Đề thi giữa kỳ môn PTĐHR lớp CH2015-2017

Standard

deGK_CH15_17_1

deGK_CH15_17_2

deGK_CH15_17_3

deGK_CH15_17_4

 

8 responses »

  1. Tôi vừa chấm xong bài giữa kỳ. Nhìn chung khá thấp. Các bạn có thể cải thiện điểm bằng việc tích cực làm và chữa bài tập trên lớp.

  2. Hôm qua tôi đã chữa các bài tập lý thuyết. Nguồn gốc các bài này:

    Đề 1: Câu 3 là bài 4.5, trang 144 sách Q. Han.

    Đề 2: Câu 2 là bài 3.3, ý (1), trang 86 sách Q. Han.

    Đề 3: Câu 3 là bài 4.11 trang 144 sách Q. Han.

    Đề 4: Câu 3 là bài 4.10 trang 144 sách Q. Han.:

  3. Bài 4.5, trang 144, sách Q. Han đưa giả thiết tổng quát

    \int_{\mathbb R^n}|u(x)|^pdx<\infty

    với p\in(1, \infty).

    Với p=\infty ta chỉ có Định lý Liouville, nghĩa là hàm điều hòa bị chặn trên toàn không gian là hàm hẳng.

    Với p=1 ta sử dụng trực tiếp tính chất giá trị trung bình trong hình cầu của hàm điều hòa

    u(x)=\dfrac{n}{\omega_n R^n}\int\limits_{B_R(x)}u(y)dy

    |u(x)|\le\lim\limits_{R\to\infty}\dfrac{n}{\omega_n R^n}\int\limits_{B_R(x)}|u(y)|dy=0.

    Với 1<p<\infty ta dùng thêm bất đẳng thức Holder.

  4. Bài 3.3, trang 86, sách Q. Han, với \Omega là miền bị chặn với biên \partial\Omega thuộc lớp C^1 ta có công thức Green 1 cho hàm u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\bar{\Omega})

    \int\limits_\Omega u\Delta udx +\int\limits_{\Omega} |\nabla u|^2dx =\int\limits_{\partial\Omega}u\partial_\nu udS,

    với \nu là trường véc-tơ pháp tuyến ngoài, đơn vị trên biên \partial\Omega.

    Giả sử u=u_1-u_2 với u_i\in C^2(\Omega)\cap C^1(\bar{\Omega}) là hai nghiệm của bài toán. Khi đó u=0 trên \partial\Omega

    +) ý (1) có

    \Delta u= u_1^3-u_2^3

    nên

    \int\limits_{\Omega}|\nabla u|^2dx=-\int\limits_\Omega (u_1-u_2)(u_1^3-u_2^3)dx;

    +) ý (2) có

    \Delta u= u_1\int\limits_\Omega u_1^2dx - u_2\int\limits_\Omega u_2dx

    nên

    2\int\limits_{\Omega}|\nabla u|^2dx=-\int\limits_\Omega (u_1^2+u_2^2)dx\int\limits_\Omega(u_1-u_2)^2dx-\left(\int\limits_\Omega (u_1^2-u_2^2)dx\right)^2.

  5. Đề 3, câu 3 không hoàn toàn là bài 4.11, trang 144, sách Q. Han. Để làm câu 3 ta chia các trường hợp:

    TH1: M\le 0;

    TH2: M>0

    với M=\max_{\bar{\Omega}}u(x).

    Với bài 4.11, ta cũng chia trường hợp như trên để chứng minh

    M\le \dfrac{1}{\alpha_0}\sup_{\partial\Omega}|\varphi|=A.

    Với TH2 ta cần dùng đến Bổ đề Hopf.

    Sau đó bằng cách đặt v=-u, N=\max_{\bar{\Omega}}v(x), tương tự trên

    N\le A

    hay

    -A\le \min_{\bar{\Omega}}u(x).

  6. Bài 4.10, trang 144, sách Q. Han:

    +) c\equiv 0, \alpha\equiv 0 thì ta có bài toán Neumann trong cho hàm điều hòa, bài toán có vô số nghiệm sai khác hằng số.

    +) c>0, \alpha\equiv 0 thì ta có bài toán giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên Neumann, chẳng hạn

    \Omega=[0, 1]\times[0, 1]

    các giá trị riêng c=\pi^2(n^2+m^2), n, m\in\mathbb Z ứng với hàm riêng u_{m,n}=\cos(m\pi x)\cos(n\pi y).

    +) c\equiv 0, \alpha<0 ta xét ví dụ

    \Omega=B_1\subset\mathbb R^2, \alpha\equiv -1,

    u(r, \theta)=r\sin\theta.

    +) c\le 0, c\not\equiv 0, \alpha\ge 0 chính là Corolarry 4.3.11, trang 119.

    +) c\le 0, \alpha\ge 0, \alpha\not\equiv 0 làm gần giống như bài 4.11.

  7. Về câu hỏi lý thuyết:

    Đề 1, câu 2 là Định lý 3.3.2, trang 70, sách Q. Han;

    Đề 2, câu 3 là Định lý 4.1.2, trang 92, sách Q. Han,

    Đề 3, câu 1 là Định lý 2.2.6, trang 27, sách Q. Han,

    Đề 4, câu 1 là Định lý 2.3.7, trang 40, sách Q. Han.

  8. Về bài tập tính toán, tôi có nhờ một số bạn chữa hôm 15/02/2016:

    Đề 1, câu 1:

    Thi GK CH15-17

    Khi điều kiện u(0, y)=y có hiện tượng sốc, chẳng hạn tại A có

    u(A)=u(0, 2)=2u(A)=u(0, -2)=-2.

    Đề 2, câu 1:

    Đường đặc trưng và đường sốc

    Thi GK CH15-17

    Đồ thị nghiệm

    Thi GK CH15-17

    Đề 4, câu 2, có bạn hỏi nếu điều kiện biên phụ thuộc vào t thì tìm hàm v như nào?

    Cách tìm v như trong đề bài xuất phát từ nghiệm dừng, nghĩa là không phụ thuộc vào thời gian t. Do đó khi điều kiện biên phụ thuộc thời gian ta không dùng được cách này.

    Trong sách của Pinchover-Rubinstein, có bảng 6.1, trang 165 đưa ra cách khử cho đầy đủ các trường hợp.

    Ta lấy ví dụ

    u(0, t)=t, u_x(1, t)=0

    có hàm khử

    v(x, t)=u(0, t)+xu_x(1, t)=t.

    Chú ý lúc này w=u-v thỏa mãn phương trình

    w_t=4w_{xx}-1

    là phương trình không thuần nhất.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s