Trao đổi bài giảng môn PTĐHR CH2017-19

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

05/12/2017 tôi bắt đầu dạy môn PTĐHR cho lớp CH2017-19. Tôi đã nói sơ qua về đề cương môn học. Đề cương môn học chi tiết các bạn xem

Đề cương học phần PTĐHR

Sau đó tôi có nói vài ký hiệu, đặc biệt C^m, C^\infty và hàm giải tích thực cũng như toán tử gradient \nabla và ma trân Hessian \nabla^2. Tiếp đến tôi bắt đầu trình bày PTĐHR cấp 1 với khái niệm siêu mặt đặc trưng. Hy vọng tuần tới có bạn lên chữa bài tập về phần này.

 

 

Advertisements

56 responses »

  1. Chiều nay, 12/12/2017, tôi kết thúc được việc giải PT vi phân đạo hàm riêng cấp 1 dạng tổng quát. Có vài chi tiết các bạn tự đọc:

    + quá trình dẫn ra hệ PTVP cấp 1,

    + kiểm tra lại nghiệm tìm được.

    Sau đó một vài bạn lên chữa các bài tập:

    B1. Tìm nghiệm giải tích của bài toán Cauchy

    \begin{cases} u_x-(1+x^2)u_y & =\cos x, (x, y)\in\mathbb R^2,\\ u(x, 0) & = \sin x, x\in\mathbb R. \end{cases}

    Các bạn thứ dùng đổi biến hay đường đặc trưng để giải xem sao?

    B2. Tím nghiệm của bài toán Cauchy

    \begin{cases} u_x-2u_y-xu & =0, (x, y)\in\mathbb R^2,\\ u(x, 0) & = 2x e^{x^2/2}, x\in\mathbb R. \end{cases}

    Một bạn đã dùng đổi biến để giải. Các bạn thử tìm nghiệm giải tích và tìm nghiệm bằng cách dùng đường đặc trưng.

  2. Bài tập về PT VPĐHR cấp 1, ngoài cuốn “An introduction to PDEs” của Pinchover-Rubinstein các bạn có tham khảo thêm cuốn “Beginning partial differential equations” của Peter V O’Neil.

  3. 19/12/2017, tôi đã cơ bản trình bày được các ước lượng tiên nghiệm và chỉ ra sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình (chưa có điều kiện ban đầu). Cần lưu ý sự khác nhau giữa điều kiện Cauchy và điều kiện ban đầu. Sau đó tôi dẫn đến hiện tượng sốc của bài toán Cauchy cho PT Burger. Tuần tới tiết đầu tôi sẽ kết thúc phần PT cấp 1. Sau đó tôi chuyển sang phần ôn lại PT cấp 2.

    Về bài tập: một số bạn đã làm

    – dùng các cách: tìm nghiệm giải tích, dùng đổi biến, dùng đường đặc trưng để giải các bài toán Cauchy cho PT nửa tuyến tính cấp 1; chú ý tính địa phương của nghiệm tìm được và điều kiện không đặc trưng;

    – giải bài toán Cauchy cho PT cấp 1 phi tuyến: mới xử lý phần điều kiện tương thích, tuần sau sẽ chuyển sang tìm nghiệm.

    Các bạn nên tìm các bài có đường cong Cauchy đặc trưng. Ngoài ra các bạn cũng thử làm các bài có hiện tượng sốc cũng như bài tập lý thuyết (chẳng hạn trong sách của Q. Han).

  4. Bài

    \begin{cases} u_y+(1+x^2)u_x-u & =0, \; (x, y)\in\mathbb R^2,\\ u(x, 0) & = \arctan(x), \; x\in\mathbb R, \end{cases}

    đoạn tìm đường đặc trưng

    x'(t, s)=x^2+1, x(0, s)=s

    có vấn đề nhỏ!

    Cụ thể ta có

    \arctan(x)=t+C(s)

    và khi t=0

    \arctan s=C(s)

    dường như khá đúng!

    Cụ thể:

    + nó chỉ đúng khi |t| bé,

    + khi |t| lớn thì:

    x=\tan(t+C(s))C(s)=\arctan(s)+k\pi, k\in\mathbb Z đủ tốt!

    Muốn hiểu tính duy nhất nghiệm toàn cục bài này có lẽ cần đến định lý thác triển nghiệm ra vô cùng!

    • Quay trở lại cách đổi biến, khi tìm được nghiệm tổng quát

      u(x, y)=e^yf(\arctan x-y)

      và dùng điều kiện Cauchy ta được

      f(\arctan x)=\arctan x hay f(t)=t, -\pi/2 < t < \pi/2.

      Nếu ta tìm nghiệm trong không gian các hàm giải tích thì sẽ chỉ có duy nhất f(t)=t.

      Nếu ta nới không gian nghiệm chỉ cần khả vi liên tục đến cấp 1 thì:

      + nghiệm xác định duy nhất trong lân cận |y-\arctan x|< \pi/2;

      + ngoài vùng lân cận này ta có thể nối nhiều nghiệm khác bằng cách thác triển f một cách khả vi lên toàn \mathbb R.

      Đến đây ta gặp:

      + miền xác định tối đa (maximal domain) của nghiệm tìm được;

      + miền xác định duy nhất nghiệm.

  5. 26/12/2017 tôi đã hoàn thành phần PT cấp 1:

    + tìm nghiệm giải tích,

    + phương pháp đặc trưng,

    + ước lượng tiên nghiệm,

    + chỉ ra sự tồn tại nghiệm nghiệm yếu,

    + hiện tượng sốc.

    Về hiện tượng sốc chú ý:

    + sốc sinh ra từ đâu,

    + vùng chân không.

    Sau đó tôi chuyển sang PT cấp 2:

    + tìm nghiệm giải tích,

    + phân loại, chuyển về dạng chính tắc (tự đọc),

    + đánh giá năng lượng: dẫn đến tính ổn định, tính duy nhất.

    Tuần tới tôi sẽ trình bày nốt phần ôn lại PT cấp 2 với phương pháp tách biến.

    Về bài tập:

    + một bạn lên chữa bài tập về sốc,

    + một bạn lên tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của PT cấp 1 tuyến tính,

    + hai bạn hôm trước lên giải tiếp bài về PT phi tuyến dạng tổng quát (các bạn tự hoàn thiện lại).

    Tôi nhắc về việc thi giữa kỳ vào khoảng cuối tháng 1 năm 2018 (tuần 8-9).

    • Về hiện tượng sốc tôi có lấy ví dụ về bài toán Cauchy cho PT Burger:

      + khi điều kiện Cauchy u(x, 0)=\arctan x thì

      soc

      ta giải được duy nhất nghiệm;

      + khi điều kiện Cauchy u(x, 0)=-\arctan x thì

      soc

      ta giải được duy nhất nghiệm trong khoảng thời gian 0< t < 1;

      soc

      khi t> 1 xuất hiện hiện tượng tại mỗi điểm (x, t) hàm u có thể nhận nhiều giá trị (hiện tượng sốc).

  6. Tóm tắt lời giải bài (bạn P.Q.Tuyển):

    \begin{cases} xp+yq+(p^2+q^2)/2 & =u, \; (x, y)\in\mathbb R^2,\\ u(x, 0) & =(1-x^2)/2, \; x\in\mathbb R. \end{cases}

    B1: Tham số hóa lại điều kiện Cauchy;

    x(0, s)=s, y(0, s)=0, u(0, s)=(1-s^2)/2.

    B2: Giải điều kiện tương thích:

    \begin{cases} sp(0, s)+0q(0, s)+(p^2(0, s)+q^2(0, s))/2 & = (1-s^2)/2,\\ p(0, s)+0q(0, s) & = -s, \end{cases}

    ta được hai nghiệm p(0, s)=-s, q(0, s)=\pm 1.

    B3: Xét bài toán Cauchy cho hệ PTVP

    \begin{cases} x_t &= F_p= x+p,\\ y_t &= F_q= y+q,\\ u_t &= pF_p+qF_q= p(x+p)+q(y+q)=u+(p^2+q^2)/2,\\ p_t &= -F_x-pF_u= 0,\\ q_t &= -F_y-qF_u= 0, \end{cases}

    với điều kiện Cauchy

    x(0, s)=s, y(0, s)=0, u(0, s)=(1-s^2)/2

    p(0, s), q(0, s) tìm được nhờ B2.

    B4: Chú ý từ hệ PTVP ta có p, q là hằng theo t, nghĩa là

    p(t, s)=p(0, s), q(t, s)=q(0, s)p^2+q^2=s^2+1.

    Khi đó ta giải được nghiệm dạng tham số (parameter solution)

    x(t, s)=s, y(t, s)=(1-e^t)q(0, s), u(t, s)=-(1+s^2)/2+e^t, s, t\in\mathbb R.

    B5: Viết lại nghiệm dạng hiển (explicit solution):

    u(x, y)=(1-x^2)/2+q(0, s)y=(1-x^2)/2 \pm y.

    Chú ý:

    + nhìn nghiệm dạng tham số ta thấy u> -1/2;

    + nhìn nghiệm dạng hiển lại thấy u lấy giá trị trên toàn đường thẳng thực!

  7. Về bài tìm nghiệm tổng quát của PT tuyến tính cấp 1:

    3yu_x-2xu_y=0

    ngoài cách đổi biến ta còn có cách dùng PP Lagrange. Cụ thể ta có hệ PTVP

    \dfrac{3y}{dx}=-\dfrac{2x}{dy}=\dfrac{0}{du}.

    Từ đây ta giải được:

    2x^2+3y^2=C_1, u=C_2

    nên nghiệm tổng quát dạng ẩn

    F(2x^2+3y^2, u)=0

    và dạng hiển

    u=f(2x^2+3y^2).

    Tôi có đề cập đến điều kiện Cauchy

    u(x, x)=x.

    Nếu dùng nghiệm cơ bản như trên ta có

    f(5x^2)=x.

    Khi đó ta cần xem f(t)=\sqrt{t/5} hay f(t)=-\sqrt{t/5}. Điều này dẫn đến hiện tượng u có thể nhận hai giá trị tại mỗi điểm (x, y). Cụ thể, mặt cong tích phân u=u(x, y) là mặt nón:

    PTC1

    Ngoài ra lúc đầu tôi nghĩ bài này có điều kiện Cauchy đặt trên đường đặc trưng như không phải. Các bạn thử giải PT trên với điều kiện Cauchy:

    a) u(x, y)=x khi 2x^2+3y^2=1.

    b) u(x, y)=1 khi 2x^2+3y^2=1.

  8. 02/01/2018, tôi đã trình xong phần ôn lại PT cấp 2:

    + tính kỳ dị của nghiệm qua đường đặc trưng: chẳng hạn PT truyền sóng có tập điểm kỳ dị của nghiệm là các đường đặc trưng xuất phát từ những điểm kỳ dị của điều kiện ban đầu;

    + phương pháp tách biến giải bài toán biên cho PT Poisson trong hình chữ nhật, hình tròn, .v.v.; bài toán biên hỗn hợp cho PT truyền nhiệt-sóng trong một đoạn;

    + lưu ý về tính cổ điển của nghiệm tìm được nhờ PP tách biến:

    – với PT Laplace chỉ cần điều kiện biên liên tục;

    – với PT truyền nhiệt điều kiện biên – ban đầu liên tục (có cả điều kiện tương thích: nối liên tục điều kiện ban đầu và biên ở (0, 0) và (0, \pi));

    – với PT truyền sóng điều kiện biên – ban đầu liên tục và điều kiện tương thích

    Truyen song

    \varphi_0(0)=u(0, 0)=u_0(0), \varphi_1(0)=u(\pi , 0)=u_0(\pi);

    \varphi'_0(0)=u_t(0, 0)=u_1(0), \varphi'_1(0)=u_t(\pi, 0)=u_1(\pi) (trên lớp tôi chưa giải thích được!)

    \varphi"_0(0)=u_{tt}(0, 0)=u_{xx}(0, 0)=u"_0(0),

    \varphi"_1(0)=u_{tt}(\pi, 0)=u_{xx}(\pi, 0)=u"_0(\pi).

    Ngoài ra tôi cũng nói đến:

    – tính khả vi vô hạn của nghiệm PT Laplace và PT truyền nhiệt dù điều kiện biên – ban đầu chưa tốt;

    – cách thỏa mãn điều kiện biên – ban đầu: lấy vết;

    – nhân Poisson (PT Laplace), nhiệt nhiệt (PT truyền nhiệt).

    Sau đó chữa các bài tập:

    – các bài có sốc;

    – PT phi tuyến cấp 1 ba biến;

    – tìm dạng cho điều kiện Cauchy của PT cấp 1 khi điều kiện Cauchy đặt trên đường đặc trưng;

    – PP Lagrange tìm nghiệm tổng quát;

    – phân loại, chuyển về dạng chính tắc, tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của PT tuyến tính cấp 2 hai biến;

    – tìm nghiệm giải tích của bài toán Cauchy cho PT Laplace.

    Tuần sau tôi sẽ chuyển sang PT Laplace.

    • Về việc phân loại: có bạn hỏi về hiện tượng PT cấp 2 có thể có nhiều loại thì làm như nào?

      – Thường ta sẽ làm trên từng vùng mà PT đó được xác định một loại rồi sau đó ghép lại.

      – Khoảng những năm cuối thế kỷ XX, đầu thế kỷ XXI, Barros-Neta (và các đồng nghiệp Cardoso, Gelfand)tìm nghiệm cơ bản của của toán tử Tricomi

      y\Delta+\partial^2_y.

      Các bạn tham khảo các bài

      +) “Bessel Integrals and Fundamental Solutions for a Generalized Tricomi Operator“, Journal of Functional Analysis 183, 472497 (2001), của J. Barros-Neto, Fernando Cardoso.

      +) “Fundamental solutions for the Tricomi operator“, Duke Math. J. Volume 98, Number 3 (1999), 465-483, của J. Barros-Neto, I. M. Gelfand (lúc này Gelfand đã 86 tuổi, sau đó còn hai bài nữa năm 2002, 2005).

  9. Các bạn lưu ý làm các bài tập lý thuyết. Tôi sẽ đánh giá cao các bài tập này hơn. Hôm qua khi nói về tính liên tục đến tận biên của nghiệm bài toán biên Dirichlet cho PT Laplace trong hình vuông tôi có nói về hai cách thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet u(x, 0)=\varphi_0(x) khi \varphi_0 liên tục:

    C1 (như phát biểu trong giáo trình):

    \lim_{y\to 0_+}\sup_{x\in[0, \pi]} |u(x, y)-\varphi_0(x)|=0.

    C2 với mỗi x_0\in [0, \pi], với mỗi \epsilon > 0 có số dương r sao cho

    |u(x, y)-\varphi_0(x_0, 0)|< \epsilon, \forall (x, y)\in B_r(x_0, 0)\cap (0, \pi)\times(0, \pi).

    Laplace

    Bài tập lý thuyết: CMR hay cách trên tương đương.

  10. 09/01/2017 tôi bắt đầu trình bày PT Laplace:

    – khái niệm hàm điều hòa và một số ví dụ,

    – nghiệm cơ bản của toán tử Laplace,

    – các công thức Green và đồng nhất thức Green,

    – hàm Green, xây dựng hàm Green cho hình cầu, dẫn đến công thức Poisson,

    – tính chính quy của hàm điều hòa:

    + khả vi vô hạn,

    + giải tích: cần đến việc đánh giá đạo hàm riêng mọi cấp tại một điểm (các bạn tự đọc);

    – sự hội tụ trong không gian các hàm các hàm điều hòa: một dãy hàm điều hòa bị chặn sẽ có dãy con hội tụ trên từng compact đến một hàm điều hòa (các bạn tự đọc).

    Tuần tới tôi sẽ chuyển sang tính chất giá trị trung bình của hàm điều hòa. Nhờ tính chất này ta sẽ dễ dàng kiểm tra khi nào một chuỗi các hàm điều hòa cho ta một hàm điều hòa.

    Về bài tập: một số bạn đã lên giải bằng PP tách biến bài toán biên hỗn hợp cho PT truyền sóng, một bạn chữa bài về việc phân loại, chuyển về dạng chính tắc, .v.v. PT cấp 2 hệ số biến thiên (bài này các bạn nên lập bảng như bạn P. Q. Tuyển để ý có thể tính toán các hệ số trực tiếp trên bảng luôn). Chú ý việc kiểm tra tính cổ điển của nghiệm tìm được (việc thử lại).

    Còn khoảng 2 tuần nữa sẽ thi giữa kỳ nên các bạn nên làm các bài tập ‘GẦN’ với đề thi hơn, chẳng hạn đề năm ngoái.

    • Bạn Azat có chữa bài 3.4, sách Pinchover-Rubinstein: bài này chú ý miền xác định của PT, cụ thể việc phân loại, chuyển về dạng chính tắc, .v.v. và tìm nghiệm của bài toán Cauchy chỉ diễn ra trong miền y>0.

      Bạn Long chữa bài 2 đề 4 (GK CH16-18) chú ý việc kiểm tra tính cổ điển của nghiệm ta quan sát từ bên ngoài như sau:

      – tính trơn của điều kiện biên, ban đầu;

      – điểm kết nối giữa điều kiện và ban đầu (điều kiện tương thích);

      – đôi khi nhìn thác triển (thích hợp) của nghiệm.

      Tuần tới nếu được các bạn chuẩn bị các bài 6.14, 6.15, 7.17 sách Pinchover-Rubinstein.

      • Về bài 3.4 có vài ý thú vị:

        + nếu ta xét trên toàn bộ mặt phẳng (kể cả điều kiện Cauchy) và lờ đi y=0 thì kết quả cuối cùng vẫn đúng,

        + nếu giữ nguyên như đề bài thì có miền xác định duy nhất và có miền không (một bạn K58TN phát hiện), các bạn tham khảo:

        Trao đổi K58TN

        Trao đổi K59TN

        Về bài 2 đề 4 (GK CH16-18) không dễ để nhận ra tính kỳ dị của nghiệm:

        song

        vì nó khả vi liên tục và chỉ không khả vi đến cấp 2 trên đường:

        x-3t=-2k, x+3t=2+2k, k=0, 1, 2, \dots, 0\le x\le 1, t> 0.

        song

        Ngoài ra, nhìn lại ý nghĩa vật lý của điều kiện biên ta có thể cảm nhận ngay tính cố định và tự do tại hai đầu sợi dây.

  11. 16/01/2018, khi nói về cách đánh giá gradient của N. Bernstein tôi có nói về bài toán mặt cực tiểu trên toàn không gian của Bernstein. Bản thân Bernstein chỉ ra chỉ có mặt phẳng là mặt cong cực tiểu trong không gian. Các bạn tham khảo bài giảng của L. Q. Nẫm trong

    Dynamical and Geometric Aspects of Hamilton-Jacobi and Linearized Monge-Ampère Equations VIASM 2016“, Lecture Notes in Mathematics 2183.

  12. Về lý thuyết tôi đã trình bày:

    – tính chất trung bình của hàm điều hòa;

    – sử dụng tính chất trung bình để dẫn đến đánh giá gradient cho hàm điều hòa, hàm điều hòa không âm (tự đọc);

    – sử đánh giá gradient dẫn đến định Liouville và bất đẳng thức Harnack (tự đọc);

    – sử dụng tính chất giá trị trung bình dẫn đến NLCĐ mạnh, tính duy nhất nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho PT Poisson trong không gian C^2(\Omega)\cap C(\bar{\Omega}), so sánh với cách dùng tích phân năng lượng;

    – NLCĐ yếu, NLCĐ mạnh cho hàm điều hòa dưới và nghiệm dưới của PT \Delta u+cu=0;

    – Tính duy nhất nghiệm của bài toán biên Neumann;

    – Đánh giá tiên nghiệm (câu hỏi lý thuyết trong đề cuối kỳ CH2016-2018).

    Về bài tập:

    – bài về PT cấp 2 hệ số biến thiên với điều kiện đặt trên đường đặc trưng;

    – bài toán biên hỗn hợp cho PT truyền nhiệt, tương tự Câu 1 đề cuối kỳ K60TN;

    – bài tập lý thuyết trong Q. Han, tương tự Câu 3, đề 1 GKCH16-18.

  13. Về câu 2 đề 4 GKCH15-17 đoạn kiểm tra tính cổ điển của nghiệm tìm được bằng PP tách biến:

    – Khi t> 0 nghiệm sẽ cổ điển theo nghĩa thỏa mãn PT truyền nhiệt và điều kiện biên (Định 2.15, Chương 2 – Ôn lại PTĐHR cấp 2).

    – Bạn Mạnh kiểm tra sự kết nối giữa điều kiện ban đầu u(x, 0)=xu_x(1, t)=0 thì thấy không khớp. Đến đây ta kết luận nghiệm không cổ điển chưa hẳn đúng (tôi nhầm ở đây). Thực sự ta chỉ nói được rằng nghiệm không khả vi đến điều kiện ban đầu!

    – Nghiệm cổ điển chỉ cần thỏa mãn PT, các điều kiện biên và liên tục đến điều kiện ban đầu. Để thấy nghiệm của bài này cổ điển ta thác triển đối xứng qua trục x=1 và kiểm tra tính liên tục của điều kiện ban đầu cũng như các giả thiết của Định lý 2.16 (Chương 2-Ôn lại PTĐHR cấp 2).

    So với PT truyền sóng hiện tượng trên cho thấy sự khác biệt của PT truyền nhiệt và truyền sóng:

    – lỗi ở thời điểm ban đầu, qua thời gian bị biến mất trong TH PT truyền nhiệt;

    – lỗi ở thời điểm ban đầu truyền theo đường đặc trưng, không mất đi trong TH PT truyền sóng.

  14. Chiều qua 23/01/2018 tôi trình bày khá nhanh để kết thúc phần PT Laplace. Tôi nhắc lại NLCĐ, NLSS và đưa ra bài về đánh giá gradient dùng thay thế bài kiểm tra giữa kỳ. Tiếp đến tôi trình bày PP Perron:

    – sử dụng hàm điều hòa dưới để xây dựng nghiệm,

    – một cách lý thuyết chỉ ra nghiệm xây dựng được là hàm điều hòa,

    – hàm chặn và nghiệm xây dựng được thỏa mãn điều kiện biên.

    Sau đó tôi chuyển sang PT Poisson:

    – nghiệm cổ điển với thế vị Newton,

    – nghiệm yếu với không gian Sobolev.

    Tuần sau tôi sẽ chuyển sang PT truyền nhiệt.

    • Về phần bài tập, hai bạn lên chữa:

      – bài 2, đề 2 CH16-18: chú ý dạng chính tắc của PT elliptic, sửa lại điều kiện Cauchy, khai triển nghiệm tại điểm (0, 1/2\ln2) do điều kiện Cauchy không đi qua gốc;

      – bài 2, đề 3 CH16-18: chú ý việc xây dựng bài toán, xây dựng chuỗi nghiệm và cách giải PT không thuần nhất.

      Cuối giờ có bạn hỏi về bài 1, đề 1 CH16-18, việc tính toán hệ số không dễ đưa ra công thức chung cho mọi hệ số mặc dù nghiệm rất đơn giản. Ngoài ra bạn đó hỏi bài về “hiện tượng sốc”:

      yu_x-xu_y=0, u(0, y)=y.

      Nghiệm là hằng trên mỗi đường tròn tâm tại gốc mà u(0, 1)=1 khác u(0, -1)=-1 nên có hiện tượng sốc! Tuy nhiên khác với sốc ở cuối chương 1, hiện tượng này xuất hiện nói rằng nghiệm “đa trị”, hay chính xác hơn mặt cong nghiệm có hai tầng! Bài này tương tự bài ở phản hồi trên.

  15. Sau bài kiểm tra giữa kỳ tôi chuyển sang phần PT truyền nhiệt:

    – không gian Schwartz,

    – biến đổi Fourier trên không gian Schwartz,

    – sử dụng biến đổi Fourier để giải bài toán Cauchy cho PT truyền nhiệt không thuần nhất, từ đó dẫn đến nghiệm cơ bản của PT truyền nhiệt.

    Tuần tới tôi sẽ dạy hai tiết về PT truyền nhiệt, sau đó sẽ chữa bài kiểm tra giữa kỳ. Tôi vừa xem qua bài kiểm tra thấy kết quả tốt hơn hai năm trước (đã có điểm 9.5).

  16. Sơ qua về kết quả kiểm tra giữa kỳ:

    – Đề 1: cao nhất 9.0 (B. B. Mạnh).

    – Đề 2: cao nhất 7.0 (P. Q. Tuyển).

    – Đề 3: cao nhất 7.0 (N. T. Nam).

    – Đề 4: cao nhất 9.5 (T. T. Long).

  17. 06/02/2018 tôi tiếp tục trình bày về PT truyền nhiệt:

    – So sánh nghiệm cơ bản của PT truyền nhiệt và PT Laplace.

    – Đưa ra một nghiệm của bài toán Cauchy cho PT truyền nhiệt trên toàn không gian (CT Poisson) và so sánh với nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho PT Laplace trong hình cầu.

    – Lưu ý về điều kiện ban đầu.

    – Nhắc lại tính chính quy của hàm điều hòa.

    – Sử dụng biến dạng của nghiệm cơ bản dẫn đến biểu diễn tích phân cho nghiệm PT truyền nhiệt. Từ đó dẫn đến tính chính quy của nghiệm PT truyền nhiệt.

    – Nói qua về đánh giá gradient: sử dụng hàm cắt.

    Ra Tết tôi sẽ chuyển sang tính chất giá trị trung bình.

  18. Chuyển giảng đường: bắt đầu từ tuần sau ta sẽ chuyển sang phòng 206T5. Chiều thứ ba tới, 27/02/2018, ba tiết đầu tôi sẽ trình bày tiếp về PT truyền nhiệt. Sau đó ta sẽ tiếp tục chữa bài kiểm tra giữa kỳ.

  19. 27/02/2018 tôi nói sơ qua về các câu hỏi ôn tập cho phần PT Laplace và PT truyền nhiệt. Sau đó tôi trình bày:

    – hình cầu nhiệt, mặt cầu nhiệt, các tính chất giá trị trung bình của nghiệm PT truyền nhiệt, từ đó dẫn đến NLCĐ mạnh, đánh giá gradient (theo biến không gian),

    – các dạng khác nhau của NLCĐ yếu, từ đó dẫn đến NLSS, đánh giá tiên nghiệm và tính duy nhất nghiệm,

    – các bạn tự đọc NLCĐ mạnh,

    – kỹ thuật Bernstein đánh giá gradient,

    – còn lại một số mục không trong phần câu hỏi ôn tập: các bạn đọc thêm.

    Tuần sau tôi sẽ chuyển sang phần PT truyền sóng.

  20. Về miền parabolic – biên parabolic:

    – Với hình trụ nhiệt Q_R=B_R\times (-R^2, 0] là miền parabolic có biên parabolic

    \partial_pQ_R=B_R\times\{-R^2\}\cup \partial B_R\times[-R^2, 0]

    là một phần của biên \partial Q_R.

    – Có những miền trong không-thời gian toàn bộ biên đều là biên parabolic: chẳng hạn như hình cầu thông thường

    B_R=\{(x, t)\in\mathbb R^n\times\mathbb R:\; |x|^2+t^2< R^2\},

    hay hình cầu nhiệt

    E_R=\{(x, t)\in\mathbb R^n\times\mathbb R: \; t< 0,  K(x, -t)> R^{-n}\} .

    – Miền D như sau có biên parabolic như nào?

  21. 06/03/2018 tôi chuyển sang phần PT truyền sóng:

    – Nhắc lại công thức D’Alembert cho PT truyền sóng 1-chiều trong các TH: toàn trục, nửa trục và một đoạn (với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất).

    – Sau đó: bằng PP trung bình cầu tôi giải bài toán Cauchy cho PT truyền sóng trong không gian 3-chiều. Với TH 2-chiều tôi dùng PP hạ thấp số chiều.

    – Tiếp đến chuyển sang số chiều không gian lẻ: với việc sử dụng bổ đề tính toán để chuyển trung bình cầu sang hàm mới thỏa mãn PT truyền sóng trong nửa trục.

    – Số chiều không gian chẵn: các bạn tự đọc.

    – Các tính chất của nghiệm: các bạn tự đọc.

    Tuần tới tôi sẽ kết thúc phần lý thuyết giáo trình PTĐHR.

    • Trong quá trình giảng tôi có nói đến trường CIMPA IMH 2018 ở Viện Toán (đang diễn ra) có bài giảng về “rough paths”. Cuốn sách tôi nói đến

      A Course on Rough Paths_ With an Introduction to Regularity Structures”, Peter K. Friz, Martin Hairer, 2014.

      Một trong các PTĐHR ngẫu nhiên các tác giả này quan tâm khá “đơn giản” là PT KPZ (Kardar-Parisi-Zhang)

      h_t=h_{xx}+h^2_x-C+\xi,

      với \xi là white noise, C là hằng số.

      Các bạn có thể tham khảo bài báo của M. Hairer

      Solving the KPZ equation“, Annals of Mathematics 178 (2013), 559–664.

  22. Trong bài giảng hôm qua, đoạn chứng minh trung bình cầu nghiệm PT truyền sóng thỏa mãn PT Euler-Poisson-Darboux khá giống với đoạn chứng minh tính chất trung bình, công thức (3.2.8) trong phần PT Laplace. Cả hai đều cần đến công thức Green và

    \partial_r u(x+r\omega, t)= \partial_\nu u(y, t)

    với y=x+r\omega, \omega\in\partial B_1, \nu=\nu_y là pháp tuyến ngoài đơn vị tại y của mặt cầu \partial B_r(x).

  23. Việc thiết lập công thức Kirchorff, ngoài cách dùng PP trung bình cầu còn cách khác khá giống việc chứng minh đồng nhất thức Green trong PT Laplace. Năm ngoái một bạn chữa bài 6.8 (Q. Han) chính là làm theo cách này. Bài 6.9 (Q. Han) có sử dụng bài 6.8 này. Năm ngoái tôi có nói bạn nào làm được bài 6.9 được 10 điểm cuối kỳ!

  24. Đoạn về biểu trưng và nón đặc trưng của PT truyền sóng

    u_{tt}-c^2\Delta_xu=0, x\in\mathbb R^n, t> 0,

    + biểu trưng: p(\xi, \tau)=\tau^2-c^2|\xi|^2;

    + nón đặc trưng \varphi(x, t)=c^2(t-t_0)^2-|x-x_0|^2 vì mỗi điểm (x_1, t_1) khác đỉnh (x_0, t_0) có véc-tơ pháp tuyến

    (\xi, \tau)\Big|_{(x_1, t_1)}=(x_1-x_0, c^2(t_0-t_1))

    nên

    p(\xi, \tau)=c^4(t_0-t_1)^2-c^2|x_1-x_0|^2=0 (do (x_1, t_1) nằm trên nón đặc trưng với đỉnh (x_0, t_0)).

  25. 13/03/2018, tôi kết thúc phần phương trình truyền sóng:

    – Nhắc lại câu hỏi ôn tập phần PT truyền sóng: chú ý việc chứng minh các công thức nghiệm.

    – Trình bày nguyên lý Duhamel.

    – Trình bày phần đánh giá năng lượng.

    Sau đó các bạn lên chữa các bài tập:

    – Bạn Bách chữa bài giữa kỳ (kết thúc việc chữa các bài giữa kỳ).

    – Một số bạn chữa các bài về PT Laplace trong hệ tọa độ cực.

    – Một số bạn chữa cách dùng D’Alembert giải PT truyền sóng trong một đoạn.

    Tuần sau ta sẽ chữa:

    – Các bài về PT Laplace trong hình chữ nhật.

    – Các bài tập lý thuyết.

    Các bạn tích cực chuẩn bị trước.

  26. Tôi đã hoàn thành điểm giữa kỳ. Về điểm thường xuyên tôi dự định:

    – ba lần đầu lên bảng: mỗi lần được 2,

    – hai lần tiếp: mỗi lần 1.5,

    – sau đó: mỗi lần 1.

    Riêng bài tập lý thuyết: mỗi bài 2.

    Một số bạn chưa lên bảng chữa bài tập lần nào chú ý: chỉ còn hai tuần nữa kết thúc môn học.

  27. 20/03/2018, một số bạn lên chữa các bài tập:

    – PT Laplace trong hình vuông với điều kiện biên Dirichlet.

    – PT Poisson với điều kiện biên Dirichlet:

    + C1 khử PT rồi tách bài toán,

    + C2 khử PT và điều kiện biên.

    – PT Laplace trên một dải, nửa dải: tích phân năng lượng, giải bằng tách biến, giải bằng biến đổi Fourier.

    Về PT Laplace còn dạng góc vô hạn, ngoài quạt.

    Tuần sau là tuần cuối: tôi sẽ hoàn thành điểm thường xuyên.

    • Hôm qua 20/03/2018 tôi có nói đến việc giải phương trình Laplace trong một dải:

      u_{xx}+u_{yy}=0, 0< x < 1, y\in\mathbb R,

      u_x(0, y)=0, u(1, y)=e^{-|y|}.

      Ta biến đổi Fourier hình thức từ y sang k được:

      \hat{u}_{xx}(x, k)-k^2\hat{u}(x, k)=0, 0< x< 1,

      \hat{u}_x(0, k)=0, \hat{u}(1, k)=\widehat{e^{-|y|}}(k),

      trong đó \hat{u}(x, k)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}e^{-iky}u(x, y)dy.

      Khi đó

      \hat{u}(x, k)=\dfrac{e^{kx}+e^{-kx}}{e^k+e^{-k}}\widehat{e^{-|y|}}(k).

      Do đó nghiệm

      u(x, y)=\int_{\mathbb R}e^{iky}\dfrac{e^{kx}+e^{-kx}}{e^k+e^{-k}}\widehat{e^{-|y|}}(k)dk.

      • Tôi có ý định đưa việc giải bài toán biên Dirichlet trên nửa không gian cho PT Laplace

        u_{xx}+u_{yy}=0, x\in\mathbb R, y> 0,

        với điều kiện biên u(x, 0)=u_0(x)\in S,

        bằng biến đổi Fourier vào giáo trình. Tuy nhiên khi tính toán ta có

        \hat{u}(\xi, y)=\hat{u}_0(\xi)e^{-y|\xi|}, y> 0.

        Chú ý e^{-y|\xi|}, y> 0, không khả vi tại \xi=0 nên nói chung \hat{u}(\xi, y)\not\in S, y> 0. Việc lấy biến đổi ngược Fourier lúc này cần vài lập luận.

      • Tính biến đổi Fourier:

        \widehat{e^{-|y|}}(k)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}e^{-iky}e^{-|y|}dy

        có nhiều cách:

        + C1: chuyển e^{-iky}=\cos(ky)-i\sin(ky), chú ý tính chẵn lẻ ta có

        \widehat{e^{-|y|}}(k)=\dfrac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}\cos(ky)e^{-y}dy.

        + C2: phá trị tuyệt đối ta có

        \widehat{e^{-|y|}}(k)=\dfrac{1}{2\pi}\Big(\int_{0}^{+\infty}e^{-iky}e^{-y}dy+\int_{-\infty}^0e^{-iky}e^{y}dy\Big).

        Với nghiệm u(x, y) nếu để ý tính chẵn lẻ ta có

        u(x, y)=2\int_0^\infty \dfrac{\widehat{e^{-|y|}}(k)}{e^k+e^{-k}}\cos(ky)(e^{kx}+e^{-kx})dk.

  28. Cấu trúc đề cuối kỳ giống đề cuối kỳ khóa CH16-18:

    – Ba câu lý thuyết: mỗi câu thuộc một trong ba phần PT Laplace, truyền nhiệt – truyền sóng.

    – Hai câu bài tập tính toán: truyền sóng (D’Alembert), PT Laplace-Poisson (tách biến).

    – Một câu bài tập lý thuyết.

  29. Hôm qua một số bạn làm bài tập lý thuyết:

    – Bài 6 đề CK_CH16-18, và bài tổng quát 5.11 (Q. Han). Chú ý tính lồi và ma trận Hessian.

    – Bài 1 đề CK_CH15-17, chính là bài 5.9 (Q. Han). Sử dụng nguyên lý cực đại hai lần.

    – Bài 4 đề CK_K56A1T, và bài tổng quát 4.10 (Q. Han). Sử dụng công thức Green hoặc bổ đề Hopf.

    – Bài 7.19 (P-R). Sử dụng nguyên lý cực đại mạnh và yếu.

    • Về bài 4.10 (Q. Han) dùng “công thức Green” có thể thay toán tử L_1u=\Delta u +cu bởi

      L_2u=div(a\nabla u) +cu

      tuy nhiên không dễ để chuyển sang

      L_3u=div(a\nabla u) +b\cdot\nabla u +cu.

      Dùng bổ đề Hopf ta có thể làm được cho L_3.

      Ngoài ra có vài điểm so sánh giữa đề CK_K56A1T và bài 4.10 (Q. Han):

      – tính trơn của biên,

      – tính liên tục của hàm \alpha.

  30. Có bạn hỏi tôi về đề cương ôn tập:

    Các câu về việc đánh giá gradient: tôi viết “các cách dẫn đến” nghĩa là các cách chứng minh. Cụ thể có các cách, trình bày trong giáo trình:

    + Dùng tính chất giá trị trung bình.

    + Dùng biểu diễn tích phân (đồng nhất thức Green).

    + Phương pháp Bernstein.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

w

Connecting to %s