Trao đổi bài giảng GT2 lớp K60A3

Standard

Đề cương môn Giải tích 2 cho lớp Máy tính và Khoa học thông tin các bạn có thể lấy trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2015/01/19/trao-doi-bai-giang-mon-giai-tich-2-cho-lop-k59a3/

Có gì thắc mắc hay cần trao đổi về bài giảng các bạn có thể viết vào phần phản hồi.

45 responses »

  1. Hôm nay tôi trình bày về cơ bản gần hết phần chuỗi số. Tôi không đi vào chứng minh các tiêu chuẩn và dấu hiệu mà trình bày các tính toán cụ thể các tiêu chuẩn, dấu hiệu trên các chuỗi cụ thể như chuỗi lũy thừa, chuỗi điều hòa để thấy được việc sử dụng các tiêu chuẩn và dấu hiệu diễn ra như nào.

    Có một kết quả định tính nói về sự hội tụ hay phân kỳ không thay đổi khi ta tác động một số hữu hạn “động tác” lên chuỗi. Tuần tới tôi đề cập đến các Định lý Dirichlet cho chuỗi hội tụ tuyệt đối và Định lý Riemann cho chuỗi bán hội tụ để thấy với tác động bất kỳ thì chuỗi số thay đổi như nào?

    Cần lưu ý sự khác nhau giữa:

    việc xét sự hội tụ và việc tính một chuỗi số.

    Chẳng hạn chuỗi

    \sum_{n=1}^\infty n^{-2}.

    Các dấu hiệu và tiêu chuẩn nói chung chỉ cho ta thấy chuỗi hội tụ hay không. Muốn tính được chuỗi số ta cần đến một số kỹ năng khác.

  2. Hôm nay tôi kết thúc phần chuỗi số với các Định lý Dirichlet cho chuỗi hội tụ tuyệt đối và Định lý Riemann cho chuỗi bán hội tụ.

    Sau đó tôi trình bày gọn phần dãy hàm với các khái niệm:

    – miền hội tụ, hội tụ điểm,

    – hàm giới hạn,

    – hội tụ đều.

    Tính chất của hàm giới hạn:

    – tính liên tục: chuyển giới hạn qua giới hạn,

    – tính khả tích: chuyển giới hạn qua tích phân,

    – tính khả vi: chuyển giới hạn qua đạo hàm.

    Tôi trình bày tiêu chuẩn Cauchy và dấu hiệu Weierstrass. Đặc biệt tôi nói đến hàm Weierstrass

    W(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty 2^{-n}\cos(2^n x)

    là hàm liên tục trên \mathbb R, không khả vi tại mọi điểm.

    Cuối giờ tôi cho kiểm tra ngắn:

    Xét chuỗi số

    \sum\limits_{k=1}^\infty k3^{-k}.

    (a) (4đ) Dùng D’A\embert hoặc căn Cauchy để chứng minh sự hội tụ của chuỗi số đã cho. Ký hiệu S là tổng của chuỗi đã cho.

    (b) (3đ) Đặt S_n=\sum\limits_{k=1}^n k3^{-k}. Tính 3S_n-S_n.

    (c) (3đ) Tính S=\lim\limits_{n\to\infty} S_n.

  3. Hôm qua tôi có nhờ một số bạn lên chữa một số bài tập. Trong số đó có các bài 6, trang 188, bài 11 a, b, c, dtrang 189, trong sách “Giáo trình Giải tích tập 2” của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn. Các bài này các bạn dùng dấu hiệu D’Alembert để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi. Tôi có nói trên lớp: ta có thể dùng dấu hiệu căn Cauchy cho các bài này nếu biết công thức Stirling. Các bạn có thể tham khảo

    https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

    Công thức Stirling

    \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{\sqrt{2\pi n}(n/e)^n}=1.

    Ta thử bài 11 câu b:

    \sum\limits_{n=1}^\infty a_n, a_n=\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}.

    a_n>0

    \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(2\pi n)^{1/n}(n/e)^2}{(4\pi n)^{1/(2n)}(2n/e)^2}=1/4.

    Có thể thấy

    \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1/4=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}.

  4. Về dấu hiệu D’Alembert (ratio test) và dấu hiệu căn Cauchy (root test):

    – trên lớp tôi đã chỉ ra có thể dùng được cho cả chuỗi có dấu bất kỳ với chú ý thêm trị tuyệt đối,

    – trong “Giáo trình Giải tích 2” của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn ĐÌnh Sang, Hoàng Quốc Toàn có chú ý 2, trang 103:

    + căn Cauchy thay vì xét giới hạn ta xét giới hạn trên

    \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=R,

    + D’Alembert thì nếu thay giới hạn bởi giới hạn trên

    \limsup\limits_{n\to\infty}{|a_{n+1}/a_n|}=R

    thì ta chỉ có kết luận

    -) khi R< 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối,

    -) khi R> 1 thì nói chung ta không kết luận được chuỗi phân kỳ, chẳng hạn ta xét chuỗi với số hạng tổng quát cho bởi

    1, 1/2, 1, 1/2^2, 1/2, 1/2^3, 1/2^2, 1/2^4, 1/2^3, 1/2^5, 1/2^4, \dots.

    -) để có kết luận về phân kỳ, ta dùng giới hạn dưới, như trong “Bài giảng Giải tích tập 1” của thầy Nguyễn Duy Tiến

    \liminf\limits_{n\to\infty}{|a_{n+1}/a_n|}=R>1

    thì chuỗi phân kỳ.

    Trong sách thầy Tiến, Bài 3 trang 174, cũng chỉ ra mối quan hệ giữa căn Cauchy và D’Alembert qua đánh giá

    \liminf\limits_{n\to\infty}{|a_{n+1}/a_n|}\le  \liminf\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\le  \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\le \limsup\limits_{n\to\infty}{|a_{n+1}/a_n|}.

    Từ đánh giá này ta có:

    – dấu hiệu căn Cauchy có thể xem như hệ quả của dấu hiệu D’Alembert,

    – hay nói cách khác nếu dùng D’Alembert mà có kết luận thì căn Cauchy cũng có, ngược lại nếu dùng căn Cauchy không có kết luận thì D’Alembert cũng không có hiệu quả.

    Trang 175-176, sách thầy Tiến có chỉ ra ví dụ cho thấy dùng D’Alembert không có kết luận, dùng căn Cauchy lại có.

    Một điểm nữa: tại sao lại xét giới hạn trên và giới hạn dưới?

    Lý do: không phải lúc nào cũng có giới hạn và luôn có giới hạn trên và giới hạn dưới.

  5. 16/02/2016, tôi bắt đầu bằng việc nhờ một số bạn lên làm các bài tập về việc kiểm tra sự hội tụ đều của dãy hàm. Việc này diễn ra qua các bước:

    – tính hàm giới hạn,

    – xét hiệu của dãy hàm và hàm giới hạn, cụ thể khảo sát hàm số để tính \sup|\cdot| của nó, chú ý điểm mút,

    – tính giới hạn của sup.

    Sau đó một số bạn lên chữa các bài khi điều kiện hội tụ đều không thỏa mãn:

    – dãy hàm khả vi có dãy hàm đạo hàm không hội tụ đều, việc chuyển dấu đạo hàm qua giới hạn cho ta kết quả khác,

    – dãy hàm không hội tụ đều, việc chuyển dấu tích phân qua giới hạn cho ta kết quả khác,

    – dãy hàm không hội tụ đều, kết quả không thay đổi khi chuyển dấu tích phân qua giới hạn.

    Tiếp đến tôi nhờ một số bạn lên kiểm tra sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của chuỗi số, chú ý việc sử dụng kỹ thuật tách, kỹ thuật so sánh.

    Tiết cuối tôi trình bày phần chuỗi hàm:

    – cơ bản giống dãy hàm: miền hội tụ, hội tụ đều,

    – khác: thêm khái niệm hội tụ tuyệt đối và có thêm các cách để kiểm tra:

    + dấu hiệu Weierstrass,

    + định lý Abel và định lý Dirichlet.

    Tôi có nói về việc phải kiểm tra đầy đủ các giả thiết của các định lý này trước khi dẫn đến kết luận của nó. Một vài phản ví dụ các bạn xem

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/03/01/dinh-ly-abel-dinh-ly-dirichlet-tiep/

    Qua đây cho thấy: định lý dễ sử dụng là định lý ít giả thiết nhất có thể hoặc các giả thiết dễ kiểm tra nhất có thể. Tuy nhiên nhưng định lý này lại thường khó khăn trong việc chỉ ra nó đúng.

    Cuối giờ tôi có đề cập đến chuỗi lượng giác

    \sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{\sin(nx)}{\ln n}

    + hội tụ điểm trong [0, 2\pi],

    + hội tụ đều trong [\epsilon, 2\pi-\epsilon], \epsilon\in(0, \pi),

    + không hội tụ đều trong [0, 2\pi.]

    Các kết quả về việc chuyển phép lấy giới hạn, phép đạo hàm, phép tích phân qua dấu tổng (vô hạn) giống như trong dãy hàm, nghĩa là ta cần đến sự hội tụ đều.

    Tuần tới tôi trình bày nốt phần Định lý Dini kiểm tra sự hội tụ đều của chuỗi hàm trước khi chuyển sang phần chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier.

  6. Trên lớp tôi có nói:

    nếu

    \lim\limits_{n\to\infty} \sup_{x\in A} (f_n(x)-f(x))=0

    thì chưa chắc có

    f_n hội tụ đều đến f trên A.

    Tôi chưa lấy được ví dụ trên lớp. Dưới đây là ví dụ

    f_n:(0, +\infty)\to\mathbb R, f_n(x)=-x/n, n=1, 2, \dots,

    có hàm giới hạn trên (0, +\infty)

    f(x)=0.

    Tuy nhiên

    +) \sup_{x\in(0, +\infty)}(f_n(x)-f(x))=\sup_{x\in(0, +\infty)}(-x/n)=0, n=1, 2, \dots,

    +) \sup_{x\in(0, +\infty)}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in(0, +\infty)}x/n=+\infty, n=1, 2, \dots.

  7. 23/02/2016, tôi tiếp tục cho chữa bài tập về việc xác định miền hội tụ của chuỗi hàm \sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x):

    – dùng D’Alembert hay căn Cauchy, nhớ cho trị tuyệt đối, cụ thể tính giới hạn

    \lim\limits_{n\to\infty}\left|\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=R(x),

    hay

    \lim\limits_{n\to\infty}\left|\sqrt[n]{u_n(x)}\right|=R(x),

    + xác định tập các điểm để chuỗi hội tụ tuyệt đối R(x)<1,

    + xác định tập các điểm để chuỗi phân kỳ R(x)> 1.

    – riêng tại những điểm R(x)=1 đòi hỏi thêm một số kỹ năng: điều kiện cần, Leibniz, Raabe, đánh giá, .v.v., chẳng hạn bài

    \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1\cdot3\cdot5 \cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}\left(\dfrac{2x}{x^2+1}\right)^n

    tại x=1 dùng Raabe, tại x=-1 cần đánh giá

    \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots(2n)}\le\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}.

    Một số bài về chuỗi hàm hai biến cũng được chữa. Những bài được chữa có những nét giống bài kiểm tra giữa kỳ K59A3

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2015/03/31/de-thi-giua-ky-mon-giai-tich-2-k59a3/

    Cuối giờ tôi trình bày về chuỗi lũy thừa:

    – bán kính hội tụ,

    – tính chất: khi bán kính dương, khả vi vô hạn, lấy đạo hàm hay tích phân của chuỗi bằng chuỗi đạo hàm hay tích phân, chuỗi lũy thừa chính là khai triển Taylor tại gốc của hàm giới hạn,

    – chuỗi lũy thừa sinh ra từ khai triển Taylor: khi nào nó hội tụ đến đúng hàm đó?

    – ví dụ tính \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2016^n}{n!}.

    Tuần tới tôi tiếp tục phần chuỗi lũy thừa và dần chuyển sang chuỗi Fourier.

  8. Một số ví dụ về bán kính hội tụ, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

    VD1: \sum\limits_{n=1}^{\infty}x^{2n}

    không tồn tại các giới hạn

    \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\lim\limits_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|

    và bán kính hội tụ R=1,

    miền hội tụ (-1, 1) không chứa hai đầu mút.

    VD2: \sum\limits_{n=1}^\infty n^n x^n

    có bán kính hội tụ R=0,

    miền hội tụ \{0\}.

    VD3: \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n!}

    có bán kính hội tụ R=+\infty,

    miền hội tụ (-\infty, +\infty).

    VD4: \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n}

    có bán kính hội tụ R=1,

    miền hội tụ [-1, 1).

    VD5: \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n^2}

    có bán kính hội tụ R=1,

    miền hội tụ [-1, 1].

  9. 01/03/2016, tôi đã kết thúc phần chuỗi lũy thừa với một vài ứng dụng:

    – tính toán một số chuỗi số, chẳng hạn

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n},

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2n-1},

    \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n}{3^n} (bài kiểm tra ngắn trước Tết),

    bài tập: tính \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^2}{3^n};

    – tính xấp xỉ, chẳng hạn tính xấp xỉ các số siêu việt e, \pi hay tích phân

    \int_0^1 e^{-x^2}dx.

    Sau đó tôi chuyển sang khai triển Fourier của hàm tuần hoàn, khả tích phân trên từng chu kỳ. Chú ý chuỗi Fourier hàm liên tục chưa chắc đã hội tụ. Trong lý thuyết ta đòi hỏi hàm trơn từng khác ta có:

    – chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm,

    – hơn nữa giới hạn của chuỗi Fourier tại điểm đó bằng trung bình cộng của giới hạn trái và phải của hàm tại đó.

    Sử dụng kết quả này tôi tính được chuỗi số

    \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-2}, \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2n-1)^2}.

    Ngoài ra tôi đưa ra đẳng thức Parseval và ứng dụng nó để tính chuỗi

    \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-4}.

    Đầu giờ tôi có cho bài kiểm tra ngắn:

    Xét tổng S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n \cos(kx).

    (a) (2 điểm) Tính S_n(0), S_n(2\pi).

    (b) (2 điểm) Khi 0< x< 2\pi, tính 2\sin(x/2)S_n(x).

    (c) (2 điểm) Hỏi có số M>0 không phụ thuộc x, n để

    |S_n(x)|\le M, x\in[0, 2\pi]?

    (d) (2 điểm) Với \epsilon\in(0, \pi) tìm M=M(\epsilon) để

    |S_n(x)|\le M, x\in[\epsilon, 2\pi-\epsilon].

    (e) (2 điểm) Sử dụng câu (d) chứng minh chuỗi hàm

    \sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{\cos(kx)}{\ln(k+1)}

    hội tụ đều trong (\epsilon, 2\pi-\epsilon).

    • Về việc chứng minh khai triển Taylor của hàm khả vi vô hạn hội tụ về đúng hàm đã cho tôi còn trình bày chưa rõ ràng ví dụ cụ thể sau:

      Khai triển Taylor hàm f(x)=\ln(x+1) tại gốc có chuỗi

      \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n có miền hội tụ (-1, 1].

      Định lý 41.VII không dùng được vì dãy các đạo hàm

      f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n}

      không bị chặn.

      Sử dụng Định lý 40.VII, xét phần dư dạng Lagrange

      R_n(x)=\dfrac{(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}, 0<\theta<1

      tiến về 0 khi n\to\inftyx\in[-1/2, 1],

      còn khi x\in(-1, -1/2) ta không biết?

      Tuy nhiên, có một cách rất đơn giản:

      Khi |x|<1, chuỗi lũy thừa

      \sum\limits_{n=0}^\infty (-x)^n=\dfrac{1}{1+x}.

      Bán kính của chuỗi lũy thừa trên bằng 1. Khi đó lấy tích phân

      \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}=\int_0^x \dfrac{1}{1+t}dt, |x|<1.

      Như vậy ta có

      \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}=\ln(1+x), |x|<1.

      Lập luận này còn thiếu tại x=1. Ta dùng Định lý 38.VII cho đầu mút x=1.

  10. Một vấn đề về chuỗi lũy thừa:

    – Xuất phát từ hàm khả vi vô hạn trong khoảng (-a, a) ta có khai triển Taylor của nó tại gốc. Khi đó ta có chuỗi lũy thừa với các hệ số được tính từ đạo hàm các cấp tại gốc của hàm đã cho. Như vậy một công việc không dễ là phải tính đạo hàm mọi cấp tại gốc của hàm đã cho. Đôi lúc tính được trực tiếp, chẳng hạn các hàm

    e^x, \cos x, \sin x, \ln x, (x+1)^\alpha.

    Tuy nhiên có những hàm không dễ dàng tính trực tiếp được chẳng hạn

    e^{-x^2}, \arctan x.

    – Chẳng may ta có một chuỗi lũy thừa hội tụ đến hàm đã cho trong (-b, b), 0<b<a. Chuỗi lũy thừa này có phải chính là khai triển Taylor tại gốc của hàm đã cho không?

    Thật may mắn, nó chính là như vậy. Trước khi sử dụng kết quả này nên chú ý ví dụ

    f(x)=\begin{cases}e^{-x^{-2}} \; khi \; x\not =0,\\ 0 \; khi \; x=0.\end{cases}

    Quay trở lại kết quả may mắn trên, nó giúp ta có khai triển Taylor tại gốc

    + của hàm e^{-x^2}

    \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n!}x^{2n},

    + của hàm \arctan x

    \sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}.

    Từ đây:

    – nếu tính trực tiếp đạo hàm mọi cấp tại gốc của các hàm trên không dễ,

    – từ chuỗi lũy thừa trên ta lại tính ngược trở lại đạo hàm mọi cấp của các hàm trên tại gốc.

    • Sự may mắn của chuỗi lũy thừa, rất tiếc lại không được chuỗi Fourier chia sẻ. Chẳng hạn, chuỗi tôi đã có lần viết phía trên,

      \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{\sin(nx)}{\ln n}

      là chuỗi hội tụ tại mọi điểm trên \mathbb R. Tuy nhiên hàm giới hạn lại không có khai triển Fourier như trên!

      Paul du Bois-Reymond đã chỉ ra điều may mắn vẫn còn khi hàm giới hạn là hàm liên tục. Cũng chính ông chỉ ra hàm liên tục tuần hoàn có chuỗi Fourier phân kỳ. Các bạn xem

      https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_du_Bois-Reymond

      Điều thú vị nữa, chuỗi liên hợp của chuỗi trên

      \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{\cos(nx)}{\ln n}

      là chuỗi Fourier của một hàm không liên tục.

  11. 08/03/2016, tôi bắt đầu bằng việc trình bày khai triển Fourier sine và Fourier cosine. Sau đó tôi nhờ ba bạn lên tính toán các khai triển Fourier theo yêu cầu bài 59, trang 200, trong Giáo trình Giải tích tập 2. Các bạn thử làm các bài 6 trong đề giữa kỳ K59.

    Sau đó tôi nhờ một số bạn lên tính một vài tích phân phụ thuộc tham số để thấy:

    – phép lấy giới hạn: không phải lúc nào cũng đẩy qua được dấu tích phân,

    – lấy tích phân: tích phân phụ thuộc tham số có thể không khả tích,

    – lấy đạo hàm: không phải lúc nào cũng đẩy được qua dấu tích phân.

    Các bạn tham khảo thêm

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2015/01/19/trao-doi-bai-giang-mon-giai-tich-2-cho-lop-k59a3/#comment-3479

  12. 15/03/2016, tôi bắt đầu bằng việc kiểm tra ngắn:

    1. (a) (2 điểm) Chứng minh rằng

    I(y)=\int_0^1\dfrac{xy(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^3}dx=-\dfrac{y}{2(y^2+1)^2},

    J(x)=\int_0^1\dfrac{xy(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^3}dy=\dfrac{x}{2(x^2+1)^2}.

    (b) (2 điểm) Hỏi \int_0^1 I(y)dy=\int_0^1 J(x)dx hay không? Tại sao?

    2. Cho hàm f:[-1, 1]\times[0, 1] xác định bởi

    f(x, y)=\begin{cases}0 \; khi \; y=0,\\ \dfrac{x^3}{y^2}e^{-\frac{x^2}{y}} \; khi \; y>0.\end{cases}

    (a) (2 điểm) Tính \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) (chia trường hợp y=0y> 0).

    (b) (2 điểm) Tính K(x)=\int_0^1 f(x, y)dy.

    (c) (2 điểm) Hỏi K'(0)=\int_0^1\dfrac{\partial f}{\partial x}(0, y)dy hay không? Tại sao?

    Sau đó tôi chuyển sang tính toán một vài tích phân suy rộng có sử dụng tích phân suy rộng phụ thuộc tham số cũng như việc chuyển dấu đạo hàm và tích phân:

    +) \int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)dx, \int_0^\infty e^{-ax}\sin(bx)dx khi a>0,

    +) \int_0^\infty\dfrac{x^2}{x^4+1}dx,

    +) \int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx, tích phân Dirichlet, sử dụng

    \dfrac{1}{x}=\int_0^\infty e^{-xy}dy, x> 0,

    +) I=\int_0^\infty e^{-x^2}dx, tích phân Gauss sử dụng

    \int_0^\infty e^{-ux^2}dx=\dfrac{I}{\sqrt{u}}, u> 0,

    +) I(\alpha)=\int_0^\infty e^{-x^2}\cos(\alpha x)dx, liên quan đến biến đổi Fourier của hàm Gauss, có sử dụng việc tính I'(\alpha)I(0),

    +) \int_0^\infty \cos(x^2)dx, tích phân Fresnel, có sử dụng giống như tích phân Gauss.

    Cuối giờ tôi lại kiểm tra ngắn:

    Được dùng công thức nguyên hàm

    \int e^{-ax}\sin(bx)dx=-\dfrac{e^{-ax}(a\sin(bx)+b\cos(bx))}{a^2+b^2}.

    Cho f:[0, \pi]\to\mathbb R xác định bởi

    f(x)=e^{-\alpha x}, \alpha > 0.

    (a) (4 điểm) Vẽ đồ thị thác triển lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2\pi của hàm f (khoảng ba hay bốn chu kỳ).

    (b) (4 điểm) Khai triển Fourier sine của hàm f.

    (c) (2 điểm) Tính chuỗi Fourier ở câu (b) khi x=\pi/2.

    Tuần sau tôi sẽ chữa các bài kiểm tra này và các bài kiểm tra giữa kỳ K59A3, cuối kỳ K58A3 và K59A3. Rất mong sự chuẩn bị của các bạn.

  13. Hàm Gamma được định nghĩa qua tích phân phụ thuộc tham số

    \Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx

    liên quan đến thể tích của hình cầu đơn vị trong \mathbb R^n

    V_n=\dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)},

    và diện tích của mặt cầu đơn vị trong \mathbb R^n

    S_n=\dfrac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}.

    Chẳng hạn

    +) với n=2, có diện tích hình tròn đơn vị

    V_2=\dfrac{\pi}{\Gamma(2)}=\pi,

    và diện tích của đường tròn đơn vị

    S_2=\dfrac{2\pi}{\Gamma(1)}=2\pi;

    +) với n=3, có diện tích hình cầu đơn vị

    V_3=\dfrac{\pi^{3/2}}{\Gamma(5/2)}=4\pi/3,

    và diện tích của mặt cầu đơn vị

    S_3=\dfrac{2\pi^{3/2}}{\Gamma(3/2)}=4\pi.

    Các bạn tham khảo thêm

    http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116A/volume_11.pdf

  14. Hôm nay tôi đã chữa một số bài kiểm tra:

    – Hai bài kiểm tra ngắn, chú ý việc phân tích hàm dưới dấu tích phân nhằm để tính tích phân gọn hơn.

    – Bài kiểm tra giữa kỳ của K59A3, với chú ý

    \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{7n+x^{2n}}=\begin{cases}1 \; khi \; |x|\le 1, \\ x^2 \; khi \; |x|>1.\end{cases}

    Ngoài ra chú ý sự khác nhau về việc khảo sát sự hội tụ

    – dãy hàm,

    – chuỗi hàm,

    – chuỗi lũy thừa.

    Việc xét tính liên tục của hàm giới hạn của chuỗi hàm nhìn chung là bài khó!

    Ngoài ra khi khai triển thành chuỗi lũy thừa của hàm đôi khi ta khai triển đạo hàm hoặc nguyên hàm của nó trước nếu thầy điều đó dễ hơn so với chính hàm đang xét, chẳng hạn

    – hàm \ln hay \arctan: nên khai triển đạo hàm của nó.

    Xét sự hội tụ của chuỗi số đôi khi ta cần đến kỹ thuật hỗn hợp.

  15. Hôm nay tôi bắt đầu bằng việc đưa ra cách tính đạo hàm của

    tích phân phụ thuộc tham số có cận phụ thuộc.

    Sau đó tôi chuyển sang tích phân bội:

    – phân hoạch, tổng tích phân, tích phân bội trên miền hình chữ nhật, hình hộp chữ nhật có các cạnh song song với các trục,

    – thể tích không, độ đo không,

    – định lý Lebesgue về khả tích,

    – tích phân trên miền bị chặn có biên có độ đo không.

    Chú ý tích phân bội gắn với:

    – miền bị chặn,

    – hàm dưới dấu tích phân bị chặn.

    Tiếp đến tôi trình bày một số tính chất của tích phân bội:

    – tính tuyến tính,

    – trị tuyệt đối hàm khả tích là hàm khả tích,

    – bảo toàn thứ tự,

    – phân hoạch miền.

    Để tính tích phân bội tôi mới trình bày hai công cụ:

    – chuyển về tích phân lặp,

    – dùng hệ tọa độ cực cho trường hợp miền trong mặt phẳng.

    Đáng lưu ý: chuyển tích phân bội trên miền bất kỳ về tích phân lặp ta gặp tích phân phụ thuộc tham số có cận phụ thuộc.

    Cuối giờ tôi cho bài kiểm tra ngắn:

    1. (5 điểm) Xét tích phân

    I(x)=\int_{\cos x}^{\sin x} e^{-(x-y)^2}dy.

    Tính I'(x).

    Chú ý: nếu tính tường minh số hạng tích phân trong I'(x) cộng thêm 2 điểm.

    2. (5 điểm) Xét tích phân

    J(x, t)=\int_{x-2t}^{x+2t} \cos(y^2)dy.

    Tính các đạo hàm riêng

    \dfrac{\partial J}{\partial x}, \dfrac{\partial J}{\partial t}.

    • Câu 1, trong bài kiểm tra ngắn liên quan đến công thức biến thiên hằng số Lagrange giải bài toán Cauchy cho phương trình không thuần nhất. Chẳng hạn ví dụ

      y'(x)+y(x)=f(x), x> 0,

      y(0)=0

      có nghiệm

      y(x)=\int_0^x f(t)e^{-(x-t)}dt.

      Nó liên quan đến nguyên lý Duhamel, các bạn tham khảo

      https://en.wikipedia.org/wiki/Duhamel%27s_principle

      Câu 2, liên quan đến nghiệm của phương trình truyền sóng, cụ thể

      \dfrac{\partial^2 J}{\partial x^2}=\dfrac{\partial^2 J}{\partial t^2}.

  16. Hôm nay tôi bắt đầu bằng việc chữa bài kiểm tra ngắn. Sau đó tôi nhờ một số bạn:

    – chuyển tích phân hai lớp về tích phân lặp (hai cách),

    – xác định miền lấy tích phân của tích phân lặp, đổi thứ tự lấy tích phân,

    – viết miền từ hệ tọa độ Descartes sang hệ tọa độ cực.

    Cuối giờ tôi cho bài kiểm tra ngắn:

    Dùng hệ tọa độ cực tính diện tích các miền sau:

    1.(5 điểm) Miền D_1=\{(x, y):\; 1\le x^2+y^2\le (x+\sqrt{x^2+y^2})^{2/3}\}.

    Dien tich

    2.(5 điểm) Miền D_2=\{(x, y):\; \max\{|x|, |y|\}\ge 1, \; x^2+y^2\le 2\}.

    Dien tich

  17. Hôm nay 12/04/2016, tôi trình bày phép đổi biến tổng quát trong mặt phẳng, trong không gian. Sau đó tôi nhờ một số bạn chữa bài 25 trang 131 sách “Giáo trình Giải tích tập 3” của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn:

    + câu a: có hai cách dùng Fubini,

    + câu b: đổi biến, bằng phép quay

    u=\cos(\pi/4)\cdot x -\sin(\pi/4)\cdot y, v=\sin(\pi/4)\cdot x +\cos(\pi/4)\cdot y

    rồi mới Fubini,

    + câu c: dùng hệ tọa độ cực.

    Tiếp đến tôi chuyển sang các hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu trong không gian.

    Hệ tọa độ trụ tốt cho việc lấy tích phân trên miền trụ

    \{(x, y, z):\; x^2+y^2\le R^2, \; 0\le z\le h\}.

    Dưới đây là hai hình ảnh cách lấy tích phân theo hệ tọa độ trụ cho miền trụ:

    3d

    là hình ảnh của cách

    \int_0^R rdr\left(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^h f dz\right).

    3d

    là hình ảnh của cách

    \int_0^{2\pi} d\theta\left(\int_0^{R}rdr\int_0^h f dz\right).

    Hệ tọa độ cầu tốt cho việc tính tích phân trên hình cầu, tuy nhiên để nhìn được ta chọn miền lấy tích phân là kem ốc quế

    \{(x, y, z):\; \sqrt{x^2+y^2}\le z\le \sqrt{2-x^2-y^2}\}.

    Dưới đây là hai hình ảnh cách lấy tích phân theo hệ tọa độ cầu cho miền kem ốc quế:

    3d

    là hình ảnh của cách

    \int_0^{\sqrt{2}} r^2dr\left(\int_0^{\pi/4}\sin\theta d\theta\int_0^{2\pi} f d\varphi\right).

    3d

    là hình ảnh của cách

    \int_0^{\pi/4} \sin\theta d\theta\left(\int_0^{\sqrt{2}}r^2dr\int_0^{2\pi} f d\varphi\right).

    Tiếp đến tôi trình bày tích phân đường loại I trong mặt phẳng:

    – định nghĩa: dùng phân hoạch, tổng tích phân Darboux,

    – chuyển tích phân đường loại I về tích phân xác định nhờ:

    + tham số hóa đường cong: gồm phương trình và miền biến chạy,

    + tính vi phân đường,

    + chuyển về tích phân xác định có cận được xác định nhờ miền biến chạy, hàm dưới dấu tích phân là tích của hàm mật độ và vi phân đường.

    Chú ý cận dưới nhỏ hơn cận trên.

    Tôi có lấy ví dụ về đường

    3d

    gồm

    – đoạn thẳng \{(x, 0):\; 0\le x\le 2\pi\},

    – cung cycloid \{(t-\sin t, 1-\cos t): 0\le t\le 2\pi\}.

    Ta sẽ quan sát ví dụ này cẩn thận hơn trong tuần tới.

  18. Hôm nay 19/04/2016 tôi nhờ một số bạn chuyển tích phân bội ba lớp về tích phân lặp. Sau đó tôi chuyển sang tích phân đường loại I và loại II với chú ý:

    – quá trình tham số hóa: tích phân loại II có hướng của biến chạy,

    – tính vi phân loại I là ds, còn loại II là dx và dy,

    – thay cận tích phân.

    Tôi nhờ một số bạn tính toán các tích phân đường loại I. Tiếp đến tôi trình bày tích phân mặt loại I:

    – tham số hóa mặt cong,

    – tính vi phân mặt.

    Cuối giờ tôi kiểm tra ngắn:

    Tính thể tích miền

    D=\{(x, y, z):\; x^2+y^2\le z\le 1\}.

    Thang điểm: chuyển về dạng tích phân lặp (bằng Fubini hay chuyển hệ tọa độ) 5 điểm; tính tích phân lặp 5 điểm.

  19. Hôm nay 26/04/2016 tôi bắt đầu bằng việc chữa bài kiểm tra ngắn tuần trước bằng ba cách:

    – dùng hệ tọa độ trụ,

    – dùng Fubini chuyển về \int dz \iint dxdy,

    – dùng Fubini chuyển về \int dx \iint dydz.

    Cách thứ hai dùng tính chất hình học của tích phân cho ta cách tính đơn giản nhất so với hai cách còn lại. Cách thứ ba khó nhất.

    Tiếp đó tôi nhờ một số bạn lên tính toán một số tích phân đường:

    – tham số hóa và tính vi phân đường của đường tròn

    x^2+y^2+z^2=a^2, x+y+z=0;

    – tính các tích phân đường loại II các bài 3, 4 trang 202 sách “Giáo trình giải tích tập 3” của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn.

    Để ý rằng bài 3: tích phân đường phụ thuộc vào đường đi, còn bài 4 chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối.

    Sau đó một số bạn lên tham số hóa và tính vi phân mặt loại I với chú ý:

    – tham số hóa mặt bởi đồ thị của hàm số, biến chạy thuộc vào hình chiếu của mặt,

    – tham số hóa mặt trong các hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ.

    Cuối giờ tôi đề cập đến tích phân mặt loại II trên mặt cầu với chú ý:

    – hướng dương của mặt,

    – tính (A, B, C) so với hướng dương của mặt.

    Chú ý tích phân đường và mặt loại II việc nắm hướng của đường và mặt khá quan trọng. Đặc biệt các hướng này thể hiện như nào khi tham số hóa.

  20. Hôm nay tôi nhờ một số bạn lên bảng:

    – từ tham số hóa mặt cong, tính véc-tơ (A, B, C) rồi so với hướng dương của mặt cong,

    – sau đó tính toán tích phân mặt loại II.

    Tiếp đến tôi đưa ra công thức Ostrogradski-Gauss về mối quan hệ

    giữa tích phân mặt loại II trên mặt kín và tích phân bội ba lớp.

    Tôi trình bày việc sử dụng công thức Ostrogradski-Gauss để tính tích phân mặt loại II trên mặt chưa kín.

    Tôi có cho hai bài kiểm tra ngắn:

    + Bài kiểm tra đầu giờ:

    Xét đường cong (C) cho bởi

    \begin{cases} x= -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos u,\\ y= \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\cos u+\dfrac{1}{2}\sin u,\\ u= \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\cos u -\dfrac{1}{2}\sin u \end{cases}

    với u\in [0, 2\pi].

    a) (2 điểm) Chứng minh rằng đường cong (C)

    – nằm trên mặt phẳng x+y+z=0,

    – nằm trên mặt cầu x^2+y^2+z^2=1/2.

    b) (6 điểm) Tính các tích phân đường loại I sau

    \int_C x^2ds, \int_C y^2ds, \int_C z^2ds.

    c) (2 điểm) Tính tích phân đường loại II sau

    \int_{C^+}(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz,

    với hướng dương của C^+ là hướng tăng của u.

    + Bài kiểm tra cuối giờ:

    Xét mặt S là mặt biên toàn phần của nón

    \{(x, y, z):\; \sqrt{x^2+y^2}< z < 1\}.

    a) (5 điểm) Tính tích phân mặt loại I sau

    \iint_S zdS.

    b) (5 điểm) Tính tích phân mặt loại II sau

    \iint_{S^+}zdxdy

    với hướng dương của S^+ là hướng ra ngoài.

    • Hôm qua tôi có nhờ một số bạn lên chữa các bài kiểm tra ngắn tuần trước. Trong khi chữa tôi có đưa ra:

      + mối liên hệ giữa tích phân đường loại I và II,

      + công thức Stokes: mối liên hệ giữa tích phân đường loại II và tích phân mặt loại II,

      + công thức Green: mối liên hệ giữa tích phân đường loại II và tích phân bội hai lớp,

      + mối liên hệ giữa tích phân mặt loại I và II.

      Chú ý: đường được định hướng nhờ véc-tơ tiếp tuyến, mặt lại được định hướng nhờ véc-tơ pháp tuyến.

      Tôi đã kết thúc việc dạy lý thuyết GT2.

    • Bài kiểm tra tích phân đường:

      + Câu a có hai cách:

      – C1: tính vi phân đường ds rồi chuyển tích phân đường về tích phân xác định, nhớ cận dưới nhỏ hơn cận trên và chú ý

      \begin{cases} x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos(u), \\ y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos(u-\pi/3), \\ z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos(u+\pi/3);\end{cases}

      – C2: sử dụng tính chất: với đường cong đã cho, vai trò của x, y, z như nhau nên ba tích phân cần tính bằng nhau và bằng

      \dfrac{1}{3}\int_C (x^2+y^2+z^2)ds

      và chú ý x^2+y^2+z^2=1/2C là đường tròn bán kính 1/\sqrt{2}.

      + Câu b có ba cách:

      – C1: dùng tham số hóa tính dx,dy,dz rồi chuyển về tích phân xác định,

      – C2: dùng mối liên hệ giữa tích phân đường loại I và II để chuyển về tích phân loại I, chú ý việc tính véc-tơ tiếp tuyến,

      – C3: dùng công thức Stokes để chuyển về tích phân mặt loại II trên phần mặt phẳng x+y+z=0 nằm trong đường tròn C.

      Chú ý hướng dương của đường cong.

    • Với tích phân mặt loại I trên mặt biên toàn phần bằng tổng của:

      + tích phân trên phần mặt nón

      S_1: z=\sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2\le 1,

      + tích phân trên hình tròn

      S_2: z=1, x^2+y^2\le 1.

      Tính tích phân trên mặt S_1, S_2 ta có thể dùng:

      + tham số hóa trực tiếp

      S_1: z=\sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2\le 1

      có vi phân mặt

      dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=\sqrt{2}dxdy,

      còn

      S_2: z=1, x^2+y^2\le 1,

      có vi phân mặt

      dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=dxdy,

      rồi dùng tính chất hình học của tích phân,

      + tham số hóa nhờ hệ tọa độ trụ

      S_1: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=r với 0\le \theta\le 2\pi, 0\le r\le 1,

      có vi phân mặt

      dS=r\sqrt{2}drd\theta,

      còn

      S_2: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=1 với 0\le \theta\le 2\pi, 0\le r\le 1,

      có vi phân mặt

      dS=rdrd\theta.

      Với tích phân mặt loại II cũng bằng tổng các tích phân mặt loại II trên S_1^+, S_2^+. Trên từng mặt ta đều có thể tính bằng một trong hai cách sau:

      + dùng tham số hóa,

      + dùng mối liên hệ giữa tích phân mặt loại II và loại I.

      Ngoài ra mặt biên toàn phần là mặt kín nên ta cũng có thể dùng công thức Ostrogradski-Gauss để chuyển tích phân mặt loại II cần tính về tích phân bội ba lớp. Từ đó chú ý tính chất hình học của tích phân.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s