Trao đổi bài giảng môn PTĐHR CH2017-19

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

05/12/2017 tôi bắt đầu dạy môn PTĐHR cho lớp CH2017-19. Tôi đã nói sơ qua về đề cương môn học. Đề cương môn học chi tiết các bạn xem

Đề cương học phần PTĐHR

Sau đó tôi có nói vài ký hiệu, đặc biệt C^m, C^\infty và hàm giải tích thực cũng như toán tử gradient \nabla và ma trân Hessian \nabla^2. Tiếp đến tôi bắt đầu trình bày PTĐHR cấp 1 với khái niệm siêu mặt đặc trưng. Hy vọng tuần tới có bạn lên chữa bài tập về phần này.

 

 

Advertisements

26 responses »

  1. Chiều nay, 12/12/2017, tôi kết thúc được việc giải PT vi phân đạo hàm riêng cấp 1 dạng tổng quát. Có vài chi tiết các bạn tự đọc:

    + quá trình dẫn ra hệ PTVP cấp 1,

    + kiểm tra lại nghiệm tìm được.

    Sau đó một vài bạn lên chữa các bài tập:

    B1. Tìm nghiệm giải tích của bài toán Cauchy

    \begin{cases} u_x-(1+x^2)u_y & =\cos x, (x, y)\in\mathbb R^2,\\ u(x, 0) & = \sin x, x\in\mathbb R. \end{cases}

    Các bạn thứ dùng đổi biến hay đường đặc trưng để giải xem sao?

    B2. Tím nghiệm của bài toán Cauchy

    \begin{cases} u_x-2u_y-xu & =0, (x, y)\in\mathbb R^2,\\ u(x, 0) & = 2x e^{x^2/2}, x\in\mathbb R. \end{cases}

    Một bạn đã dùng đổi biến để giải. Các bạn thử tìm nghiệm giải tích và tìm nghiệm bằng cách dùng đường đặc trưng.

  2. Bài tập về PT VPĐHR cấp 1, ngoài cuốn “An introduction to PDEs” của Pinchover-Rubinstein các bạn có tham khảo thêm cuốn “Beginning partial differential equations” của Peter V O’Neil.

  3. 19/12/2017, tôi đã cơ bản trình bày được các ước lượng tiên nghiệm và chỉ ra sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình (chưa có điều kiện ban đầu). Cần lưu ý sự khác nhau giữa điều kiện Cauchy và điều kiện ban đầu. Sau đó tôi dẫn đến hiện tượng sốc của bài toán Cauchy cho PT Burger. Tuần tới tiết đầu tôi sẽ kết thúc phần PT cấp 1. Sau đó tôi chuyển sang phần ôn lại PT cấp 2.

    Về bài tập: một số bạn đã làm

    – dùng các cách: tìm nghiệm giải tích, dùng đổi biến, dùng đường đặc trưng để giải các bài toán Cauchy cho PT nửa tuyến tính cấp 1; chú ý tính địa phương của nghiệm tìm được và điều kiện không đặc trưng;

    – giải bài toán Cauchy cho PT cấp 1 phi tuyến: mới xử lý phần điều kiện tương thích, tuần sau sẽ chuyển sang tìm nghiệm.

    Các bạn nên tìm các bài có đường cong Cauchy đặc trưng. Ngoài ra các bạn cũng thử làm các bài có hiện tượng sốc cũng như bài tập lý thuyết (chẳng hạn trong sách của Q. Han).

  4. Bài

    \begin{cases} u_y+(1+x^2)u_x-u & =0, \; (x, y)\in\mathbb R^2,\\ u(x, 0) & = \arctan(x), \; x\in\mathbb R, \end{cases}

    đoạn tìm đường đặc trưng

    x'(t, s)=x^2+1, x(0, s)=s

    có vấn đề nhỏ!

    Cụ thể ta có

    \arctan(x)=t+C(s)

    và khi t=0

    \arctan s=C(s)

    dường như khá đúng!

    Cụ thể:

    + nó chỉ đúng khi |t| bé,

    + khi |t| lớn thì:

    x=\tan(t+C(s))C(s)=\arctan(s)+k\pi, k\in\mathbb Z đủ tốt!

    Muốn hiểu tính duy nhất nghiệm toàn cục bài này có lẽ cần đến định lý thác triển nghiệm ra vô cùng!

    • Quay trở lại cách đổi biến, khi tìm được nghiệm tổng quát

      u(x, y)=e^yf(\arctan x-y)

      và dùng điều kiện Cauchy ta được

      f(\arctan x)=\arctan x hay f(t)=t, -\pi/2 < t < \pi/2.

      Nếu ta tìm nghiệm trong không gian các hàm giải tích thì sẽ chỉ có duy nhất f(t)=t.

      Nếu ta nới không gian nghiệm chỉ cần khả vi liên tục đến cấp 1 thì:

      + nghiệm xác định duy nhất trong lân cận |y-\arctan x|< \pi/2;

      + ngoài vùng lân cận này ta có thể nối nhiều nghiệm khác bằng cách thác triển f một cách khả vi lên toàn \mathbb R.

      Đến đây ta gặp:

      + miền xác định tối đa (maximal domain) của nghiệm tìm được;

      + miền xác định duy nhất nghiệm.

  5. 26/12/2017 tôi đã hoàn thành phần PT cấp 1:

    + tìm nghiệm giải tích,

    + phương pháp đặc trưng,

    + ước lượng tiên nghiệm,

    + chỉ ra sự tồn tại nghiệm nghiệm yếu,

    + hiện tượng sốc.

    Về hiện tượng sốc chú ý:

    + sốc sinh ra từ đâu,

    + vùng chân không.

    Sau đó tôi chuyển sang PT cấp 2:

    + tìm nghiệm giải tích,

    + phân loại, chuyển về dạng chính tắc (tự đọc),

    + đánh giá năng lượng: dẫn đến tính ổn định, tính duy nhất.

    Tuần tới tôi sẽ trình bày nốt phần ôn lại PT cấp 2 với phương pháp tách biến.

    Về bài tập:

    + một bạn lên chữa bài tập về sốc,

    + một bạn lên tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của PT cấp 1 tuyến tính,

    + hai bạn hôm trước lên giải tiếp bài về PT phi tuyến dạng tổng quát (các bạn tự hoàn thiện lại).

    Tôi nhắc về việc thi giữa kỳ vào khoảng cuối tháng 1 năm 2018 (tuần 8-9).

    • Về hiện tượng sốc tôi có lấy ví dụ về bài toán Cauchy cho PT Burger:

      + khi điều kiện Cauchy u(x, 0)=\arctan x thì

      soc

      ta giải được duy nhất nghiệm;

      + khi điều kiện Cauchy u(x, 0)=-\arctan x thì

      soc

      ta giải được duy nhất nghiệm trong khoảng thời gian 0< t < 1;

      soc

      khi t> 1 xuất hiện hiện tượng tại mỗi điểm (x, t) hàm u có thể nhận nhiều giá trị (hiện tượng sốc).

  6. Tóm tắt lời giải bài (bạn P.Q.Tuyển):

    \begin{cases} xp+yq+(p^2+q^2)/2 & =u, \; (x, y)\in\mathbb R^2,\\ u(x, 0) & =(1-x^2)/2, \; x\in\mathbb R. \end{cases}

    B1: Tham số hóa lại điều kiện Cauchy;

    x(0, s)=s, y(0, s)=0, u(0, s)=(1-s^2)/2.

    B2: Giải điều kiện tương thích:

    \begin{cases} sp(0, s)+0q(0, s)+(p^2(0, s)+q^2(0, s))/2 & = (1-s^2)/2,\\ p(0, s)+0q(0, s) & = -s, \end{cases}

    ta được hai nghiệm p(0, s)=-s, q(0, s)=\pm 1.

    B3: Xét bài toán Cauchy cho hệ PTVP

    \begin{cases} x_t &= F_p= x+p,\\ y_t &= F_q= y+q,\\ u_t &= pF_p+qF_q= p(x+p)+q(y+q)=u+(p^2+q^2)/2,\\ p_t &= -F_x-pF_u= 0,\\ q_t &= -F_y-qF_u= 0, \end{cases}

    với điều kiện Cauchy

    x(0, s)=s, y(0, s)=0, u(0, s)=(1-s^2)/2

    p(0, s), q(0, s) tìm được nhờ B2.

    B4: Chú ý từ hệ PTVP ta có p, q là hằng theo t, nghĩa là

    p(t, s)=p(0, s), q(t, s)=q(0, s)p^2+q^2=s^2+1.

    Khi đó ta giải được nghiệm dạng tham số (parameter solution)

    x(t, s)=s, y(t, s)=(1-e^t)q(0, s), u(t, s)=-(1+s^2)/2+e^t, s, t\in\mathbb R.

    B5: Viết lại nghiệm dạng hiển (explicit solution):

    u(x, y)=(1-x^2)/2+q(0, s)y=(1-x^2)/2 \pm y.

    Chú ý:

    + nhìn nghiệm dạng tham số ta thấy u> -1/2;

    + nhìn nghiệm dạng hiển lại thấy u lấy giá trị trên toàn đường thẳng thực!

  7. Về bài tìm nghiệm tổng quát của PT tuyến tính cấp 1:

    3yu_x-2xu_y=0

    ngoài cách đổi biến ta còn có cách dùng PP Lagrange. Cụ thể ta có hệ PTVP

    \dfrac{3y}{dx}=-\dfrac{2x}{dy}=\dfrac{0}{du}.

    Từ đây ta giải được:

    2x^2+3y^2=C_1, u=C_2

    nên nghiệm tổng quát dạng ẩn

    F(2x^2+3y^2, u)=0

    và dạng hiển

    u=f(2x^2+3y^2).

    Tôi có đề cập đến điều kiện Cauchy

    u(x, x)=x.

    Nếu dùng nghiệm cơ bản như trên ta có

    f(5x^2)=x.

    Khi đó ta cần xem f(t)=\sqrt{t/5} hay f(t)=-\sqrt{t/5}. Điều này dẫn đến hiện tượng u có thể nhận hai giá trị tại mỗi điểm (x, y). Cụ thể, mặt cong tích phân u=u(x, y) là mặt nón:

    PTC1

    Ngoài ra lúc đầu tôi nghĩ bài này có điều kiện Cauchy đặt trên đường đặc trưng như không phải. Các bạn thử giải PT trên với điều kiện Cauchy:

    a) u(x, y)=x khi 2x^2+3y^2=1.

    b) u(x, y)=1 khi 2x^2+3y^2=1.

  8. 02/01/2018, tôi đã trình xong phần ôn lại PT cấp 2:

    + tính kỳ dị của nghiệm qua đường đặc trưng: chẳng hạn PT truyền sóng có tập điểm kỳ dị của nghiệm là các đường đặc trưng xuất phát từ những điểm kỳ dị của điều kiện ban đầu;

    + phương pháp tách biến giải bài toán biên cho PT Poisson trong hình chữ nhật, hình tròn, .v.v.; bài toán biên hỗn hợp cho PT truyền nhiệt-sóng trong một đoạn;

    + lưu ý về tính cổ điển của nghiệm tìm được nhờ PP tách biến:

    – với PT Laplace chỉ cần điều kiện biên liên tục;

    – với PT truyền nhiệt điều kiện biên – ban đầu liên tục (có cả điều kiện tương thích: nối liên tục điều kiện ban đầu và biên ở (0, 0) và (0, \pi));

    – với PT truyền sóng điều kiện biên – ban đầu liên tục và điều kiện tương thích

    Truyen song

    \varphi_0(0)=u(0, 0)=u_0(0), \varphi_1(0)=u(\pi , 0)=u_0(\pi);

    \varphi'_0(0)=u_t(0, 0)=u_1(0), \varphi'_1(0)=u_t(\pi, 0)=u_1(\pi) (trên lớp tôi chưa giải thích được!)

    \varphi"_0(0)=u_{tt}(0, 0)=u_{xx}(0, 0)=u"_0(0),

    \varphi"_1(0)=u_{tt}(\pi, 0)=u_{xx}(\pi, 0)=u"_0(\pi).

    Ngoài ra tôi cũng nói đến:

    – tính khả vi vô hạn của nghiệm PT Laplace và PT truyền nhiệt dù điều kiện biên – ban đầu chưa tốt;

    – cách thỏa mãn điều kiện biên – ban đầu: lấy vết;

    – nhân Poisson (PT Laplace), nhiệt nhiệt (PT truyền nhiệt).

    Sau đó chữa các bài tập:

    – các bài có sốc;

    – PT phi tuyến cấp 1 ba biến;

    – tìm dạng cho điều kiện Cauchy của PT cấp 1 khi điều kiện Cauchy đặt trên đường đặc trưng;

    – PP Lagrange tìm nghiệm tổng quát;

    – phân loại, chuyển về dạng chính tắc, tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của PT tuyến tính cấp 2 hai biến;

    – tìm nghiệm giải tích của bài toán Cauchy cho PT Laplace.

    Tuần sau tôi sẽ chuyển sang PT Laplace.

    • Về việc phân loại: có bạn hỏi về hiện tượng PT cấp 2 có thể có nhiều loại thì làm như nào?

      – Thường ta sẽ làm trên từng vùng mà PT đó được xác định một loại rồi sau đó ghép lại.

      – Khoảng những năm cuối thế kỷ XX, đầu thế kỷ XXI, Barros-Neta (và các đồng nghiệp Cardoso, Gelfand)tìm nghiệm cơ bản của của toán tử Tricomi

      y\Delta+\partial^2_y.

      Các bạn tham khảo các bài

      +) “Bessel Integrals and Fundamental Solutions for a Generalized Tricomi Operator“, Journal of Functional Analysis 183, 472497 (2001), của J. Barros-Neto, Fernando Cardoso.

      +) “Fundamental solutions for the Tricomi operator“, Duke Math. J. Volume 98, Number 3 (1999), 465-483, của J. Barros-Neto, I. M. Gelfand (lúc này Gelfand đã 86 tuổi, sau đó còn hai bài nữa năm 2002, 2005).

  9. Các bạn lưu ý làm các bài tập lý thuyết. Tôi sẽ đánh giá cao các bài tập này hơn. Hôm qua khi nói về tính liên tục đến tận biên của nghiệm bài toán biên Dirichlet cho PT Laplace trong hình vuông tôi có nói về hai cách thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet u(x, 0)=\varphi_0(x) khi \varphi_0 liên tục:

    C1 (như phát biểu trong giáo trình):

    \lim_{y\to 0_+}\sup_{x\in[0, \pi]} |u(x, y)-\varphi_0(x)|=0.

    C2 với mỗi x_0\in [0, \pi], với mỗi \epsilon > 0 có số dương r sao cho

    |u(x, y)-\varphi_0(x_0, 0)|< \epsilon, \forall (x, y)\in B_r(x_0, 0)\cap (0, \pi)\times(0, \pi).

    Laplace

    Bài tập lý thuyết: CMR hay cách trên tương đương.

  10. 09/01/2017 tôi bắt đầu trình bày PT Laplace:

    – khái niệm hàm điều hòa và một số ví dụ,

    – nghiệm cơ bản của toán tử Laplace,

    – các công thức Green và đồng nhất thức Green,

    – hàm Green, xây dựng hàm Green cho hình cầu, dẫn đến công thức Poisson,

    – tính chính quy của hàm điều hòa:

    + khả vi vô hạn,

    + giải tích: cần đến việc đánh giá đạo hàm riêng mọi cấp tại một điểm (các bạn tự đọc);

    – sự hội tụ trong không gian các hàm các hàm điều hòa: một dãy hàm điều hòa bị chặn sẽ có dãy con hội tụ trên từng compact đến một hàm điều hòa (các bạn tự đọc).

    Tuần tới tôi sẽ chuyển sang tính chất giá trị trung bình của hàm điều hòa. Nhờ tính chất này ta sẽ dễ dàng kiểm tra khi nào một chuỗi các hàm điều hòa cho ta một hàm điều hòa.

    Về bài tập: một số bạn đã lên giải bằng PP tách biến bài toán biên hỗn hợp cho PT truyền sóng, một bạn chữa bài về việc phân loại, chuyển về dạng chính tắc, .v.v. PT cấp 2 hệ số biến thiên (bài này các bạn nên lập bảng như bạn P. Q. Tuyển để ý có thể tính toán các hệ số trực tiếp trên bảng luôn). Chú ý việc kiểm tra tính cổ điển của nghiệm tìm được (việc thử lại).

    Còn khoảng 2 tuần nữa sẽ thi giữa kỳ nên các bạn nên làm các bài tập ‘GẦN’ với đề thi hơn, chẳng hạn đề năm ngoái.

    • Bạn Azat có chữa bài 3.4, sách Pinchover-Rubinstein: bài này chú ý miền xác định của PT, cụ thể việc phân loại, chuyển về dạng chính tắc, .v.v. và tìm nghiệm của bài toán Cauchy chỉ diễn ra trong miền y>0.

      Bạn Long chữa bài 2 đề 4 (GK CH16-18) chú ý việc kiểm tra tính cổ điển của nghiệm ta quan sát từ bên ngoài như sau:

      – tính trơn của điều kiện biên, ban đầu;

      – điểm kết nối giữa điều kiện và ban đầu (điều kiện tương thích);

      – đôi khi nhìn thác triển (thích hợp) của nghiệm.

      Tuần tới nếu được các bạn chuẩn bị các bài 6.14, 6.15, 7.17 sách Pinchover-Rubinstein.

      • Về bài 3.4 có vài ý thú vị:

        + nếu ta xét trên toàn bộ mặt phẳng (kể cả điều kiện Cauchy) và lờ đi y=0 thì kết quả cuối cùng vẫn đúng,

        + nếu giữ nguyên như đề bài thì có miền xác định duy nhất và có miền không (một bạn K58TN phát hiện), các bạn tham khảo:

        Trao đổi K58TN

        Trao đổi K59TN

        Về bài 2 đề 4 (GK CH16-18) không dễ để nhận ra tính kỳ dị của nghiệm:

        song

        vì nó khả vi liên tục và chỉ không khả vi đến cấp 2 trên đường:

        x-3t=-2k, x+3t=2+2k, k=0, 1, 2, \dots, 0\le x\le 1, t> 0.

        song

        Ngoài ra, nhìn lại ý nghĩa vật lý của điều kiện biên ta có thể cảm nhận ngay tính cố định và tự do tại hai đầu sợi dây.

  11. 16/01/2018, khi nói về cách đánh giá gradient của N. Bernstein tôi có nói về bài toán mặt cực tiểu trên toàn không gian của Bernstein. Bản thân Bernstein chỉ ra chỉ có đường thẳng là đường cực tiểu trong mặt phẳng. Các bạn tham khảo bài giảng của L. Q. Nẫm trong

    Dynamical and Geometric Aspects of Hamilton-Jacobi and Linearized Monge-Ampère Equations VIASM 2016“, Lecture Notes in Mathematics 2183.

  12. Về lý thuyết tôi đã trình bày:

    – tính chất trung bình của hàm điều hòa;

    – sử dụng tính chất trung bình để dẫn đến đánh giá gradient cho hàm điều hòa, hàm điều hòa không âm (tự đọc);

    – sử đánh giá gradient dẫn đến định Liouville và bất đẳng thức Harnack (tự đọc);

    – sử dụng tính chất giá trị trung bình dẫn đến NLCĐ mạnh, tính duy nhất nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho PT Poisson trong không gian C^2(\Omega)\cap C(\bar{\Omega}), so sánh với cách dùng tích phân năng lượng;

    – NLCĐ yếu, NLCĐ mạnh cho hàm điều hòa dưới và nghiệm dưới của PT \Delta u+cu=0;

    – Tính duy nhất nghiệm của bài toán biên Neumann;

    – Đánh giá tiên nghiệm (câu hỏi lý thuyết trong đề cuối kỳ CH2016-2018).

    Về bài tập:

    – bài về PT cấp 2 hệ số biến thiên với điều kiện đặt trên đường đặc trưng;

    – bài toán biên hỗn hợp cho PT truyền nhiệt, tương tự Câu 1 đề cuối kỳ K60TN;

    – bài tập lý thuyết trong Q. Han, tương tự Câu 3, đề 1 GKCH16-18.

  13. Về câu 2 đề 4 GKCH15-17 đoạn kiểm tra tính cổ điển của nghiệm tìm được bằng PP tách biến:

    – Khi t> 0 nghiệm sẽ cổ điển theo nghĩa thỏa mãn PT truyền nhiệt và điều kiện biên (Định 2.15, Chương 2 – Ôn lại PTĐHR cấp 2).

    – Bạn Mạnh kiểm tra sự kết nối giữa điều kiện ban đầu u(x, 0)=xu_x(1, t)=0 thì thấy không khớp. Đến đây ta kết luận nghiệm không cổ điển chưa hẳn đúng (tôi nhầm ở đây). Thực sự ta chỉ nói được rằng nghiệm không khả vi đến điều kiện ban đầu!

    – Nghiệm cổ điển chỉ cần thỏa mãn PT, các điều kiện biên và liên tục đến điều kiện ban đầu. Để thấy nghiệm của bài này cổ điển ta thác triển đối xứng qua trục x=1 và kiểm tra tính liên tục của điều kiện ban đầu cũng như các giả thiết của Định lý 2.16 (Chương 2-Ôn lại PTĐHR cấp 2).

    So với PT truyền sóng hiện tượng trên cho thấy sự khác biệt của PT truyền nhiệt và truyền sóng:

    – lỗi ở thời điểm ban đầu, qua thời gian bị biến mất trong TH PT truyền nhiệt;

    – lỗi ở thời điểm ban đầu truyền theo đường đặc trưng, không mất đi trong TH PT truyền sóng.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s