Nguyên lý so sánh – phương trình F-KPP

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Phương trình F-KPP được khởi xướng từ nhà thống kê học-sinh học R. Fisher

u_t-\Delta u= ru(1-u)

trong bài báo “The wave of advance of advantageous genes,” Ann. Eugenics 7:353–369, 1937. Cùng năm 1937, ba nhà toán học A. Kolmogorov, I. Petrovskii, N. Piskunov cùng nhau nghiên cứu khía cạnh toán học của phương trình trên ở dạng tổng quát

u_t-\Delta u= f(u)\quad\quad (1)

trong bài báo “A study of the equation of diffusion with increase in the quantity of matter, and its application to a biological problem”, Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937.

Dưới đây tôi quan tâm đến nguyên lý so sánh của phương trình (1). Trước hết ta làm rõ vài chi tiết:

  • nghiệm u: \mathbb R^n\times [0, \infty) \to\mathbb R là nghiệm bị chặn, liên tục và đủ trơn để thỏa mãn phương trình;
  • hàm f: \mathbb R\to\mathbb R là hàm khả vi và đạo hàm của nó là hàm bị chặn.

Khi đó nguyên lý so sánh được phát biểu như sau:

Giả sử u_1, u_2 là hai nghiệm của (1) thỏa mãn

u_1(x, 0)\le u_2(x, 0), \forall x\in\mathbb R^n. \quad (2)

Khi đó u_1(x, t)\le u_2(x, t), \forall (x, t)\in\mathbb R^n\times(0, \infty).

Đặc biệt nếu thêm giả thiết u_1(x, 0)<u_2(x, 0) tại một điểm nào đó trong \mathbb R^n thì

u_1(x, t)<u_2(x, t), \forall (x, t)\in\mathbb R^n\times(0, \infty).

Một cách tổng quát hơn ta có thể gặp dạng phát biểu sau:

Giả sử u_1, u_2:\mathbb R^n\times[0, \infty)\to\mathbb R là hai hàm liên tục, bị chặn, đủ trơn để thỏa mãn bất đẳng thức

u_{1t}-\Delta u_1-f(u_1)\le u_{2t}-\Delta u_2-f(u_2), \forall (x, t)\in\mathbb R^n\times(0, \infty).

Khi đó ta cũng có các kết luận giống phát biểu trước.

Từ giả thiết của hàm f ta có thể viết

f(u_1(x, t))-f(u_2(x, t))=k(x, t)(u_1(x, t)-u_2(x, t)),

với k là hàm liên tục, bị chặn trong \mathbb R^n\times[0, \infty).

Như vậy để chứng minh phát biểu sau ta chỉ cần chứng minh phát biểu sau:

Giả sử w:\mathbb R^n\times[0, \infty)\to\mathbb R là hàm liên tục, bị chặn và đủ trơn để thỏa mãn

w_t-\Delta w - kw\ge 0, \forall (x, t)\in\mathbb R^n\times(0, \infty).

Khi đó:

  • nếu w(x, 0)\ge 0, \forall x\in\mathbb R^n, thì w(x, t)\ge 0, \forall (x, t)\in\mathbb R^n\times(0, \infty);
  • nếu thêm w(x, 0)>0 tại một điểm nào đó thì w(x, t)>0, \forall (x, t)\in\mathbb R^n\times(0, \infty).

Có thể thấy phát biểu này chính là nguyên lý cực đại yếu và nguyên lý cực đại mạnh cho trường hợp miền không gian \mathbb R^n. Trong trường hợp miền không gian là một tập bị chặn trong \mathbb R^n bạn đọc tham khảo trong bài giảng “Phương trình truyền nhiệt” của tôi. Cụ thể

  • nguyên lý cực đại yếu: Định lý 1.19, trang 23;
  • nguyên lý cực đại mạnh: Bổ đề 1.22, trang 25.

Nguyên lý cực đại mạnh dễ dàng chuyển sang miền bất kỳ. Với nguyên lý cực đại yếu cần chú ý tính bị chặn của nghiệm khi chuyển sang miền không bị chặn. Điều kiện bị chặn có thể giảm nhẹ bằng điều kiện tăng ở vô cùng.

Từ nguyên lý so sánh trên, nếu ta thêm

  • f(0)=f(1)=0,
  • u là nghiệm của (1) thỏa mãn 0\le u(x, 0)\le 1, \forall x\in\mathbb R^n,

thì nghiệm thỏa mãn 0\le u\le 1.

Advertisements

One response »

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

w

Connecting to %s