Tính chất khả vi được suy ra từ tính khả tích

Standard

Khi học về dãy hàm hay tích phân phụ thuộc tham số ta quan tâm đến:

– tính liên tục,

– tính khả tích,

– tích khả vi

của hàm giới hạn và tích phân phụ thuộc tham số. Dưới đây ta tập trung vào việc quan sát tính khả tích và khả vi, đặc biệt việc sử dụng tích khả tích để chứng minh tính khả vi.

Ta bắt đầu với dãy hàm f_n:(a, b)\to\mathbb R, n=1, 2, \dots, là các hàm khả vi. Trước hết ta quan sát một số ví dụ để thấy nếu dãy hàm f_n hội tụ đều đến hàm f trong (a,b) thì hàm giới hạn f chưa chắc khả vi.

VD 1: Xuất phát từ hàm không khả vi

f:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=|x|.

Ta làm nhiễu đồ thị của hàm này một chút bằng cách

f_n(x)=\sqrt{x^2+n^{-2}}, n=1, 2, \dots.

dh_lt

Không khó tính toán

f'_n(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+n^{-2}}},

f_n(x)-f(x)=\dfrac{1}{n(\sqrt{n^2x^2+1}+n|x|)}

nên dãy f_n

– dãy gồm các hàm khả vi trên \mathbb R,

– hội tụ đều, trên \mathbb R, đến hàm không khả vi f.

Trong ví dụ này chỉ có một điểm không khả vi. Liệu giới hạn đều của dãy hàm khả vi vẫn có thể khả vi đâu đó không?

VD2: Hàm Weierstrass

W(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}\cos(2^n x)

– không khả vi tại bất kỳ điểm nào trong \mathbb R,

– là giới hạn đều của dãy các đa thức lượng giác

S_N(x)=\sum\limits_{n=0}^N 2^{-n}\cos(2^n x)

là các hàm khả vi vô hạn.

w

Một cách tổng quát, Weierstrass đã chỉ ra:

Với bất kỳ hàm liên tục f:[a, b]\to\mathbb R đều có dãy các đa thức P_n hội tụ đều đến f trên [a, b].

Các bạn tham khảo thêm

https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem

Khi a=0, b=1, S. N. Bernstein còn chỉ ra cụ thể dãy các đa thức Bernstein

B_n(f)(x)=\sum\limits_{k=0}^n f(k/n)b_{k, n}(x)

với b_{k, n}(x)=\binom{k}{n}x^k(1-x)^{n-k} là đơn thức Bernstein.

Chi tiết các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial

Cũng trường hợp này, ta thác triển chẵn, chu kỳ 2 được hàm chẵn, tuần hoàn chu kỳ 2. Khi đó L. Fejer chỉ ra dãy các đa thức

\sigma_n(f)(x)=\sum\limits_{k=-n}^n\left(1-\dfrac{|k|}{n}\right)\hat{f}(n)e^{i\pi nx}

với hệ số Fourier

\hat{f}(n)=\int_0^1 f(x)e^{-i\pi nx}dx.

Vậy điều kiện gì đảm bảo hàm giới hạn khả vi?

Một trong các điều kiện cần:

– dãy các đạo hàm hội tụ đều trong (a, b),

– bản thân dãy hàm đã cho chỉ cần hội tụ tại một điểm x_0\in(a, b).

Do tính khả vi có tính chất địa phương nên ta có thể tinh chỉnh một chút: cố định x_0\in(a, b)

– bản thân dãy hàm hội tụ tại x_0,

– có \epsilon>0 đủ nhỏ để (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)\subset(a, b) và dãy đạo hàm hội tụ đều đến hàm g trong (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon).

Khi đó f_n hội tụ đến f trong (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon). Hơn nữa f khả vi trên (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)

f'=g trong (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon).

Ta sẽ sử dụng kết quả về tính khả tích của dãy hàm khả tích hội tụ đều để chứng minh kết quả trên. Muốn vậy ta cần tăng giả thiết, cụ thể f'_n liên tục trên (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon). Khi đó dãy nguyên hàm

F_n(x)=\int_{x_0}^xf'_n(y)dy

hội tụ trên (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon) đến F(x). Lại có

F_n(x)=f_n(x)-f_n(x_0)

và dãy \{f_n(x_0)\} hội tụ, ký hiệu giới hạn này a_0. Khi đó dãy f_n hội tụ trong (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon) đến F(x)+a_0. Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Giả thiết về tính liên tục là đòi hỏi khá mạnh. Trong sách Giáo trình Giải tích tập 2 của các thầy Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn không cần đến giả thiết này. Có khá nhiều ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm không khả tích Riemann. Ví dụ f(x)=x\sin(1/x) là hàm khả vi trong (0, 1), có đạo hàm

f'(x)=-\dfrac{1}{x}\cos(1/x)+\sin(1/x)

là hàm không bị chặn trong (0, 1) nên không khả tích trong đó.

Ví dụ về hàm khả vi, có đạo hàm bị chặn và không khả tích Riemann, được Volterra lần đầu tiên đưa ra. Ví dụ này được xây dựng khá phức tạp. Các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function

Ví dụ đơn giản hơn được C. Goffman đưa ra. Ví dụ này có nhiều nét giống ví dụ của E. L. Grinberg về Định lý Sard. Các bạn tham khảo

https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/07/23/phan-vi-du-dinh-ly-sard/

http://math.uga.edu/~pete/Goffman77.pdf

Câu hỏi khác liên quan đến vấn đề này: hàm khả vi, ta có thể khôi phục lại hàm từ đạo hàm của nó nhờ tích phân?

Trường hợp f:[a, b]\to\mathbb R có đạo hàm f' là hàm khả tích Riemann trên (a, b) thì nó có tập các điểm gián đoạn có độ đo không. Khi đó

F(x)=\int_a^x f'(y)dy

khả vi hầu khắp nơi và F'=f' hầu khắp nơi. Hơn nữa

F(x)=f(x)-f(a) trên [a, b].

Một cách tổng quát, nếu một hàm f:(a, b)\to\mathbb R liên tục tuyệt đối địa phương thì

– nó khả vi hầu khắp nơi, có đạo hàm f' khả tích Lebesgue địa phương trong (a, b),

– và

f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(y)dy, x_0, x\in(a, b).

Các bạn thử dùng kết quả này để đưa ra các kết quả về tính khả vi của hàm giới hạn nhờ các Định lý hội tụ trội Lebesgue hay hội tụ đơn điệu B. Levi.

Ta chuyển sang tích phân phụ thuộc tham số cận hữu hạn

I(x)=\int_c^d f(x, y)dy

với f:[a, b]\times[c, d]\to\mathbb R

+ khả tích trên [c, d] theo y với mỗi x cố định,

+ có đạo hàm riêng theo x với mỗi y cố định.

Câu hỏi:

+ I(x) có khả vi trong (a, b) không?

+ Nếu có thì liệu

I'(x)=\int_a^b f_x(x, y)dy có đúng không?

VD3: Xét hàm f:[-1, 1]\times[-1, 1]\to\mathbb R xác định bởi

f(x, y)=\begin{cases}\dfrac{x^2-y^2}{x^2} \; khi \; 0< |y| < |x|,\\ 0\; otherwise\end{cases}

f_x(0, y)=\begin{cases}0  \; khi \; y\not=0,\\ 1\; x=0\end{cases}

I(x)=\int_{-1}^1 f(x, y)dy=4|x|/3 không khả vi tại x=0.

VD4: Xét Xét hàm f:[-1, 1]\times[-1, 1]\to\mathbb R xác định bởi

f(x, y)=\begin{cases}\dfrac{x^3y}{(x^2+y^2)^2} \; khi \; y\not=0,\\ 0\; otherwise\end{cases}

f_x(0, y)=\begin{cases}\dfrac{x^2y(3y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3}  \; khi \; y\not=0,\\ 1\; khi \; y=0\end{cases}

I(x)=\int_{0}^1 f(x, y)dy=\dfrac{x}{2(x^2+1)}

có đạo hàm

I'(x)=\dfrac{1-x^2}{2(x^2+1)^2}

nên

I'(0)=1/2\not=0=\int_{0}^1f_x(0, y)dy.

Vậy điều kiện gì để không xảy ra những điều như các ví dụ trên?

Trong Giáo trình Giải tích tập 2 đòi hỏi thêm

f_x là hàm liên tục trên [a, b]\times[c, d].

Cũng giống dãy hàm, tính khả vi mang tính địa phương nên tinh chỉnh: cố định x_0\in(a, b).

Giả sử có \epsilon>0 để (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)\subset(a, b)

f_x là hàm liên tục trên [x_0-\epsilon, x_0+\epsilon]\times[c, d].

Khi đó I(x) khả vi trong (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)

I'(x)=\int_c^d f_x(x, y)dy, x\in(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon).

Để chứng minh ta dùng tính khả tích của f_x, cụ thể

\int_{x_0}^x \left(\int_c^d f_x(s, y)dy\right)ds= \int_c^d\left(\int_{x_0}^x f_x(s, y)ds\right)dy.

Ngoài ra, chú ý tính liên tục của

f_x(s, y)\int_c^d f_x(s, y)dy

ta có

\int_{x_0}^x \left(\int_c^d f_x(s, y)dy\right)ds là nguyên hàm của \int_c^d f_x(x, y)dy

\int_c^d\left(\int_{x_0}^x f_x(s, y)ds\right)dy=I(x)+\int_c^d f(x_0, y)dy.

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Tuy nhiên điều kiện liên tục của đạo hàm riêng thực sự mạnh. Ta chỉ cần đạo hàm riêng f_x bị chặn là đủ. Các bạn tham khảo

http://math.stackexchange.com/questions/11654/passing-the-derivative-inside-the-integral

Trong Giáo trình Giải tích tập 2 đưa ra việc sử dụng tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số để chứng minh tính khả tích. Ở đó ta cần tính liên tục của f trên [a, b]\times[c, d]. Sau khi học tích phân bội ta sẽ thấy điều kiện liên tục mạnh so với tính khả tích. Thực sự ta chỉ cần tính khả tích để chứng minh tính khả tích. Kết quả mạnh về điều này các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Fubini%27s_theorem

One response »

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s