Trao đổi bài giảng PTĐHR lớp K60TN

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Hôm nay 05/09/2017, tôi bắt đầu dạy môn PTĐHR cho lớp K60TN. Tôi bắt đầu với việc đưa ra đề cương môn học. Đề cương chi tiết các bạn xem file

Đề cương học phần PTĐHR

Về tài liệu các bạn tìm đường link ở bài

Bài giảng PTĐHR lớp K59TN

Các bạn tự chia lớp thành hai nhóm làm bài tập. Sau mỗi phần nhất định tôi sẽ gửi danh sách bài tập nhóm và các file tài liệu cần thiết. Hy vọng thứ Hai tuần sau tôi có trong tay danh sách các thành viên của mỗi nhóm.

Advertisements

146 responses »

  1. Về giáo trình của GS. Bernard các bạn có thể mượn bản cứng ở Khoa. Bản cứng này được in từ bản mềm 2010. Hiện tại bản mềm của GS được cập nhật 2014 có vài chỉnh sửa nhỏ.

    Về sách của Y. Pinchover-J. Rubinstein các bạn chú ý sửa lại theo file các lỗi

    http://www2.math.technion.ac.il/~pincho/PDE.pdf

    Chẳng hạn bài 2.20, trang 61, có lỗi 25 về việc sửa lại phương trình.

  2. Sau khi nói qua về đề cương tôi chuyển sang trình bày về PT cấp 1 với các ví dụ:

    + phương trình mặt cong khi biết trường véc-tơ tiếp xúc trong không gian 3-chiều,

    + phương trình Burger: mô tả chuyển động một chiều của một dòng vật chất (chất lỏng, xe tham gia giao thông).

    Tiếp đến tôi xét phương trình cụ thể

    u_x+u_y=0, \quad (1)

    là phương trình mặt cong u=u(x, y) có trường véc-tơ tiếp xúc (1, 1, 0) tại mọi điểm.

    Đường cong đặc trưng (trong không gian 3-chiều)

    x=x(t), y=y(t), u=u(t)

    thỏa mãn phương trình

    x'(t)=1, y'(t)=1, u'(t)=0.

    Khi đó đường đặc trưng là các đường thẳng

    x=t+C_1, y=t+C_2, u=C_3.

    Biến đổi một chút (như nào?) ta được các mặt cong thỏa mãn phương trình

    u=f(x-y),

    trong đó f là hàm một biến khả vi.

    Nếu ta biết thêm mặt cong đã cho đi qua đường cong:

    (\Gamma)\; x=s, y=0, u=u_0(s), s\in\mathbb R,

    thì mặt cong duy nhất thỏa mãn là mặt cong gồm các đường đặc trưng cắt vào đường cong (\Gamma). Nói cách khác, để vẽ mặt cong duy nhất này, tại mỗi điểm trên đường (\Gamma) ta kẻ đường đặc trưng qua đó, rồi cho điểm đó chạy trên (\Gamma): các đường đặc trưng này sẽ dệt nên mặt cong:

    Đường đặc trưng

    Một cách nhìn khác về phương trình (1):

    u_t+u_x=0, x\in\mathbb R, t > 0,

    với u(x, t) mật độ các phương tiện giao thông tại điểm x trên đường vào thời điểm t.

    Đường cong đã cho lúc này được hiểu mật độ phương tiện giao thông tại thời điểm ban đầu:

    u(x, 0)=u_0(x).

    Khi đó đường cong đặc trưng x=x(t) nằm trong mặt phẳng Oxt thỏa mãn phương trình đặc trưng

    x'(t)=1.

    Dọc theo đường đặc trưng x=x(t)

    u(x(t), t)=u(x(0), 0)=u_0(x(0)) là hằng số.

    Sau vài biến đổi ta được nghiệm

    u(x, t)=u_0(x-t).

    Một cách hình ảnh tại thời điểm t_0 mật độ phương tiện giao thông u(x, t_0) chính là mật độ tại thời điểm ban đầu dịch sang phải (theo đường đặc trưng) t_0 đơn vị.

    Duong dac trung

  3. Sáng nay, 11/09/2017,tôi có nhờ một số bạn lên chữa các bài tập:

    – bài 1, 2 phần 2.4 Exercises, giáo trình của GS. Bernard,

    – bài 2.1, 2.2, phần 2.10 Exercises, sách Pinchover-Rubinstein.

    Với bài 2, giáo trình GS. Bernard, các bạn xem các đường đặc trưng được vẽ khá chính xác nhờ Maple

    Đường đặc trưng bài 2 – Bernard

    Các hình ảnh sau cho thấy trước và sau t^*=\sqrt{2}:

    +) trước t^*

    Bernard

    +) sau t^*

    Bernard

    Về bài 2.2 sách P-R, các bạn xem

    Bài 2.2- P-R

  4. Hôm nay 12/09/2017, tôi kết thúc phần trình bày lý thuyết PT cấp 1 với:

    – hiện tượng sốc, điều kiện Rankine-Hugoniot để tìm đường sốc,

    – hiện tượng chân không,

    – hiện tượng vô định: hoặc vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm,

    – giải PT cấp 1 dạng tổng quát nhất: điều kiện tương thích,

    – các phương pháp tìm nghiệm tổng quát: Lagrange, đổi biến.

    Sau đó tôi chuyển dần sang PT cấp 2 với việc phân loại: chú ý việc phân loại không phụ thuộc vào cách nhìn.

    Một số bạn lên chữa bài về phương pháp đổi biến. Tuần tới tôi tiếp tục chữa một số bài:

    – về PT cấp 1: hiện tượng vô định, giải PT phi tuyến,

    – chuyển về dạng chính tắc PT cấp 2.

    • Khi trình bày về điều kiện Rankine-Hugoniot có vài điểm chưa chặt chẽ vì ta coi nghiệm như nghiệm cổ điển rồi biến đổi. Khi có sốc, như ví dụ đã trình bày, ta thấy nghiệm có bước nhảy do đó ta cần hiểu nghiệm “thoáng hơn” hay gọi là nghiệm tích phân. Các bạn có thể tham khảo phần trình bày chặt chẽ:

      PT cấp 1

      Trong tài liệu này tôi cũng trình bày khá chặt chẽ việc giải PT cấp 1 dạng tổng quát.

    • Về cơ bản nó là dạng tham số hóa mặt cong, chú ý kiểm tra xem nó có suy biến thành đường cong không. Nếu được xem có thể viết được mặt cong dưới dạng đồ thị của hàm u=u(x, y) hay không? Nói chung tìm được nhiều dạng càng tốt.

    • Ví dụ bài 2, phần 2.4 Exercises, giáo trình của GS. Bernard, nếu chỉ dừng lại ở nghiệm dạng

      x=\dfrac{t^2}{2}\cos\xi+\xi, t=t, u=\cos\xi

      thì ta sẽ không để ý đến t^*=\sqrt{2}.

      Chính vì muốn tìm u=u(x, t) hay cần giải \xi=\xi(x, t) qua phương trình

      x=\dfrac{t^2}{2}\cos\xi+\xi

      ta thấy t^*. Ý nghĩa khi t>t^* thì u(x, t) là hàm đa trị:

      Bernard

  5. Sáng nay 18/09/2017, tôi trình bày việc chuyển về dạng chính tắc của PT cấp 2. Sau đó tôi nhờ hai bạn lên xác định loại và chuyển về dạng chính tắc các phương trình

    1) u_{xx}-2u_{xy}-3u_{yy}=0.

    2) u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}+u=0.

    Sau đó một số bạn lên tích phân dạng chính tắc ta thu được nghiệm tổng quát:

    1) u(x, y)=F(x-y)+G(3x+y).

    2) u(x. y)=A(x-y)\cos(x)+B(x-y)\sin(x).

    Ngày mai ta sẽ tiếp tục tìm nghiệm tường minh khi biết thêm điều kiện.

    Sau đó tôi nhờ một số bạn lên chữa bài PT cấp 1:

    – cách nhìn trong giáo trình GS.Bernard: có các hiện tượng sốc, chân không,

    Đường đặc trưng

    – PT cấp 1 phi tuyến: còn chưa xong bài

    p^2+q^2+2(p-x)(q-y)-2u=0, u(x, 0)=0 khi 0\le x\le 1.

    • Bài phi tuyến cấp 1 đã chữa

      pq=1, u(x, 0)=\log x.

      Mặt cong tích phân (integral surface – nghiệm) có phương trình tham số

      x=(t+1)s, y=t/s, u=2t+\log s:

      sivaji

      Có thể thấy mặt cong được tạo bởi các đường thẳng (đường đặc trưng) đi qua mỗi điểm trên đường cong đã cho.

      Hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng Oxy là miền

      \{(x, y): xy\ge -1/4\}

      nằm giữa hai nhánh của đường hyperbol xy=-1/4.

      Sivaji

    • Về bài PT cấp 1 một bạn lên chữa tiếp và giải được hai nghiệm.

      Về bài 17 trong giáo trình của GS. Bernard các bạn chuẩn bị để thứ Hai tuần sau chữa tiếp. Một vài hình ảnh cho bài này:

      Miền chỉ có một đường đặc trưng đi qua:

      Bernard

      Chia miền sau khi xác định được các đường sốc:

      Bernard

      Các hình ảnh của sóng:

      – còn thấy hai sóng con:

      Bernard

      – đoạn nối giữa hai sóng con mất:

      Bernard

      – hai sóng con hòa làm một:

      Bernard

      – sóng có biên độ giảm dần:

      Bernard

  6. Hôm nay 19/09/2017, một số bạn chữa tiếp các bài PT cấp 2 hôm qua. Một số hiện tượng:

    – có duy nhất nghiệm,

    – vô định: hoặc các điều kiện phải thỏa mãn rằng buộc, khi đó có vô số nghiệm, hoặc không thì sẽ vô nghiệm.

    Sau đó tôi có nói thêm một số chi tiết về bài

    pq=1, u(x, 0)=\log x.

    Quan sát thêm về hình chiếu đường đặc trưng

    x=(t+1)s, y=t/s, s>0

    miền hình chiếu của mặt cong

    \{xy\ge -1/4\}\setminus\{x\le 0, y\ge 0\}.

    Mặt cong tích phân là đồ thị của hàm

    u(x, y)=\begin{cases} -1+\sqrt{1+4xy}+\log\left(\frac{2x}{1+\sqrt{1+4xy}}\right) \; khi \; x\ge 0, y\ge 0,\\ -1-\sqrt{1+4xy}+\log\left(\frac{2x}{1-\sqrt{1+4xy}}\right) \; khi \; x< 0, y< 0. \end{cases}

    Riêng trong miền \{x> 0, y< 0, xy> -1/4\} mặt cong không là đồ thị của hàm số.

    sivaji

    Mặt cong không bị gãy khi chuyển qua đường đã cho u(x, 0)=\log x.

    Sivaji

    Mặt cong bị gập lại khi qua đường xy=-1/4, u=-1+\log(2x), x> 0.

    Sivaji

    • Về lý thuyết, tôi đã chuyển sang phương trình truyền sóng:

      – cách dùng sóng tiến, sóng lùi,

      – công thức D’Alembert, công thức hình bình hành,

      – thác triển.

      Chú ý việc tính toán \int_0^x g^*(y)dy.

  7. Thưa thầy, em đang gặp vấn đề với phương trình Burger $u_{t} + u u_{x} = 0, u(x,0) = h(x)$, trong sách đã trình bày nhưng em vẫn chưa hiểu.

    Làm thế nào để tìm điểm sốc $x = s(t)$, trong sách đã đề cập đến công thức cho vận tốc tại điểm sốc
    $s'(t) = \dfrac{u^{-}(s(t),t) + u^{+}(s(t),t) }{2}$. Nhưng nếu số hạng ở vế phải không phải hằng số thì sao? Hơn nữa, tìm điểm sốc ban đầu $x^\ast = s(t^\ast)$ như thế nào ạ?

    • Tôi chưa hiểu “vế phải không là hằng số”? Điểm bắt đầu sốc có thể hiểu là thời điểm bắt đầu xuất hiện sự cắt nhau giữa hai “vùng” đường đặc trưng. Chẳng hạn bài 17 trong giáo trình GS. Bernard như trên:

      + điểm (x=-2, t=0) là điểm bắt đầu của sự cắt nhau giữa các đường đặc trưng x=4t+C và x=t+C;

      + điểm (x=2, t=0) là điểm bắt đầu của sự cắt nhau giữa các đường đặc trưng x=3t+C và x=C.

      Tiếp đó khi xác định được sóng chân không và nghiệm ở các vùng chân không xuất phát tại (x=-3, t=0) và (x=1, t=0) cũng như các đường sốc bắt đầu từ hai điểm trên ta lại thấy:

      + điểm (x=-1/3, t=2/3) là điểm bắt đầu của sự cắt nhau giữa vùng chân không (xuất phát tại (x=-3, t=0) và các đường đặc trưng x=t+C;

      + điểm (x=3, t=2/3) là điểm bắt đầu của sự cắt nhau giữa vùng chân không (xuất phát tại (x=1, t=0) và các đường đặc trưng x=C.

      Tiếp đó …

  8. 25/09/2017, một số bạn lên chữa các bài về sốc và sóng chân không. Cuối giờ có bạn hỏi về bài 2.13 sách P-R. Bạn có đưa ra một nghiệm u(x, y)=\sqrt{2(x-1)}, x\ge 1. Nghiệm này mới đúng một nửa:

    Pinchover-Rubinstein

    – nó chứa phần đường cong đã cho (s^2/2+1, s^3/6+s, s) khi s\ge 0,

    – nó không chứa phần s< 0 của đường cong.

    Cần sửa lại nghiệm như nào?

    Khi chọn đường cong mới, chẳng hạn

    x_0(s)=s, y_0(s)=0, u_0(s)=0

    ta thu được nghiệm

    x=t^2/2+s, y=t^3/6+st, u=t.

    Khi đó nghiệm có thể viết dưới dạng

    y=u^3/6+(x-u^2/2)u=xu-u^3/3.

    Không khó để thấy mặt cong này đi qua đường cong đã cho trong đề bài.

    Pinchover-Rubinstein

    Kiểm tra nó thỏa mãn PT ban đầu thế nào?

    • Chúng ta có thể kiểm tra nghiệm này thoả mãn phương trình đề bài bằng cách sử dụng định lí hàm ngược.
      y_u=x-u^2 nên u_y=\dfrac{1}{x-u^2}.
      Hơn nữa, x=\dfrac{3y+u^3}{3u} nên x_u=\dfrac{-3y+2u^3}{3u^2}=\dfrac{u^2-x}{u}, lại sử dụng định lí hàm ngược, u_x=\dfrac{u}{u^2-x}. Thay lại vào phương trình ban đầu

      uu_x+xu_y=\dfrac{u^2}{u^2-x}+\dfrac{x}{x-u^2}=1.

      Chú ý rằng ta chỉ có thể áp dụng định lí hàm ngược tại những điểm mà x\neq u^2. Ngược lại, tại những điểm đó thì x=u^2, y=2u^3/3. Lại chừa ra điểm $(0,0,0)$ rồi áp dụng định lí hàm ngược. Tại (0,0,0) em không thấy nó thoả mãn đề lắm…

  9. 26/09/2017, một số bạn lên chữa các bài về truyền sóng:

    – bài 4.2, sách P-R, nói về cách dùng sóng tiến-lùi để vẽ đồ thị sóng tại thời điểm nào đó, để thấy được nghiệm kỳ dị (singular) hay không liên tục ở đâu, tính một vài giới hạn;

    – bài 4.3, sách P-R, nói về miền phụ thuộc, cách dùng công thức hình bình hành, khử biên và thác triển.

    Sau đó một bạn lên làm bài 12 trong sách Bernard có hiện tượng: sốc do ba vùng đường đặc trưng cắt nhau. Nếu ta coi như vùng giữa bị chèn lại và không tiếp tục thì thu được kết quả có vẻ đẹp mắt hơn cả.

    Giờ cuối tôi chuyển sang phương pháp tách biến giải bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền truyền sóng trên đoạn hữu hạn. Các bạn tự đọc cách làm cho phương trình truyền nhiệt.

    Tuần sau:

    – về bài tập: làm phần phương trình trình truyền sóng và tách biến,

    – về lý thuyết: tôi trình bày tính duy nhất nghiệm và phần phương trình tiến hóa (Chapter 5 – Bernard).

  10. Giờ tôi mới hiểu câu hỏi của bạn Linh: “Nhưng nếu số hạng ở vế phải không phải hằng số thì sao? ”

    Các bài 9, 10, 12 (sách Bernard) ở điều kiện ban đầu có những đoạn không hằng, nghĩa là không hằng từng khúc. Việc giải nghiệm ở vùng đường đặc trưng xuất phát tại đoạn không hằng có vài điểm phức tạp hơn.

    Nhóm 1 giải quyết được bài 9 bằng cách khá phức tạp

    tìm nghiệm dạng u(x, t)=g\left(\frac{x-t}{1-t}\right)

    bắt chước cách tìm nghiệm vùng chân không. Lý do đường đặc trưng ở đây x=t(1-\xi)+\xi.

    Nhóm 2 sau khi lên bảng mới sửa lại bài 12. Bài 10 chưa sửa là bài khó nhất phần này. Đường đặc trưng xuất phát từ đoạn [-1, 0] có dạng

    x=t\xi^2+\xi.

    Khi giải \xi=\xi(x, t) sẽ có hai nghiệm

    \xi_{1, 2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+4xt}}{2t}.

    Đến đây phải lọc nghiệm dựa vào 0< t < 1, x\ge t-1.

    Đây mới là điểm hơi khó. Điểm khó nhất còn ở phía sau.

    Thứ Hai tới ta sẽ chữa bài này và các bạn chuẩn bị bài 19 để chữa.

  11. Tôi đang chấm bài tập lần 1 (PT cấp 1):

    Nhóm 1: có vài chỗ viết chưa chi tiết các biến đổi, bài 2.6 (P-R) tính giới hạn

    \lim_{y-x^2\to 0}\dfrac{x}{y-x^2}(1-e^{(x-y/x)\ln x})=\infty

    sai!

    Bài 2.13 (P-R) làm giống gợi ý trong sách, chưa kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện, bài 2.19 (P-R) chưa vẽ đúng yêu cầu, cụ thể vẽ đường đặc trưng đi qua (1, 2, 1), (0, 0, 0), bài 2.28 (P-R) tìm sai \vec{P}_1 nên tìm nghiệm tổng quát sai (chú ý nghiệm tổng quát đương nhiên thỏa mãn PT); bài 9 (B) dùng điều kiện R-H sai, hiểu phần sốc phức tạp nên không làm được các ý c, d; bài 13 (B) chưa nhìn được hình ảnh các đường đặc trưng biến đổi khi đẩy \epsilon\to 0^+, còn thiếu nhiều snapshots.

    Nhóm 2: bài 16 (B) cần xác định tất cả các đường sốc xuất phát tại thời điểm t=0 trước khi viết tiếp các đường sốc sau đó, bài 18 (B) đã chữa nhưng viết ẩu, bài 10 (B) không tính nghiệm ở miền chỉ có một đường đặc trưng đi qua; bài 2.29 (P-R) không biết tìm điều kiện cho hàm \phi để bài toán có nghiệm và giải bài toán khi đó (hiện tượng vô định) và giải thích sự khác nhau giữa b & c.

    Nhóm 2 ít bị trừ lặt vặt (những chỗ cần biến đổi chi tiết) hơn nhóm 1.

      • Em thưa thầy, quả thầy bài 2.6. Em đã tính vội và tính sai thật. Bài 2.13 tối hôm đó em chưa cập nhật được trên trang của thầy nhưng đã giải tiếp như bên trên. Bài 2.19., em có vẽ các đường đặc trưng nhưng là hình chiếu trong mặt phẳng $(x,y)$. (chúng em chưa được học vẽ plot bằng maple nên hơi bỡ ngỡ.) Bài 2.28., chúng em đã thử lại nghiệm $u=\sqrt{x^2+y^2}$ và kết quả cho đúng, vì thế em chưa hiểu nhận xét của thầy lắm ạ. Bài 13, em hiểu ý tưởng của họ là khi $\epsilon\to 0$ thì các đường thẳng đặc trưng cũng có xu hướng đi qua 0 rồi nhưng chưa có lí luận vào bài 😦

        Về việc vẽ snapshot em sẽ tìm hiểu thêm và hoàn thiện hơn ở bài sau ạ.

      • Bài 2.19 có đường đặc trưng (chiếu xuống Oxy)

        \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=C.

        Để đi qua điểm (0, 0, 0) thì C=\infty. Khi đó viết lại xy=0. Vẽ tay cũng được.

        Để đi qua điểm (1, 2, 1) thì C=1/2. Khi đó viết lại (2y+1)(2x-1)=-1. Tiếp đó đường cần vẽ có tiệp cận đứng x=1/2 và tiệm cận ngang y=-1/2. Tiếp đó … dùng tay.

      • Ở trong bài 2.28., em chọn lại $P_1=(\frac{1}{y},-\frac{x}{y^2})$, nó cũng khớp và là gradient của $x/y$, nghiệm tổng quát là $u=\sqrt{x^2+y^2+g(x/y)}$ thì có vẻ được ạ.

      • Khi xem bài giải bài 2.28 nhóm 1, đoạn đầu tôi nghĩ là bài làm đúng. Đến câu sau, điều kiện cho trên đường đặc trưng mà bài giải vẫn ra duy nhất nghiệm tôi xem lại và giải bằng cách đổi biến thì thấy nghiệm tìm được không giống bài giải. Sau đó …

  12. Em thưa thầy. Bài tập 4.2 sách Pichover-Rubinstein yêu cầu giải phương trình $u_{tt} – u_{xx} = 0$ với điều kiện 0 < x 0. Vậy bọn em sẽ giải phương trình trên toàn miền hay chỉ trong góc phần tư thứ nhất thôi ạ ?

    • Với bài 10 ta dùng phương trình

      x-t\xi^2-\xi=0, -1<\xi<0,

      để tìm t^* (breaking time).

      Từ đây ta tìm đường sốc s=s(t) xuất phát t^*=1/2, x=-1/2 thỏa mãn

      s'(t)=\dfrac{1+\xi^2}{2}

      với \xi=\dfrac{-1+\sqrt{1+4st}}{2t}.

      Đường sốc này sẽ cắt trục Ot tại điểm (0, t_1), 1< t_1 < 3/2. Giao điểm này bắt đầu quy luật mới của đường sốc

      s'(t)=1/2, t> t_1.

      Với bài 19, nhìn hình ta thấy t^*=1/\beta.

      Từ đây ta tìm đường sốc s=s(t) xuất phát t^*=1/\beta, x=0 thỏa mãn

      s'(t)=\dfrac{-\frac{\alpha s}{1-\alpha t}+\frac{s-1}{t}}{2}.

      Giải nghiệm riêng s^*=1-\alpha t!

      Đường sốc này

      s(t)=\sqrt{(\beta-\alpha)t(1-\alpha t)}+1-\alpha t

      bắt đầu tại t_1=1/\beta kết thúc tại điểm giao với đường x=\alpha t-1.

      Giao điểm này \dfrac{1}{3\alpha+\beta}(\alpha-\beta, 4) bắt đầu quy luật sốc

      s'(t)=s/t.

      Ta có đoạn sốc

      s(t)=\dfrac{\alpha-\beta}{4}t

      bắt đầu từ t=4/(3\alpha+\beta) và kết thúc tại giao điểm với đường x=-1.

      Giao điểm này (-1, 4/(\beta-\alpha)) bắt đầu quy luật sốc

      s'(t)=\dfrac{s-1}{2t}.

  13. 03/10/2017, một số bạn sử dụng D’Alembert vẽ nghiệm của bài toán biên -ban đầu của PT truyền sóng trên một đoạn. Sau đó tôi trình bày:

    – dùng tách biến dẫn đến công thức nghiệm Poisson cho bài toán Cauchy của PT truyền nhiệt trên toàn đường thẳng,

    – một số vấn đề về PT tiến hóa (evolution equations),

    – tích phân năng lượng.

    Tuần sau tôi sẽ chuyển sang PT Laplace.

  14. Em thưa thầy em xin phép hỏi câu này hơi ngớ ngẩn ạ: Hồi học phương trình truyền sóng, cụ thể là bài toán dây hữu hạn, hai đầu cố định. Vì không giải được nghiệm trên toàn miền bằng công thức d’Alembert nên ta phải thác triển lẻ các hàm trên toàn bộ trục số rồi mới áp dụng công thức d’Alembert. Ta thu được nghiệm xác định trên toàn bộ miền cần tính thỏa mãn phương trình ban đầu. (Nói cách khác, ta đã thác triển nghiệm của phương trình với điều kiện ban đầu lên toàn miền.) Vậy nghiệm này có ý nghĩa như thế nào? Cụ thể hơn là tồn tại cách thác triển khác để nhận được nghiệm khác không, và nếu có thì nghiệm nhận được bằng cách thác triển lẻ có ý nghĩa gì hơn so với nghiệm đó?
    Em cảm ơn thầy ạ.

    • Dù thác triển bằng cách khác mà vẫn đảm bảo thỏa mãn PT và các ĐK thì nghiệm chỉ có một vì nó chắc chắn vẫn thỏa mãn công thức hình bình hành và khi đó nó hoàn toàn xác định duy nhất nhờ các ĐK!

    • Em xin bình luận thế này: Sóng là tổng hợp của hai thành phần độc lập: tiến và lùi. Mỗi thành phần truyền đến một đầu rồi phản xạ lại, rồi lại truyền đến đầu kia, … ý nghĩa của việc thác triển lẻ chính là như vậy, mô hình hóa sự truyền đi truyền lại của sóng giữa hai đầu thành việc truyền trên một dây dài vô hạn.

      • Hình ảnh về quá trình truyền sóng khá đẹp. Nhưng sửa lại đôi chút.

        Ta quan sát sóng tiến:

        – nó cứ tiến lên từ đầu trái sang đầu phải,

        – khi gặp đầu phải: nó không “phản xạ lại” một cách đơn thuần, nó biến đầu trái thành đầu phải và phản xạ qua trục hoành,

        – sau đó nó vẫn tiếp tục tiến lên từ đầu trái qua đầu phải.

        Sóng

        Chú ý khi thác triển ngoài tính lẻ còn có tính tuần hoàn.

  15. Có bạn hỏi về quan hệ địa phương (local relation). Cái này nằm trong phương pháp Fokas. Các bạn xem qua

    PP Fokas

    Sau khi trình bày xong phần PT Laplace tôi sẽ chuyển sang phần này. Lược đồ cơ bản của PP Fokas:

    – tìm quan hệ địa phương (dẫn đến quan hệ tán sắc) để sau ta có thể dùng công thức Green,

    – tìm quan hệ toàn cục,

    – dùng bổ đề Jordan bẻ cong các đường lấy tích phân trên trục thực thành các đường trên mặt phẳng phức,

    – dùng tính đối xứng của quan hệ tán sắc để lọc,

    – tiếp tục dùng bổ đề Jordan để dẫn đến công thức nghiệm.

  16. 10/10/2017, tôi trình bày cơ bản về việc giải bài toán biên cho PT Laplace trong hình vuông, hình tròn. Chú ý:

    – điều kiện tương thích,

    – chuyển hóa điều kiện biên và phương trình.

    Sau đó tôi nói qua về PT Burger:

    – phép biến đổi Cole-Hopf,

    – nghiệm sóng chạy.

    Cuối giờ tôi nói qua tích phân năng lượng của PT Laplace.

    Tuần tới tôi sẽ chuyển sang PP Fokas.

    • Khi nói về nghiệm sóng chạy của PT Burger tôi có đề cập đến PT KPP. Trong trường hợp thời gian rời rạc PT KPP được H. Weinberger mô hình hóa. Luận văn của N.H.Trí tìm hiểu một phần bài báo mô hình hóa này của Weinberger.

  17. Tôi đang chấm bài tập lần 2:

    – Nhóm 1: vẫn bị trừ điểm vì viết tắt, tính toán vài chỗ vẫn nhầm, bài 3.6 (P-R) viết nguyên hàm \int f(x)dx khi tích phân lên chưa đủ, cần viết dưới dạng tích phân xác định có cận biến thiên, bài 3.7 (P-R) sai đề câu (c), vẽ đường đặc trưng trong TH hyperbolic, chuyển dạng chính tắc PT loại elliptic thành loại parabolic (điều không tưởng?), không hiểu ý nghĩa của điều kiện tương thích ở bài 4.4 (P-R) nhằm đảm bảo tính khả vi đến cấp 2 của thác triển của f tại x=0, khả vi đến cấp 1 của thác triển của g tại x=0, bài 4.5 tính sai “nguyên hàm” \int_0^x g(s)ds của g (điều mà tôi từng nói “Không hiểu tại sao nó khó?”), bài 4.11 (P-R) cái hay là việc tính P(10, t) như nào thì nhóm chỉ viết đúng cái đáp án, bài 6 (Asmar) không biết cách viết “nguyên hàm” \int_0^x g^*(s)ds, bài 2.2 (x) (Sivaji) tính Jacobien sai, không biết chia TH vì không nhìn hình ảnh của đường đặc trưng so với điều kiện Cauchy (trên mặt phẳng Oxy), bài 2.5 (Sivaji) làm khá tốt, bài 2.27 (Sivaji) không giải rõ ràng, một số chỗ ghi thử lại nhưng không thực hiện.

      • Các bạn đã nhận ra việc kiểm tra tính khả vi đến cấp 2 của thác triển của f, cũng như tính khả vi đến cấp 1 của thác triển của g. Do f, g đều tốt khi trên nửa trục dương nên thác triển sẽ tốt ở phần âm, nhưng cần trừ điểm 0 vì ở đó ta chỉ mới có các giới hạn một phía, đạo hàm một phía, .v.v.. Điều kiện tương thích sẽ nối các một phía này lại. Chú ý “F'(x) không liên tục” nên diễn đạt lại F(x) có đạo hàm hai phía và chúng không bằng nhau, nghĩa là nó không khả vi!

    • – Nhóm 2: một số nguyên hàm đã được viết dưới dạng tích phân xác định có cận biến thiên, bài 5 (Asmar) biểu diễn được nghiệm khá tốt, bài 15 (Asmar) phân tích được trạng thái nghỉ (rest position), bài 9 (thầy Hợp) tính thiếu các số hạng đạo hàm riêng cấp 1, bài 2.2 (iii) (Sivaji) giải ra có nghiệm là sai, bài 2.2 (xi) và 2.24 (Sivaji) chưa đưa ra nghiệm hiển (rất dễ), bài 4.3 (P-R) không biết sử dụng sóng tiến – lùi, bài 4.19 (P-R) không biết cách dùng nghiệm tổng quát thay vào các điều kiện để tìm nghiệm riêng, bài 9 (Asmar) yêu cầu tìm thời điểm đầu tiên (sau thời điểm ban đầu t=0) mà sợi dây trở về hình dạng ban đầu của bài 1 và 5, nhưng bài 1 của nhóm 1, và không dùng nghiệm bài 5 nhóm đã làm, cũng giống nhóm 1 không biết dùng điều kiện tương thích ở bài 4.6 (P-R), dùng Định lý Cauchy-Picard cho bài 2.26 (Sivaji) chưa đúng vì không có tính Lipschitz, bài 2.6 (Sivaji) giải thích câu (a) còn tối, bài 13 (Asmar) có nhiều chỗ từ trên trời rơi xuống, bài 2.36 (Sivaji) không để ý điều kiện ban đầu nên giải x(t, s), y(t, s) sai mà kết quả vẫn đúng.

      • Điểm khó của bài 2.6 (Sivaji), cũng chính là bài 2.5 (P-R), cần làm rõ đường đặc trưng

        x'=a, y'=b

        không hút về một điểm. Muốn làm được điều này chú ý tính dương thực sự của a, b.

        Bài 2.19 (P-R) cho thấy đường đặc trưng có thể hút về gốc nếu chỉ dùng a, b không âm.

  18. 16/10/2017, tôi có trao đổi về ngày thi giữa kỳ 13/11/2017, vào hai tiết 4-5. Tuần tới các bạn cho tôi câu trả lời cụ thể.

    Nội dung thi giữa kỳ: bài tập lần 1 đến lần 3, nghĩa là

    – PT cấp 1,

    – PP đặc trưng giải PT cấp 2, công thức D’Alembert, .v.v.

    – PP tách biến giải các bài toán biên hỗn hợp (biên-ban đầu) cho PT truyền sóng, truyền nhiệt.

  19. 17/10/2017 tôi trình bày cơ bản phương pháp Fokas giải bài toán biên ban đầu cho PT truyền nhiệt trên nửa trục:

    – tìm quan hệ địa phương để áp vào công thức Green,

    – tính chi tiết các tích phân đường rồi đẩy x ra vô cùng, ta thu được quan hệ toàn cục (chú ý điều kiện ở biên vô cùng),

    – bẻ cong đường lấy tích phân (trên trục thực) thành đường trong mặt phẳng phức bằng công thức tích phân Cauchy và bổ đề Jordan, với chú ý tính giải tích của tích phân phụ thuộc tham số và đánh giá tích phân trên các cung tròn,

    – sử dụng tính đối xứng của quan hệ tán sắc để lọc các số hạng chưa biết,

    – tiếp tục sử dụng Cauchy và Jordan để bỏ số hạng chưa biết ta được công thức nghiệm gồm các tích phân trên các đường trong mặt phẳng phức.

    Sau đó tôi nói về việc sử dụng công thức Green trong các trường hợp:

    – xây dựng công thức D’Alembert cho bài toán Cauchy của PT truyền sóng không thuần nhất,

    – xây dựng công thức nghiệm từ hàm Green cho bài toán biên hỗn hợp của PT truyền nhiệt không thuần nhất.

    • Một bạn có hỏi về việc ứng dụng cách tiếp cận của Galois giải nghiệm của đa thức vào việc tìm nghiệm của PTVP: đây chính là cách S. Lie tìm đến nhóm Lie, nhóm các phép biến đổi một tham số. Tôi có hướng dẫn bạn N.T.H.Xuân tìm hiểu vài nét cơ bản về cái này. Tôi cũng có nói về GS. J-P-Ramis và CIMPA-Hanoi 2001 về “Control Theory and Integrable Systems“. May quá, tôi vừa tìm được bài giảng của Jacques-Arthur Weil.

  20. Sáng mai tôi dự định sẽ nhờ các bạn chữa hai bài về nguyên lý cực đại cho PT cấp 1: bài 2.5, 2.6 trong Sivaji. Điều thú vị bài 2.6 và 2.26 có liên quan đến định lý thác triển nghiệm.

  21. Bạn chữa bài về việc dùng Rayleigh tính gần đúng giá trị riêng đầu tiên có điểm chưa đùng:

    Dùng bất đẳng thức

    \int_0^1 u^2dx\le 1/2 \int_0^1(u')^2dx

    nên \lambda_0> 2.

    Chọn u=1-x^2 tính được

    R(u)=2.64...

    còn chọn u=\cos(\pi x/2) thì

    R(u)=2.6...

      • Em tìm các hàm riêng của bài toán Sturm-Liouville đơn giản:

        u"+\lambda u=0, 0< x < 1,

        với cùng điều kiện biên

        u'(0)=u(1)=0.

        Sau đó chuẩn hóa chúng ta được hệ trực chuẩn đầy đủ của không gian D(L) các hàm mà em lấy infimum hôm trước.

        Em phân tích \varphi\in D(L) qua hệ các hàm riêng chuẩn hóa này:

        – tính “hệ số Fourier” của \varphi, \varphi',

        – dùng Parseval …

  22. Một số bạn có hỏi thông tin còn thiếu ở các bài trong Guenther-Lee:

    – Bài 12, trang 218: nhóm 1 dùng PT ở bài 11, trang 218, còn nhóm 2 bài 9, trang 217.

    – Bài 6, trang 165, công thức (3-22) là công thức nghiệm cho bài toán biên Dirichlet – ban đầu của PT truyền nhiệt trong một đoạn

    u(x, t)=\int_0^L G(x, y, t)f(y)dy+ \int_0^t\int_0^L G(x, y, t-\tau)F(y, \tau)dyd\tau+

    +a\int_0^t G_y(x, 0, t-\tau)\phi(\tau)d\tau-a\int_0^t G_y(x, L, t-\tau)\psi(\tau)d\tau

    trong đó

    F(x, t)=u_t-au_{xx}, f(x)=u(x, 0),

    \phi(t)=u(0, t), \psi(t)=u(L, t),

    G(x, y, t) là hàm Green. Tôi đã trình bày sơ qua vào thứ Ba tuần trước.

    – Bài 8, trang 201, công thức (2-13) chỉ tính trực giao của các hàm riêng:

    \int_0^L X_nX_mdx=0, n\not=m.

  23. Thưa thầy, em đang gặp rắc rối với Bài tập 1, Chap 5 (sách của GS. Bernard)
    Sau hai câu (a), (b), ta tìm được họ nghiệm
    u(x,t) = \dfrac{1}{\sqrt{t}}\left(a\int_0^{\tfrac{x}{\sqrt{t}}} e^{\tfrac{i}{4}\oin{\tfrac{x^2}{t} - \tau^2}}d\tau + be^{\tfrac{ix^2}{4t}}\right),
    với a, b là những hằng số. Ở phần (c), ta cần chứng minh nghiệm này không thể thu được bằng cách sử dụng biến đổi Fourier.

    Suy nghĩ ban đầu đương nhiên là thử chứng minh với a = 0, b = 1, biến đổi Fourier $\latex \widetilde{u}(\omega,t)$ của nghiệm không thỏa mãn i\widetilde{u}_t + \omega^2\widetidle{u}. Không may là nó thỏa mãn! Bây giờ chỉ còn cách thay a = 1, b = 0, nhưng việc tìm biến đổi Fourier có vẻ không khả thi.

    Thầy có thể gợi ý cho em bài này không ạ?

  24. Hic, em xin lỗi, công thức rắc rối quá nên em gõ lỗi.

    Thưa thầy, em đang gặp rắc rối với Bài tập 1, Chap 5 (sách của GS. Bernard)
    Sau hai câu (a), (b), ta tìm được họ nghiệm
    u(x,t) = \dfrac{1}{\sqrt{t}}\left(a\int_0^{\tfrac{x}{\sqrt{t}}} e^{\tfrac{i}{4}\left(\tfrac{x^2}{t} - \tau^2\right)}d\tau + be^{\tfrac{ix^2}{4t}}\right),
    với a, b là những hằng số. Ở phần (c), ta cần chứng minh nghiệm này không thể thu được bằng cách sử dụng biến đổi Fourier.

    Suy nghĩ ban đầu đương nhiên là thử chứng minh với a = 0, b = 1, biến đổi Fourier \tilde{u}(\omega,t) của nghiệm không thỏa mãn i \tilde{u}_t + \omega^2 \tilde{u}. Không may là nó thỏa mãn! Bây giờ chỉ còn cách thay a = 1, b = 0, nhưng việc tìm biến đổi Fourier có vẻ không khả thi.

    Thầy có thể gợi ý cho em bài này không ạ?

    • Dùng phản chứng, nghĩa là nghiệm em tìm được ở trên thỏa mãn điều kiện ban đầu nào đó. Cố định x, cho t giảm về 0, nghiệm sẽ như nào?

  25. Sáng mai, 30/10/2017, tôi dự định chữa:

    – bài 3 hay 6 trong phần bài tập Bernard,

    – bài về hàm Green trong sách Guenther-Lee,

    – bài về PT truyền nhiệt liên quan đến hàm lỗi erf(x) trong O’Neil.

    Nếu được sáng thứ Ba, 31/10/2017, các bạn chuẩn bị máy tính để chạy thử vài bài bằng Maple.

  26. Sáng nay, 30/10/2017, tôi có nhờ một bạn chữa về hàm Green cho bài toán biên-ban đầu cho PT truyền nhiệt trong một đoạn với điều kiện biên cách nhiệt:

    u(x, t)=\int_0^L N(x, y, at)f(y)dy.

    Vấn đề còn lại

    \lim_{t\to 0_+} u(x, t)=f(x) khi f\in C[0, L]?

    Một bạn có nói về cách dùng nguyên lý cực đại như trong PR, nghĩa là:

    – xấp xỉ đều f bởi dãy các đa thức lượng giác dạng

    f_n=a_0+\sum_{k=1}^n a_n\cos(n\pi x/L);

    – tính được nghiệm u_n tường minh của bài toán biên-ban đầu đã cho với điều kiện ban đầu f_n, từ đó có thể thấy

    \sup_{x\in[0, L]}|u_n(x, t)-f_n(x)|\to 0, t\to 0_+;

    – dùng nguyên lý cực đại chỉ ra dãy u_n hội tụ đều trong [0, L]\times[0, 1];

    – kết hợp các điều trên ta sẽ dẫn đến đpcm.

  27. 31/10/2017, sau một hồi lần mò các bạn K60TN đã vẽ được đoạn đường sốc nối từ (-1/2, 1/2) đến đường x=0 cho bài 10 chương 2 sách Bernard. Hy vọng các bạn hoàn chỉnh được việc vẽ các đoạn đặc trưng trên ba vùng và vẽ được nghiệm u(x, t).

  28. Tôi đang chấm bài tập lần 3:

    – Nhóm 1: trình bày khá công phu, một số bài không dẫn ra cách tìm hàm khử, bài 6.14 (P-R) không để ý hệ số khi n=0, 1, không trả lời câu hỏi nghiệm có điển hay không, một số bài tìm được \lambda=0 là giá trị riêng lại quên tính T, chú ý bài 51 (thầy Hợp) yêu cầu chỉ ra có vô số nghiệm chứ không phải một, bài 67 (thầy Hợp) các tích phân trung gian

    \int_{\mathbb R}\cos(3\xi)\cos(\omega \xi)d\xi, \int_{\mathbb R}\cos(3\xi)\sin(\omega \xi)d\xi

    đều phân kỳ, bài 58 (thầy Hợp) có hàm riêng là hàm hằng là sai, bài 3.2 (B) lấy ví dụ không tốt vì khi tuần hoàn hóa hàm \sin(x\sqrt{2}), x\in[-\pi, \pi] sẽ có bước nhảy tại \pm \pi, bài 3.3 (B) không hiểu đề bài muốn so sánh việc đánh giá tốc độ hội tụ khi chỉ dùng R-L và khi tính hiển, bài 5 – 12 (tr. 228-229, O’Neil) thiếu việc sử dụng công thức 5.9, 5.12 để tính nghiệm, bài 2 (tr. 243, O’Neil) đoạn tính hệ số sai cận tích phân, bài 12 (tr. 244, O’Neil) cần chú ý bài toán đặt trong nửa trục x> 0 nên không thể cho x\to -\infty,

    – Nhóm 2: có một số bài trong G-L không ghi địa chỉ, một số bài bỏ các chi tiết tính toán chẳng hạn từ đâu có điều kiện X(0)=X(pi)=0, quá trình biến đổi tích phân không thấy dùng điều kiện biên, tích phân = 0 làm sao dẫn đến hàm dưới dấu tích phân bằng 0, .v.v., một số bài không phân biệt nghiệm khi \lambda=0 và TH khác, chưa hiểu việc kiểm tra nghiệm dạng chuỗi, bài 6.8 (P-R) làm khá tốt, chuyển về dạng chính tắc và tìm nghiệm tổng quát vẫn còn sai, bài tập trong Bernerd cũng giống nhóm 1 trừ bài 3.2, còn thiếu bài 9 (tr. 217, G-L) rất dễ, bài 4 (tr. 165, G-L) hôm trước các bạn có hỏi, khi làm lại dùng tính bị chặn của X(x), 0\le x\le L là sai, mà phải dùng điều kiện biên X(0)=X(L)=0. Tuy nhiên bài này có cách đơn giản hơn đặt v=e^{\alpha x+\beta t}.

    Cả hai nhóm làm khá công phu bài về hàm Green.

  29. Sáng nay tôi có chữa một số bài trong đề thi giữa kỳ K59TN:

    – bài 1: về PT sóng cấp 1, chú ý điều kiện Rankine-Hugoniot và vẽ hình,

    – bài 3: về PT truyền sóng cấp 2, chú ý việc xây dựng bài toán, khi vẽ hình nên chú ý tính chất của nghiệm (chẳng hạn tự do hai đầu), điểm kỳ dị,

    – bài 4: về PT truyền nhiệt, chú ý xây dựng bài toán.

    Ngoài ra khi làm bài kiểm tra giữa kỳ việc xây dựng chuỗi nghiệm có thể làm tắt nếu đoán chắc chắn. Cũng cần để ý việc sử dụng phương pháp giải hợp lý cho mỗi bài toán vì thời gian có hạn (120 phút).

    • Em xin lỗi thầy và các bạn vì sáng nay làm trên bảng lâu khiến cho cả lớp mất nhiều thời gian ạ.

      Em có câu hỏi là khi ta giải phương trình truyền sóng trên đoạn hữu hạn bằng phương pháp d’Alembert, nếu điều kiện biên là hai đầu cố định ($u(0,t)=u(L,t)=0$) thì ta thác triển lẻ, là hai đầu tự do ($u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$) thì ta thác triển chẵn. Vậy còn khi một đầu tự do, một đầu cố định ($u(0,t)=u_x(L,t)=0$) thì còn có thể giải bằng phương pháp này nữa không ạ? Em cảm ơn thầy.

  30. 07/11/2017 có bạn hỏi về nguyên lý cực đại mạnh cho hàm điều hòa với phát biểu cực đại địa phương: Nếu hàm điều hòa là hằng trong một hình cầu trong miền liên thông D thì nó là hàm hằng trên toàn D.

    Cách chứng minh tôi đề cập đến: dùng tính giải tích của hàm điều hòa. Chẳng hạn ta xét tập

    D_0=\{x\in D: f(x)=c, D^\alpha f(x)=0, \forall \alpha\in \mathbb Z^n_+\}.

    Câu hỏi: thay hàm điều hòa bởi điều hòa dưới thì sao? Lúc đó không có tính giải tích.

  31. Thưa thầy, em có thắc mắc một chi tiết về “quan hệ tán sắc”.
    Thông thường, với phương trình tiến hóa, ta hiểu quan hệ tán sắc thu được qua việc tìm nghiệm ở dạng u = e^{ikx - i \omega t}. Chẳng hạn phương trình truyền nhiệt có quan hệ tán sắc \omega = -ik^2.
    Tuy nhiên, khi đọc đề thi cuối kỳ năm trước
    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2017/01/cuoikyk59tn.pdf
    em lại hiểu quan hệ tán sắc \omega = \omega(k) ở đây là quan hệ tìm được ở phần quan hệ địa phương, \rho = e^{-ikx + \omega t}u (chẳng hạn, nếu áp dụng cho phương trình truyền nhiệt, ta được \omega = k^2). Vậy nếu áp dụng phương pháp Fokas thì ta sẽ ngầm hiểu “quan hệ tán sắc” theo nghĩa thứ hai đúng không ạ?

  32. Sáng nay tôi đã cho lớp K60TN kiểm tra giữa kỳ. Thứ Hai tuần sau, 20/11/2017, tôi sẽ chữa:

    – các bạn chuẩn bị máy và Maple để giải một số bài trong đề thi (có cộng điểm),

    – một số bạn sẽ chữa bài trên bảng.

    Ngày mai tôi sẽ tiếp tục phần hàm điều hòa: kết thúc phần dãy hàm điều hòa, chuyển sang hàm Green-công thức Poisson, .v.v.

    Ngoài ra ta chữa một số bài về nguyên lý cực đại cũng như giải bài toán biên cho PT Laplace bằng tách biến.

  33. Hôm qua 14/10/2017 tôi có nói về bất đẳng thức Harnack cho hàm điều hòa không âm. Đoạn nói về số hình cầu nối hai điểm vẫn chưa rõ ràng. Bạn nào trình bày rõ ràng đoạn này sẽ được cộng điểm vào điểm giữa kỳ.

  34. Em xin phép được trình bày luôn ạ.

    Em sẽ không đi theo hướng dùng tính liên thông đường nữa mà sẽ dùng luôn tính liên thông mạnh.

    Trên lớp, ta đã chứng minh nếu \overline{B}(x,2r) \subset \Omega thì với mọi hàm u điều hòa trên \Omega và mọi y,z \in B(x,r), ta có u(y) \le 2^d u(z). (d: số chiều của không gian).

    Với miền \Omega' \subset \overline{\Omega'} \subset \Omega bất kỳ, đặt = r = \dfrac{1}{3}\text{dist}(\partial \Omega, \partial \Omega') > 0. Khi đó, với mỗi x \in \Omega', ta có \overline{B}(0,2r) \subset \Omega \quad (1). Nhờ tính compact của $\latex \overline{Omega’}$, từ họ \{B(0,r)\}_{x \in \Omega'} của \overline{\Omega'}, ta lấy ra một họ hữu hạn \mathcal{B} phủ kín \overline{\Omega'}.

    Lấy B_1 \in \mathcal{B} tùy ý. Vì B_1\bigcup_{B \in \mathcal{B}, \  B \neq B_1} B là hai tập mở và hợp của chúng phủ kín \overline{\Omega'}, nên từ tính liên thông suy ra
    B_1 \cap \left(\bigcup_{B \in \mathcal{B}, \  B \neq B_1} B\right) \neq \varnothing
    Nghĩa là có B_2 \in \mathcal{B} \setminus \{B_1\}B_1 \cap B_2 \neq \varnothing.

    Lại suy luận như vậy với B_1 \cup B_2, ta chọn được B_3 \in \mathcal{B} \setminus \{B_1,B_2\}B_1 \cap (B_2 \cup B_3) \neq \varnothing. Tóm lại cuối cùng ta được \mathcal{B} = \{B_1,B_2,\dots,B_n\}, trong đó
    B_k \cap \left( \bigcup_{i=1}^{k-1}B_i \right) \neq \varnothing, \quad k = 2,3,\dots,n.

    Với x,y \in B_1 \cup B_2 ta có u(x) \le 2^{2d}u(y). Thật vậy, đương nhiên ta chỉ cần xét x \in B_1y \in B_2. Tồn tại z \in B_1 \cap B_2. Vì thế u(x) \le 2^d u(z) \le 2^{2d} u(y).

    Tương tự, với x,y \in B_1 \cup B_2 \cup B_3 ta có u(x) \le 2^{3d}u(y). Thật vậy, ta chỉ cần xét x \in B_1 \cup B_2y \in B_3. Tồn tại z \in (B_1 \cup B_2) \cap B_3. Vì thế u(x) \le 2^{2d} u(z) \le 2^{3d} u(y).

    Cuối cùng, ta chứng minh được u(x) \le 2^{nd} u(y) với x,y \in \overline{\Omega'} \subset \bigcup_{i=1}^n B_i. Hằng số 2^{nd} chỉ phụ thuộc vào \Omega', không phụ thuộc vào hàm điều hòa u.

      • Đúng là chuyển sang B_r có hơi thừa thật ạ. Còn theo ý tưởng kia thì em mới làm được cho trường hợp 2 chiều và \Omega' là miền đơn liên có biên trơn thôi ạ. Cách làm như sau: Với x,y \in \Omega'. Lấy z,t \in \partial \Omega' sao cho các đoạn thẳng [x,z][y,t] nằm trong \overline{\Omega'}. Như vậy, với mọi x,y \Omega' đều có một tuyến liên tục nối chúng (x \to z \to t \to y), sao cho độ dài của tuyến không quá 2 \text{diam} \Omega' + L với L là độ dài của $\partial \Omega’$. Con số hữu hạn này cho thấy tính hữu hạn của số hình cầu cần xét.

      • Em có ý này chỉnh một chút cho tính liên thông đường, mặc dù cũng không khác cách lúc đầu.

        Lấy r = \dfrac{1}{3}\text{dist}(\partial \Omega, \partial \Omega'). Lấy ra hữu hạn hình cầu phủ \overline{\Omega'}. Với mỗi tuyến nối hai điểm x,y \in \Omega' hiển nhiên được phủ bởi một số trong các hình cầu trên.

      • Trong quá trình “lấn” từ đầu này đến đầu kia của tuyến nối xy, ta không “quay lại” hình cầu đã đi vào trước đó (ta có thể không nhất thiết phải chạy qua toàn bộ tuyến), điều này khiến cho số hình cầu vẫn hữu hạn, mặc dù tuyến có thể khá zig zag

      • “không nhất thiết phải chạy qua toàn tuyến” có nghĩa em nên chọn tuyến tốt hơn. Điều này dẫn đến đường nối “ngắn nhất” (đường trắc địa). Nói chung đường này không thẳng vì nó phải nằm trong \bar{\Omega}. Vấn đề của việc chặn trên số hình cầu là việc chặn trên chiều dài của các đường trắc địa này, giống như trong mặt phẳng. Xét hàm d(x, y) đo độ dài đường trắc địa. Nếu hàm này liên tục theo cả x và y thì …

      • Em nghĩ có thể chứng minh đường trắc địa là tồn tại và duy nhất bằng cách xét không gian \mathcal{C} các tuyến nối hai điểm x,y. Phiếm hàm độ dài xác định trên đó đạt được tại một đường cong cực trị, đường cong này thỏa mãn phương trình Euler-Lagrange. Ta dùng định lý Cauchy-Picard để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân đó.

      • Chú ý các tuyến này phải đo được độ dài và nằm trong \bar{\Omega}. Viết ra một cách tường minh không đơn giản.

        Cũng có thể nghĩ đến việc nối bởi đường gấp khúc mà mỗi cạnh song song với các trục.

    • Tôi cũng nghĩ đến cách này. Khi chuyển sang 3-chiều gặp chuyện nối hai điểm trên mặt cong bởi đường trên mặt cong. Tiếp đến xét hàm d(x, y) là độ dài “đoạn ngắn nhất nối” hai điểm này, nghĩa là đường trắc địa, .v.v. Đến đây tôi nghĩ đến việc trực tiếp xét đường trắc địa trong \bar{\Omega'}.

  35. 21/11/2017 tôi trình bày tiếp về

    – Định Liouville cho hàm điều hòa bị chặn một phía,

    – Định lý về điểm bất thường khử được: so sánh độ tăng ra vô cùng của hàm điều hòa và nghiệm cơ bản tại điểm bất thường,

    – dùng biến đổi Fourier tìm nhân Poisson cho bài toán biên Dirichlet trên nửa mặt phẳng: còn việc phải tính biến đổi Fourier

    \dfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}e^{-i\xi t}e^{-|\xi|y}d\xi, y> 0.

    Tuần tới về lý thuyết tôi sẽ trình bày phương pháp Perron về việc giải bài toán biên Dirichlet trên miền bị chặn “bất kỳ”.

    • Một bạn có hỏi về “chuỗi Laurent” cho hàm điều hòa?

      Trả lời: trong hình vành khăn, trong mặt phẳng, hàm điều hòa có dạng

      u(r, \theta)=c\ln r+ \sum_{n\in\mathbb Z}r^n(a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)).

      Khi có thêm điều kiện

      \lim_{r\to 0_+}\dfrac{u(r, \theta)}{\ln r}=0

      ta sẽ dẫn đến c=0, a_n=b_n=0 khi n<0.

      Điều này khá giống cách ta tìm nghiệm tách biến của phương trình Laplace trong hình tròn!

      Tóm lại ta dùng dạng "chuỗi Laurent" để dẫn đến kết quả về điểm bất thường khử được trong mặt phẳng.

      Hỏi: trong không gian có làm được điều tương tự?

  36. Sáng nay tôi kết thúc việc chữa bài kiểm tra giữa kỳ. Còn lại khoảng 6 buổi nữa:

    – Về lý thuyết tôi sẽ trình bày: phương pháp Perron và phương pháp thế vị giải bài toán biên cho phương trình Laplace, nếu còn thời gian tôi sẽ trình bày các công thức nghiệm Kirchorff, nghiệm Poisson cho phương trình truyền sóng.

    – Về bài tập: chữa các bài tập tính toán phương pháp Fokas giải phương trình tiến hóa, phương pháp tách biến giải phương trình Laplace, một số bài tập lý thuyết.

  37. Đoạn trình bày điểm x\in\partial\Omega là chính quy cần sửa lại một chút: với bất kỳ \varphi\in C(\partial\Omega) ta đều có u=\sup_{v\in S_\varphi}v thỏa mãn

    \lim_{y\to x\atop y\in\Omega}u(y)=\varphi(x).

    Về tiêu chuẩn Wiener, tôi có nhắc đến và không trình bày, các bạn tham khảo:

    https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Regular_boundary_point

    http://www.unc.edu/math/Faculty/met/wiener.pdf

    hay bài viết thú vị của M. Shubin

    http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.140.1404&rep=rep1&type=pdf

    • Một số bài tập lý thuyết:

      B1: Giả sử u điều hòa dưới trong \Omegau\in C^2(\Omega). CMR:

      \Delta u\ge 0 trong \Omega.

      B2: Giả sử u, v\in C(\bar{\Omega})

      u điều hòa dưới trong \Omega,

      v điều hòa trên trong \Omega,

      còn trên biên \partial\Omega ta có

      u\le v.

      CMR u\le v trong \Omega.

      B3. Giả sử v\in C(\Omega) là hàm điều hòa dưới trong \Omega và hình cầu đóng \bar{B}\subset\Omega. Xét hàm u:\Omega\to\mathbb R xác định như sau:

      +) u=v ngoài B;

      +) trong B hàm u là nghiệm của bài toán biên Dirichlet

      \begin{cases} \Delta u & =0 \text{ in } B,\\ u & = v \text{ on } \partial B. \end{cases}

      CMR: u điều hòa dưới trong \Omega.

      B4. Cho u, v là các hàm điều hòa dưới trong \Omega. CMR: \max\{u, v\} cũng là hàm điều hòa dưới trong \Omega.

      B5. Cho x\in\partial \Omega thỏa mãn điều kiện nón ngoài, nghĩa là, có một nón với đáy tròn và đỉnh tại x nằm hoàn toàn bên ngoài \Omega. Hãy xây dựng hàm cản tại x đối với \Omega.

      Tập \Omega trong cả năm bài trên là miền mở, bị chặn trong \mathbb R^n.

  38. Em xin trình bày Bài 1.

    Đầu tiên ta chứng minh u thỏa mãn tính chất dưới trung bình địa phương.

    Thật vậy, cố định xr. gọi v = v(y) là nghiệm của bài toán Dirichlet
    \begin{cases} \Delta v = 0, & \qquad y \in B(x,r),\\ v = u, & \qquad y \in \partial B(x,r). \end{cases}

    Khi đó v thỏa mãn tính chất trung bình địa phương. Hơn nữa từ tính dưới điều hòa của u suy ra u \le v trong B(x,r), vì thế
    \displaystyle u(x) \le v(x) = \dfrac{1}{\text{Area}(\partial B(x,r))}\int_{\partial B(x,r)} v(y) \, dS_y = \dfrac{1}{\text{Area}(\partial B(x,r))}\int_{\partial B(x,r)} u(y) \, dS_y.

    Tiếp theo, phản chứng, giả sử với x \in \Omega nào đó, ta có \Delta (x) < 0. Khi đó \Delta(y) < 0 với mọi y \in B(x,r_0) nào đó. Xét r < r_0. Đổi biến y = x + rz, ta có
    \begin{matrix} \displaystyle \dfrac{d}{dr} \left(\dfrac{1}{\text{Area}(\partial B(x,r))}  \int_{\partial B(x,r)} u(y)\, dS_y \right) 				\\ =  \displaystyle \dfrac{d}{dr} \left(\dfrac{r^{d-1}}{\text{Area}(\partial B(x,r))}  \int_{\partial B(0,1)} u(x + rz)\, dS_z \right)\\ 				 =  \displaystyle \dfrac{d}{dr} \left(\dfrac{1}{\text{Area}(\partial B(0,1))}  \int_{\partial B(0,1)} u(x + rz)\, dS_z \right)\\ 				= \displaystyle \dfrac{1}{\text{Area}(\partial B(0,1))}  \int_{\partial B(0,1)} \left\langle \nabla u(x + rz), z \right\rangle \, dS_z \\ 				= \displaystyle \dfrac{r^{d-1}}{\text{Area}(\partial B(0,1))}  \int_{\partial B(0,1)} \left\langle \nabla u(x + rz), z \right\rangle \, \dfrac{dS_z}{r^{d-1}} \\ 				= \displaystyle \dfrac{1}{\text{Area}(\partial B(x,r))}  \int_{\partial B(x,r)} \left\langle \nabla u(y), \dfrac{y-x}{r} \right\rangle \, dS_y 				 \\ 				= \displaystyle \dfrac{1}{\text{Area}(\partial B(x,r))}  \int_{\partial B(x,r)} \Delta u(y) \, dy < 0. \end{matrix}
    (ở bước cuối ta đã dùng divergence theorem). Do đó
    \displaystyle \dfrac{1}{\text{Area}(\partial B(x,r))}  \int_{\partial B(x,r)} u(y)\, dS_y < \lim_{r \to 0^+} \left(\dfrac{1}{\text{Area}(\partial B(x,r))}  \int_{\partial B(x,r)} u(y)\, dS_y \right) = u(x)
    với mọi 0 < r < r_0. Mâu thuẫn với tính chất dưới trung bình địa phương.

    • Về ý thì đúng hướng rồi. Về chi tiết cần chỉnh sửa đôi chỗ:

      – Đoạn chứng minh tính chất dưới trung bình của hàm điều hòa nên nói rõ B(x, r) như nào?

      – Đoạn biến đổi dài: tích phân cuối lấy trên toàn B(x, r).

      – Đoạn cuối nên viết rõ hơn: tính giảm chặt theo r.

      Ngoài ra, trong đoạn chứng minh tính chất dưới trung bình em cần đến tính liên tục của u. Nếu u chỉ nửa liên tục trên thì sao?

  39. Em thưa thầy, em có điều muốn hỏi ở bài 34 sách thầy Hợp, khi giải hệ phương trình cuối bài ra vô nghiệm. Đề bài như sau: Giải bài toán Dirichlet trong hình vành khuyên \{ 1 < r< 2 \}
    $\begin{cases} 	\Delta u = 0\\ 	u |_{r = 1} = x - y \\ 	u |_{r = 2} = \ln2 - \frac{1}{4} y + x\\  	\end{cases}$
    Em xin được trình bày lời giải sơ lược để thầy tiện theo dõi ạ. Đặt $w(r, \theta) = u(x(r, \theta), y(r, \theta))$. Khi đó, bài toán được viết lại dưới dạng tọa độ cực như sau
    $$\begin{cases}
    w_{rr} + \frac{1}{r} w_r + \frac{1}{r^2} w_{\theta \theta} = 0\\
    w(1, \theta) = \cos \theta – \sin \theta\\
    w(2, \theta) = \ln 2 – \frac{1}{2} \sin \theta + 2 \cos \theta\\
    \end{cases}$$
    Ta tiến hành tìm nghiêm tách biến không tầm thường $w( r \theta) = R(r) \Phi (\theta)$ của phương trình

    $$\begin{cases}
    w_{rr} + \frac{1}{r} w_r + \frac{1}{r^2} w_{\theta \theta} = 0\\
    w(r, 0) = w(r, 2 \pi) \\
    w_\theta (r, 0) = w_\theta (r, 2 \pi)\\
    \end{cases}$$
    Thay $w(r, \theta) = R(r) \Phi (\theta)$ vào phương trình trên, ta được
    $$\begin{cases}
    r^2 R'' + r R' – cR = 0\\
    \Phi '' + c \Phi = 0 \\
    \Phi (0) = \Phi(2 \pi) \\
    \Phi'(0) = \Phi'(2 \pi)
    \end{cases}$$

    \begin{itemize}
    \item Trường hợp 1: $c = 0$. Ta tìm được $w_0 (r, \theta) = A_0 \ln r + B_0$, trong đó, $A_0, B_0$ là hằng số.
    \item Trường hợp 2: $c 0$. Nghiệm tách biến có dạng
    $$ w_n(r, \theta) = (C_n r^n + D_n r^{-n})(A_n \cos(n \theta) + B_n \sin(n \theta)), n = 1, 2, \dots$$
    \end{itemize}
    Như vậy, nghiệm tổng quát của bài toán là
    $$w(r, \theta) = A_0 \ln r + B_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} (C_n r^n + D_n r^{-n})(A_n \cos(n \theta) + B_n \sin(n \theta)).$$
    Áp dụng điều kiện biên, ta có
    $$\begin{aligned}
    w(1, \theta) &= B_0 + (C_1 + D_1)(A_1 \cos \theta + B_1 \sin \theta) = \cos \theta – \sin \theta,\\
    w(2, \theta) &= A_0 \ln 2 + B_0 + (2C_1 + \frac{1}{2} D_1)(A_1 \cos \theta + B_1 \sin \theta) = \ln 2 + 2\cos \theta – \frac{1}{2}\sin \theta.
    \end{aligned}$$
    Suy ra, ta có hệ phương trình
    \begin{numcases}{}
    A_0 = 1\\
    B_0 = 0\\
    (C_1 + D_1)A_1 = 1\\
    (C_1 + D_1)B_1 = -1\\
    (2C_1 + \frac{1}{2}D_1)A_1 = 2\\
    (2C_1 + \frac{1}{2}D_1)B_1 = -\frac{1}{2}
    \end{numcases}
    Hệ trên là vô nghiệm vì lấy (3) chia (5) ta được
    $$\dfrac{C_1 + D_1}{2C_1 + \frac{1}{2}D_1} = \dfrac{1}{2},$$
    nhưng nếu lấy (4) chia (6) ta được
    $$\dfrac{C_1 + D_1}{2C_1 + \frac{1}{2}D_1} = 2.$$

  40. Nghiệm tổng quát em thu được thiếu. Cụ thể

    – nếu chỉ có

    (C_n r^n + D_n r^{-n})(A_n \cos(n \theta) + B_n \sin(n \theta))

    thì các hệ số của r^n\cos(n\theta), r^n\sin(n\theta), r^{-n}\cos(n\theta), r^{-n}\sin(n\theta) sẽ phụ thuộc tuyến tính;

    – cần tách ra

    r^n (A_n \cos(n \theta) + B_n \sin(n \theta))+

    + r^{-n}(C_n \cos(n \theta) + D_n \sin(n \theta))

    với A_n, B_n, C_n, D_n chưa có rằng buộc gì với nhau.

    Để hiển các công thức toán em gõ cần thêm “latex” ở đầu như hướng dẫn bên phải.

  41. Em thưa thầy em xin phép hỏi bài 38 trong sách thầy Hợp, thầy có đưa ra một cách để tìm công thức Poisson cho phương trình Laplace với điều kiện biên Neumann rất hay là xét v(r,\theta) = r \dfrac{\partial u}{\partial r}, chứng minh nó cũng điều hòa rồi dùng công thức Poisson cho $v$ là suy ra $u$. Nhưng ở câu 2, khi yêu cầu làm với trường hợp 3 chiều, em thử xét $v = r^2 \dfrac{partial u}{\partial r}$ mà tính mãi không thấy sự tương tự. Vậy không biết hướng làm này trong trường hợp 3 chiều thì nên xét hàm như thế nào ạ?

    • Nhìn toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu

      + trong 3-chiều

      \Delta=\dfrac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r)+\dfrac{1}{r^2}\Delta_{\mathbb S^2}

      + trong d-chiều

      \Delta=\dfrac{1}{r^{d-1}}\partial_r(r^{d-1}\partial_r)+\dfrac{1}{r^2}\Delta_{\mathbb S^{d-1}}

      với \Delta_{\mathbb S^{d-1}} là toán tử Laplace-Beltrami trên mặt cầu là đạo hàm theo các góc, độc lập với r,

      Để ý u điều hòa khi và chỉ khi

      \partial_r(r^{d-1}\partial_r u)=- r^{d-3} \Delta_{\mathbb S^{d-1}}u.

  42. Hôm nay một số bạn lên chữa bài tập nhưng có vẻ không ổn lắm. Sáng mai ta sẽ tiếp tục chữa bài tập. Tiết đầu các bạn hay đến muộn nên tôi sẽ nói qua về phương pháp thế vị để tuần sau có thể làm vài bài tập lý thuyết về phần này.

  43. 05/12/2017, tôi trình bày sơ qua phương pháp thế vị và đưa ra một số bài tập lý thuyết. Tuần sau ta sẽ làm các bài tập này.

    Một bạn lên làm thử bài 3 lý thuyết phần phương pháp Perron. Lúc chữa vẫn còn vài điểm chưa chi tiết. Hy vọng các bạn chi tiết lại lời giải bài này. Ngoài ra xuất hiện thêm bài về sự tương đương định nghĩa của hàm điều hòa dưới.

    Một bạn lên kiểm tra lại công thức Poisson cho nghiệm bài toán biên Dirichlet của PT Laplace trên nửa mặt phẳng trên. Khi kiểm tra điều kiện biên xuất hiện tình huống về cách lấy giới hạn: lấy giới hạn trong góc (angular-limit hay nontangent-limit).

  44. Tôi bắt đầu chấm bài tập lần cuối:

    – Nhóm 1:

    + Sách P-R: bài 7.14 bài toán trong hình tròn vẫn còn \ln r,r^{-n} với n=1, 2, \dots, là sai; bài 7.22 đoạn kiểm tra nghiệm cổ điển mới kiểm tra tích phân trên đường tròn tâm tại gốc, còn những đường tròn khác không có tâm tại gốc vẫn nằm trong miền xác định chưa kiểm tra, về điều kiện biên chú ý chuỗi hội tụ đều trong r\le 6 (có cả dấu bằng);

    + Sách thầy Hợp: bài 36 không để ý r\to +\infty; bài 37 không quan tâm đến câu hỏi của bạn T.T. Hà nên tổng hợp nghiệm thiếu;

    + Sách G-L: bài 2 (p. 297), viết

    \theta=\arctan(x_1/x_2) hay \theta=arccotan(x_1/x_2)

    đều thiếu khi \theta\in(\pi/, 3\pi/2); thêm nữa nếu muốn viết \theta=\theta(x_1, x_2) cần chú ý ít nhất hàm này liên tục; bài 6 (p. 305) không giải thích tại sao đưa được đạo hàm qua dấu tích phân;

    – Nhóm 2: 18 (pp. 322 G-L),

    + Sách P-R: bài 7.12 quên chưa nhân hằng số với nghiệm u_0=y+1 trong nghiệm tổng quát; các bài 7.8, 7.17 đề bài không cho các điều kiện biên Y(0)=Y(\pi)=0 hay X(0)=X(\pi)=0; thêm nữa khác với thi GK hay CK, việc tìm giá trị riêng, hàm riêng cần viết chi tiết; việc chỉ ra tính cổ điển của nghiệm tách biến của bài 7.17 tham khảo Corollary 7.18 (pp. 185);

    + Sách thầy Hợp: bài 32 chưa tính được u(x, y); bài 35 không chuyển được điều kiện Neumann vì không để ý hướng của véc-tơ pháp tuyến;

    + Sách G-L: bài 4 (p. 297) câu b sai đề u=e^{nx}\cos(ny) chứ không phải u=e^{xy}\cos(ny); bài 3 (p. 305) mới kiểm tra chuỗi nghiệm hội tụ chưa kiểm tra tính điều hòa và điều kiện biên; bài 4 (p. 305) điều kiện X'(0)=X(1)=0 không chỉ nằm trong TH c=0;

    + Bài của GS. Bernard: bài 4 không hiểu đề, đề bài nhằm kiểm tra khi ta chỉ biết hai điều kiện trên cùng một biên thì không giải được còn các bạn viết tôi thấy không nhằm kiểm tra theo yêu cầu;

      • Việc kiểm tra điều kiện ban đầu bài 7.17 (P-R) và điều kiện biên bài 7.22 (P-R) đều có thể dùng nguyên lý cực đại vì chuỗi Fourier của các điều kiện này hội tụ đều!

        Bài 7.17 (P-R) đã từng nói trên lớp rồi.

      • Em cảm ơn thầy đã gợi ý ạ. Em xin trình bày sự hội tụ tại biên của chuỗi nghiệm tách biến của bài 7.22. như sau: Với w(6,\theta) = f(\theta) = 6\cos \theta nếu \dfrac{\pi}{2} < x< \dfrac{3\pi}{2} và bằng 0 nếu ngược lại, ta có chuỗi Fourier của f được tính tương tự như trong bài là -\dfrac{6}{\pi} + 3\cos \theta + \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2(-1)^n}{\pi} \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} \cos 2n\theta. Vì f(0) = f(2\pi)f liên tục (do 6\cos \theta và $0$ liên tục, tại các điểm \pi/2, 3\pi/2 chúng đều có giới hạn trái bằng phải bằng 0) nên chuỗi Fourier của nó hội tụ đến chính nó. Hơn nữa từ số hạng thứ 3, mỗi từ của chuỗi đều có giá trị tuyêt đối \leq \dfrac{2}{(2n-1)(2n+1)} và chuỗi \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{(2n-1)(2n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2n-1} - \dfrac{1}{2n+1} \right) =1 là hội tụ. Vậy theo tiêu chuẩn M-Weierstrass, chuỗi Fourier của f hội tụ đều đến f.

        Giờ ta gọi f_n là dãy tổng riêng thứ n của chuỗi này, rõ ràng f_n liên tục với mọi n. Theo công thức Poisson ta có nghiệm w_n(r,\theta) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} G(r,\theta,\theta') f_n(\theta') d\theta' của bài toán Laplace với điều kiện biên Dirichlet f_n.Vì f_n hội tụ đều nên ta có thể đẩy phép lấy giới hạn qua phép lấy tích phân:

        w(r,\theta) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} G(r,\theta,\theta') f(\theta') d\theta' = \dfrac{1}{2\pi}  G(r,\theta,\theta') \lim_{n\to \infty}  f_n(\theta') d\theta' =

        =\lim_{n\to \infty} \int_{0}^{2\pi} G(r,\theta,\theta') f_n(\theta') d\theta' =\lim_{n\to \infty} w_n(r,\theta).

        Do f_n liên tục và G(r,\theta,\theta') liên tục, các hàm w_n cũng liên tục; ta có thể sử dụng nguyên lí cực đại để suy ra
        \min_{\theta \in [0,2\pi]} (f_n - f_m) \leq \min_{\theta \in [0,2\pi]} (w_n - w_m) \leq \max_{\theta \in [0,2\pi]} (f_n - f_m),
        và do f_n hội tụ đều nên w_n cũng hội tụ đều đến $w$ (đều theo cả r, \theta). Hơn nữa, mỗi w_n liên tục nên w cũng liên tục. Do sự hội tụ đều, ta có

        \lim_{r\to 6} w_n(r,\theta) =\lim_{r\to 6} \lim_{n\to \infty} w_n(r,\theta) = \lim_{n\to \infty} \lim_{r\to 6} w_n(r,\theta)=

        = \lim_{n\to \infty} f_n(\theta) = f(\theta).

        Dấu bằng gần cuối có được vì nếu ta sử dụng tách biến để giải thì mỗi w_n(r,\theta) chỉ gồm hữu hạn (chính xác là n) số hạng, hội tụ đến $f_n$ khi $r\to 6$.

        Em thắc mắc rằng nếu chuỗi Fourier của f không hội tụ đều thì ta xoay sở thế nào. Ở trong sách Qing Han cũng có chứng minh sự hội tụ tại biên, nhưng là cho chuẩn L^2.

      • Về cơ bản các lập luận đúng. Vài điểm chú ý:

        – Chuỗi Fourier của hàm liên tục không nhất thiết phải hội tụ đều đến đúng hàm đó.

        – Nếu chuỗi Fourier của hàm liên tục hội tụ thì hàm giới hạn chính là hàm liên tục đó.

        – Đoạn về tổng riêng

        f_n(\theta)=-6/\pi +\sum_{k=1}^n a_k\cos(k\theta)

        là đa thức lượng giác nên không cần đến công thức Poisson ta có nghiệm cổ điển

        w_n(r, \theta)=-6/\pi + \sum_{k=1}^n a_k r^k\cos(k\theta)

        là hàm khả vi vô hạn trên toàn mặt phẳng! Nói riêng nó điều hòa và liên tục trên \bar{B}_6.

        – Đoạn dùng nguyên lý cực đại nên dùng dạng

        \max_{0\le r\le 6 \atop \theta\in\mathbb R}|w_n(r, \theta)-w_m(r, \theta)|\le \max_{\theta\in\mathbb R}|f_n(\theta)-f_m(\theta)|.

        Về câu hỏi cuối tình huống giống bài bạn Hùng chữa hôm trước. Cụ thể: với f\in C(\mathbb T)

        + dạng đơn giản:

        \lim_{r\to 6^-}||u(r, \cdot)-f||_\infty =0 (giới hạn bán kính = radial limit);

        + phức tạp hơn giới hạn trên có thể thay bởi giới hạn không tiếp xúc, nontangent limit.

        Lúc này công thức Poisson thực sự cần.

  45. Trong bài giảng

    https://bomongiaitich.files.wordpress.com/2015/11/ptell.pdf

    tôi trình bày việc lấy giới hạn ra biên của cả bài nửa mặt phẳng (bạn Hùng làm) và bài trong hình tròn (bạn Đạt làm) chỉ cần điều kiện liên tục và bị chặn của điều kiện biên và không cần điều kiện gì về quá trình cho điểm chạy ra biên (chạy thẳng, radial limit, hay phải chạy trong góc, nontangent limit).

    Kết quả này giống như phần chứng minh “thỏa mãn điều kiện biên” của phương pháp Perron.

  46. Sáng nay 12/12/2017, tôi đã trình việc dẫn các bài toán biên Dirichlet (trong+ngoài), bài toán biên Neumann (trong+ngoài) thành các phương trình tích phân Fredholm, trong đó ta có các cặp đối ngẫu:

    + Dirichlet trong và Neumann ngoài,

    + Dirichlet ngoài và Neumann trong.

    Đến đây ta gặp định lý thay phiên Fredholm (Fredholm Alternative Theorem) giống như trong đại số tuyến tính.

    Kết quả thú vị dẫn từ định lý thay phiên Fredholm:

    Trong trường hợp 3-chiều, bài toán biên Neumann ngoài luôn có nghiệm khi điều kiện biên Neumann liên tục (Định lý 5.13.4, sách thầy Hợp).

    • Khi nói về định lý thay phiên Fredholm tôi có chen ngang lý thuyết chỉ số. Các bạn tham khảo

      https://en.wikipedia.org/wiki/Atiyah%E2%80%93Singer_index_theorem

      Tôi cũng có nói sự so sánh của V. Arnold về I. Gelfand và N. Kolmogorov. Các bạn xem

      Nhắc lại bài phỏng vấn Nirenberg ở trên, trong bài viết (đoạn “Mathematical vision”) Nirenberg có nói về hội nghị năm 1963, các nhà toán học Mỹ sang Liên Xô trao đổi. K. Friedrichs, sau khi tham dự seminar của Gelfand và trở về New York có nói “You know, we should run a seminar like that, and we could take turns playing Gelfand.”

  47. Sáng nay 18/12/2017 một số bạn lên chữa bài thi cuối kỳ K59TN:

    – Bài 1 về PT truyền sóng trong đoạn hữu hạn: chú ý quá trình thác triển và lấy “nguyên hàm”;

    – Bài 3 về PT truyền nhiệt giải bằng Fokas: chú ý đoạn chuyển đường lấy tích phân và đoạn làm mất số hạng chứa \hat{u}(-k, T). Nhắc các bạn viết chi tiết cho TH trên đoạn hữu hạn.

    Phần còn lại các bạn trao đổi với nhau.

    Ngoài ra tôi cũng đưa ra bài

    \iint_{\mathbb S}\left|\partial_{n_y}\dfrac{1}{|x-y|}\right|dS_y\le C, \forall x\in\mathbb R^3.

    Gợi ý

    \iint_{\mathbb S}\left|\partial_{n_y}\dfrac{1}{|x-y|}\right|dS_y=\begin{cases} 4\pi , \; x\in \mathbb B,\\ 2\pi, \; x\in \mathbb S. \end{cases}

    • Bạn Đạt có đưa ra ý để tính toán:

      The vi K60

      + chia mặt cầu thành các đường tròn vuông góc với đoạn nối Ox, hàm dưới dấu tích phân là hằng trên mỗi đường này;

      + tính tích phân trên mỗi đường này rồi cộng lại.

      Chú ý đường tròn gồm các tiếp điểm của đường tiếp tuyến kẻ từ x đến mặt cầu.

  48. Em thưa thầy trong đề cương ôn tập câu 8 hỏi rằng xây dựng hàm Green cho nửa ? trong hình cầu. Cái chữ giữa “nửa” với chữ “trong” là gì vậy ạ? Hôm đó em đọc không kĩ giờ xem lại ảnh không hiểu ạ.

    Bài trên, em tính ra trường hợp x nằm ngoài hình cầu đáp số là 4\pi \left( 1 - \dfrac{(|x|^2-1)^{1/2}}{|x|}\right).

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

w

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.