viện.

Tôi đã nhờ lớp trưởng chia nhóm để làm bài tập nhóm. Hy vọng đến thứ Năm này tôi có trong tay danh sách các nhóm.

Có gì cần trao đổi các bạn có thể viết vào phần phản hồi.

128 responses »

  1. Sáng nay tôi có chữa ba bài về việc chuyển về dạng chính tắc:

    1) u_{xx}+2u_{xy}+5u_{yy}-2u_x+3u_y=0.

    2) u_{xx}+4u_{xy}+3u_{yy}+u_x+u_y=0.

    3) u_{xx}+4u_{xy}+4u_{yy}+u_x+2u_y=0.

    Bài 2: một bạn lên chữa

    – PT dạng hyperbolic,

    – đổi biến \xi=y-3x, \eta=y-x,

    – dạng chính tắc

    2v_{\xi\eta}+v_\xi=0.

    Bài 3: một bạn lên chữa

    – PT dạng parabolic,

    – đổi biến \xi=y-2x, \eta=x,

    – dạng chính tắc

    v_{\eta\eta}+v_\eta=0.

    Thứ Năm tới tôi sẽ tiếp tục bài 2 và 3.

      • Tôi viết nhầm, Exercises 3.4, trang 133-135. Tôi đã sửa lại. Cám ơn em.

        Chú ý: nhóm 1 và 5 đều có bài tập 9 trong Exercises 3.4, trang 133, sách Asmar, nhưng nhóm 1 làm bài 9 liên quan đến bài 1, còn nhóm 5 làm bài 9 liên quan đến bài 5.

    • Chú ý các bài giữa kỳ cho K56 Toán Tin có hai lớp MAT2024 1 và MAT2024 2. Các bạn chỉ lấy bài của lớp MAT2024 1.

      Có gì thắc mắc các bạn nói cho tôi ngay nhé.

  2. Thưa Thầy em là Tô Thị Thu Hằng lớp k56 A1T1.
    E xin các bạn vào nhóm 7 rồi ạ. Thầy điền thêm vào danh sách nhóm giúp e. E cảm ơn Thầy

  3. Sáng nay tôi có chữa bài 4.3 và 4.5 trang 93, sách Pinchover-Rubinstein. Tôi mới nhờ các bạn tính “nguyên hàm” vận tốc ban đầu. Thứ Năm tới tôi tiếp tục chữa:

    – tính sóng tiến, sóng lùi,

    – vẽ đồ thị nghiệm, .v.v.

      • Câu c yêu cầu:

        Tìm phương trình đạo hàm riêng và các điều kiện ban đầu mà hàm w=u-v thỏa mãn.

        PDE là viết tắt: Partial Differential Equation.

    • Tôi đã bổ sung.

      Tôi có hỏi về việc đã lấy được các bài tập nhóm hay chưa? Riêng nhóm 1 tôi chưa hỏi được vì cả nhóm nghỉ cả thứ Hai và Năm. Không rõ tình hình nhóm 1 như nào?

  4. Một số hình ảnh bài 4.3, trang 93, sách Pinchover-Rubinstein

    Trạng thái ban đầu:

    BT PTĐHR K58A1T

    Vận tốc ban đầu và nguyên hàm của nó

    BT PTĐHR K58A1T

    Sóng tiến, sóng lùi và u(x, 1)

    BT PTĐHR K58A1T

  5. Một số hình ảnh bài 4.5, trang 93, sách Pinchover-Rubinstein

    Trạng thái ban đầu:

    BT PTĐHR K58A1T

    Vận tốc ban đầu và nguyên hàm của nó

    BT PTĐHR K58A1T

    Sóng tiến, sóng lùi và u(x, i), i=4, 8, 12

    BT PTĐHR K58A1T

  6. Một vài so sánh giữa bài 4.3 và 4.5:

    + giống nhau:

    – điều kiện ban đầu: nhìn một cách riêng rẽ, trạng thái ban đầu giống, vận tốc ban đầu giống,

    – trạng thái ban đầu: đều có hai điểm bị gãy,

    + khác nhau:

    – nhìn tổng thể: giá của trạng thái ban đầu và vận tốc ban đầu bài 4.3 khác nhau, còn 4.5 giống nhau,

    – các chỗ gãy của trạng thái ban đầu lan ra, tăng lên: bài 4.3 có 5 chỗ gãy, bài 4.5 có 4 chỗ gãy,

    – lan ra hai phía: bài 4.3 lan không đều về hai phía, bài 4.5 lan đều về hai phía.

    Các hiện tượng trên liên quan gì đến nhau? ảnh hưởng đến nhau như nào?

  7. Các bạn lớp Tài năng cần đọc thêm phần phương trình cấp 1 trong giáo trình của GS Bernard. Tôi dự định cho các bạn lớp Tài năng thi vấn đáp, còn các bạn lớp toán thi viết.

  8. Thứ Hai tới, 15/02/2016, tôi sẽ chữa các bài tập nhóm. Các bạn có khó khăn gì có thể lên bảng viết ra, chúng ta cùng giải quyết. Rất mong sự chuẩn bị của các bạn.

  9. Hôm nay, 15/02/2016 tôi có gọi một số nhóm lên chữa các bài tập của nhóm mình còn chưa làm được:

    – một số nhóm lên chép nhầm đề các bài trong sách H. Asmar,

    – một bạn lên chữa bài trong H. Asmar: mới thác triển nhưng chưa tính nghiệm bằng D’Alembert,

    – đáng chú ý bài về phương trình truyền sóng trong góc dương: được làm bởi hai cách, một dùng công thức hình bình hành, hai dùng nghiệm tổng quát, hai cách đều phải chia trường hợp.

    Thứ Năm tới, 18/02/2016, tôi tiếp tục chữa các bài tập nhóm, cuối giờ tôi sẽ thu bài tập.

  10. Yêu cầu của các bài tập từ 1 đến 8, mục 3.4, trang 133, trong sách của Asmar:

    Sử dụng công thức D’Alembert để giải bài toán biên (1)-(3), trang 126, cho sợi dây chiều dài đơn vị (string of unit length)

    \begin{cases}(1)& \quad u_{tt}=c^2u_{xx}, 0<x < L, t > 0,\\ (2) & \quad u(0, t)= u(L, t)=0, t>0,\\ (3) & \quad  u(x, 0)=f(x), u_t(x, 0)=g(x), 0\le x\le L.\end{cases}

    L là chiều dài sợi dây nên L=1.

    Còn f, g, c được cho ở từng bài cụ thể.

  11. Hôm nay, 18/02/2016, tôi tiếp tục chữa các bài tập nhóm:.

    – Một bạn lên chữa bài: xác định dạng, chuyến về dạng chính tắc, tìm nghiệm tổng quát và tìm nghiệm khi biêt thêm điều kiện. Bài bạn đó chữa là bài không đặt chỉnh: điều kiện cho thêm phải đặc biệt bài toán mới có nghiệm, khi đã có thì có vô số nghiệm.

    – Các bạn khác chữa bài dùng công thức D’Alembert giải bài toán cho phương trình truyền sóng trên nửa trục. Ta thác triển lẻ khi điều kiện biên Dirichlet thuần nhất, chẵn khi điều kiện Neumann thuần nhất. Chú ý tính không cố điển, kỳ dị của nghiệm. Các bạn tham khảo thêm

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/10/18/tinh-chat-cua-nghiem-phuong-trinh-truyen-song-di-truyen-tu-dieu-kien-ban-dau-2/

    Tuần tới tôi sẽ chuyển sang phương pháp tách biến giải bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyến sóng và truyền nhiệt.

    Nhắc lại các bạn lớp TN: đọc và làm các bài tập về phương trình cấp 1 trong giáo trình của GS Bernard. Cần gì các bạn có thể hỏi và trao đổi qua trang web này và trực tiếp trên lớp.

    • Câu hỏi này khó! Ta chưa thể thác triển ngay và cũng không dùng được công thức hình bình hành.

      Cụ thể ta xét bài toán

      \begin{cases}& u_{tt}=c^2u_{xx} \; 0< x< \infty, t> 0,\\ & u_x(0, t)=h(t) \; t> 0,\\ & u(x, 0)=f(x), u_t(x, 0)=g(x)\; x\ge 0.\end{cases}

      Ta tìm hàm khử điều kiện biên, chẳng hạn hàm v(x, t)=F(x-ct) thỏa mãn phương trình và điều kiện biên

      v_x(0, t)=F'(-ct)=h(t), t> 0.

      Đặt w(x, t)=u(x, t)-v(x, t). Khi đó w thỏa mãn với điều kiện Neumann thuần nhất.

      Đến đây em thử chi tiết hóa xem sao? Tốt nhất hãy lấy c, h, f, g cụ thể.

  12. Sau khi soát lại danh sách các nhóm và danh sách sinh viên của phòng đào tạo:

    – bạn Nguyễn Văn Hưng, nhóm 4, không có trong danh sách của phòng đào tạo,

    – bạn Lê Thị Ngọc Quỳnh, Trần Mạnh Tiến chưa tham gia nhóm nào,

    – nhóm 7 có tám sinh viên.

    Bạn Hưng thôi học lớp tôi dạy?
    Bạn Quỳnh và bạn Tiến sẽ không có điểm bài tập lần 1. Nếu các bạn còn chưa tham gia vào nhóm nào bạn sẽ được 0 điểm thường xuyên.

  13. Sáng nay tôi đã trình bày phương pháp tách biến giải bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng. Sau đó tôi có nhờ hai bạn lên chữa bài 5.1, trang 124, và 5.4, trang 125, sách Pinchover-Rubinstein:

    – bài 5.1: phương trình truyền nhiệt,

    – bài 5.4: phương trình truyền sóng,

    – cả hai bài đều có phương trình và điều kiện biên thuần nhất nên ta tìm nghiệm dạng tách biến luôn,

    – về cơ bản việc giải hai bài này chỉ khác nhau việc giải T(t) và tính toán hệ số của chuỗi.

    Thứ năm tới tôi tiếp tục chữa bài tập về phương pháp tách biến.

    Bài tập phần phương pháp tách biến tôi đã đưa danh sách ở trên, hạn nộp 10/03/2016.

    • Một vài so sánh giữa truyền nhiệt và truyền sóng:

      – truyền nhiệt: điều kiện ban đầu có thể không tốt, chẳng hạn gián đoạn như bài 5.1, thì khi t> 0, 0< x< \pi, nghiệm vẫn trơn, chẳng hạn bài 5.1 có nghiệm

      u(x, t)=\dfrac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\cos(n\pi/2)-(-1)^n}{n}e^{-17n^2t}\sin(nx)

      là hàm khả vi vô hạn khi t> 0 vì chuỗi

      \sum\limits_{n=1}^\infty n^k e^{-17n^2t}<\infty, t> 0;

      – truyền sóng: điều kiện ban đầu xấu sẽ được truyền theo thời gian, chẳng hạn nếu thay điều kiện ban đầu bài 5.4 bởi

      u(x, 0)=\begin{cases}0 \; khi \; 0\le x\le \pi/2, \\ 2 \; khi \pi/2 < x\le \pi,\end{cases}

      u_t(x, 0)=0

      có nghiệm

      u(x, t)=\dfrac{4}{\pi}\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\cos(n\pi/2)-(-1)^n}{n}\cos(nt)\sin(nx)

      có điểm gián đoạn nằm trên x\pm t=k\pi/2, k\in\mathbb Z.

      • Truyền sóng:

        + khi t=\pi/8, có gián đoạn tại x=3\pi/8, 5\pi/8, 7\pi/8,

        truyen song

        + khi t=\pi/4 có gián đoạn tại x=\pi/4, 3\pi/4,

        truyen song

        + khi t=3\pi/8 có gián đoạn tại x=\pi/8, 5\pi/8, 7\pi/8,

        truyen song

        + khi t=\pi/2 có gián đoạn tại x=\pi/2

        truyen song

        + khi t=5\pi/8 có gián đoạn tại x=\pi/8, 3\pi/8, 7\pi/8

        truyen song

      • Truyền nhiệt: về dáng điệu nó giống hàm \sin(x), chỉ có biên độ giảm dần theo thời gian theo tốc độ mũ:

        + tại t=1/17 có biên độ cỡ 5\cdot 10^{-1}

        truyen nhiet

        + tại t=1 có biên độ cỡ 5\cdot 10^{-8}

        truyen nhiet

      • Trạng thái ban đầu của dao động không âm, nhiệt độ ban đầu không âm:

        – truyền nhiệt: khi t> 0 nhiệt độ không âm, đặc biệt nếu tại thời điểm ban đầu có vị trí có nhiệt độ dương thì t> 0, 0< x < \pi ta có nhiệt độ u(x, t)> 0;

        – truyền sóng: dao động tiếp theo có những lúc và những chỗ nó âm.

        Tóm lại: truyền nhiệt có nguyên lý cực đại, truyền sóng không có.

  14. Một số bạn lên chữa bài tập:

    – chứng minh tính duy nhất nghiệm nhờ tích phân năng lượng,

    – dùng phương pháp tách biến giải bài toán biên hỗn hợp, chú ý:

    + khi bài toán thuần nhất, không phải thử, tìm nghiệm tách biến luôn,

    + khi tìm nghiệm tách biến, nói chung không dùng điều kiện ban đầu, chỉ dùng phương trình và các điều kiện biên,

    + việc lọc các hằng số C có thể không cần đến tích phân “năng lượng”.

    Có vẻ như các bạn chưa sẵn sàng làm bài tập phần tách biến?

  15. Tính toán với tích phân năng lượng tôi mới chỉ dùng tích phân từng phần. Để làm cho trường hợp tổng quát, chẳng hạn miền không gian là miền bị chặn bất kỳ ta cần đến công thức dạng DIV như sau:

    \int_\Omega div(F)(x)dx=\int_{\partial \Omega}F(x)\cdot\nu(x)dS_x

    trong đó \Omega là miền bị chặn trong \mathbb R^n, có biên \partial\Omega trơn với pháp tuyến ngoài đơn vị tại mỗi x\in\partial\Omega\nu(x)=(\nu_1(x), \dots, \nu_n(x)),

    F=(f_1, \dots, f_n):\bar{\Omega}\to\mathbb R^n là trường véc-tơ trơn,

    div(F)=\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}+\cdots+\dfrac{\partial f_n}{\partial x_n},

    F(x)\cdot\nu(x)=f_1(x)\nu_1(x)+\cdots+f_n(x)\nu_n(x).

    Các bạn tham khảo thêm bài

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2008/04/tichphannangluong.pdf

    • Công thức dạng DIV, trong trường hợp số chiều không gian n=3 chính là công thức Ostrogradski-Gauss, với chú ý tích phân mặt viết ở đây là tích phân mặt loại I.

      Trong trường hợp mặt phẳng, công thức dạng DIV là cách viết khác của công thức Green với chú ý

      nếu \nu=(\nu_1, \nu_2) là pháp tuyến ngoài đơn vị thì véc-tơ \mu=(-\nu_2, \nu_1) là tiếp tuyến độ dài đơn vị chỉ hướng phù hợp với miền, nghĩa là nếu đi dọc theo biên với hướng tiếp tuyến đó thì miền ở bên trái.

      Khi đó công thức Green

      \int_{\partial\Omega}Pdx+Qdy=\int_\Omega(Q_x-P_y)dxdy

      với hướng dương của đường \partial\Omega là hướng phù hợp với miền \Omega.

      Mối liên hệ giữa tích phân đường loại I và II cho ta

      \int_{\partial\Omega}Pdx+Qdy=\int_{\partial\Omega}(-P\nu_2+Q\nu_1)ds.

      Nếu ký hiệu trường F(x, y)=(Q(x, y), -P(x, y)) ta có công thức dạng DIV.

      • Bài 5.19, trang 128, sách Pinchover-Rubinstein, họ gợi ý dùng công thức dạng DIV trong mặt phẳng. Công thức này chỉ khác về mặt hình thức so với công thức Green đã học trong giáo trình giải tích.

  16. Em chào thầy ạ.Em là học sinh khóa 57 đã học từng được học thầy,hiện em có bài này mong thầy giúp đỡ cho em ạ.
    phương trình truyền tải khuyech tán Ut+Ux=0,05Uxx
    đk U(0,t)=U(2pi,t)=0
    U(x,0)= 0 nếu 0<=x<0,9pi
    = 0.1 nếu 0,9pi<=x<=1,1pi
    =0 nếu 1,1pi<x<=2pi
    em giải bài toán này bằng pp biến đổi fourier, em đưa ra nghiệm tổng quát của nó dạng
    U(x,t)=∑ u(t)exp(ikx) sau đó dựa vào đk ban đầu tìm ra nghiệm.
    trong đó U(t) tìm được bằng cách giải pt vi phân cấp 1.
    Em thắc mắc ở đây là đk ban đầu chia ra 3 khoảng,em đã làm nhưng nghiệm dài(có thể sai )nên em ko tiện gõ,nếu có thể thầy có thể cho em kết quả bài toán này được ko ạ.
    em cảm ơn!

    • Lấy nghiệm em viết thay vào phương trình rồi đồng nhất hệ số ta được

      u'(t)+[ik + k^2]u(t)=0.

      Khi đó u(t) có giá trị phức?

      Tôi nghĩ em dùng tách biến để nhìn ra chuỗi nghiệm hợp lý. Cụ thể tìm nghiệm dạng U=XT thỏa mãn

      U_t+U_x=0,05 U_{xx}

      U(0, t)=U(2\pi, t)=0.

      Đặt K=0, 05. Giải ra ta được

      U_n(x, t)=e^{-\frac{1+n^2K^2}{4K}t}e^{-\frac{x}{2K}}\sin(\frac{n}{2}x), n=1, 2, \dots.

      Chuỗi nghiệm

      U(x, t)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_ne^{-\frac{1+n^2K^2}{4K}t}e^{-\frac{x}{2K}}\sin(\frac{n}{2}x)

      với các hệ số

      a_n=\dfrac{1}{A_n}\int_0^{2\pi}U(x, 0) e^{-\frac{x}{2K}}\sin(\frac{n}{2}x)dx=\dfrac{1}{A_n}\int_{0.9\pi}^{1.1\pi}0.1 e^{-\frac{x}{2K}}\sin(\frac{n}{2}x)dx

      còn

      A_n=\int_0^{2\pi} e^{-\frac{x}{K}}\sin^2(\frac{n}{2}x)dx.

      Tính toán cụ thể em tự làm nhé.

  17. Cuối giờ hôm nay tôi có chữa một số bài có điều kiện biên:

    – điều kiện biên “tuần hoàn” u(0)=u(2\pi), u'(0)=u'(2\pi),

    – điều kiện biên Robin u'(-\pi)=u(-\pi), u'(\pi)=-u'(\pi).

    Quá trình lọc và tìm nghiệm tách biến của các bài này khác khá nhiều so với trường hợp tôi đã dạy và chữa bài tập.

    Nói thêm về điều kiện Robin có ý nghĩa vật lý: tại hai đầu có hiện tượng trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài tại nhiệt độ 0, với hệ số 1. Các bạn có thể tham khảo thêm các ý nghĩa kiểu này trong bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2010/02/21/y-nghia-cac-di%E1%BB%81u-ki%E1%BB%87n-trong-bai-toan-bien/

  18. Bài tập lần 1, một số nhóm không viết địa chỉ đầy đủ của bài tập: bài số mấy, trang bao nhiêu, trong sách nào? Lần đầu tôi vẫn chấm. Sang lần 2 tôi sẽ không chấm các bài không có địa chỉ rõ ràng, nói cách khác những bài như vậy sẽ được 0 điểm.

    Sáng nay, một bạn lên chữa bài 17, trang 109 trong sách M. Pinsky. Tôi chữa nhưng chưa được. Bài này liên quan đến bài 12-18 cũng trang 109, sách M. Pinsky. Đặc biệt bài 12 và 13 cho ta gợi ý cách tìm nghiệm tách biến của bài 17 dạng

    e^{i k z+ \omega t },

    giống như việc tìm nghiệm tôi trình bày tiết đầu.

    Sự khác nhau nằm ở tính bị chặn ở vô cùng:

    +) Trong bài giảng: -\infty< z< +\infty, t> 0 ta cần kiểm soát tính bị chặn

    – khi z\to-\inftyz\to+\infty cần k là số thực,

    – khi t\to+\infty cần \omega>0;

    ta có nghiệm tách biến cho phương trình u_t=c^2u_{xx}

    u_k(z, t)=e^{ikz}e^{-c^2k^2t}, k\in\mathbb R.

    +) Trong bài 12: 0\le z\le L, -\infty< t < +\infty ta cần kiểm soát tính bị chặn

    – khi t\to -\inftyt\to +\infty nên \omega=a e^{\pm i\pi /2}, a\ge 0

    ta có nghiệm tách biến cho phương trình u_t=c^2u_{xx}

    \omega=a e^{\pm i\pi/2}, k=\pm \sqrt{a/c^2} e^{\mp i \pi/4}

    nên

    u_a(z, t)= e^{i\left(a t\pm z\sqrt{a/(2c^2)}\right)}e^{\pm z\sqrt{a/(2c^2)}}, a\ge 0,

    hay

    u_a(z, t)= e^{-i\left(a t\pm z\sqrt{a/(2c^2)}\right)}e^{\pm z\sqrt{a/(2c^2)}}, a\ge 0.

    Lọc lấy phần thực ta được kết quả như bài 13, với K=c^2.

    +) Trong bài 17: z> 0, -\infty < t < +\infty, tương tự bài 12, với việc kiểm soát thêm

    z\to +\infty cần Im(k)<0, nghĩa là ta chỉ còn

    u_a(z, t)= e^{\pm i\left(a t-z\sqrt{a/(2c^2)}\right)}e^{-z\sqrt{a/(2c^2)}}, a\ge 0.

    Tiếp tục lọc lấy phần thực

    u_a(z, t)= e^{-z\sqrt{a/(2c^2)}} (C_a\cos(at-z\sqrt{a/(2c^2)})+D_a\sin(at-z\sqrt{a/(2c^2)})),

    a\ge 0.

    Nghiệm của phương trình bài 17

    u(z, t)=\int_0^\infty u_a(z, t)da.

    Thay vào điều kiện ban đầu, "đồng nhất hệ số" ta có

    a=\beta,

    .v.v.v;

    Bài 16, 18 làm tương tự bài 17.

    • Bài 15, trang 109, sách Pinsky, nói về ý nghĩa của việc xét bài toán

      u_t=Ku_{zz}, z> 0, -\infty< t< +\infty,

      u(0, t)=\varphi(t)

      mô tả quá trình biến đổi nhiệt độ của Trái Đất tuần hoàn theo thời gian, với

      u(z, t) là nhiệt độ vào thời điểm t, ở độ sâu z so với mặt đất.

      Các bạn xem chi tiết trang 105.

    • Thưa thầy, cho em hỏi: Với bài 17 ở trên, đã biết nghiệm có dạng e^{ikz+\omega t}. Còn nếu không biết dạng nghiệm, ví dụ bài 10/102 sách Pinsky, thì có phải là: đầu tiên, tìm nghiệm tách biến phức U=X(x).T(t), rồi từ việc U bị chặn suy ra cả X và T bị chặn rồi tìm dạng của X,T. Cuối cùng dùng đk để bài để đồng nhất hệ số. Cho em hỏi công thức nghiệm của ptvp cấp 2: T^{''}+aT^{'}+bT=0 là gì? (ở đó, a, b là các số phức).

      • Bài 10/108 trong Pinsky vẫn dùng dạng

        e^{ikz+\omega t}.

        Cách làm tìm nghiệm tách biến cũng sẽ dẫn đến đấy.

        Vấn đề ở đây T(t) có giá trị thực hay phức?

  19. Một số hình ảnh bài 3, mục 3.7. Exercises, trang 162, sách Asmar:

    Màng rung tại các thời điểm, vẽ theo chuỗi nghiệm

    + thời điểm ban đầu:

    BT PTĐHR K58A1T

    + thời điểm t=1

    BT PTĐHR K58A1T

    + thời điểm t=2

    BT PTĐHR K58A1T

  20. Sáng nay tôi có cho chữa các bài tập lần 1. Tuần tới ta tiếp tục chữa các bài tập nhóm lần 1 và 2. Các nhóm nhớ mang bài tập nhóm lần 1 đã được chữa.

    Về việc kiểm tra giữa kỳ, lớp trưởng có nói với tôi:

    – thời gian, sáng thứ Hai tuần thứ 10, 04/04/2016,

    – lớp chia thành hai nhóm theo danh sách từ trên xuống:

    + nhóm 1, ba mươi mốt bạn đầu tiên, thi từ 7h00 đến 7h50,

    + nhóm 2, ba mươi mốt bạn tiếp theo, thi từ 8h00 đến 8h50.

    Chú ý trừ hai bạn lớp TN. Hai bạn này sẽ thi vấn đáp vào tiết 3 cùng ngày.

    Nội dung thi:

    – lớp K58A1T:

    + phương pháp đặc trưng: xác định dạng, chuyển về dạng chính tắc, tìm nghiệm tổng quát, .v.v., và dùng công thức D’Alembert;

    + phương pháp tách biến giải các bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng, truyền nhiệt.

    – hai bạn lớp TN: ngoài các nội dung trên còn thêm

    + phương trình cấp 1 (xem trong giáo trình Bernard),

    + dùng biến đổi Fourier tìm nghiệm (xem trong sách Guenther-Lee).

  21. Một bạn hỏi tôi về relaxation time của nghiệm của phương trình truyền nhiệt, được định nghĩa ở trang 124, sách Pinsky:

    \tau=-\lim\limits_{t\to\infty}\dfrac{1}{t}\ln|u(z, t)-U(z)|,

    trong đó U(z) là nghiệm dừng.

    Bạn khác hỏi tôi về bài 6, trang 133, sách Pinsky:

    Bài toán mô tả quá trình truyền nhiệt trong một tấm vô hạn có bề dày trong 0< z< L, có nguồn nhiệt tại đầu z=0, tỷ lệ thuận với khoảng cách đến nguồn, nghĩa là có phương trình

    u_t=Ku_{zz}+az, 0< z< L.

    Có nhiệt độ ở hai đầu luôn bằng 0, nghĩa là

    u(0, t)=u(L, t)=0.

    Viết bài toán, yêu cầu câu (a), chính là việc làm ở trên.

    Câu b yêu cầu tìm: nghiệm dừng, nghiệm và relaxation time.

  22. Một bạn khác hỏi tôi về “node lines=nodes” trong phương trình truyền sóng: nó là tập các điểm làm cho nghiệm bằng 0, hay là tập các không điểm của nghiệm. Nó cho ta tập các điểm không dao động so với trạng thái cân bằng của màng rung hay dây rung. Các bạn xem thêm trang 160, sách Pinsky. Ví dụ

    u_{1, 2}(x, y, t)=\sin(\pi x/L_1)\sin(2\pi y/L_2)T_{mn}(t)

    trong 0< x<  L_1, 0< y< L_2, t> 0.

    Đường nodes là đường

    u_{1, 2}(x, y, t)=0, \forall t> 0

    nghĩa là

    \sin(\pi x/L_1)\sin(2\pi y/L_2)=0, 0< x< L_1, 0< y< L_2.

    Chú ý không tính biên nên đường node

    y=L_2/2, 0< x< L_1.

  23. Một bạn lên chữa bài 2, đề giữa kỳ lớp K56 MAT2, nhóm 1:

    \omega(x, t)=(F(x-2t)+G(x+2t))/2

    với

    sóng tiến F(x)=\begin{cases}(3\cos x + x -3)/2 \; khi \; x\ge 0,\\ (-\cos x+x+1)/2 \; khi \; x< 0,\end{cases}

    sóng lùi G(x)=\begin{cases}(\cos x + x -1)/2 \; khi \; x\ge 0,\\ (-3\cos x+x+3)/2 \; khi \; x< 0.\end{cases}

    Hình ảnh

    BT PTĐHR K58A1T

    Nhận xét:

    nghiệm u(x, k\pi)

    +) là đoạn thẳng xuất phát từ 0 khi 0\le x\le 2k\pi,

    +) có dáng điệu hàm cosine xung quanh tia, tiếp tục từ trước, khi x\ge 2k\pi.

    • Một vài câu hỏi:

      – Có thời điểm t> 0 nào sợi dây ở trạng thái cân bằng, nghĩa là u(\cdot, t)=0 hay không?

      – Với mỗi thời điểm t> 0 sợi dây có bao nhiêu điểm gãy, nghĩa là u(x, t) có những điểm nào không khả vi?

      – Sau bao lâu sợi dây quay lại trạng thái ban đầu, hay nghiệm u(x, t) tuần hoàn chu kỳ bao nhiêu theo thời gian?

    • Chú ý sóng tiến, sóng lùi đều là đa thức bậc 2, vì nó chứa nguyên hàm G. Tuy nhiên sóng u(x, t) chỉ gồm các đoạn thẳng. Tại sao?

  24. Hôm qua khi trình bày nguyên lý cực đại tôi có nói về điều kiện đạt cực đại tại điểm trong của hàm f:(a, b)\to\mathbb R đủ tốt:

    – Theo Fermat: những điểm hàm đạt cực trị địa phương đều là điểm dừng, nghĩa là không điểm của f'(x).

    – Tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở đó ta sẽ không biết điểm đó là: cực đại, cực tiểu hay điểm uốn. Ta cần đến đạo hàm cấp hai tại đó.

    + Nếu tại đó đạo hàm cấp hai dương thì nó là điểm cực tiểu.

    + Nếu tại đó đạo hàm cấp hai âm thì nó là điểm cực đại.

    + Còn nếu bằng 0 ta chưa nói được gì.

    Vậy tại điểm đang xét hàm đạt cực đại địa phương thì

    + ngoài chuyện có đạo hàm tại đó bằng 0, đạo hàm cấp hai tại đó có biểu hiện gì?

    Nó không thể dương vì như vậy điểm đang xét sẽ là điểm cực tiểu. Vậy đạo hàm cấp hai tại đó phải không dương!

    Ta đã dùng điều này để chỉ ra nguyên lý cực đại của hàm điều hòa hai biến. Tuy nhiên ta có thể dùng các kết quả về hàm hai biến f:\Omega\to\mathbb R, \Omega là tập mở trong $\mathbb R^2$:

    – Điểm cực trị của hàm hai biến trước hết là điểm dừng, nghĩa là không điểm của đạo ánh \nabla f(x)=0.

    – Khi đó xét ma trận Hessian \nabla^2f(x)=\{\partial^2_{x_ix_j}f(x)\}_{1\le i, j\le 2}.

    + Nếu ma trân Hessian \nabla^2f tại đó xác định dương, nghĩa là

    hai giá trị riêng của nó đều dương, một cách tương đương:

    số hạng góc trái trên dương + định thức của nó dương

    thì điểm đang xét là điểm cực tiểu.

    + Nếu ma trân Hessian \nabla^2f tại đó xác định âm, nghĩa là

    hai giá trị riêng của nó đều âm, một cách tương đương:

    số hạng góc trái trên âm + định thức của nó dương

    thì điểm đang xét là điểm cực đại.

    + Nếu ma trân Hessian \nabla^2f tại đó đổi dấu, nghĩa là

    hai giá trị riêng của nó trái dấu, một cách tương đương:

    định thức của nó âm

    thì điểm đang xét là điểm yên ngựa.

    + Nếu định thức của ma trận Hessian bằng 0 thì không nói được gì.

    Như vậy nếu hàm f đạt cực đại địa phương tại (x_0, y_0) thì ngoài chuyện

    \nabla f(x_0, y_0)=0

    thì ma trận Hessian \nabla^2f(x_0, y_0)

    hoặc xác định âm,

    hoặc có định thức bằng 0.

    Tuy nhiên trong trường hợp định thức bằng 0, ta vẫn còn có thể phân tích thêm. Cụ thể nếu f đạt cực đại địa phương tại (x_0, y_0) mà định thức của ma trận Hessian tại đó bằng 0 thì số hạng ở góc trái trên không dương. Khi đó hai giá trị riêng của ma trận Hessian đều không dương.

    Như vậy nếu (x_0, y_0) là điểm cực đại địa phương thì ma trận Hessian tại đó có các giá trị riêng đều không dương. Ma trận như vậy được gọi là ma trận nửa xác định âm.

    Các bạn xem thêm

    http://calculus.subwiki.org/wiki/Second_derivative_test_for_a_function_of_two_variables

    Khi đó, như ta biết vết của ma trận nửa xác định âm là không âm ta lại dẫn đến tính chất dùng trong chứng minh nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa.

    Tuy nhiên lập luận dài dòng như này được gì?

    Những lập luận này có ích khi ta nghiên cứu nguyên lý cực đại cho nghiệm của phương trình elliptic

    \sum\limits_{i, j=1}^n a_{ij}(x)u_{x_ix_j}+\sum\limits_{i=1}^n b_i(x)u_{x_i}=0

    trong đó ma trận \{a_{ij}(x)\}_{1\le i, j\le n} đối xứng, xác định dương.

    Các bạn thử xem tình huống tổng quát này như nào?

  25. Sáng nay khi chữa bài tập có hai vấn đề:

    – công thức dạng DIV là công cụ sử dụng khá nhiều trong các bài giảng tới,

    – việc kiểm tra nghiệm tìm được có cổ điển hay không đôi khi ta xem các điều kiện đã cho cũng như phương trình có tương thích với nhau không, nói cách khác có chỗ nào các điều kiện chồng chéo lên nhau dẫn đến việc nếu thỏa mãn cái này thì không thể thỏa mãn cái kia không?

  26. Sáng nay tôi có trình bày về nguyên lý cực đại yếu cho phương trình truyền nhiệt trong miền không gian bị chặn, chẳng hạn trong đoạn hữu hạn [0, L]. Sau đó tôi có sử dụng để chứng minh tính cổ điển của nghiệm tìm được của bài toán biên hỗn hợp

    \begin{cases}u_t-u_{xx}& =0 \; khi \; 0< x< L, t> 0,\\ u(0, t)=u(L, t)& =0 \; khi \; t\ge 0,\\ u(x, 0)&=f(x) \; khi \; 0\le x\le L, \end{cases}

    bằng phương pháp tách biến khi điều kiện ban đầu đủ tốt, chẳng hạn có bạn nói

    f\in C^1[0, L]f(0)=f(L)=0.

    Quá trình chứng minh được tách thành hai phần:

    + B1: chứng minh u\in C^\infty([0, L]\times(0, \infty));

    + B2: chứng minh u\in C([0, L]\times[0, T]), T>0 hữu hạn.

    Bước 2 có dùng đến nguyên lý cực đại.

    Các bạn tham khảo thêm Corollary 7.18, trang 185, sách Rubinstein-Pinchover.

    • Bài 7.17, 7.21 trang 206, sách Rubinstein-Pinchover có yêu cầu sử dụng nguyên lý cực đại cho phương trình truyền nhiệt. Các bạn thử làm xem sao?

    • Chú ý B2 và B1 không bao trùm nhau:

      – ở B1 có thể hiểu thấp không thông, còn B2 có thể hiểu cao không tới,

      – điểm nữa ở B2 cho ta thấy nghiệm liên tục đến điều kiện ban đầu, ta không biết nó có trơn đến điều kiện ban đầu không; còn B1 cho thấy cứ rời khỏi thời điểm ban đầu nghiệm lập tức trơn, cho dù điều kiện ban đầu có thể chỉ liên tục, hay chỉ thuộc L^2(0, L).

  27. Tôi có gọi một bạn lên chữa bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt có điều kiện Robin

    w_t-4w_{xx}=0, 0< x< 3, t> 0,

    với điều kiện biên

    w(0, t)=-w'(0, t), w(3, t)=0.

    Trong lời giải ta gặp hai phương trình

    +) e^{3k}(1-k)-e^{-3k}(1+k)=0 có nghiệm duy nhất trong (0, \infty);

    BT PTĐHR K58A1T

    +) \tan(3k)=k có vô số nghiệm trong (0, \infty).

    BT PTĐHR K58A1T

  28. Một vài điểm về ý nghĩa vật lý của các yếu tố trong bài toán của phương trình truyền nhiệt

    u_t - Ku_{xx}=f,\; 0< x < L

    u(0, t)=\mu(t), \; u_x(L, t)=\nu(t)

    u(x, 0)=g(x)

    như sau:

    f(x, t): tốc độ phát sinh nhiệt bên trong (heat generated at a rate f(x, t) within the rod)

    K: hệ số khuếch tán (thermal conductivity, thermal diffusivity),

    \mu(t): nhiệt độ tại đầu x=0,

    \nu(t): lưu lượng nhiệt trao đổi với môi trường tại đầu x=L (the heat flux
    across the boundary is given; therefore by Fourier’s law the appropriate bound-
    ary condition is of the type \nabla u . n = a, a given function on the boundary),

    g(x): nhiệt độ ban đầu.

    Về điều kiện Robin

    u_x(0, t)=h(u(0, t)-T), nghĩa là tại đầu x=0 có hiện tượng trao đổi nhiệt với môi trường tại nhiệt độ T với hệ số h > 0;

    u_x(L, t)=-h(u(L, t)-T), nghĩa là tại đầu x=L có hiện tượng trao đổi nhiệt với môi trường tại nhiệt độ T với hệ số h> 0 (heat is lost from the right-hand end of the rod by being in contact with a medium, such as air or water, that is held at a constant temperature).

    Hai đầu có sự đảo dấu vì hướng của dòng nhiệt vào thanh ngược nhau.

    Thông tin trên được lấy từ

    – cuốn “PDEs and BVPs, 3rd” của M. Pinsky, trang 99-101,

    – cuốn “DEs with BVPs, 8th” của D. G. Zill & W. S. Wright, trang 461-465, 479.

  29. Hôm qua tôi có nhờ một bạn nhóm 4 lên chữa bài 1, đề giữa kỳ số 8, lớp K56 Toán Tin (MAT2024 1)

    3u_{xx}+2u_{xy}-5u_{yy}+u_x-u_y=0

    + có phương trình đặc trưng

    3(dy)^2-2dxdy-5(dx)^2=(3dy-5dx)(dy+dx)=0

    có biệt thức \Delta'=16>0 nên phương trình đang xét loại hyperbolic;

    + có nghiệm 3dy-5dx=0, dy+dx=0 hay

    3y-5x=C, y+x=C là các đường đặc trưng của phương trình;

    + đổi biến \xi=3y-5x, \eta=y+x có dạng chính tắc

    8v_{\xi\eta}+v_\xi=0;

    + nghiệm tổng quát

    v(\xi, \eta)=G(\xi)e^{-\eta/8}+F(\eta)

    hay

    u(x, y)=G(3y-5x)e^{-(x+y)/8}+F(x+y);

    + thay vào điều kiện

    G(-8x)+F(0)=8/3 \cos x, \; 3G'(-8x) -1/8 G(-8x) +F'(0)=8\sin x +C \cos x.

    3G'(-8x)=\sin x nên

    \sin x - \cos x +1/8 F(0)+F'(0)=8\sin x +C \cos x.

    Từ đây dẫn đến không có C nào để bài toán có nghiệm.

    • Bài tiếp theo, bài 10 trang 124, sách Asmar:

      In exercises 1-10, (a) solve the boundary value problem (1)-(3) for a string of unit length, subject to the given conditions.

      (b) Illustrate the motion of the string by plotting a partial sum of your series solution at various value of t. To decide how many terms to include in your partial sum, compare the graph at t=0 and the graph of f(x). The graphs should match when you have enough terms in your partial sum.

      Tạm dịch:

      Từ bài 1 đến bài 10, (a) giải bài toán biên (1)-(3) cho một sợi dây chiều dài đơn vị (L=1), với điều kiện được cho ở từng bài.

      (b) Vẽ tổng riêng của chuỗi nghiệm tại một vài thời điểm t. Việc lấy bao nhiêu số hạng nhờ việc so sánh đồ thị của tổng riêng đó tại t=0 với đồ thị của f. Các đồ thị của tổng riêng tại các thời điểm sẽ khớp với đồ thị của nghiệm đúng khi bạn sử dụng đủ số hạng trong tổng riêng.

      Câu (b) có ý quan trọng: tính ổn định, trong khoảng thời gian hữu hạn của bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng. Khi lấy tổng riêng ta làm sai lệch điều kiện ban đầu, điều kiện biên giữ nguyên. Sự sai lệch của tổng riêng và nghiệm đùng tại vài thời điểm không lớn lên nhiều so với thời điểm ban đầu.

      • Chuỗi nghiệm của bài 10

        u(x, t)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(n\pi t)\sin(n\pi x)

        với

        a_n=2\int_0^1 f(x)\sin(n\pi x)dx=

        =\dfrac{1}{n^2\pi^2}\Big( 8\sin(n\pi/4) -2n\pi \cos(n\pi/4)+

        + 4\cos(n\pi/2)\big(n\pi\cos(n\pi/4) -4\sin(n\pi/4)\big)-

        - 8\sin(3n\pi/4) - 2n\pi\cos(3n\pi/4)\Big).

        Do đó

        a_n=0 khi n lẻ hoặc n=4k,

        a_{4k+2}=\dfrac{32\cdot(-1)^k}{n^2\pi^2}.

        Chuỗi nghiệm

        u(x, t)=\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{8\cdot(-1)^k}{\pi^2(2k+1)^2}\cos((4k+2)\pi t)\sin((4k+2)\pi x).

        Một bạn có hỏi về giới hạn

        \lim\limits_{t\to\infty} u(x, t)?

        Hôm qua tôi có nghĩ

        \lim\limits_{t\to\infty}u(1/2, t)=0

        và không tồn tại giới hạn

        \lim\limits_{t\to\infty} u(1/4, t).

        Câu hỏi: Những thời điểm t nào sợi dây ở vị trí cân bằng?

        Nghiệm u(x, t) tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ cơ sở là bao nhiêu?

        Những điểm x nào thì có giới hạn

        \lim\limits_{t\to\infty} u(x, t?

      • Vẽ đồ thị:

        Chọn số số hạng:

        lấy 10 số hạng đầu, so sánh tổng riêng (đường xanh) xấp xỉ trạng thái ban đầu (đường đỏ):

        BT PTĐHR K58A1T

        Vẽ chuỗi nghiệm với 10 số hạng đầu tại các thời điểm

        t=0, 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8, 1:

        BT PTĐHR K58A1T

        Hình ảnh 3D của sóng

        BT PTĐHR K58A1T

        Nhìn thấy:

        + tại các điểm (1/4, 1/2), (3/4, 1/2) nghiệm không có đạo hàm riêng theo x cũng như theo t,

        + tại các điểm (1/2, 1/4), (1/2, 3/4) nghiệm có đạo hàm riêng đến cấp 2 theo cả x, cũng như đạo hàm riêng đến cấp 2 theo t, chúng đều bằng 0, tuy nhiên nghiệm không khả vi tại những điểm đó.

      • Vẽ bằng Maple:

        > f := piecewise(0 < x and x < 1/4, 4*x, 1/4 < x and x < 3/4, 4*(1/2-x), 3/4 < x and x < 1, 4*(x-1))

        > g := proc (x, t) options operator, arrow; sum(8*(-1)^k*cos((4*k+2)*Pi*t)*sin((4*k+2)*Pi*x)/(Pi^2*(2*k+1)^2), k = 0 .. 10) end proc;

        > plot([f(x), g(x, 0)], x = 0 .. 1, color = [red, green], thickness = [5, 2]);

        > plot([g(x, 0), g(x, 1/8)+2, g(x, 1/4)+4, g(x, 3/8)+6, g(x, 1/2)+8, g(x, 5/8)+10, g(x, 3/4)+12, g(x, 7/8)+14, g(x, 1)+16], x = 0 .. 1, thickness = 5)

        > plot3d(g(x, t), x = 0 .. 1, t = 0 .. 1)

        Nếu các bạn muốn thấy dao động của sợi dây ở trạng thái động, dùng

        > plots[animate](plot, [g(x, A), x = 0 .. 1], A = 0 .. 2)

        Nhấn chuột vào hình vẽ, sẽ thấy Animation sáng. Nháy vào Animation rồi nhấn Play sẽ thấy dao động.

        Hoặc nhấn chuột phải vào hình, chọn đến Animation, rồi Play.

        BT PTĐHR K58A1T

        Các bạn có thể nhìn thấy

        BT PTĐHR K58A1T

  30. Thầy ơi, em muốn hỏi trong giải PDE mình có định lí hay lí thuyết nào nói đến sự tồn tại và duy nhất ngiệm địa phương hay toàn cục không ạ? như vậy mình có thể nhìn tổng quan hơn trước khi giải, giống như ở ODE mình cần hàm f liên tục và liên tục Lipschitz đấy ạ.Vì em thấy hầu hết các bài mình làm đều là well-postsed, vậy nếu mình gặp các bài ill- posted thì thế nào ạ

    • Khi trình bày các bài toán trong PDEs:

      – bài toán biên cho phương trình Laplace,

      – bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt trong một đoạn

      các bước làm:

      – xây dựng nghiệm cụ thể, còn gọi là bước chỉ ra sự tồn tại nghiệm,

      – chứng minh tính duy nhất nghiệm, bằng tích phân năng lượng,

      – dùng nguyên lý cực đại (trừ phương trình truyền sóng) chỉ ra tính duy nhất nghiệm cũng như tính ổn định.

      Việc chứng minh tính đặt chỉnh, hay well-posed, được làm cho các bài toán cụ thể theo nghĩa miền cụ thể. Cái nhìn tổng quan ngay từ đầu với PDEs hoàn toàn không dễ. Nhất là việc chỉ ra sự tồn tại nghiệm, chẳng hạn như bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace trên miền bị chặn bất kỳ việc chỉ ra nghiệm bằng phương pháp Perron là một chứng minh dài và rất khó. Với bài toán giá trị ban đầu cho phương trình truyền nhiệt trên toàn không gian cũng không dễ, còn với bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt trong miền bị chặn lại cực kỳ khó.

      Cũng cần nói thêm, với phương trình parabolic hay hyperbolic, có các bài tập chỉ ra sự không đặt chỉnh, ill-posed của bài toán cụ thể, chẳng hạn:

      – phương trình parabolic có một điều kiện đặt trên đường đặc trưng,

      – phương trình hyperbolic có hai điều kiện đặt trên cùng một đường đặc trưng.

      Tóm lại so với ODEs, PDEs đa dạng hơn nên việc có đủ khả năng nhìn tổng quan PDEs hoàn toàn không dễ. Những người làm PDEs có khi cả đời chỉ giải mỗi loại phương trình, chẳng hạn như Louis Nirenberg, có thể nói không sai lắm, cả đời chỉ giải phương trình loại elliptic. Em có thể tham khảo

      https://en.wikipedia.org/wiki/Louis_Nirenberg

      Có thể nói vui, người làm PDEs thường đi từ những thứ nhỏ nhặt, chứ không đi từ cái nhìn tổng quan. Nói cách khác

      “Thấp có thông, may ra cao mới tới”!

      Em tên là Thu hay Thới.

      Một điều nhỏ: người làm PDEs, như tôi chẳng hạn quen cụ thể hơn nên thường thích chính danh ngôn thuận!

      • Một trong những điều nhỏ nhặt, phương trình Fisher do Ronald Fisher một người làm về thống kê và sinh học đưa ra 1937. Không rõ nó hấp dẫn đến mức nào mà các nhà toán học như Kolmogorov, Petrovsky, Piscounov cùng nhau tìm hiểu. Và họ thử đi tìm một loại nghiệm được gọi là nghiệm sóng chạy, travelling wave, chứ họ chưa đi vào việc tìm hiểu cái gì khác như Định lý tồn tại duy nhất nghiệm một cách tổng quát. Các bạn tham khảo

        https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher%27s_equation

  31. Hôm nay, tôi trình nốt phần nguyên lý cực đại cho phương trình truyền nhiệt. Các bạn muốn tìm hiểu thêm về phương trình truyền nhiệt có thể tham khảo thêm

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2016/03/baigiangptdhr.pdf

    Dự định phần thời gian còn lại tôi trình bày:

    – hàm điều hòa,

    – phương trình truyền sóng trong mặt phẳng và trong không gian.

    Về hàm điều hòa tôi dựa vào bài viết (tôi viết năm 2006):

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2015/11/ptell.pdf

    Các bạn tham khảo thêm

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2016/03/baigiangptdhr_l.pdf

    Về phương trình truyền sóng các bạn tham khảo thêm

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2016/03/baigiangptdhr_w.pdf

    Giáo trình của thầy Nguyễn Thừa Hợp cũng là tài liệu tốt cho các phần trên.

    • Trong bài giảng hôm nay tôi có tính \nabla u, \nabla^2 u khi đổi biến tuyến tính

      y=Ax, A là ma trận vuông cấp n khả nghịch

      sang v(y)=u(A^{-1}y).

      Có, theo công thức đạo hàm hàm hợp

      \nabla_x u=(u_{x_1}, \cdots, u_{x_n})=(v_{y_1}, \cdots, v_{y_n})A (tôi viết trên lớp bị ngược).

      Trên lớp tôi mắc \nabla_x^2u=\nabla_x (u_{x_1}, \cdots, u_{x_n})^T!

      Ta tiếp tục dùng công thức đạo hàm hàm hợp

      \nabla^2_x u= A^T \nabla^2_y v A. (Tôi có viết nhưng chưa đưa chứng minh chính xác trên lớp.)

      Như ta biết phép lấy vết của ma trận vuông có tính giao hoán, nghĩa là

      Tr(AB)=Tr(BA)

      nên

      \Delta_x u =Tr(\nabla^2_x u)=Tr(A^TA\nabla^2_yv).

      Nếu A là ma trận trực giao, nghĩa là A^TA=AA^T=Id ma trận vuông đơn vị, thì

      \Delta_xu=\Delta_y v.

      Như vậy phương trình Laplace bất biến qua phép biến đổi trực giao.

    • Trong phần bài giảng phương trình truyền nhiệt, tôi có trình bày ví dụ của Tikhonov. Ví dụ này cho thấy, nếu không đặt tính bị chặn của nghiệm:

      – bài toán giá trị ban đầu có thể có nhiều nghiệm,

      – bài toán với giá trị ban đầu bằng 0 có nghiệm không tầm thường,

      – không có nguyên lý cực đại, không có tính ổn định.

      Có thể nới rộng điều kiện bị chặn bởi điều kiện về độ tăng, nhưng không thể bỏ hẳn nó đi được.

  32. Pingback: Đổi biến – Tích phân dẫn đến phương trình vi phân | Giải tích

  33. Thầy ơi em muốn hỏi về bài 14 trang 224 sách N.H. Asmar có đề bài như sau: Solve Laplace’s equation in the wedge 0<r<1, 0<θ<π/2 , subject to the boundary u=0 when θ=0,u=0 ; when θ= π/2 and ∂u/∂r (θ,1)=θ. Trong đề bài em thấy bị sai ở điều kiện ∂u/∂r (θ,1)=θ nếu ta thay bằng ∂u/∂r (1,θ)=θ thì mới giải được bình thường.
    Em cảm ơn thầy!

  34. Hôm nay, 11/04/2016, khi chứng minh hàm liên tục u\in C(\Omega) có tính chất trung bình cầu là hàm điều hòa tôi có đưa ra hàm

    u_r(x)=r^{-n}\int_{\Omega}\rho\left(\dfrac{|x-y|}{r}\right)u(y)dy.

    Công thức này có thể lấy r> 0 bất kỳ. Để có

    u_r(x)=u(x)

    ta cần r nhỏ để B_r(x)\subset\Omega. Như vậy có vẻ như r phụ thuộc x. Khi đó các bước chứng minh tính khả vi vô hạn không còn dễ nữa? Ta cần xử lý chỗ này như nào?

    Có thể nói những chỗ như này là đặc tính của giải tích!

    Tôi nói qua về điểm giữa kỳ:

    – Nguyễn Hoàng Linh được 9,5, đề 3.

    – Hoàng Thị Phương Giang, 10,5, đề 2.

    – Nguyễn Xuân Bách, 12,0, đề 2.

  35. trong khi em giải bài 5c trang 273 sách David.L.Powers dẫn đến bài toán giải tích phân Fourier, mà trên lớp chưa được học. Thầy xem giúp em! Bọn em không giải được

    • Bài 5 này có thể làm như sau:

      -B1: thiết lập công thức nghiệm cho phương trình và các điều kiện thuần nhất bằng phương pháp tách biến với chú ý nghiệm bị chặn khi y\to +\infty. Chẳng hạn câu 5c ta tìm được nghiệm tách biến

      u_k(x, y)=sh(kx)\cos(ky), k\ge 0,

      nên có công thức nghiệm cho

      PT Laplace: u_{xx}+u_{yy}=0, 0< x< \pi, y> 0,

      và các điều kiện thuần nhất: u(0, y)=0, u_y(x, 0)=0

      được cho bởi tích phân

      u(x, y)=\int_0^\infty a(k)sh(kx)\cos(ky)dk.

      Khác so với bài toán biên trong hình vuông có “phổ rời rạc” thể hiện qua chuỗi nghiệm, bài toán biên này có “phổ liên tục” thể hiện qua nghiệm tích phân.

      – B2: dùng điều kiện còn lại để tính hệ số, cụ thể trong câu 5c ta còn phải tính a(k) từ điều kiện u(\pi, y)=f(y). Ta có

      f(y)=\int_0^\infty a(k)sh(k\pi)\cos(ky)dk

      nên

      a(k)=\dfrac{2}{sh(k\pi)\pi}\int_0^\infty f(y)\cos(ky)dy.

      Đến đây em thay f(y) cụ thể rồi tính tích phân.

      Em có thể tham khảo lý do có công thức trên trong bài

      https://bomongiaitich.wordpress.com/2013/04/10/tu-chuoi-fourier-den-tich-phan-fourier/

  36. Hôm nay tôi tiếp tục trình bày về hàm điều hòa. Trong khi trình bày có một số chỗ tôi dành làm bài tập:

    1. Với u(y), h(x, y) là các hàm điều hòa theo biến y trong \Omega, với mỗi x\in\Omega. Giả sử

    h(x, y)=\Gamma(x, y), x\in\Omega, y\in\partial\Omega.

    Chứng minh rằng

    \int\limits_{\partial\Omega}(u(y)\partial_{\nu_y}h(x, y)-h(x, y)\partial_{\nu_y}u(y))dS_y=0.

    2. Với x\in B_1, \bar{x} là ảnh của x qua phép đối xứng cầu qua đường tròn S_1. Tính

    |x-y|/|\bar{x}-y|, y\in S_1.

    Từ đó xác định hàm Green trong hình tròn B_1.

    3. Tìm hàm Green trong nửa hình tròn, góc phần tư hình tròn.

    4. Giống bài 2, 3 nhưng cho hình cầu.

    Phần bài tập nhóm chỉ gồm ba phần, kết thúc bằng bài tập về PT Laplace hạn nộp trong hôm nay.

    Thời gian còn lại tôi sẽ đưa ra các bài tập xen lẫn trong các bài giảng lý thuyết. Các bạn chuẩn bị bài tập cho ở trên. Ai làm tốt sẽ được tính vào điểm thường xuyên với hệ số cao.

  37. Tuần sau:

    – thứ Hai được nghỉ, thứ Bảy học bù thứ Hai,

    – thứ Năm tôi tiếp tục giảng hàm điều hòa, cụ thể phương pháp Perron,

    – thứ Bảy tôi chữa bài kiểm tra giữa kỳ.

    Tôi vừa nhận được bài chấm giữa kỳ:

    – Đề 1: cao nhất 9,0 điểm;

    – Đề 2: cao nhất 12,0 điểm,

    – Đề 3: cao nhất 9,5 điểm,

    – Đề 4: cao nhất 9,5 điểm.

  38. Thứ Bảy, ngày 23/04/2016, trường tổ chức thi đầu vào cao học nên nghỉ. Thứ Hai tuần sau tôi sẽ chữa bài kiểm tra giữa kỳ.

    Thứ Năm tuần sau tôi trả bài tập PT Laplace và chữa bài tập.

    Hôm nay tôi trình bày cơ bản xong phần hàm điều hòa. Về lý thuyết tôi còn trình bày phương trình truyền sóng trong mặt phẳng và trong không gian.

    • Một số lỗ hổng trong quá trình trình bày phương pháp Perron:

      – Hai định nghĩa về hàm dưới điều hòa là tương đương trong C^2.

      – Hàm max của một số hữu hạn các hàm dưới điều hòa là hàm dưới điều hòa.

      – Hàm dưới điều hòa sau khi thay thế giá trị trong hình cầu bởi hàm điều hòa có cùng giá trị trên mặt cầu vẫn là hàm dưới điều hòa.

      – Những miền nào có điểm trên biên không chính quy?

      – Những miền nào không có tính chất hình cầu ngoài nhưng vẫn chính quy?

      Những lỗ hổng này xem như bài tập. Ai làm được sẽ được cộng vào điểm thường xuyên.

      Sơ qua về tình hình bài tập nhóm về PT Laplace:

      – Nhóm 1: chỉ có ba bạn: Nguyễn Xuân Bách, Nguyễn Ngọc Hiếu, Dương Thùy Ly làm bài tập.

      – Nhóm 6: bạn Vũ Tuấn Anh không làm bài tập.

      – Nhóm 7: bạn Trần Thế Tài không làm bài tập. Hình như bạn Tài không làm bài tập nhóm.

      – Nhóm 8: chỉ có hai bạn Nguyễn Văn Mạnh và Trần Duy Tài làm bài tập.

      – Nhóm 9: bạn Hoàng Thị Thùy Linh không làm bài tập.

  39. Một số bài tập bổ sung về hàm điều hòa:

    1. Cho \Omega là miền trong \mathbb R^n với biên \partial\Omega trơn và u là hàm điều hòa trên \Omega thỏa mãn

    u=\partial_\nu u=0 trên mẩu mở của biên \partial \Omega.

    Chứng minh rằng u=0 trong \Omega.

    2. Chứng minh nguyên lý phản xạ Schwarz.

    3. Cho \Omega là miền trong \mathbb R^n với biên \partial\Omega trơn và u là hàm điều hòa trên \Omega. Giả sử hình cầu đóng \bar{B}_c(x_0)\subset\Omega và các số dương a< b< c thỏa mãn b^2=ac. Chứng minh rằng

    \int\limits_{|\omega|=1}u(x_0+a\omega)u(x_0+b\omega)d\omega=\int\limits_{|\omega|=1}u(x_0+b\omega)d\omega.

    Từ đó hãy chứng minh nếu u là hằng trong lân cận của x_0 thì nó là hằng trên \Omega.

    4. Cho \Omega là miền trong \mathbb R^n với biên \partial\Omega trơn và u là hàm thỏa mãn

    \Delta u=f\in C(\Omega).

    Khi đó biến đổi Kelvin của nó, xác định bởi

    v(x)=|x|^{2-n}u(x/|x|^2), x/|x|^2 \in \Omega

    thỏa mãn

    \Delta v(x)=|x|^{-n-2}f(x/|x|^2).

    5. Cho u là hàm điều hòa ngoài hình cầu \bar{B}_R\subset\mathbb R^n, liên tục đến tận biên và thỏa mãn

    u=0 trên biên \partial B_R(0).

    Giả sử

    \lim\limits_{|x|\to\infty}\dfrac{u(x)}{\ln(|x|)}=0, n=2,

    \lim\limits_{|x|\to\infty}u(x)=0, n\ge 3.

    Chứng minh rằng u=0 ngoài hình cầu B_R(0).

  40. Hôm nay, tôi nhờ một số bạn lên chữa các bài tập:

    – phương trình Poisson trong hình vuông,

    – tìm các đường đẳng nhiệt (isothermal) của hàm nhiệt độ, ở trạng thái dừng, trong hình tròn,

    – bạn Bách lên làm các bài về hàm điều hòa.

    Thứ Năm tới tôi sẽ tiếp tục chữa các bài về PT Laplace và hàm điều hòa. Các bạn muốn có điểm thường xuyên tốt nên chuẩn bị và xung phong lên bảng làm bài tập.

    Thứ Hai tuần sau:

    – tôi sẽ viết đề cương thi cuối kỳ,

    – trình bày nốt phần lý thuyết về PT truyền sóng trong mặt phẳng, trong không gian.

    • Tôi có nói trong phần chữa bài tập về toán tử Laplace trên miền cơ bản (fundamental domain). Các bạn tham khảo cuốn

      “Harmonic Analysis on Symmetric Spaces and Applications I” của Audrey Terras.

  41. Tôi có nhờ một bạn lên chữa bài 11/trang 270, sách D. L. Powers. Bài này cho ta cách mò một nghiệm của phương trình Poisson. Xét phương trình Poisson

    \Delta u=P(x, y)

    với P(x, y) là đa thức.

    Vì toán tử \Delta tuyến tính nên ta có thể tách P thành các đa thức thuần nhất. Do đó để đơn giản ta giả sử P là đa thức thuần nhất bậc m, nghĩa là nó có dạng

    P(x, y)=\sum\limits_{k=0}^m a_kx^ky^{m-k}.

    Khi đó ta mò nghiệm có dạng là đa thức thuần nhất bậc m+2

    u(x, y)=\sum\limits_{k=0}^{m+2}b_kx^ky^{m+2-k}.

  42. Một vài bạn lên chữa bài 23/trang 225, sách N. H. Asmar:

    + tìm nghiệm nghiệm dạng chuỗi của bài toán biên Dirichlet ngoài hình tròn đơn vị:

    u(r, \theta)=\dfrac{25}{2}+\dfrac{100}{\pi}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty r^{-n}\dfrac{\sin(n\theta)}{n}-\sum\limits_{n=1}^\infty r^{-n}\dfrac{\sin(n(\theta-\pi/4))}{n}\right),

    + chứng minh

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(n\theta)}{n}r^{-n}=\arctan\left(\dfrac{\sin\theta}{r-\cos\theta}\right), r> 1,

    + viết lại nghiệm dạng chuỗi:

    u(r, \theta)=\dfrac{25}{2}+\dfrac{100}{\pi}\left(\arctan\left(\dfrac{\sin\theta}{r-\cos\theta}\right)-\arctan\left(\dfrac{\sin(\theta-\pi/4)}{r-\cos(\theta-\pi/4)}\right)\right),

    + với mỗi T là hằng số, chứng minh rằng các đường đẳng nhiệt (isothermal)

    u(r, \theta)=T

    nằm trên đường tròn đi qua hai điểm (1, 0), (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}).

    • Một vài điểm lưu ý:

      – Có bạn hỏi có thể thay trực tiếp (1, 0), (1, \pi/4) được không? Trả lời: các điểm này không thuộc vào đường đẳng nhiệt. Khi thay vào ta thấy xuất hiện

      \arctan(0/0).

      – Khi T=25/2 đường tròn suy biến thành đường thẳng.

      – Ta có thể dùng công thức nghiệm Poisson

      u(x, y)=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \dfrac{(x^2+y^2-1)f(\theta)}{1-2x\cos\theta-2y\sin\theta+x^2+y^2}d\theta, x^2+y^2>1,

      với chú ý nguyên hàm

      \dfrac{1}{2\pi}\int\dfrac{x^2+y^2-1}{1-2x\cos\theta-2y\sin\theta+x^2+y^2}d\theta=

      =\dfrac{\arctan\left(\dfrac{(x+1)\sin(\theta/2)-y\cos(\theta/2)}{(x-1)\cos(\theta/2)+y\sin(\theta/2)}\right)}{\pi}+C.

  43. Sáng nay tôi kết thúc phần lý thuyết với bài giảng về phương trình truyền sóng trong mặt phẳng và trong không gian:

    + bằng phương pháp trung bình cầu tôi dẫn ra công thức nghiệm Kirchhoff cho bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng trong không gian,

    + dùng công thức Kirchhoff và phương pháp hạ thấp số chiều tôi dẫn ra công thức nghiệm Poisson cho bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng trong mặt phẳng.

    Các bạn tham khảo thêm trong sách giáo trình của thầy Hợp.

    Đầu giờ tôi đưa ra cấu trúc đề thi cuối kỳ:

    + bài tập tính toán: gồm phương pháp tách biến, sử dụng công thức nghiệm D’Alembert;

    + bài tập lý thuyết: nguyên lý cực đại, tích phân năng lượng;

    + lý thuyết: hàm điều hòa, phương trình truyền sóng trong mặt phẳng và không gian.

    Thời gian kiểm tra: 120 phút. Không được dùng tài liệu.

  44. Tôi đã hỏi cô Tú và báo cho lớp trưởng về việc chuyển buổi học hôm 25/05/2016 sang buổi thứ Tư, ngày 18/05/2016:

    – từ 8h00 đến 10h00, một trong các phòng 310, 311, 313 nhà T5.

    Nhờ lớp trưởng báo cho các bạn trong lớp.

    • Câu trả lời dựa trên khai triển hàm

      f(x)=1, 0\le x\le 1,

      thành chuỗi

      \sum\limits_{n=0}^\infty a_n\sin((n+1/2)\pi x).

      Chú ý hàm g_n(x)=\sin((n+1/2)\pi x) có tính chất:

      -) là hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ 4,

      -) g(2-x)=g(x).

      Chuỗi trên là chuỗi Fourier của hàm thác triển

      K58

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s