Author Archives: datuan5pdes

About datuan5pdes

Giảng viên của Khoa Toán - Bộ môn Giải tích Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội. Hướng nghiên cứu: Phương trình Đạo hàm riêng

Tích phân Fresnel

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Trong bài giảng Giải tích 3 cho lớp K62SP tôi có đề cập đến các tích phân Fresnel:

\int_0^\infty \sin(x^2)dx\int_0^\infty \cos(x^2)dx.

Việc chỉ ra sự hội tụ của các tính phân này có điểm giống nhau:

– đổi biến t=x^2;

và điểm khác tại x=0.

Tôi đã trình bày cách tính giá trị của hai tích phân này.  Để thấy được ứng dụng (trong nghiên cứu dao động của rầm) của tích phân này ta quan tâm thêm: Read the rest of this entry

Advertisements

Định lý giá trị trung bình thứ 2 của Bonnet

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Như trong bình luận về các Định lý Abel và Dirichlet cho tích phân suy rộng (trao đổi K62SP), tôi có đề cập đến Định lý giá trị trung bình thứ 2 của Bonnet. Để có phát biểu cân đối và dễ nhớ việc chứng minh đòi hỏi tinh tế hơn. Trong chứng minh các Định lý Abel và Dirichlet ta đều dùng đến công thức tích phân (“giá trị trung bình thứ 2”): Read the rest of this entry

Tích phân Dirichlet

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Tích phân Dirichlet

\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx

là tích phân suy rộng được dùng trong việc nghiên cứu chuỗi Fourier. Trong bài này ta sẽ thấy ý nghĩa của sự bán hội tụ trong việc xem xét tính hội tụ điểm của chuỗi Fourier.

Trước hết với mỗi hàm đo được f\in L^1(\mathbb T) nghĩa là hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi và khả tích trên từng chu kỳ, ta có chuỗi Fourier

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_ne^{inx}, c_n=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx.

Bài viết quan tâm đến sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier hay sự hội tụ điểm của dãy tổng riêng

S_n(x)=(S_nf)(x)=\sum_{k=-n}^n c_n e^{inx}=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_n(t)f(x-t)dt,

trong đó nhân Dirichlet D_n(t)=\sum_{k=-n}^n e^{ikt}=\dfrac{\sin((n+1/2)t)}{\sin(t/2)}.

Ta sẽ thấy tích phân Dirichlet xuất hiện: Read the rest of this entry

Chỉ số Kronecker

Định dạng bài viết: Tiêu chuẩn

Ta bắt đầu với chỉ số Kronecker trên mặt phẳng. Xét D là miền (mở+liên thông) và bị chặn trong mặt phẳng với biên C=\partial D đủ trơn (thuộc lớp C^1) được định hướng dương phù hợp với D, và trường véc-tơ trên đó, nghĩa là hàm 2-biến f=(f_1, f_2): \bar{D}\to\mathbb R^2, thỏa mãn  0\not\in f(C). Giả sử trường véc-tơ này khả vi liên tục đến tận biên. Khi đó chỉ số Kronecker của trường f quanh đường cong C được xác định bởi tích phân đường loại II Read the rest of this entry