Giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy tập hợp

Standard

Nhắc lại khái niệm giới hạn trên, giới hạn dưới của dãy số thực:

  •  C1: Từ tập các giới hạn riêng của dãy số, cận trên đúng của tập này (kể cả vô cùng) được gọi là giới hạn trên của dãy số và cận dưới đúng là giới hạn dưới. Về khái niệm giới hạn riêng có thể nói nôm na là “chỗ”, trên đường thẳng thực, mà dãy số quay trở lại vô số lần.
  •  C2: Dãy số thực \{x_n\}_{n=1}^\infty

+(giới hạn trên) \limsup\limits_{n\to\infty}x_n=\inf\limits_{n\ge 1}\sup\limits_{k\ge 1}x_{n+k},

+(giới hạn dưới) \liminf\limits_{n\to\infty}x_n=\sup\limits_{n\ge 1}\inf\limits_{k\ge 1}x_{n+k}.

Chú ý

\cup_{k=1}^\infty (-\infty, a_k)=(-\infty, \sup\limits_{k\ge 1}a_k),

 \cap_{k=1}^\infty (-\infty, a_k]=(-\infty, \inf\limits_{k\ge 1}a_k].

Các bạn thử giải thích các đẳng thức trên. Nếu đảo dấu “)” và “]” thì điều gì xảy ra?

Từ C2 và chú ý trên ta có:

 \cap_{n\ge 1} \cup_{k\ge 1} (-\infty, x_{n+k})=(-\infty, \limsup\limits_{n\to\infty}x_n),

 \cup_{n\ge 1} \cap_{k\ge 1} (-\infty, x_{n+k}]=(-\infty, \liminf\limits_{n\to\infty}x_n].

Điểm này dẫn đến khái niệm giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy tập hợp:

Cho dãy các tập con A_n, n=1, 2, \dots, của tập X. Khi đó

+(giới hạn trên) \limsup\limits_{n\to\infty}A_n=\cap_{n\ge 1}\cup_{k\ge 1}A_{n+k},

+(giới hạn dưới) \liminf\limits_{n\to\infty}A_n=\cup_{n\ge 1}\cap_{k\ge 1}A_{n+k}.

Một cách nhìn trực giác khác về giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy tập hợp:

  •  x\in \limsup\limits_{n\to\infty}A_n khi và chỉ khi x thuộc vào vô số các tập A_n.
  •  x\in\liminf\limits_{n\to\infty}A_n khi và chỉ khi x thuộc vào tất cả, trừ ra một số hữu hạn, các tập A_n.

Quay trở lại khái niệm giới hạn riêng với cách hiểu nôm na ở trên có thể cụ thể hơn:

Giới hạn riêng của dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty thuộc vào vô số lân cận (x_n-\epsilon, x_n+\epsilon), với bất kỳ số dương \epsilon.

Khi đó ta có thể viết tập tất cả các giới hạn riêng của dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty như sau

\cap_{m=1}^\infty(\limsup\limits_{n\to\infty}(x_n-1/m, x_n+1/m)).

Việc chứng minh một chiều, cụ thể tập các giới hạn riêng nằm trong tập trên đã được chỉ ra ở trên. Chiều ngược lại, nghĩa là với mỗi số thuộc tập trên cần chỉ ra dãy con hội tụ đến số đó xin được dành cho bạn đọc.

Tiếp theo ta sẽ thử dùng giới hạn trên và giới hạn dưới để mô tả giới hạn dãy hàm. Xét dãy hàm f_n: X\to\mathbb R, n=1, 2, \dots, và hàm f: X\to\mathbb R.

Với n, m\in\mathbb N, ta ký hiệu

A_n^m=\{x\in X:\; |f_n(x)-f(x)|<1/m\},

B_n^m=\{x\in X:\; |f_n(x)-f(x)|\ge 1/m\}=X\setminus A_n^m.

Khi đó với x\in X

\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) khi và chỉ khi

với mỗi m\in\mathbb Nx thuộc vào tất cả, trừ ra một số hữu hạn, các tập A_n^m hay

x\in \liminf\limits_{n\to\infty}A_n^m.

Tập các điểm x\in Xf là hàm giới hạn của dãy hàm f_n

\cap_{m=1}^\infty (\liminf\limits_{n\to\infty}A_n^m).

Không khó để thấy, dùng de Morgan, tập các điểm mà dãy f_n không hội tụ đến f

\cup_{m=1}^\infty (\limsup\limits_{n\to\infty}B_n^m).

Cách mô tả trên giúp ta nói về hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo độ đo khá thuận lợi. Cụ thể, với (X, \mu) là không gian đo:

Dãy f_n được gọi là hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f nếu

\mu(\limsup\limits_{n\to\infty}B_n^m)=0, \forall m\in\mathbb N.

Dãy f_n được gọi là hội tụ theo độ đo \mu đến hàm f nếu

\lim\limits_{n\to\infty}\mu(B_n^m)=0, \forall m\in\mathbb N.

Khái niệm hội tụ đều hầu khắp nơi, hay hội tụ trong L_\infty(X, \mu), cũng được viết theo cách tương tự:

Với mỗi m\in\mathbb Nn_0\in\mathbb N sao cho

\mu(\cup_{n=n_0}^\infty B_n^m)=0 hay \mu(B_n^m)=0, \forall n\ge n_0.

Từ đây có thể thấy hội tụ trong L_\infty dẫn đến hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo độ đo. Tuy nhiên hội tụ hầu khắp nơi chưa chắc hội tụ theo độ đo hay hội tụ trong L_\infty, cũng như hội tụ theo độ đo chưa chắc hội tụ hầu khắp nơi.

Từ một dãy hàm hội tụ theo độ đo ta có thể trích ra một dãy con hội tụ hầu khắp nơi.

Thật vậy, từ điều kiện hội tụ theo độ đo ta có thể xây dựng được dãy tăng ra vô cùng các số tự nhiên n_k sao cho

\mu(B_n^{2^{k}})<2^{-k}, \forall n\ge n_k.

Đặt Q_k=B_{n_k}^{2^{k}}Y=\limsup\limits_{k\to\infty}Q_k. Khi đó

  • dãy con \{f_{n_k}\}_{k=1}^\infty hội tụ điểm trên X\setminus Y,
  • \mu(Y)=0.

 

Trong trường hợp \mu(X)<\infty nhờ tính liên tục dưới ta có

Nếu dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi thì

\lim\limits_{n\to\infty}\mu(\cup_{k=n}^\infty B_k^m)=0, \forall m\in\mathbb N.

Khi đó dãy hàm hội tụ theo độ đo.

 Ngoài ra, với mỗi \epsilon>0 ta tìm được dãy tăng ra vô cùng các số tự nhiên n_m sao cho

\mu(\cup_{k=n_m}^\infty B_k^m)<\epsilon/2^m, \forall m\in\mathbb N.

Đặt B=\cup_{m=1}^\infty \cup_{k=n_m}^\infty B_k^m có các điều sau:

  • Với mỗi x\in X\setminus B hay x\not\in B_k^m, \forall m\ge 1, k\ge n_m nên |f_k(x)-f(x)|<1/m, \forall m\ge 1, k\ge n_m. Do đó dãy hàm f_k hội tụ đều đến f trong X\setminus B.
  • \mu(B)<\epsilon.

Như vậy ta đã chứng minh Định lý Egorov:

Khi độ đo hữu hạn, dãy hội tụ hầu khắp nơi sẽ hội tụ gần đều (almost uniformly convergence).

Từ Định lý Egorov này dẫn đến kết quả thú vị sau:

Với X là tập mở trong \mathbb R^n\mu là độ đo Lebesgue. Giả sử dãy f_n\in L_p(X) hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f.

Nếu ||f_n||_{L_p}<C, \forall n\in\mathbb N, thì f\in L^p(X)f_n hội tụ yếu đến f, nghĩa là

\lim\limits_{n\to\infty}\int_X f_n(x)\varphi(x)dx=\int_Xf(x)\varphi(x)dx, \forall \varphi\in C^\infty_0(X).

Ở trên ta thấy giới hạn trên, giới hạn dưới được dùng để mô tả sự hội tụ của dãy hàm. Ngoài ra nó còn được dùng trong chứng minh. Việc sử dụng trong chứng minh còn thấy trong việc chứng minh tính khả tích đều của hàm trong L_p(X) như trong bài Tính liên tục tuyệt đối của “nguyên hàm” hàm khả tích Lebesgue.

Một ví dụ khác về việc sử dụng giới hạn trên, giới hạn dưới do Chử Văn Tiệp giới thiệu:

Cho X là tập mở, bị chặn trong \mathbb R^n, \mu là độ đo Lebesgue và dãy hàm đo được f_n: X\to\mathbb R. Khi đó có dãy số thực a_n sao cho

\lim\limits_{n\to\infty}a_nf_n(x)=0 hầu khắp nơi trong X.

Để chứng minh kết quả này ta dùng Định lý Lusin ta có:

Với mỗi n\in\mathbb N có tập compact A_n\subset X sao cho

  • f_n liên tục trên A_n,
  • \mu(X\setminus A_n)<2^{-n}.

Đặt A=\liminf\limits_{n\to\infty}A_n, B=X\setminus A=\limsup\limits_{n\to\infty}(X\setminus A_n)a_n=\dfrac{1}{a_n\max_{A_n}|f_n|} ta có điều phải chứng minh.

3 responses »

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s