Hàm trơn không giải tích

Standard

Xét hàm f: (a, b)\to\mathbb R, a< b. Hàm f được gọi là trơn, còn gọi khả vi vô hạn, nếu nó có đạo hàm mọi cấp trên (a, b). Hàm f được gọi là hàm giải tích nếu nó trơn và chuỗi Taylor tại mọi điểm trên (a, b) của nó đều hội tụ đến nó trong một lân cận của điểm đang xét.

Như ta đã biết hàm

\rho(x)=\begin{cases}e^{-x^{-2}} \; khi \; x\not=0, \\ 0 \; otherwise,\end{cases}

là hàm trơn và không giải tích tại x=0.

Từ đây, không khó khăn lắm, ta có thể xây dựng được hàm trơn và không giải tích tại tối đa đếm được điểm. Liệu có hàm trơn nào mà nó không giải tích tại mọi nơi không?

Trước hết ta đến với điều kiện cần và đủ để một hàm trơn là hàm giải tích:

Cho trước hàm trơn f:(a, b)\to\mathbb R. Khi đó điều kiện cần và đủ để f giải tích là:

với bất kỳ điểm x_0\in(a, b) đều có các số dương \epsilon, C, R (phụ thuộc x_0) sao cho

(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)\subset(a, b)

|f^{(j)}(x)|\le C\dfrac{j!}{R^j}, \forall j\in\mathbb Z_+, \forall x\in (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon).

Việc kiểm tra hàm \rho ở trên không thỏa mãn điều kiện này nói chung không đơn giản. Các bạn thử kiểm tra xem sao?

Ta sẽ dùng điều kiện trên để chỉ ra rằng tập các hàm giải tích là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật trong không gian các hàm trơn với khoảng cách được định nghĩa bởi

d(f, g)=\sum\limits_{j=0}^\infty \min\{\sup\limits_{x\in[a_j, b_j]}|f^{(j)}(x)-g^{(j)}(x)|, 2^{-j}\},

với a_j giảm về a, còn b_j tăng đến b.

Với khoảng cách này không gian các hàm trơn là không gian \mathcal E(a, b). Khi đó nó là không gian metric đầy đủ.

Với mỗi x_0\in(a, b), c> 0 ta ký hiệu

T(x_0, c)=\{f\in C^\infty(a, b):\; |f^{(j)}(x_0)|\le j!c^k\}.

Từ điều kiện trên ta có:

– nếu f giải tích tại x_0\in(a, b) thì có c\in\mathbb N để f\in T(x_0, c),

– nếu f giải tích tại x_0 thì nó giải tích quanh một lân cận của điểm x_0.

Khi đó tập các hàm giải tích thuộc vào hợp đếm được

\cup_{x_0\in\mathbb Q\cap(a, b) \atop c\in\mathbb N}T(x_0, c).

Có thể thấy rằng:

– tập T(x_0, c) là đóng trong \mathcal E(a, b),

– với bất kỳ \epsilon > 0f\in T(x_0, c) ta luôn tìm được b> 0, n\in\mathbb N, để hàm

g=f+b^{-n}\epsilon \cos(b(x-x_0))\in B(f, 2\epsilon)\setminus T(x_0, c).

Như vậy T(x_0, c) là tập không đâu trù mật. Mà \mathcal E(a, b) là không gian metric đầy đủ nên

\cup_{x_0\in\mathbb Q\cap(a, b)\atop c\in\mathbb N}T(x_0, c)\not= C^\infty(a, b).

Như vậy có hàm trơn mà không giải tích tại mọi điểm.

Cách chứng minh trên, theo James Dugundji là của H. Salzmann và K. Zeller.

Cách tiếp cận khác chỉ ra cụ thể các hàm trơn và không giải tích tại mọi điểm. Để tiếp tục, tôi đưa ra cách của Sung S. Kim and Kil H. Kwon. Cách này có sử dụng hàm \rho như trên. Cụ thể xét hàm

\phi(x)=\begin{cases}e^{-x^{-2}-(x-1)^{-2}} \; khi \; 0< x< 1,\\ 0\; otherwise.\end{cases}

Kim và Kwon chứng minh được hàm

\psi(x)=\sum\limits_{j=1}^\infty\dfrac{1}{j!}\phi(2^j(x-[x]))

là hàm trơn và không đâu giải tích.

Có thể thấy hàm \psi:

– là hàm không âm, tuần hoàn chu kỳ 1,

– trơn và có đạo hàm mọi cấp tại các điểm nguyên đều bằng 0.

Để chứng minh tính không đâu giải tích ta chỉ cần chứng minh \psi không giải tích tại các điểm dạng:

x_{nm}=n2^{-m} với n, m\in\mathbb N, 1\le n\le 2^m-1, n lẻ.

Các bạn thử giải thích tại sao?

Với 1\le j\le m-1, có

0< 2^j(x_{nm}-[x_{nm}])< 1

nên \psi(2^{j}(x-[x])) là các hàm giải tích tại x_{nm}.

Còn với j\ge m

2^j(x_{nm}-[x_{nm}])\in\mathbb N

nên \dfrac{d^k}{dx^k}\psi(2^j(x-[x]))\Big|_{x=x_{nm}}=0, \forall k\in\mathbb Z_+.

Ngoài ra

\psi(2^m(x-[x]))> 0 khi x đủ gần và khác x_{nm},

\psi(2^j(x-[x]))\ge 0.

Do đó

\sum\limits_{j=m}^\infty\dfrac{1}{j!}\psi(2^j(x-[x]))

không giải tích tại x_{nm}.

Nói cách khác \psi không giải tích tại x_{nm}.

Vài nhận xét về ví dụ cụ thể trên:

– Hàm \psi là hàm không âm nên nếu lấy nguyên hàm của nó ta được hàm trơn, đơn điệu tăng và không đâu giải tích.

– Chuỗi Taylor của hàm \psi tại các điểm x_{nm} hội tụ tại mọi điểm trên đường thẳng thực, nói cách khác nó có bán kính hội tụ R=\infty.

Về nhận xét thứ hai, có hai câu hỏi:

– Tại những điểm khác x_{nm}, chuỗi Taylor của \psi không hội tụ đến hàm \psi trong lân cận của nó. Nó có hội tụ không? Bán kính hội tụ của nó liệu có bằng vô cùng?

– Có ví dụ nào khác về hàm trơn không đâu giải tích mà chuỗi Taylor tại bất kỳ điểm nào cũng có bán kính R=0?

Ta trả lời câu hỏi thứ hai bằng ví dụ

f(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty e^{-2^{k/2}}\cos(2^kx).

Giống ví dụ trước ta chỉ xét tại các điểm

y_{nm}=\pi n 2^{-m} với n, m\in\mathbb N, 1\le n\le 2^m-1, n lẻ.

Lấy đạo hàm cấp 2^{m_0}> 2^m tại điểm y_{nm} ta được

f^{(2^{m_0})}(y_{nm})=\sum\limits_{k=1}^{m-1}e^{-2^{k/2}}2^{k2^{m_0}}\cos(2^ky_{nm})+\sum\limits_{k=m}^\infty e^{-2^{k/2}}2^{k2^{m_0}}

\ge O(2^{m2^{m_0}})+e^{-2^{2^{m_0-1}}}2^{m_02^{m_0}}.

Từ đây dùng công thức Hadamard-Cauchy ta có

1/R\ge \lim\limits_{m_0\to\infty}\left|\dfrac{f^{(2^m_0)}(y_{nm})}{2^{m_0}!}\right|^{1/2^{m_0}}=+\infty.

Như vậy bán kính hội tụ của chuỗi Taylor tại mỗi điểm y_{nm} bằng 0.

Ta cũng gặp câu hỏi tương tự câu hỏi đầu cho hàm \psi ở trên. Các bạn thử chứng minh tại những điểm còn lại chuỗi Taylor của hàm f cũng có bán kính hội tụ R=0?

Với hàm \psi, tại những điểm còn lại có những điểm giống như trường hợp hàm f. Điều này được dẫn từ kết quả:

– (R. Boas) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn không đâu giải tích có bán kính hội tụ R=0 là tập trù mật trong (a, b).

– (Z. Zahorski) Tập các điểm chuỗi Taylor tại đó của một hàm trơn hội tụ trong một lân cận của điểm đang xét và không hội tụ đến hàm trơn trong lân cận bất kỳ của điểm đang xét là tập thuộc phạm trù thứ nhất dạng F_\sigma, nghĩa là hợp đếm được các tập đóng không đâu trù mật.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s