Thử lại nghiệm tách biến

Standard

Phương pháp tách biến giúp ta tìm nghiệm dạng chuỗi của một số bài toán:

– bài toán biên cho phương trình Laplace, hay phương trình Poisson,

– bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng, truyền nhiệt trong một đoạn hữu hạn.

Câu hỏi: chuỗi nghiệm tìm được có phải nghiệm cổ điển hay không? Nghĩa là

– Nó có thỏa mãn phương trình bên trong miền xác định không?

– Nó có thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện ban đầu không?

Dưới đây ta sẽ trình bày lần lượt các vấn đề này:

Ta bắt đầu với phương trình Laplace \Delta u=0 trong hình tròn đơn vị B_1 với điều kiện biên Dirichlet u=\varphi.

Ta có các kết quả sau:

Định lý 3.3.2 (Q. Han, trang 70). Nếu \varphi\in L^2(\mathbb S) thì nghiệm tìm được bằng tách biến u\in C^\infty(B_1) và thỏa mãn phương trình Laplace trong B_1 theo nghĩa cổ điển. Tuy nhiên nói chung điều biên không thỏa mãn theo nghĩa cổ điển mà theo nghĩa

\lim\limits_{r\to 1^-}||u(r, \cdot)-\varphi(\cdot)||_{L^2}=0.

Chẳng hạn

\varphi(\theta)=\begin{cases}1 \; khi\; \theta\in(-\pi, 0),\\ -1 \; khi \; \theta\in(0, \pi)\end{cases}

thì nghiệm tìm được sẽ không thỏa mãn điều kiện biên theo nghĩa cổ điển tại \theta=0.

Hệ quả 3.3.4 (Q. Han, trang 74) Khi \varphi\in C(\mathbb S) thì chuỗi nghiệm tìm được thỏa mãn phương trình theo nghĩa cổ điển. Hơn nữa nghiệm u\in C(\bar{B}_1) và thỏa mãn điều kiện biên theo nghĩa cổ điển. Tóm lại nghiệm dạng chuỗi là nghiệm cổ điển.

Định lý 3.3.3 (Q. Han, trang 73) Khi \varphi\in C^\infty(\mathbb S) thì chuỗi nghiệm tìm được thỏa mãn phương trình theo nghĩa cổ điển. Hơn nữa nghiệm u\in C^\infty(\bar{B}_1) và thỏa mãn điều kiện biên theo nghĩa cổ điển. Tóm lại nghiệm dạng chuỗi là nghiệm cổ điển.

Câu hỏi:

– Với điều kiện biên Neumann có kết quả như nào? Có gì giống và khác so với điều kiện biên Dirichlet?

– Với bài toán biên cho phương trình Laplace trong hình vuông như nào?

– Với bài toán biên cho phương trình Poisson như nào?

Với bài toán biên Neumann bạn đọc thử nghĩ xem sao?

Với bài toán trong hình vuông, trước khi trả lời ta xét bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt rồi sẽ quay lại vấn đề này. Lý do

+ với phương trình Laplace với điều kiện biên Dirichlet, có xuất hiện chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty a_ne^{-nx}\sin(ny), 0< x, y <\pi,

+ với phương trình truyền nhiệt cũng xuất hiện chuỗi gần giống

\sum\limits_{n=1}^\infty a_n e^{-n^2t}\sin(ny), 0< y< \pi, t> 0.

Xét bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt

u_t-u_{xx}=0, 0< x< \pi, t> 0,

u(0, t)=u(\pi, t)=0, t\ge 0,

u(x, 0)=u_0(x), 0\le x\le \pi.

Định 3.3.5 (Q. Han, trang 77). Giả sử u_0\in L^2(0, \pi). Khi đó nghiệm tìm được bằng tách biến u\in C^\infty([0, \pi]\times(0, \infty)) và thỏa mãn phương trình và điều kiện biên theo nghĩa cổ điển. Riêng điều kiện ban đầu, nói chung không thỏa mãn theo nghĩa cố điển mà theo nghĩa

\lim\limits_{t\to 0^+}||u(\cdot, t)-u_0(\cdot)||_{L^2}=0.

Hệ quả 3.3.7 (Q. Han, trang 81). Giả sử u_0\in C^1[0, \pi]u_0(0)=u_0(\pi)=0. Khi đó nghiệm tìm được bằng tách biến u\in C^\infty([0, \pi]\times(0, \infty))\cap C([0, \pi]\times[0, \infty)) và thỏa mãn bài toán theo nghĩa cổ điển.

Nếu chỉ giả thiết u_0\in C[0, \pi], u_0(0)=u_0(\pi)=0 thì sẽ có ví dụ mà khai triển Fourier-sine của nó không hội tụ tại một số điểm. Khi đó nghiệm tìm được bằng tách biến không thỏa mãn điều kiện ban đầu theo nghĩa cổ điển, nghĩa là nghiệm không cổ điển.

Quay trở lại bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace trong hình vuông với các điều kiện biên Dirichlet

u(x, 0)=u(x, \pi)=u(\pi, y)=0, u(0, y)=u_0(y).

Tương tự Định 3.3.5 (Q. Han, trang 77) ta có.

Giả sử u_0\in L^2(0, \pi). Khi đó nghiệm tìm được bằng tách biến u\in C^\infty([0, \pi]\times(0, \pi]) và thỏa mãn phương trình và điều kiện biên theo nghĩa cổ điển, trừ trên biên y=0. Trên biên y=0, nói chung không thỏa mãn theo nghĩa cố điển mà theo nghĩa

\lim\limits_{y\to 0^+}||u(\cdot, y)-u_0(\cdot)||_{L^2}=0.

Tương tự Hệ quả 3.3.7 (Q. Han, trang 81) ta có.

Giả sử u_0\in C^1[0, \pi]u_0(0)=u_0(\pi)=0. Khi đó nghiệm tìm được bằng tách biến u\in C^\infty([0, \pi]\times(0, \pi])\cap C([0, \pi]\times[0, \pi]) và thỏa mãn bài toán theo nghĩa cổ điển.

Nếu giảm nhẹ giả thiết u_0\in C[0, \pi]u_0(0)=u_0(\pi)=0, giống phương trình truyền nhiệt có thể lấy u_0 để nghiệm vẫn không cổ điển.

Cuối cùng ta chuyển sang bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng:

u_{tt}-u_{xx}=0, 0< x< \pi, t> 0,

u(0, t)=u(\pi, t)=0, t\ge 0,

u(x, 0)=u_0(x), u_t(x, 0)=u_1(x), 0\le x\le \pi.

Định lý 3.3.8 (Q. Han, trang 83). Nếu u_0\in C^3[0, \pi], u_1\in C^2[0, \pi] và thỏa mãn

u_0(0)=u_0(\pi)=0, u"_0(0)=u"_0(\pi)=0,

u_1(0)=u_1(\pi)=0

thì nghiệm tìm được bằng tách biến u\in C^2([0, \pi]\times[0, \infty) và là nghiệm cổ điển.

Tuy nhiên, cái hay của phương trình truyền sóng lại là khi điều kiện ban đầu không tốt, nghiệm không cổ điển! Nó khác hẳn so với Laplace và truyền nhiệt:

có thể điều kiện biên chưa tốt, có thể điều kiện ban đầu chưa tốt nhưng đã đi vào bên trong nó tốt đến mức bất ngờ (khả vi vô hạn)!

6 responses »

  1. Có vấn đề trong bài viết:

    – với bài toán biên Dirichlet trong hình tròn và hình vuông, khi điều kiện biên là hàm liên tục thì nghiệm vẫn có thể không cổ điển theo nghĩa:

    + trong hình tròn đơn vị lấy giá trị biên bằng cách cho r=1,

    + trong hình vuông lấy giá trị biên bằng cách cho x=0

    vì Paul du Bois-Reymond chỉ ra ví dụ về hàm liên tục tuần hoàn có chuỗi Fourier phân kỳ;

    – tuy nhiên nếu việc lấy giá trị biên bằng quá trình lấy giới hạn

    + trong hình tròn đơn vị lấy giá trị biên bằng cách cho r\to 1^-,

    + trong hình vuông lấy giá trị biên bằng cách cho x\to 0^+

    thì điều kiện biên liên tục vẫn cho ta nghiệm thỏa mãn giá trị biên.

    Một cách tương tự với phương trình truyền nhiệt trong đoạn hữu hạn.

  2. Em thưa thầy, thầy có thể tư vấn cho em bài toán sau được không ạ.

    Phương trình cần giải là:

    (∂δ(y,t))/∂t=D(∂^2 δ(y,t))/(∂y^2 )+β (∂δ(y,t))/∂y

    trong đó D và β là các hằng số;

    với các điều kiện biên:

    δ(y=0,t=0)=δ(y=d,t=0)=δ-0,

    δ(y=0,t=∞)=δ(y=d,t=∞)=δ_∞ (T_a ).

    Trong đó, δ-0 là nồng độ ban đầu ở biên;

    δ_∞ (T_a ) là nồng độ phụ thuộc thời gian lấy trung bình trên quãng đường khuếch tán d và T-a là nhiệt độ cuối của buồng.

    Trong bài này, em định hướng sẽ làm theo phương pháp tách biến khi nhìn vào dạng phương trình ban đầu. Tuy nhiên, em bị mắc với điều kiện biên chỉ ở hai đầu (x=0 và x=d) và hai thời điểm xác đinh (t=0 và t=∞). Vậy thầy có thể gợi ý hướng giải quyết bài toán giúp em được không ạ.

    Em cảm ơn thầy nhiều ạ.

    • Nếu chỉ có điều kiện biên như vậy thì về lý thuyết ta có thể tìm được vô số nghiệm cho bài toán vì:

      – ta nối điều kiện biên x=0 và x=d bằng nhiều cách,

      – ta nối điều kiện ban đầu t=0 bằng nhiều cách.

      • Trong phương trình cần giải, nếu không có số hạng thứ 2 ở vế phải, nếu dùng phép biến đổi Laplace kết hợp với điều kiện biên ở trên thì lời giải là:

        (δ(t)-δ_o)/(δ_∞-δ_o )=(2/d).(∑(-1)^n ∫erfc((nd+y)/(2√Dt))dy )

        trong đó, phép lấy tổng theo n từ 0 đến vô cùng; còn phép lấy tích phân từ 0 đến d.

        Thầy có thể tư vấn giúp em về tài liệu nên tìm đọc có thể cho lời giải gốc ứng với đáp án như trên được không ạ. Từ đó, em có thể phát triển thêm khi bổ sung số hạng thứ 2.

        Em cảm ơn thầy nhiều ạ.

      • Tôi không biết tài liệu nào nói về cái em cần.

        Tôi không hiểu \delta là hàm hai biến y, t còn lời giải cho thấy \delta không phụ thuộc y?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s