Trao đổi bài giảng môn PTĐHR lớp CH2016-2018

Standard

29/11/2015 tôi bắt đầu dạy môn PTĐHR cho lớp CH2016-2018.

Đề cương của môn học các bạn xem file

Mẫu-Đề cương học phần_PTĐHR

Về quá trình học các bạn tham khảo thêm

https://bomongiaitich.wordpress.com/2015/12/01/trao-doi-bai-giang-mon-ptdhr-lop-ch2015-2017/

Có gì cần trao đổi các bạn viết vào phần phản hồi.

Advertisements

72 responses »

  1. Các bạn có thể làm các bài tập về việc giải bài toán Cauchy cho PT cấp 1 trong quyển “A basic course in PDEs”.

    Ngoài cuốn của Q. Han các bạn có thể tham khảo:

    – bài tập cuối Chương 2 cuốn “An introduction to PDEs” của Pinchover-Rubinstein, các bạn lớp TTTN tôi từng dạy đều làm bài tập trong này (trừ K53),

    – bài tập trong Chương 8 cuốn “Beginning PDEs” của O’Neil, tôi cho K58TN, K59TN làm.

  2. Hôm qua có bạn hỏi tôi về các dạng bài tập PT cấp 1:

    – dạng thứ 1: tìm nghiệm dạng chuỗi như tuần trước đã chữa,

    – dạng thứ 2: dùng PP đặc trưng, có các hiện tượng:

    + điều kiện Cauchy đặt trên siêu mặt không đặc trưng,

    + điều kiện Cauchy đặt trên siêu mặt đặc trưng: khi đó hoặc bài toán vô nghiệm, hoặc bài toán có vô số nghiệm,

    + hiện tượng sốc: dùng điều kiện Rankine-Hugoniot, đôi khi xử lý hiện tượng chân không.

    Các bài tập về sốc các bạn tìm trong

    “Applied Partial Differential Equations; with Fourier Series and Boundary Value Problems, Fourth Edition “, R. Haberman,

    trong Chapter 12, mục 12.6.

  3. Hôm nay tôi nhờ một số bạn lên chữa hai câu trong bài 2.1, sách Q. Han.

    Một bạn dùng phương pháp Lagrange để chữa câu 1, bạn kia dùng đổi biến để chữa câu 2. Cả hai cách đều dẫn đến nghiệm tổng quát.

    Hai câu này đều có thể dùng phương pháp Lagrange hay đổi biến. Sau đó tôi có nhờ hai bạn lên tìm nghiệm dạng chuỗi.

  4. Về phương pháp Lagrange không dễ để sử dụng giải bài đầu tôi viết ở trên. Cụ thể

    Với bài 1 ta gặp hệ

    \dfrac{dx}{1}=\dfrac{dy}{-(y^2+1)}=\dfrac{du}{xy}

    không dễ để giải theo Lagrange.

    Với bài 2 ta gặp

    \dfrac{dx}{1}=\dfrac{dy}{-(x^2+1)}=\dfrac{du}{\cos x}

    ta giải được

    \varphi_1(x, y, u)=y+x^3/3+x=C_1,

    \varphi_2(x, y, u)=u-\sin x=C_2.

    Tại y=0

    \varphi_1(x, 0, u)=x^3/3+x, \varphi_2(x, 0, u)=0.

    Hỏi \varphi_1, \varphi_2 quan hệ với nhau như nào?

    Trả lời \varphi_2(x, y, u)=0! (Giải thích?)

  5. Về phần phương trình cấp 1 có một số bài tập lý thuyết:

    – hầu như các bài trong 2.4. Exercises, sách Q. Han, đều là bài tập dạng lý thuyết, rõ nét là các bài 2.3, 2.10, 2.11, 2.12,

    – trong Rubinstein-Pinchover có bài tương tự bài 2.3 là bài 2.5 trang 58.

    • Câu a, bài 2.5, yêu cầu tìm các điểm trên đường \{y=0\} mà đường đó đặc trưng tại các điểm đó đối với phương trình. Cụ thể hơn, tìm các điểm trên đường \{y=0\} mà trường a=(y, x) tiếp xúc với đường \{y=0\} tại các điểm đó.

      Sau đó tại các điểm này hãy tìm điều kiện tương thích đặt lên h. Điều kiện tương thích xuất hiện khi có mối liên hệ giữa phương trình và điều kiện Cauchy. Chú ý chia trường hợp \alpha.

    • Bài tập phần này:

      – tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa cho bài toán Cauchy cho PT cấp 2,

      – phân loại, chuyển về dạng chính tắc, tìm nghiệm tổng quát cho PT cấp 2, sau đó tìm nghiệm thỏa mãn thêm điều kiện đặt trên đường đặc trưng,

      – giải nghiệm bài toán biên bằng phương pháp tách biến, dùng lý thuyết để xem nghiệm tách biến có cổ điển không.

  6. Hôm nay tôi có nói về đề cương thi giữa kỳ:

    – Phần PT cấp 1:

    + bài tập tính toán:

    – tìm nghiệm dạng chuỗi của bài toán Cauchy khi điều kiện Cauchy đặt trên đường không đặc trưng,

    – giải bài toán Cauchy khi điều kiện Cauchy đặt trên đường đặc trưng;

    – giải bài toán Cauchy cho PT phi tuyến;

    – giải bài toán giá trị ban đầu có hiện tượng sốc;

    + bài tập lý thuyết: liên quan đến chứng minh trong L^\infty-đánh giá;

    – Phần PT cấp 2:

    + bài tập tính toán:

    – tìm nghiệm dạng chuỗi của bài toán Cauchy cho PT ellipitic khi điều kiện Cauchy đặt trên đường không đặc trưng;

    – phân loại, chuyển về dạng chính tắc, tìm nghiệm tổng quát;

    – tìm nghiệm của PT cấp 2 với điều kiện Cauchy đặt trên đường đặc trưng;

    – phương pháp tách biến giải bài toán biên hỗn hợp cho PT truyền sóng, truyền nhiệt.

    Chú ý về ý nghĩa của các điều kiện biên cho PT truyền sóng, truyền nhiệt.

    + bài tập lý thuyết:

    – chỉ ra nghiệm tách biến có cổ điển hay không;

    – chỉ ra tính duy nhất nghiệm nhờ tích phân năng lượng,

    – đánh giá năng lượng.

  7. Em chào thầy,
    Thưa thầy trong ví dụ cuối cùng của chương 1 có câu: … Nó kết thúc nhiệm vụ của nó tại t= 2 là lúc vùng u = 1 bị chặn lại hoàn toàn…
    Thầy có thể cho em hỏi là t = 2 nhìn thấy từ đâu và vùng u = 1 bị chặn như thế nào không ạ ?
    Em cảm ơn thầy!

  8. Em chào thầy!
    Em muốn hỏi một chút ạ. Trong bài 2 đề 3 giữa kì CH 15-17, pt đã cho là elliptic nên nó có dạng chính tắc là v_xixi+ v_nuynuy=0. Em muốn giải phương trình này để tìm nghiệm Tổng Quát của pt đã cho thì giải ntn ạ?

    • Chú ý đề bài yêu cầu tìm nghiệm giải tích, nghĩa là tìm nghiệm dạng chuỗi.

      Việc tìm nghiệm tổng quát của phương trình này không dễ!

      Câu b yêu cầu tìm nghiệm giải tích của bài toán sau đổi biến, còn câu c dùng câu b đưa ra nghiệm của bài toán ban đầu.

  9. Em thưa thầy, thầy có thể cho chúng em một bài toán tìm nghiệm theo phương pháp tách biến và kiểm tra xem nghiệm đó có là nghiệm cổ điển được không ạ?

  10. Tuần sau 17/01/2017 tôi sẽ cho lớp CH16-18 thi giữa kỳ môn PTĐHR. Lớp trưởng cũng như các bạn đã biết nhắc cho các bạn chưa biết giúp tôi nhé.

    Về lý thuyết tôi đang dạy PT Laplace:

    – nghiệm cơ bản, công thức Green và đồng nhất thức Green,

    – hàm Green, công thức nghiệm Poisson cho bài toán biên Dirichlet cho PT Laplace trong hình cầu,

    – tính chính quy: nghĩa là độ trơn của hàm điều hòa,

    – đánh giá gradient: được chứng minh bởi hai cách, C1 dùng đồng nhất thức Green, C2 dùng công thức giá trị trung bình,

    – tính chất trung bình của hàm điều hòa,

    – bất đẳng thức Harnack dạng vi phân và bất đẳng thức Harnack, từ đó dẫn đến định lý Liouville về hàm điều hòa trên toàn không gian,

    – nguyên lý cực đại.

    Tuần sau, tôi lại tiếp tục trình bày nguyên lý cực đại và ứng dụng.

    • Trong bài giảng hôm nay tôi mắc hai lỗi:

      – Lỗi 1: trong quá trình đánh giá gradient, trong bài giảng công thức sau “Thay vào (1.1) ta được …” không có dấu “-“. Trong bản gốc của Q. Han cũng mắc phải lỗi này, cụ thể trang 102, dòng 8 từ trên xuống ở vế phải của công thức “u(x)=…” phải có thêm dấu “-“.

      – Lỗi 2: trong quá trình chứng minh tính chất trung bình dẫn đến hàm liên tục là hàm điều hòa tôi gặp

      I=\int_{\partial B_t}u(z+\epsilon \omega)dS_\omega=u(z)\int_{\partial B_t}dS_\omega.

      Chỗ này làm rõ thêm bằng việc đổi biến y=z+\epsilon\omega

      I=\epsilon^{1-n}\int_{\partial B_{\epsilon t}(z)}u(y)dy.

      Từ tính chất giá trị trung bình ta có

      I=\epsilon^{1-n}(\epsilon t)^{n-1}\omega_n u(z)=u(z)\int_{\partial B_t}dS_\omega.

  11. thưa thầy. Bọn e vẫn chưa hiểu lắm bài này. Thầy giảng cho chúng e với a. đề bài ux+ u.uy=0
    với điều kiện u(x;0)= 1 khi x<0; =2 khi 0<x1. Trong bài này có chân không. Vậy tại x=0; t=0 không là soc phải k thầy?

  12. Thầy xem giúp em bài này em làm đúng chưa với ạ.
    file:///C:/Users/QD/Desktop/IMG_4570.JPG
    file:///C:/Users/QD/Desktop/IMG_4571.JPG
    file:///C:/Users/QD/Desktop/IMG_4572.JPG
    file:///C:/Users/QD/Desktop/IMG_4573.JPG

  13. Thưa thầy! ví dụ bài toán y.ux+x.uy=y.x
    a, u(x,y) =x trên đường y=4x
    b, u(x,y)=-2y trên đường y^2 =x^2-2
    c, u(x,y) =y^2 trên đường y=-x
    e hiểu câu b là bài toán đặt trên đường đặc trưng. Vậy phần a và c có phải dk đặt trên đường đặc trưng không thầy? Vậy có cái nhìn trực quan để phan biệt bài toán nào đặt trên đường đặc trưng hay khong a? E cám ơn thầy ạ

    • Tích phân phương trình đặc trưng

      \dfrac{dx}{y}=\dfrac{dy}{x}

      ta được họ các đường đặc trưng.

      Không khó để thấy khi nào điều kiện đặt trên đường đặc trưng hay không?

  14. Chiều mai sẽ thi giữa kỳ tại phòng 108T5.

    Nếu các bạn đến đầy đủ sớm ta sẽ thi từ 13h00.

    Nhờ lớp trưởng và các bạn nhắc các bạn chưa biết.

  15. Hôm nay tôi trình bày gọn phần nguyên lý cực đại mạnh. Có hai điểm thiếu sót trong bài giảng:

    – trong chứng minh bổ đề Hopf: “giả thiết thêm” u\le u(x_0) trên mặt cầu \partial B là thừa vì nó được suy ra từ các giả thiết

    u\in C^1(\bar{B})u< u(x_0) trong B;

    – khi phát biểu về bài toán biên Neumann tôi thiếu điều kiện “cầu trong” của biên \partial\Omega; giả thiết này là cần thiết vì nếu chỉ có biên thuộc C^1 thì có phản ví dụ:

    Sabina_Hopf

  16. Phần còn lại của giáo trình, ngoài:

    – phương pháp tách biến giải phương trình Laplace,

    – công thức D’Alembert cho phương trình truyền sóng,

    chủ yếu là các mệnh đề, định lý và các bài tập lý thuyết. Tôi sẽ đánh giá cao việc chữa bài tập lý thuyết. Trước mắt các bạn làm các bài lý thuyết trong bốn đề và các bài cuối chương phần phương trình Laplace trong Q. Han. Ra Tết ta sẽ chữa các bài này.

    Ra Tết bắt đầu học trở lại từ chiều thứ Ba, 07/02/2017. Tôi đã hỏi cô Thúy được phòng học cố định 105T5.

    • Phần phương trình Laplace còn khoảng bốn giờ nữa, sau đó tôi sẽ chuyển sang phương trình truyền nhiệt. Về cơ bản phương trình truyền nhiệt có nhiều nét giống phương trình Laplace. Có điểm khác biệt khá rõ:

      – với phương trình Laplace chỉ có siêu mặt không đặc trưng,

      – với phương trình truyền nhiệt điều kiện ban đầu đặt ngay trên đường đặc trưng nên có ví dụ Tikhonov về tính không duy nhất nghiệm.

      Ngoài ra khi giải ngược thời gian cho phương trình truyền nhiệt thì tính ổn định bị phá vỡ. Bài toán không đặt chỉnh này được quan tâm khá nhiều.

  17. Hôm nay tôi đã hoàn thành việc trình bày phương trình Laplace:

    – ước lượng tiên nghiệm,

    – nói qua về khử kỳ dị (các bạn tự đọc),

    – kỹ thuật Bernstein: để đánh giá gradient và đưa ra bất đẳng thức Harnack dạng vi phân,

    – phương pháp Perron giải bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace,

    – nói qua về phương trình Poisson và thế vị Newton.

  18. Hôm nay tôi nhắc lại về thế vị Newton và một số ý liên quan. Sau đó tôi bắt đầu chuyển sang phương trình truyền nhiệt:

    – Biến đổi Fourier.

    – Nghiệm cơ bản: nhân nhiệt hay nhân Weierstrass-Gauss.

    – Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu trong toàn không gian với điều kiện ban đầu thích hợp.

    – Một vài ví dụ: ví dụ Tikhonov về tính không duy nhất của bài toán Cauchy, ví dụ về tính không ổn định của việc giải ngược thời gian phương trình truyền nhiệt.

    – Bắt đầu chuyển sang tính chính quy của nghiệm phương trình truyền nhiệt.

  19. Hôm nay tôi sử dụng công thức dạng DIV để chứng minh:

    – tính trơn, đánh giá gradient cho nghiệm phương trình truyền nhiệt,

    – tính chất giá trị trung bình trong hình cầu nhiệt và trên mặt cầu nhiệt.

    Sau đó tôi chuyển sang nguyên lý cực đại yếu trong miền bị chặn và trong toàn không gian.

    Tuần tới tôi cố gắng trình bày xong phần phương trình truyền nhiệt:

    – nguyên lý cực đại mạnh,

    – đánh giá tiên nghiệm,

    – kỹ thuật Bernstein,

    – phương trình không thuần nhất.

    Các bạn chuẩn bị các bài tập lý thuyết và bài tập giải bài toán biên cho phương trình Laplace. Cuối giờ ta sẽ chữa.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s