Cực trị trong hình học phẳng

Standard

Bài toán cực trị đầu tiên bài viết nói đến:

Trong tam giác ABC, cả ba góc đều nhỏ hơn 2\pi/3, tìm một điểm M sao cho tổng khoảng cách từ đó đến ba đỉnh là nhỏ nhất, nghĩa là

MA+MB+MC\le NA+NB+NC, \forall N\in\Delta ABC.

cthh1

Điểm M như vậy được gọi là điểm Fermat, hay điểm Fermat-Torricelli. Với bài toán gốc, bài toán được đặt ra bởi Fermat trong bức thư Fermat gửi Torricelli thì không có giả thiết cả ba góc đều nhỏ hơn 2\pi/3 và điểm M, N chỉ cần nằm trên mặt phẳng chứa tam giác. Câu trả lời cho bài toán này:

+ TH1: có một góc chẳng hạn \angle BAC\ge 2\pi/3 thì điểm Fermat chính là điểm A.

+ TH2: cả ba góc đều nhỏ hơn 2\pi/3 thì điểm Fermat là điểm M thỏa mãn

\angle AMB=\angle BMC =\angle CMA=2\pi/3.

Điểm Fermat được dựng như sau

fermat_torricelli

Dựng các tam giác đều bên ngoài tam giác đã cho BCD, CAE, ABF. Rồi nối AD, BE, CF, chúng đồng quy tại điểm Fermat M. Chi tiết chứng minh dành cho bạn đọc.

Tiếp theo tôi sẽ chứng minh điểm dựng được trong TH2 chính là điểm Fermat, nghĩa là điểm M thỏa mãn

\angle AMB=\angle BMC =\angle CMA=2\pi/3

chính là điểm có tổng khoảng cách nhỏ nhất.

Cách chứng minh này tôi học được từ thầy Nguyễn Minh Hà (ĐHSPHN1). Cách chứng minh sử dụng phương pháp véc-tơ.

cthh2

Kéo dài AM cắt BC tại P.  Đặt S_1, S_2, S_3 lần lượt là diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB. Khi đó

  • S_1 \cdot\overrightarrow{MA}+(S_2+S_3)\cdot\overrightarrow{MP}=0,
  • \overrightarrow{MP}= \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CP},
  • S_2\cdot \overrightarrow{BP}+S_3\cdot\overrightarrow{CP}=0.

Do đó ta có đẳng thức

S_1\cdot\overrightarrow{MA}+S_2\cdot\overrightarrow{MB}+S_3\cdot\overrightarrow{MC}=0.\quad (1)

Từ tính chất

\angle AMB=\angle BMC =\angle CMA=2\pi/3.

ta có

S_1\cdot MA=S_2\cdot MB=S_3\cdot MC.

Do đó đẳng thức (1) có thể viết lại

\dfrac{1}{MA}\cdot\overrightarrow{MA}+\dfrac{1}{MB}\cdot\overrightarrow{MB}+\dfrac{1}{MC}\cdot\overrightarrow{MC}=0.\quad (2)

Lấy điểm N bất kỳ trong mặt phẳng có

NA\ge \dfrac{\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{MA}}{MA}=MA+\overrightarrow{NM}\dfrac{\overrightarrow{MA}}{MA}.

Tương tự trên với các đỉnh B, C rồi dùng đẳng thức (2) ta có điều phải chứng minh.

Các bạn có thể tham khảo các chứng minh khác ở

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point

Bài toán tiếp theo cũng liên quan đến Fermat. Ông sử dụng nguyên lý thời gian tối thiểu (principle of least time) để chứng minh định luật khúc xạ ánh sáng của Snell:

Khi đi qua mặt phân cách giữa hai môi trường có chiết suất ánh sáng khác nhau hiện tượng ánh sáng bị bẻ cong  xuất hiện.

Chẳng hạn ta thấy chiếc đũa như bị gãy khi ta cho nó vào cốc nước.

5658052a7485f

Một cách toán học, định luật Snell được phát biểu như sau:

snell

Khi ánh sáng đến mặt phân cách giữa hai môi trường có góc tới là \theta_1 (góc hợp bởi đường đi đến của ánh sáng và pháp tuyến của mặt phân cách), và khi chuyển qua môi trường tiếp theo nó có góc ra là \theta_2 (góc hợp bởi đường đi ra của ánh sáng so với pháp tuyến của mặt phân cách) thì

\dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\dfrac{n_2}{n_1}

trong đó n_1 là chiết suất của môi trường trước, còn n_2 là chiết suất của môi trường sau. Ngoài ra đường đến và đường ra nằm trên cùng mặt phẳng vuông góc với mặt phân cách.

Chiết suất của môi trường n=c/v, trong đó c là vận tốc ánh sáng trong môi trường chân không, còn v là vận tốc ánh sáng trong môi trường đang xét. Khi đó ta có thể viết lại định luật Snell như sau:

\dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)}=\dfrac{v_1}{v_2}.

Đến đây ta xem cách tiếp cận của Fermat: Lấy A là điểm nằm trong môi trường trước còn B nằm trong môi trường sau. Trong môi trường trước ánh sáng đi với vận tốc v_1, còn trong môi trường sau đi với vận tốc v_2. Hãy tìm điểm M trên mặt phân cách để tổng thời gian ánh sáng đi từ A đến M, rồi từ M đến B là ngắn nhất, nghĩa là

\dfrac{MA}{v_1}+\dfrac{MB}{v_2}\le \dfrac{NA}{v_1}+\dfrac{NB}{v_2}

với bất kỳ điểm N nào trên mặt phân cách.

Lặp lại cách làm trên của thầy Nguyễn Minh Hà ta có

\dfrac{MA}{v_1}+\dfrac{MB}{v_2}+\overrightarrow{NM}\left(\dfrac{1}{v_1}\dfrac{\overrightarrow{MA}}{MA}+\dfrac{1}{v_2}\dfrac{\overrightarrow{MB}}{MB}\right)\le \dfrac{NA}{v_1}+\dfrac{NB}{v_2}.

Như vậy điểm M cần tìm là điểm trên mặt phân cách thỏa mãn hình chiếu của véc-tơ

\dfrac{1}{v_1}\dfrac{\overrightarrow{MA}}{MA}+\dfrac{1}{v_2}\dfrac{\overrightarrow{MB}}{MB}

lên mặt phân cách là véc-tơ 0. Từ đó ta thu được định luật Snell về khúc xạ ánh sáng.

Người ta lại dùng định luật khúc xạ Snell để chứng minh tính đoản thời của đường cycloid.

One response »

  1. Các bài toán trên đều có thể chuyển về bài toán cực trị trong giải tích. Chẳng hạn với bài điểm Fermat, ta lấy hệ tọa độ mà tọa độ các điểm A=(0, a), B=(b, 0), C=(c, 0). Với mỗi điểm N(x, y) có hàm tổng khoảng cách

    f(x, y)=\sqrt{x^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-b)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}.

    Tìm điểm M(x_0, y_0) để f đạt GTNN tại đó.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s