Trao đổi bài giảng PTĐHR lớp K59TN

Standard

Hôm nay, 05/09/2016, tôi bắt đầu dạy môn PTĐHR cho K59TN. Tài liệu cho môn học các bạn có thể xem

https://bomongiaitich.wordpress.com/2015/09/07/trao-doi-bai-giang-ptdhr-lop-k58tn/

Tôi trình bày sơ qua về nội dung môn học. Ngoài ra tôi có nhờ lớp trưởng chia lớp thành ba nhóm nhỏ để làm bài tập nhóm. Hy vọng trong tuần tới tôi có trong tay danh sách nhóm.

94 responses »

  1. Danh sách các nhóm tôi nhận được:

    N1: Phạm Quang Huy, Đỗ Đình Khuê, Lê Gia Tài, Trần Xuân Thắng.

    N2: Trần Mỹ Đức, Trần Hồng Quân, Nguyễn Thị Thu Quyên.

    N3: Đào Quang Đức, Nguyễn Văn Đức, Trần Đại Tân.

    Nhóm 3 có thêm bạn Nguyễn Tuấn Anh K56A2.

  2. Hôm nay 12/09/2016 tôi có nhờ một số bạn lên chữa bài tập trong sách GS. Bernard và sách của Rubinstein-Pinchover. Chú ý khái niệm đường đặc trưng (characteristic curves) trong hai sách khác nhau về hình thức.

    Hình ảnh các đường đặc trưng của bài 2/tr. 29, sách Bernard, như sau:

    dac trung

    Từ hình vẽ ta thấy các điểm sau:

    + Nếu chỉ xét các đường cong xuất phát tại các điểm x(0)\in(-\pi/2, 0) thì chúng không cắt nhau.

    + Dưới đường t^*=\sqrt{2} các đường đặc trưng không cắt nhau.

    + Giao của đường đặc trưng x-\frac{t^2}{2}\cos\xi -\xi=0, 0<\xi<\pi/2 và đường x=\pi/2

    x=\pi/2, t=\sqrt{\dfrac{\pi-2\xi}{\cos\xi}}.

    Để ý rằng

    \lim\limits_{\xi\to \pi/2}\dfrac{\pi-2\xi}{\cos\xi}=2.

  3. Hôm nay tôi có nhờ một số bạn lên chữa các bài:

    – chuyển về dạng chính tắc, tìm nghiệm tổng quát,

    – tìm nghiệm khi biết thêm hai điều kiện:

    + đặt trên cùng một đường không đặc trưng,

    + đặt trên hai đường, trong đó có một đường đặc trưng còn đường kia không đặc trưng,

    + đặt trên cùng một đường đặc trưng: xuất hiện hiện tượng không đặt chỉnh,

    + đặt trên hai đường đặc trưng thuộc hai họ khác nhau: bài toán Goursat.

    Cuối giờ có hai bài còn dở:

    – sử dụng đồ thị để giải,

    – chú ý miền xác định duy nhất nghiệm.

  4. Bài tập phần truyền sóng – truyền nhiệt cho K59TN:

    song nhiet

    Bài tập của GS Bernard: cả ba nhóm đều phải làm.

    Bài tập của GS Bernard và bài tập trong sách Guenther-Lee các bạn lấy theo

    BT_song_nhiet_k59TN

    Hạn nộp: 25/10/2016.

  5. Sáng nay tôi chữa tiếp bài 3.4 trong sách Pinchover-Rubinstein. Các bạn có thể tham khảo thêm:

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2015/09/07/trao-doi-bai-giang-ptdhr-lop-k58tn/#comment-3864

    Ngoài ra, nếu điều kiện cho dưới dạng

    u(0, y)=f(y), u_x(0, y)=g(y), y> 0

    ta cũng có công thức nghiệm kiểu D’Alembert

    u(x, y)=\dfrac{f(\sqrt[3]{y^3+3x})+f(\sqrt[3]{y^3-3x})}{2}+\dfrac{1}{2}\int\limits_{\sqrt[3]{y^3-3x}}^{\sqrt[3]{y^3+3x}}s^2g(s)ds

    trong miền I: y^3>3|x|.

    3.4

    Với mỗi (x_0, y_0)\in I có miền phụ thuộc là đoạn

    [(0, \sqrt[3](y^3_0-3x_0)), (0, \sqrt[3]{y^3_0+3x_0})]

    nằm trong nửa trục 0y, y>0.

    Các điểm (x_2, y_2)\in II, (x_3, y_3)\in III có miền phụ thuộc không nằm trong nửa trục 0y, y>0 nên trong vùng II, III nghiệm không xác định được từ điều kiện đã cho.

    • Chú ý rằng nghiệm tổng quát có dạng tổng của “sóng tiến-lùi”

      u(x, y)=F(y^3-3x)+G(y^3+3x).

      Từ điều kiện ta tính được F(x), G(x) khi x> 0.

      Tôi có dùng thêm điều kiện

      u(x, 0)=h(x), x\in\mathbb R.

      Một bạn thác triển khả vi đến cấp 2 “sóng tiến, sóng lùi” F(x), G(x) sang phần âm.

      Điều kiện khả vi đến cấp 2 tại x=0 chính là điều kiện đặt lên h(x) tương thích với điều kiện đã cho f(x), g(x). Cụ thể:

      h(0)=f(0), (tôi đã để ý trong lúc chữa)

      h'(0)=g(0), (chính là tính khả vi liên tục của F, G tại x=0)

      và từ phương trình ta cần

      h khả vi đến cấp 2 (chính là tính khả vi liên tục đến cấp 2 của F, G tại x=0).

      Điều kiện tương thích (compatibility conditions) kiểu này giống với bài 4.4, tr. 93 và 4.6, tr. 94 trong sách Pinchover-Rubinstein.

      Câu hỏi: nếu thay u_x(0, y)=g(y) bởi u_y(0, y)=g(y) thì điều gì xảy ra?

  6. Hôm nay tôi định chiếu việc chạy Maple nhưng không dùng được máy chiếu. Lớp cố gắng chuẩn bị để lúc nào ta có thể chiếu được.

    Tôi có nhờ các bạn gõ code tôi đã chuẩn bị nhưng chỉ chạy được một bài. Phần code tôi chuẩn bị các bạn có thể lấy theo đường link

    truyensong K59TN

    Các bạn lấy về rồi thử chạy xem sao. Nếu chạy được thử thay đổi phần nhập điều kiện, tốc độ lan truyền, chiều dài sợi dây theo bài của các bạn xem được gì không.

    Tôi mới viết cho:

    – bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng trên toàn trục,

    – bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền sóng trên một đoạn hữu hạn với điều kiện biên hai đầu cố định.

    Các bạn thử viết cho các bài toán khác xem?

  7. Tôi bắt đầu chấm bài tập về PT cấp 1.

    – Nhóm 1: gặp khá nhiều vấn đề so với sáng nay. Khá nhiều bài tưởng đơn giản nhưng không phải, chẳng hạn bài 2.25, sách Pinchover-Rubinstein, các bạn dùng phương pháp đặc trưng và chỉ dùng điều kiện đã cho thì chỉ được đúng điều kiện đã cho! Bài 2.1, sách Pinchover-Rubinstein, có vẻ như các bạn chưa thấy được sốc ở câu a, b. Đấy là lý do có câu c.

    – Nhóm 2: còn thiếu 2.20 sách Pinchover-Rubinstein, và bài 2, 10, sách Bernard.

    – Nhóm 3: bạn Đ. Q. Đức làm hết, bạn T. Đ. Tâm chỉ làm trong sách Bernard, bạn N. V. Đức chỉ thiếu 2.30. Riêng bạn N. T. Anh không làm gì. Chú ý lần sau các bạn chia nhau ra làm, đặc biệt bạn N. T. Anh cần tích cực làm bài với nhóm.

    Trong tuần tới:

    – ta sẽ chữa bài tập phần PT cấp 1,

    – ta cũng chữa các bài về PPDT,

    – các bạn chuẩn bị máy chiếu và máy tính để ta xem việc dùng Maple giải PTDHR như nào.

  8. Thưa thầy, bài tập hôm nọ em nộp sót bài tập của GS Bernald, phần em nộp cho thầy là của sách Pinchover.Vậy ngày mai thầy có tiết ở trường không ạ, nếu không thì thứ Hai em đem nộp cho thầy sau được không ạ?
    Em xin lỗi thầy vì sơ suất của em.

  9. Hôm nay các bạn đã thử chạy các đoạn code tôi viết và gặp hiện tượng:

    – Có trường hợp tính tay nhanh, tính máy thì sai: nhưng có bạn tính như máy thì không bằng máy?

    – Có trường hợp tính bằng tay không nhanh bằng máy.

    Tôi có:

    – giải thích một vài lý do cho hiện tượng trên,

    – hỏi xem phải sửa lại code như nào?

    Tôi có một cách sửa lại như sau:

    truyen song sua

    Các bạn xem:

    – tôi sửa như nào?

    – lý do của cách sửa?

    • Hôm nay nhóm 1 và nhóm 2 thực hành. Nếu được tuần sau nhóm 3 sẽ thực hành. Bài tập để thực hành các bạn xem trong sách của Asmar, Exercise 3.3 trang 103. Hy vọng các bạn cảm thấy dễ thực hành.

  10. Nhóm 1 chữa bài 2.19, sách Pinchover-Rubinstein. Hình chiếu của đường đặc trưng

    x=-\dfrac{1}{t-\frac{1}{s}}, y=-\dfrac{1}{t-\frac{1}{2s}}.

    Chú ý:

    – nếu đường đặc trưng đi qua gốc thì nó chính là gốc (hiện tượng suy biến, degenerate);

    – trừ gốc ra, các đường đặc trưng là đường hyperbolic nhận đường x=2s là tiệm cận ngang hoặc y=-2s là tiệm cận đứng;

    – tất cả các đường đặc trưng đều được “kéo dài” gốc, nghĩa là trừ đường suy biến ta có gốc không nằm trên đường đặc trưng nhưng gốc lại là điểm tới hạn của đường đặc trưng

    + khi thời gian ra âm vô cùng, s> 0,

    duong dac trung

    + khi thời gian ra dương vô cùng, s< 0,

    duong dac trung

    Điểm thứ 3 là điểm mà một bạn nhóm 1 lên hỏi tôi tại sao tôi nói bạn vẽ sai! Các bạn vẽ theo cách dùng mối quan hệ giữa x và y

    \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2s}.

    Theo cách này các bạn sẽ vẽ được các đường đặc trưng đều đi qua gốc!

      • Bạn N.T.T.Quyên có nhận xét về điểm tương đồng giữa bài 2.19 và 2.5 trong sách Pinchover-Rubinstein:

        hệ số của u_x, u_y đều không âm.

        Tuy nhiên điểm khác nhau bài 2.5 hệ số dương thực sự, còn 2.19 thì có thể bằng 0 trên hai trục. Điều này dẫn đến

        Bài 2.19: Đường đặc trưng đi qua điểm (1, 2) sẽ không bao giờ đến gốc, hay không bao giờ cắt vào hai trục. Hơn nữa nó cũng không đi qua đường x=2.

        dc

        Bài 2.5: mọi đường đặc trưng đều ra vô hạn.

        Điểm gợi ý cho bài 2.5: hệ số cách 0! Gần giống bài toán con sên bò.

  11. Hôm nay,

    – một số bạn lên chữa bài tập về bài toán giá trị riêng Sturm-Liouville (chưa xong);

    – có bạn chữa bài về việc sử dụng tích phân năng lượng để chứng minh tính duy nhất nghiệm;

    – một số bạn chữa bài về việc dùng đổi biến giải phương trình cấp 1.

    Về bài tập Sturm-Liouville, tuần sau ta sẽ chữa tiếp. Về bài tập PT cấp 1, sáng mai ta sẽ tiếp tục với chú ý khi áp vào điều kiện tìm nghiệm các bạn chú ý:

    – vẽ hình ảnh về họ đường đặc trưng cắt với đường điều kiện như nào, có những tình huống nào xảy ra.

    Mai ta sẽ chữa các bài tập về phương pháp đặc trưng giải PT cấp 2, đặc biệt phương trình truyền sóng.

  12. Có bạn hỏi tôi: có trường hợp nào đường ban đầu tiếp xúc với hai đường đặc trưng không?

    Trả lời: bài 2.18, trang 60 sách Pinchover-Rubinstein. Hình vẽ

    đặc trưng

  13. Tuần này là tuần thứ 6. Hy vọng sang tuần sau các bạn cho tôi biết ngày các bạn có thể thi giữa kỳ. Thi giữa kỳ sẽ thi viết, trong thời gian 120 phút, được dùng tài liệu.
    Nội dung thi:

    – bài tập tính toán: gồm các bài về việc dùng PP đặc trưng giải PT cấp 1, cấp 2 và PP tách biến giải bài toán biên hỗn hợp cho PT truyền sóng, truyền nhiệt trong đoạn hữu hạn, cũng như PP tích phân Fourier giải PT tiến hóa nói chung và PT truyền nhiệt nói riêng;

    – bài tập lý thuyết: tích phân năng lượng dẫn đến tính duy nhất nghiệm, nguyên lý cực đại yếu, chứng minh tính ổn định.

  14. Tôi bắt đầu chấm bài tập lần 2:

    – nhóm 1: còn thiếu bài 4.2, 4.8 (Pinchover-Rubinstein), 6 (trang 359 O’Neil); làm nhầm bài 10 (trang 359 O;Neil), chưa biết tìm nghiệm tổng quát PT cấp 2, và chưa biết tìm nghiệm riêng.

    – nhóm 2: còn thiếu bài 4.6 (Pinchover-Rubinstein), chưa biết sử dụng D’Alembert để vẽ đồ thị nghiệm PT truyền sóng trong đoạn hữu hạn, chưa phân rõ miền có shock và miền chân không của bài toán Cauchy PT cấp 1.

    – nhóm 3: về cơ bản làm hết, có hiện tượng nhầm: hàm một biến lại lấy đạo hàm riêng, hàm hai biến lại lấy đạo hàm mà không rõ theo biến nào; chưa biết tìm nghiệm riêng; tự nhiên viết đổi biến trong PT cấp 1 mà không rõ xuất phát từ đâu.

    Ngoài ra các bạn không để ý phân loại các PT cấp 2 khi chuyển nó về dạng chính tắc.

  15. Hôm qua bạn Tuấn Anh có chữa bài 6, trang 123 sách Asmar. Việc chữa mới chỉ dừng lại ở việc vẽ sóng tiến, sóng lùi:

    + sóng tiến

    F(x)=f^*(x)-\pi\int_0^x g^*(y)dy;

    + sóng lùi

    G(x)=f^*(x)+\pi\int_0^x g^*(y)dy.

    Để vẽ đúng thì khá tỉ mẩn, mặc dù đồ thị là đường gấp khúc. Tuy nhiên nếu để ý thì số hạng

    f^*(x)

    rất nhỏ so với

    \pi\int_0^x g^*(y)dy.

    Lại chú ý thêm: nếu chỉ thay đổi nhỏ trạng thái ban đầu f^* thì về cơ bản hình ảnh sóng không thay đổi!

    song

    Nhìn hình ảnh sóng ta gần như thấy rằng trạng thái ban đầu ở vị trí cân bằng.

  16. Hôm nay tôi nhờ một số bạn chữa tiếp bài tập về giá trị riêng, hàm riêng của bài toán Sturm-Liouville. Để chứng minh tính dương của giá trị riêng hay tính trực giao của các hàm riêng có hai cách:

    – C1: tính toán tường minh,

    – C2: sử dụng tích phân.

    Có bạn hỏi về việc dùng biến đổi Fourier giải bài toán Cauchy cho PT cấp 2, hay bài tập của GS Bernard. Sáng mai tôi sẽ làm cụ thể phần này. Đặc biệt với PT truyền nhiệt ta gặp hàm lỗi erf. Các bạn tham khảo

    https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

  17. Hôm nay tôi đã thống nhất với cả lớp về lịch thi giữa kỳ:

    thứ Ba, ngày 08/11/2016, từ 7h đến 9h.

    Sau đó tôi sẽ thêm bài về Maple để cộng điểm.

    Chú ý tuần sau nộp bài tập lần 3.

  18. Sáng nay tôi có nhờ một số bạn chữa bài tập:

    – Bài tập về việc sử dụng biến đổi Fourier để giải các bài toán giá trị ban đầu, chú ý việc tính toán các tích phân trong đó có

    + hàm lỗi

    erf(x)=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-y^2}dy,

    + biến đổi Fourier của hàm Gauss G(x)=e^{-x^2}:

    \hat{G}(\xi)=\int_{\mathbb R}e^{-ix\xi}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}G(x/2),

    + biến đổi Fourier của hàm e^{ix^2}:

    \int_{\mathbb R}e^{-ix\xi}e^{ix^2}dx=\sqrt{\pi}e^{-i(\pi^2\xi^2-\pi/4)}.

    Các bạn tham khảo thêm

    https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

    – Bài tập về tích phân năng lượng, chú ý việc dùng tích phân từng phần.

    – Bài tập liên quan đến quan hệ tán xạ (dispersion relationship), vận tốc pha, vận tốc nhóm và chú ý

    + nếu \omega(k) có phần ảo âm thì PT được gọi là tán xạ (dissipative),

    + nếu \omega(k) không tuyến tính theo k thì PT được gọi là tán sắc (dispersive).

    – Bài tập về bài toán biên hỗn hợp trên đoạn hữu hạn với chú ý:

    + khó dùng biến đổi Fourier, thường dùng tách biến,

    + để dùng tách biến phải có điều kiện biên thuần nhất,

    + nếu điều kiện biên chưa thuần nhất cần tìm hàm khử.

  19. Tôi có nói về biến đổi Fourier dùng để giải PDEs với hệ số hằng. Các bạn tham khảo

    constant coefficient PDEs

    Malgrange-Ehrenpreis

    Giai thoại (anecdote) về việc M. Riesz nói việc giải PDEs với hệ số hằng là việc của thế kỷ XXI các bạn xem trong bài viết về L. Schwartz của F. Treves, phần cuối (có lẽ thay cho lời kết)

    Schwartz_Treves

    và bài về L. Hormander của N. Lerner

    Hormander_Lerner

  20. Hình ảnh hàm nhiệt độ bài 14, mục 5.2 trang 229 sách O’Neil:

    Vài tính chất:

    – Điều kiện ban đầu gián đoạn tại x=h, nghiệm vẫn trơn khi t> 0.

    – Điều kiện biên và điều kiện ban đầu có hai giá trị 0 và 1 nên nghiệm

    0< u(x, t) < 1 khi x> 0, t> 0.

    Chú ý không có dấu “=”.

    \lim_{t\to+\infty}\sup_{x> 0}u(x, t)=0.

  21. Hôm nay tôi bị mắc bài 6.8, trang 169 sách Pinchover. Đề bài nên sửa các hàm riêng (eigenfunctions) bởi các giá trị riêng (eigenvalues) vì:

    – nếu u là hàm riêng thì -u cũng là hàm riêng!

  22. Tôi đang bắt đầu chấm bài tập lần 3:

    Nhóm 1: còn thiếu bài 57 sách thầy Hợp. Hai bài 67, 70 trong sách thầy Hợp các bạn chỉ viết công thức nghiệm Poisson mà chưa tính trong khi nghiệm của hai bài này hoàn toàn tính được tường minh.

    Nhóm 2: do một bạn không nộp nên còn thiếu khá nhiều. Cũng giống nhóm 1 về việc tính tường minh nghiệm Poisson cho bài 68, 71 trong sách thầy Hợp.

    Nhóm 3: còn thiếu 4 trang 176 sách Guenther-Lee, làm thừa một số bài. Cũng giống hai nhóm trên về việc cần phải tính tường minh công thức nghiệm Poisson chứ không cần thiết lập nó.

    • Nhóm 2 và 3 có các bài 6, trang 165 và bài 4 trang 176 trong sách Guenther-Lee, cần đến công thức Green.

      \iint_\Omega \Big(v(x, t)\big(u_t(x, t)-au_{xx}(x, t)\big)+u(x, t)\big(v_t(x, t)+av_{xx}(x, t)\big)\Big)dxdt=

      =\int_{\partial\Omega}\Big(u(x, t)v(x, t)\nu_t+a\big(u(x, t)v_x(x, t)-v(x, t)u_y(x, t)\big)\nu_x\Big)ds

      trong đó \Omega là miền bị chặn trong mặt phẳng với biên \partial\Omega trơn từng khúc, véc-tơ \nu=(\nu_x, \nu_t) là véc-tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên biên \partial\Omega.

      Đây cũng là công cụ cần cho PP Fokas, ngoài bổ đề Jordan.

  23. Hôm nay tôi nhờ một số bạn chữa bài 1 trang 216 sách Guenther-Lee. Bài này quan tâm đến hàm mật độ C(x, t) của chất hóa học đang tan trong một ống nước có độ dài L. Hàm mật độ thỏa mãn phương trình

    C_t=K_0C_{xx}-wC_x, 0< x< L,

    với mật độ hai đầu

    C(0, t)=C(L, t)=0.

    Khi tìm nghiệm dạng tách biến ta dẫn đến bài toán giá trị riêng Sturm-Liouville

    K_0X"-wX'+\mu X=0.

    Tôi có yêu cầu chứng minh tính trực giao của các hàm riêng ứng với hai giá trị riêng khác nhau trong L^2((0, L), r). Tôi vướng việc xác định trọng r?

    Để xác định trọng r, theo cách trong sách Pinchover-Rubinstein, ta viết lại phương trình cấp 2 dưới dạng

    (K_0e^{-wx/K_0}X')' + \mu e^{-wx/K_0}X=0.

    Từ đây ta có trọng

    r=e^{-wx/K_0}!

  24. Hai bài 4.4 và 4.6 trong sách Pinchover-Rubinstein cũng được chữa nhưng chưa xong vì hết giờ. Hai bài này yêu cầu chỉ ra điều kiện tương thích đặt lên điều kiện ban đầu dẫn đến nghiệm D’Alembert là nghiệm cố điển. Có thể thấy ngay

    u(x, 0)=f(x) cần khả vi liên tục đến cấp 2,

    u_t(x, 0)=g(x) khả vi liên tục.

    Tuy nhiên điều này chưa đủ vì công thức nghiệm của hai miền

    \{x\ge t> 0\}\{0< x< t\}

    được cho bởi hai cách khác nhau dẫn đến việc phải quan tâm đến tính liên tục, có đạo hàm riêng cấp 1 rồi 2 trên đường đặc trưng qua gốc x=t.

    Ta có thể nhìn điều này qua thác triển f^*, g^*. Tính chất của nghiệm trên đường x=t chính là tính chất của các thác triển tại x=0.

    Việc thác triển chẵn hay lẻ phụ thuộc vào điều kiện biên, tuy nhiên nếu các bạn sử dụng điều kiện biên để dẫn đến thác triển chẵn hay lẻ thì không dễ vì có thể thác triển khác đi mà vẫn thỏa mãn điều kiện biên với chú ý phần thác triển thêm của f, g có thể phụ thuộc lẫn nhau!

  25. Sáng nay sau khi kiểm tra xong, bạn Huy có dùng Maple để vẽ hình ảnh sóng bài 3. Vẫn còn lỗi nhỏ trong code:

    – nguyên hàm của “vận tốc ban đầu” là hàm lẻ do nguyên hàm hàm chẵn bằng 0 tại gốc là hàm lẻ.

    Sau khi sửa lại ta có hình ảnh:

    song

    Hình ảnh sóng nằm giữa hình ảnh sóng tiến, sóng lùi với chú ý:

    – một vẽ bằng việc cắt chuỗi nghiệm,

    – một vẽ bằng D’Alembert.

  26. Một trong các vấn đề sau khi tìm được hàm Green của các bài toán cho phương trình tiến hóa:

    – kiểm tra lại điều kiện ban đầu theo nghĩa

    xem “giới hạn” của \int G(x, y, t)f(y)dy khi t\to 0_+ có về f(x) không?

    Có thể thấy điều này là cần khi xây dựng công thức nghiệm Green cho bài 6, trang 165 và bài 4 trang 176 trong sách Guenther-Lee.

    Với bài 5 trong đề giữa kỳ các bạn thử xem việc kiểm tra điều kiện ban đầu như nào?

    Các bạn tham khảo thêm bài

    Xấp xỉ đồng nhất

    • Điểm này khác biệt so với việc tìm các nghiệm đặc biệt:

      – nghiệm tự đồng dạng (self-similar) của phương trình Schrodinger, trong Bernard,

      – nghiệm sóng chạy (travelling wave) của phương trình Burger, trong O’Neil.

  27. Sáng nay tôi đã trả bài kiểm tra giữa kỳ và nhờ các bạn chữa bài 1, 2, 3. Riêng bài 5 bạn N. V. Đức lên chữa bằng phương pháp Fokas. Tuy nhiên bài 5 là bài toán Cauchy trên toàn trục nên ta không thấy được điểm khó của phương pháp. Bạn L. G. Tài lên chữa bài 5 được sửa lại chỉ trên nửa trục. Tuy nhiên bạn lúng túng ở việc bẻ cong đường lấy tích phân. Nếu được sáng mai bạn Tài hoặc bạn khác lên chữa tiếp bài này.

    Hai tiết đầu sáng mai tôi chuyển sang trình bày hàm điều hòa, tiết ba chữa tiếp bài kiểm tra.

  28. Sáng nay tôi bắt đầu trình bày khá chậm về hàm điều hòa:

    – công thức Green,

    – biểu diễn hàm qua tích phân,

    – tiêu chuẩn tích phân mặt của hàm điều hòa,

    – tính chất trung bình hàm điều hòa.

    Có hai bài tập:

    BT1. Nếu u\in C^2(\Omega) thỏa mãn

    \int_{B}\Delta u(x)dx=0

    với mọi hình cầu B\subset \Omega

    thì u điều hòa trong \Omega.

    BT2. Nếu u\in C(\Omega) thỏa mãn tính chất trung bình trong hình cầu thì nó thỏa mãn tính chất trung bình trên mặt cầu.

    Sáng thứ Hai tuần sau ta sẽ chữa hai bài trên. Ngoài ra ta sẽ chữa các bài tập về PT Laplace và PP Fokas.

    Tài liệu tôi dùng trình bày hàm điều hòa các bạn lấy

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2015/11/ptell.pdf

  29. Hôm nay một số bạn lên chữa bài tập về PT Laplace:

    – trong hình vuông,

    – trong hình tròn,

    – trong vành khăn.

    Tiết cuối ngày mai tôi sẽ tiếp tục chữa các bài tập này. Các bạn chuẩn bị bài 2.5.5 trang 86 sách của Haberman.

  30. Về hai bài lý thuyết trong phần hàm điều hòa:

    – bài 2 chưa ai làm, bài 1 có bạn đã chữa,

    – một vài phiên bản khác của bài 1:

    V1. Cho f\in L^1(\Omega) thỏa mãn

    \int_B fdx=0 với mọi hình cầu B\subset\Omega.

    CMR: f=0 h.k.n. trong \Omega.

    V2. Cho f\in L^1(\Omega) thỏa mãn

    \int_\Omega f\varphi dx=0 với mọi hàm \varphi\in C^\infty_0(\Omega).

    CMR: f=0 h.k.n. trong \Omega.

  31. Hôm nay tôi đã trình bày:

    – tính chất giá trị trung bình là đặc trưng của hàm điều hòa,

    – sử dụng tính chất giá trị trung bình để dẫn đến các tính chất sau của hàm điều hòa:

    + nguyên lý cực đại mạnh,

    + đánh giá gradient, từ đó dẫn đến tính giải tích của hàm điều hòa và tính chất compact tương đối của tập bị chặn đều các hàm điều hòa; định lý Liouville về tính hằng của hàm điều hòa bị chặn trên toàn không gian,

    + bất đẳng thức Harnack.

    Tôi có giới thiệu về bổ đề Weyl. Việc chứng minh bổ đề này có dùng tính chất giá trị trung bình và kỹ thuật trơn hóa hàm bằng “tích chập”. Nói ngoài lề, trong xác suất tích chập xuất hiện khi tính hàm mật độ đồng thời của hai biến ngẫu nhiên độc lập.

    Tuần tới tôi sẽ trình bày:

    – định lý về hội tụ đơn điệu của Harnack,

    – hàm Green, công thức Poisson,

    – phương pháp Perron.

    • Về bài tập:

      – một bạn chữa chi tiết bài toán biên Neumann cho PT Laplace trong vành khăn,

      – một bạn chữa bài toán biên cho PT Laplace trong quạt,

      – một bạn làm bài tập lý thuyết về kết quả tương tự định lý Liouville.

      Thứ Hai tuần sau sẽ tiếp tục chữa các bài:

      – PT Laplace,

      – bài tập lý thuyết.

      Ngoài ra các bạn chuẩn bị bài tập về PP Fokas.

  32. Nguyên lý cực đại mạnh nói rằng nếu hàm điều hòa đạt GTLN trong một miền (mở, liên thông) thì nó là hằng trên miền đó.

    Có hai hướng mở rộng tiếp:

    – Nguyên lý cực đại mạnh trên không chỉ đúng cho hàm điều hòa mà còn đúng cho hàm dưới điều hòa, nghĩa là hàm liên tục thỏa mãn bất đẳng thức

    u(x)\le \dfrac{1}{|B_r|}\int_{B_r(x)}u(y)dy, với mọi hình cầu B_r(x) nằm trong miền xác định.

    – Thay vì đạt GTLN bằng đạt cực đại địa phương ta vẫn có kết quả trên.

    Ta có thể thấy ý dưới điều hòa theo nghĩa so sánh như sau:

    Với \Omega là miền bị chặn. Cho u, v\in C(\bar{\Omega}) thỏa mãn:

    + u là hàm điều hòa trên \Omega,

    + v là hàm dưới điều hòa trên \Omega,

    + u=v trên biên \partial\Omega.

    Khi đó v\le u trong \Omega.

    Các bạn thử chứng minh các kết quả trên.

  33. Sáng nay tôi có nhờ một số bạn lên chữa:

    – các bài toán biên cho PT Laplace:

    + bài toán biên Dirichlet: bài 2.5.9 trong sách Haberman, đặc biệt câu b cần giải bài toán giá trị riêng Sturm-Liouville

    (rG')' +\dfrac{\lambda}{r}G=0, a< r< b,

    G(a)=G(b)=0,

    + bài toán biên Neumann: chú ý điều kiện cần và đủ để bài toán có nghiệm;

    – sử dụng nguyên lý cực đại, tính chất giá trị trung bình.

    Ngày mai tôi sẽ nhờ một bạn lên chữa bài về PP Fokas.

  34. Một bạn có hỏi tôi về việc hàm điều hòa nếu là hằng trong một tập mở thì có là hằng hay không?

    Chú ý tính giải tích hàm điều hòa cộng với tính liên thông của miền.

  35. Tôi bắt đầu chấm bài tập lần cuối:

    Nhóm 1: làm nhầm bài 7.17, không làm bài 7.22 sách Pinchover-Rubinstein, còn trong sách thầy Hợp chưa làm bài 30, bài 37 làm chưa đúng, bài 38 làm tốt.

    Nhóm 2: quên dạng PT Laplace trong hệ tọa độ cực cho bài 7.20, chưa nói được vì sao chuỗi Fourier hội tụ đến đúng hàm cho bài 7.17.

    Nhóm 3: chưa biết dùng xác định tại gốc hay bị chặn ở vô cùng để lọc nghiệm tách biến, còn thiếu các bài 3, 4 trong sách Bernard.

    Các nhóm chú ý việc xét hằng số bằng 0 trong quá trình tìm giá trị riêng rất khác so với các trường hợp khác.

    • Cả ba nhóm đều không làm được bài 4 trong sách Bernard. Nhóm 2 nhầm sang bài toán trên nửa trục, còn nhóm 1 nghĩ rằng không giải được biên bên phải.

      Bài 5 trong Bernard: nhóm 1 và 3 giải thích được chỗ bẻ cong tích phân, đến đoạn loại \hat{q}(\alpha k, t), \hat{q}(\alpha^2 k, t) chỉ có nhóm 1 cố gắng giải thích nhưng không để ý các hàm e^{-i\alpha k x}, e^{-i\alpha^2 k x} có độ tăng như nào khi

      x\ge 0, arg(k)\in (\pi/3, 2\pi/3), \alpha=e^{2\pi i/3}.

  36. Về hàm điều hòa tôi còn chưa trình bày:

    – biểu diễn nghiệm Poisson cho nửa không gian, ngoài hình cầu,

    – điểm bất thường khử được,

    – biến đổi Kelvin: cầu nối giữa bài toán biên Dirichlet trong và ngoài.

    Phần này các bạn tự đọc, có thể khi có thời gian tôi sẽ nhờ một số bạn lên làm.

    Tuần sau tôi sẽ trình bày phương pháp thế vị.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s