Trao đổi bài giảng Giải tích 2 lớp K58A3

/ datuan5pdes

Đề cương môn học

Đề cương môn học-Ngành Toan tin-Giai tich 2 (1)

Một cách vắn tắt Giải tich 2 gồm

– Chuỗi số, dãy hàm, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier.
– Tích phân phụ thuộc tham số.
– Tích phân bội.
– Tích phân đường loại I, loại II.
– Tích phân mặt loại I, loại II.
– Các công thức liên hệ.

So với K56 trở về trước

GT2(bây giờ) = GT4(ngày xưa)+GT5(ngày xưa).

Một suy nghĩ 37 thoughts on “Trao đổi bài giảng Giải tích 2 lớp K58A3”

  2. Hôm nay 14/02/2014 tôi bắt đầu dạy Giải tích 2 với các nội dung

    – khái niệm về chuỗi số và các phép toán tổng, tích,

    – khái niệm về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số,

    – điều kiện cần, tiêu chuẩn Cauchy,

    – dấu hiệu so sánh và dấu hiệu tích phân cho chuỗi dương.

    Đặc biệt tôi đưa ra việc khảo sát chuỗi điều hoà

    \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^\alpha}, \alpha\in\mathbb R.

    Trả lời

  3. Ngày 21/02/2014, tôi tiếp tục trình bày phần chuỗi.

    Tôi đưa ra một số chuỗi chuẩn

    \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^\alpha},

    \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n\log^\alpha n},

    \sum\limits_{n=1}^\infty q^n, q>0.

    Các dấu hiệu cơ bản cho chuỗi dương

    – dấu hiệu D’Alembert,

    – dấu hiệu Raabe,

    – dấu hiệu Gauss,

    – dấu hiệu căn Cauchy

    cũng được đưa ra cùng với việc kiểm tra lại các chuỗi chuẩn trên nhờ các dấu hiệu này.

    Vấn đề đặt ra: trước một chuỗi số ta nên dùng dấu hiệu nào để kiểm tra sự hội tụ của nó?

    Một vấn đề khó khác, cần các công cụ khác, khi biết chuỗi hội tụ thì hỏi rằng nó hội tụ đến đâu?

    Tiếp đến tôi chuyển sang chuỗi đan dấu với dấu hiệu Leibniz, chuỗi bất kỳ dạng \sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n với hai Định lý Abel và Dirichlet. Chú ý khi sử dụng

    – cần kiểm tra sự đơn điệu,

    – không nhất thiết sự đơn điệu diễn ra ngay từ đấu.

    Tôi cũng đưa ra ví dụ chuỗi đan dấu

    \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\Big(\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{(-1)^n}{n}\Big)

    – thoả mãn tất cả các điều kiện của dấu hiệu Leibniz trừ tính đơn điệu;

    – bản thân chuỗi phân kỳ.

    Các khái niệm hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ, kèm theo các Định lý khá sâu sắc Định lý Dirichlet cho chuỗi hội tụ tuyệt đối và Định lý Riemann cho chuỗi bán hội tụ cũng được trình bày.

    Cuối buổi tôi chuyển sang dãy hàm với hai khái niệm:

    hội tụ điểm và hội tụ đều.

    Có thể thấy ngay hội tụ đều thì hội tụ điểm.

    Ví dụ u_n:[0, 1]\to\mathbb R, u_n(x)=x^n

    – hội tụ điểm trên [0, 1],;

    – không hội tụ đều trên [0, 1];

    – hội tụ đều trên [0, 1/2] (tại sao?).

    Khái niệm hội tụ đều dùng để bảo đảm tính chất của dãy hàm còn được giữ lại ở hàm giới hạn.

    Trả lời

    • Hôm qua 21/02/2014 có hai câu hỏi khá thú vị.

      Câu hỏi 1: liệu có chuỗi nào mà thử các dấu hiệu đều không cho thông tin gì về sự hội tụ không?

      Tôi đã chỉ ra

      chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}

      không dùng được dấu hiệu D’Alembert và dấu hiệu căn Cauchy;

      phải dùng đến dạng phức tạp của dấu hiệu Raabe

      R_n=n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=1

      mới dẫn đến sự phân kỳ.

      Một chuỗi khác

      \sum\limits_{n=1}^\infty\Big(\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\Big)^p

      khi p=2

      không dùng được dấu hiệu D’Alembert, dấu hiệu Raabe và có thể thấy rất khó nếu dùng dấu hiệu căn Cauchy;

      phải dùng đến dấu hiệu Gauss mới dẫn đến sự phân kỳ.

      Tiếp theo ta xét chuỗi

      \sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{1}{n\log n}

      không dùng được dấu hiệu căn Cauchy vì

      \lim\limits_{n\to\infty}(n\log n)^{1/n}=1;

      không dùng được dấu hiệu D’Alembert vì

      \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}=1;

      không dùng được dấu hiệu Raabe vì

      \lim\limits_{n\to\infty}n\Big(\dfrac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}-1\Big)=1

      và

      R_n=n\Big(\dfrac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}-1\Big)>1;

      không dùng được Gauss vì

      \lim\limits_{n\to\infty}n^\epsilon\Big[n\Big(\dfrac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}-1\Big)-1\Big]=\infty, \forall \epsilon>0

      nói cách khác khi viết

      \dfrac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}=1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{\theta_n}{n^{1+\epsilon}}

      với \epsilon>0 thì \theta_n là dãy không bị chặn;

      không dùng được dấu hiệu Bertrand (Bài 867 trang 107 trong sách “Bài tập Giải tích tập 2” của Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn) vì

      \lim\limits_{n\to\infty}\log n\Big[n\Big(\dfrac{(n+1)\log(n+1)}{n\log n}-1\Big)-1\Big]=1.

      Vậy có dấu hiệu nào để xem chuỗi

      \sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n\log n}

      hội tụ không? (Xin dành cho các bạn.)

      Ta chuyển sang câu hỏi tiếp.

      Câu hỏi 2: trong chuỗi số có nguyên lý kẹp không?

      Bản chất của nguyên lý kẹp là sự bảo toàn thứ tự qua việc lấy giới hạn, cụ thể nếu có hai dãy hội tụ

      \lim\limits_{n\to\infty}a_n=A, \lim\limits_{n\to\infty}b_n=B,

      mà a_n\ge b_n, \forall n

      thì A\ge B.

      Nguyên lý kẹp trong dãy được phát biểu

      Cho ba dãy \{a_n\}_{n=1}^\infty, \{b_n\}_{n=1}^\infty, \{c_n\}_{n=1}^\infty thỏa mãn

      a_n\le b_n\le c_n, \forall n,

      \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=A

      thì

      – dãy \{b_n\}_{n=1}^\infty cũng hội tụ

      – và \lim\limits_{n\to\infty}b_n=A.

      Trong chuỗi số cũng có nguyên lý kẹp, nhưng phát biểu có đôi chút khác như sau.

      Cho ba chuỗi \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n thỏa mãn

      a_n\le b_n\le c_n, \forall n,

      \sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\sum\limits_{n=1}^\infty c_n=A

      thì

      – chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty b_n cũng hội tụ

      – và \sum\limits_{n=1}^\infty b_n=A.

      Nếu ta nới lỏng một chút, nghĩa là

      – với dãy ta chỉ biết các dãy \{a_n\}_{n=1}^\infty, \{c_n\}_{n=1}^\infty hội tụ thì chưa chắc có dãy \{b_n\}_{n=1}^\infty hội tụ, chẳng hạn a_n=0, b_n=1+(-1)^n, c_n=2;

      – với chuỗi ta chỉ biết các chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty a_n, \sum\limits_{n=1}^\infty c_n hội tụ ta vẫn có chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty b_n hội tụ.

      Trả lời

    • Hai ví dụ sau cho ta thấy ý nghĩa của Định lý Dirichlet cho chuỗi hội tụ tuyệt đối và Định lý Riemann cho chuỗi bán hội tụ (hội tụ không tuyệt đối – hội tụ có điều kiện).

      Ví dụ 1: xét chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty a_n

      với

      a_{n}=\begin{cases} \dfrac{1}{k^2} \quad khi \quad n=2k-1,\\ -\dfrac{1}{k^2}\quad khi \quad n=2k.\end{cases}

      Có thể thấy ngay chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối vì

      \sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^2} hội tụ,

      và bản thân chuỗi hội tụ đến 0.

      Ta thay đổi cách lấy tổng

      1+\dfrac{1}{2^2}-1+

      +\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dots+\dfrac{1}{8^2}-\dfrac{1}{2^2}+

      +\dots

      hay ta có thể viết

      \sum\limits_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}

      với \sigma:\mathbb N\to \mathbb N là một song ánh xác định bởi

      \sigma(n)=\begin{cases} 2k \quad khi \quad n=3^k+k-1,\\ 2(n-k)-1\quad khi \quad 3^k+k\le n\le 3^{k+1}+k-1.\end{cases}

      Với cách thay đổi như trên ta vẫn được chuỗi hội tụ về 0.

      Ví dụ 2: Cũng với cách thay đổi lấy tổng như trên, từ chuỗi

      \sum\limits_{n=1}^\infty b_n

      với

      b_n=\begin{cases}\dfrac{1}{k}\quad khi \quad n=2k-1, \\ -\dfrac{1}{k} \quad khi \quad n=2k\end{cases}

      ta được chuỗi

      \sum\limits_{n=1}^\infty b_{\sigma(n)}=

      =1+\dfrac{1}{2}-1+

      +\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}+

      +\dots

      phân kỳ.

      Có thể thấy chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty b_n bán hội tụ vì

      – chuỗi hội tụ về 0,

      – chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} phân kỳ.

      Trả lời

      • Một ví dụ khác cho thấy ý nghĩa của Định lý Riemann về chuỗi bán hội tụ (conditionally convergent series) được tìm thấy trong cuốn

        “Calculus: Early Transcendentals 7th” của James Stewart, trang 737,

        đường link

        http://en.bookfi.org/md5/9DAE11CFC12AACDBFBE40761C22311A5

        Xét chuỗi bán hội tụ

        \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}.

        Chuỗi này hội tụ đến \log 2.

        Ta thay đổi thứ tự lấy tổng chuỗi trên

        1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+

        +\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{4}+

        \dots

        ta được chuỗi hội tụ đến \dfrac{3}{2}\log 2.

  4. Ngày 28/02/2014, tôi tiếp tục phần dãy hàm với việc tìm hiểu tính chất của hàm giới hạn:

    – tính liên tục và tính khả tích khi dãy hàm hội tụ đều,

    – tính khả vi khi dãy hàm hội tụ tại một điểm và dãy đạo hàm hội tụ đều.

    Tôi cũng đưa ra các ví dụ để thấy khi chỉ có sự hội tụ điểm mà không có sự hội tụ đều thì

    – tích liên tục bị mất,

    – tính khả tích bị mất, chẳng hạn dãy hàm

    u_n:[0, 1]\to\mathbb R

    u_n(x)=\begin{cases} 0 \quad khi \quad x=0,\\ n\quad khi \quad 0<x<1/n, \\ 1/x \quad khi \quad 1/n\le x\le 1\end{cases}

    hội tụ điểm trên [0, 1] đến hàm u:[0, 1]\to\mathbb R

    u(x)=\begin{cases} 0\quad khi\quad x=0,\\ 1/x\quad khi \quad 0<x\le 1,\end{cases}

    – vẫn khả tích nhưng giới hạn tích phân của dãy hàm không liên quan đến tích phân của hàm giới hạn,

    – vẫn khả vi nhưng giới hạn của dãy đạo hàm không liên quan đến đạo hàm hàm giới hạn.

    Ví dụ dãy hàm khả vi hội tụ đều đến hàm không khả vi:

    u_n:(-1, 1) \to\mathbb R

    u_n(x)=\begin{cases}|x|\quad khi \quad 1/n<x\le 1,\\ \dfrac{1}{n}-\sqrt{\frac{2}{n^2}-x^2}\quad khi \quad |x|\le 1/n \end{cases}

    hội tụ đều đến u(x)=|x| trên [-1, 1].

    Tiếp đến tôi chuyển sang chuỗi hàm với các Định lý Abel, Định lý Dirichlet. Ở các Định lý này cần lưu ý

    – khái niệm bị chặn đều,

    – khái niệm đơn điệu.

    Ngoài ra tôi cũng trình bày Định lý Weierstrass cho dãy hàm và chuỗi hàm.

    Các ví dụ sử dụng các Định lý trên cũng được đưa ra tường minh.

    Tôi chưa đưa ra các ví dụ cho thấy nếu các điều kiện trong các Định lý Dirichlet và Định lý Abel không thỏa mãn và chuỗi phân kỳ.

    Trả lời

  5. Liên tưởng đến tính liên tục của hàm giới hạn có câu

    “Già néo đứt dây”.

    Liên tưởng đến tính khả tích của hàm giới hạn có thể nghĩ đến hình ảnh

    “Dã tràng xe cát biển đông”

    hay

    “Mưu sự tại nhân, thành sự tại thiên”.

    Còn về tính chất của giới hạn của chuỗi hàm có câu

    “Râu ông nọ cắm cằm bà kia”.

    Nói cách khác tổng hợp của nhiều việc riêng lẻ tốt nhưng chúng không phù hợp với nhau có thể dẫn đến điều tệ hại.

    Các cách nhìn trên hơi thiếu tích cực.

    Câu

    “Có công mài sắt có ngày nên kim”

    cho thấy tính tốt của hàm giới hạn.

    Trả lời

  6. 07/03/2014, đầu giờ các bạn làm bài kiểm tra ngắn

    1. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi

    (a) \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-1/2014}\sin n;

    (b) \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-1/2014}\sin^2 n.

    2. Hỏi chuỗi

    \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-1/2014}\sin n

    có hội tụ tuyệt đối không?

    Tiếp đến, tôi trình bày về Định lý Dini về chuỗi hàm cũng như dãy hàm liên tục xác định trên tập compact. Các ví dụ về cùng một dãy v_n(x)=x^n trên các miền khác nhau [0, 1], [0, 1/2], [0, 1) được đưa ra để thấy ý nghĩa của Định lý Dini. Ngoài ra nó còn có thể dùng để kiểm tra giả thiết của Định lý Abel hay Dirichlet.

    Sau đó các tính chất liên tục, khả tích và khả vi của chuỗi hàm cũng được đề cập. Chú ý rằng cần có điều kiện nhất định để:

    – giới hạn của chuỗi bằng chuỗi giới hạn,

    – tích phân xác định của chuỗi bằng chuỗi các tích phân,

    – đạo hàm của chuỗi bằng chuỗi các đạo hàm.

    Phần lý thuyết chung về chuỗi hàm kết thúc.

    Phần chuỗi lũy thừa được mở đầu với việc nhắc lại chuỗi Taylor của một hàm khả vi vô hạn. Sau đó Định lý Abel về sự tồn tại bán kính hội tụ được trình bày với lưu ý:

    – bán kính hội tụ có thể bằng 0 hay +\infty, trong các trường hợp này không khó để xác định miền hội tụ của chuỗi,

    – khi bán kính hội tụ là số dương hữu hạn thì ta xác định được biên giới giữa miền hội tụ và miền không hội tụ, trong trường hợp này Abel chưa cho biết tại ranh giới chuỗi có hội tụ không,

    – Abel chưa cho công thức tính bán kính hội tụ.

    Công thức Cauchy-Hadamard cho bán kính hội tụ được đưa ra với lưu ý:

    – có thể có công thức đơn giản nhưng có trường hợp không dùng được,

    – công thức giới hạn trên của căn thức tính được cho mọi trường hợp nhưng nói chung không dễ trong nhiều trường hợp.

    Các ví dụ cần thiết cũng được trình bày.

    Cuối giờ các bạn làm bài kiểm tra ngắn:

    Cho dãy hàm v_n;[0, 1]\to\mathbb R, v_n(x)=x^n-x^{n+2014}.

    (a) Với mỗi x\in[0, 1] tính \lim\limits_{n\to\infty}v_n(x).

    (b) Hỏi dãy hàm \{v_n(x)\}_{n=1}^\infty có hội tụ đều trên [0, 1] không?

    Trả lời

    • Một số lỗi trong bài kiểm tra đầu các bạn gặp phải:

      – nhỏ hơn chuỗi phân kỳ không chắc phân kỳ,

      – (Định lý Dirichlet) dãy tổng riêng bị chặn đều chứ không phải dãy số hạng tổng quát bị chặn đều, nhớ rằng khi tính tổng riêng phải lấy trị tuyệt đối của nó,

      – rất ít bạn kiểm tra tính đơn điệu,

      – thỏa mãn điều kiện cần không chắc hội tụ.

      Các lỗi gặp phải trong bài sau:

      – không giải thích sự hội tụ về 0 rõ ràng vì tình huống 0\le x<1 khác x=1,

      – không làm rõ được \lim\limits_{n\to\infty}\sup_{x\in[0, 1]}(x^n-x^{n+2014})=0.

      Trả lời

  7. 14/03/2014 tôi đã kết thúc phần chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier. Các chuỗi này giúp ta:

    – tính giới hạn của chuỗi số,

    – tính gần đúng giá trị của hàm tại điểm cụ thể, tính gần đúng các tích phân xác định.

    Trong trang web này tôi viết khá nhiều bài liên quan đến hai chuỗi này. Các bạn có hứng thú có thể tự tìm các bài xem.

    Trả lời

  8. 21/03/2014 tôi nhờ một số bạn khai triển Taylor (chuỗi luỹ thừa) của một hàm khả vi vô hạn và khai triển Fourier của một hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi.

    Để khai triển Taylor ta cần

    tính đạo hàm mọi cấp của hàm ban đầu

    với chú ý trong quá trình tính đạo hàm nên tìm ra quy luật.

    Để khai triển Fourier ta cần

    tính các tích phân xác định

    với chú ý tích phân trên mỗi chu kỳ đều cho cùng một kết quả.

    Ngoài ra các khai triển chẵn (thành chuỗi cos) và khai triển lẻ (thành chuỗi sin) cũng được một số bạn tính toán cụ thể.

    Việc sử dụng các khai triển để tính giá trị của chuỗi số cũng được trình bày.

    Sau đó tôi chuyển sang phần tích phân xác định phụ thuộc tham số với các tính chất

    – liên tục,

    – khả tích,

    – khả vi.

    Có một vài liên hệ với chuỗi hàm.

    Tuần tới tôi sẽ nhờ một số bạn lên làm vài bài liên quan đến tích phân xác định phụ thuộc tham số.

    Phần tích phân suy rộng phụ thuộc tham số các bạn tự đọc..

    Trả lời

    • Một vài phản ví dụ.

      VD (tính liên tục). Xét hàm f: [0, 1]\times [0, 1]\to\mathbb R

      f(x, y)=\begin{cases} 0 \quad khi \quad xy=0, \\ \dfrac{y}{x^2} \quad khi \quad 0<x\le 1, 0<y\le x, \\ \dfrac{x}{y^2} \quad khi \quad 0<x \le 1, x\le y\le 1\end{cases}

      là hàm liên tục theo từng biến trên [0, 1]\times [0, 1].

      Tính toán ta được

      + khi 0<x_0\le 1

      I(x_0)>\int\limits_0^{x_0} \dfrac{y}{x_0^2}dx=\dfrac{1}{2}

      nên không hội tụ về 0 khi cho x_0 giảm về 0;

      + khi x_0=0 có

      I(0)=\int\limits_{0}^1 f(0, y)dy=0.

      VD (tính khả tích). Xét hàm f: [0, 1] \times [0, 1]\to\mathbb R

      f(x, y)=\begin{cases} 0 \quad khi \quad (x, y)=(0, 0), \\ \dfrac{xy(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^3} \quad khi \quad (x, y)\not=(0, 0)\end{cases}

      là hàm liên tục theo từng biến trên [0, 1]\times [0, 1].

      Tính cẩn thận có thể thấy

      \int\limits_0^1(\int\limits_0^1 f(x, y)dy)dx>0>\int\limits_0^1(\int\limits_0^1 f(x, y)dx)dy.

      Các bạn có thể tham khảo

      Click to access nofub.pdf

      Trả lời

      • Trong hai ví dụ trên ta đều thấy các hàm không bị chặn (vì sao?). Nếu thêm tính bị chặn tình hình sẽ khác. Cụ thể như sau.

        Cho f: [0, 1]\times [0, 1]\to\mathbb R thỏa mãn

        – liên tục theo từng biến (separately continuous),

        – bị chặn.

        Khi đó

        +) các hàm

        I(x)=\int\limits_0^1 f(x, y)dy, J(y)=\int\limits_0^1 f(x, y)dx

        liên tục trên [0, 1],

        +) \int\limits_0^1 I(x)dx=\int\limits_0^1 J(y)dy.

    • Về tính khả vi ta có thể giảm nhẹ điều kiện đạo hàm riêng \dfrac{\partial f}{\partial x} từ điều kiện liên tục sang điều kiện

      liên tục theo từng biến và bị chặn.

      Các bạn có thể tham khảo

      http://math.stackexchange.com/questions/11654/passing-the-derivative-inside-the-integral

      VD (tính khả vi). Xét hàm f: [0, 1]\times[0, 1]\to\mathbb R

      f(x, y)=\begin{cases}0 \quad khi \quad xy=0, \\ 4y-\dfrac{3y^2}{x} \quad khi \quad 0<y\le x, \\ \dfrac{x^3}{y^2} \quad khi \quad 0<x\le y\end{cases}

      là hàm liên tục theo từng biến trên [0, 1]\times[0, 1]

      có đạo hàm theo biến x

      \dfrac{\partial f(x, y)}{\partial x}=\begin{cases} 0 \quad khi \quad y=0, \\ \dfrac{3y^2}{x^2} \quad khi \quad 0<y\le x, \\ \dfrac{3x^2}{y^2} \quad khi \quad 0\le x\le y\end{cases}

      là hàm liên tục theo từng biến và không âm trên [0, 1]\times[0, 1]. Đạo hàm riêng này không liên tục tại (0, 0).

      Như vậy f là hàm liên tục theo từng biến và đơn điệu theo x nên nó liên tục trên [0, 1]\times[0, 1].

      Với mỗi x_0\in(0, 1) có

      +) I(x_0)=\int\limits_0^1 f(x_0, y)dy=2x_0^2-x_0^3,

      +) \int\limits_0^1 \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y)dy=4x_0-3x_0^2.

      Trả lời

      • VD (tính khả vi). Xét f:[-1, 1]\times[0, 1]\to\mathbb R

        f(x, y)=\begin{cases} 0 \quad khi \quad y=0, \\ \dfrac{x^3}{y^{2}}e^{-x^2/y} \quad khi \quad y>0,\end{cases}

        là hàm thỏa mãn

        – liên tục (joint continuous) trên [-1, 1]\times [0, 1],

        – có đạo hàm riêng theo biến x

        \dfrac{\partial f(x, y)}{\partial x}=\begin{cases} 0 \quad khi \quad y=0, \\ \Big(\dfrac{3x^2}{y^{2}}-\dfrac{2x^4}{y^3}\Big)e^{-x^2/y} \quad khi \quad y>0,\end{cases}

        là hàm liên tục theo từng biến (separately continuous) và không bị chặn trên [-1, 1]\times [0, 1].

        Tính toán ta được

        I(x)=\int\limits_0^1 f(x, y)dy=xe^{-x^2},

        I'(0)=1,

        \int\limits_0^1 \dfrac{\partial f}{\partial x}(0, y)dy=0.

  9. 28/03/2014 một số bạn lên bảng tính toán các tích phân phụ thuộc tham biến có cận không thay đổi và cận thay đổi. Tiếp đến tôi chuyển sang tích phân bội với một ví dụ tính toán chỉ dùng định nghĩa. Sau đó tôi phát biểu Định lý Fubini.

    Trả lời

    • Trong bài giảng có một bài tập chưa làm trọn vẹn

      I(x)=\int\limits_{x^3}^0 f(x, y)dy, x>0 với

      f(x, y)=\dfrac{1}{x^2+y^2}.

      Trên lớp đã tính được

      I(x)=-\dfrac{\arctan(x^2)}{x}

      và

      I'(x)=-\dfrac{2}{1+x^4}+\dfrac{\arctan(x^2)}{x^2} (trên lớp tính không đúng số hạng đầu),

      \int\limits_{x^3}^0 -\dfrac{2x}{(x^2+y^2)^2}dy=\dfrac{2}{x^2}\int\limits_0^{x^2}\dfrac{1}{(1+t^2)^2}dt.

      Đến tính phân sau ta đã dừng lại. Thực ra việc tính toán không khó bằng cách đổi biến t=\tan u có

      \int \dfrac{1}{(1+t^2)^2}dt=\int \cos^2 u du=\dfrac{\arctan t}{2} +\dfrac{t}{2(1+t^2)}.

      Như vậy

      \int\limits_{x^3}^0\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y)dy =\dfrac{\arctan(x^2)}{x^2}+\dfrac{1}{1+x^4}

      nên

      \int\limits_{x^3}^0\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y)dy- (x^3)'f(x, x^3)=\dfrac{\arctan(x^2)}{x^2}-\dfrac{2}{1+x^4}.

      Trả lời

  10. 04/04/2014 tôi bắt đầu bằng bài kiểm tra ngắn:

    Câu 1. Khai triển thành chuỗi lũy thừa hàm

    f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}.

    Từ đó tính f^{(n)}(0).

    Câu 2. Khai triển thành chuỗi cos(nx) hàm

    f(x)=\sin x.

    Sau đó tôi tiếp tục trình bày tích phân hai lớp về

    – phép đổi biến, chú ý lấy trị tuyệt đối định thức ma trận Jacobi,

    – hệ tọa độ cực.

    Một số ví dụ cho thấy ý nghĩa của phép đổi biến giúp ta chuyển sang tích phân trên miền tốt hơn theo nghĩa chuyển sang tích phân lặp dễ hơn.

    Cuối giờ tôi cho bài kiểm tra ngắn:

    Xét tích phân

    I(x)=\int\limits_{\sin x}^{\cos x}y^2 dy.

    (i) Tính I'(x).

    (ii) Tính \int\limits_0^\pi I(x)dx.

    (iii) Tính \lim\limits_{x\to 0}I(x).

    Trả lời

    • Trong bài kiểm tra đầu, một số bạn biết sử dụng

      (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}

      và khai triển

      \arctan x= \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}

      để khai triển.

      Tuy nhiên tất cả đều không biết dùng đồng nhất hệ số để tính f^{(n)}(0).

      Ở bài thứ hai một số bạn đã biết dùng

      I'(x)=\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y)dy + \psi'(x)f(x, \psi(x))-\varphi'(x)f(x, \varphi(x))

      với

      I(x)=\int\limits_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(x, y)dy.

      Tuy nhiên việc lấy tích phân

      \int\limits_0^\pi I(x)dx

      lại có vẻ khó với nhiều bạn.

      Trả lời

  11. 11/04/2014, đầu tiên tôi đã chữa một vài bài trong đề giữa kỳ theo yêu cầu của một số bạn.

    Tiếp đến tôi trình bày một số cách tính tích phân ba lớp:

    – dùng Fubini chuyển tích phân 3 lớp về tích phân lặp, có hai cách,

    – dùng các hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu.

    Một số bạn lên bảng tính toán các tích phân có dùng các hệ toạ độ cực, hệ toạ độ cầu, hệ toạ độ trụ.

    Cuối cùng tôi trình bày tích phân đường loại I:

    – về ý nghĩa: dùng để tính độ dài đường cong, khối lượng đường cong, .v.v.,

    – về mặt công thức: là một tích phân xác định với cận dưới nhỏ hơn cận trên và hàm dưới dấu tích phân là tích của hàm mật độ và vi phân đường.

    Tuần tới tôi sẽ nhờ một số bạn lên tính vài tích phân đường loại I.

    Trả lời

  12. 18/04/2014, tôi trình bày tích phân đường loại II. Lưu ý sự khác biệt giữa tích phân đường loại I và II:

    – định hướng của đường cong: quá trình tham số ngoài phương trình ta cần xem biến chạy, với tích phân đường loại I chỉ cần xác định miền của biến chạy, còn tích phân đường loại II ngoài việc xác định miền của biến chạy còn xem nó xuất phát tại đâu và kết thúc ở đâu; điều này dẫn đến

    + tích phân đường loại I: khi chuyển sang tích phân xác đinh, cận dưới nhỏ hơn cận trên,

    + tích phân đường loại II: khi chuyển sang tích phân xác định, cận dưới ứng với điểm xuất phát, cận trên ứng với điểm kết thúc;

    – tính vi phân:

    + tích phân đường loại I: ta cần tính vi phân đường ds,

    + tích phân đường loại II: ta tính các vi phân dx, dy, dz.

    Một số bạn cũng đã lên bảng thử tính toán cụ thể các tích phân này.

    Tiếp đến tôi đưa ra công thức Green: mối quan hệ giữa tích phân đường loại II và tích phân hai lớp. Điểm cần lưu ý: định hướng của đường cong cần phù hợp với miền.

    Một vài áp dụng của công thức Green:

    – công của lực có phụ thuộc vào đường đi hay không?

    – tính diện tích một miền nhờ tích phân đường loại II.

    Trả lời

  13. 25/04/2014, tôi đã đưa ra ví dụ để thấy việc sử dụng công thức Green phải cẩn thận. Sau đó tôi đã nhờ một số bạn tính diện tích của một số hình phẳng nhờ công thức Green.

    Mối liên hệ giữa tích phân đường loại I và II được đưa ra với chú ý về hướng của tiếp tuyến của đường cong và hướng dương của đường cong.

    Sau đó tôi trình bày việc tính toán tích phân mặt loại I gồm các bước:

    – tham số hóa mặt cong:

    + phương trình mặt cong,

    + miền của biến chạy,

    – tính vi phân mặt dS,

    – đưa tích phân mặt về tích phân hai lớp.

    Các bạn có thể tham khảo các bài

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2007/12/08/tich-phan-m%E1%BA%B7t/

    https://bomongiaitich.wordpress.com/2010/11/18/tinh-vi-phan-m%E1%BA%B7t-b%E1%BA%B1ng-hinh-h%E1%BB%8Dc/

    Trả lời

    • Một số cách tính diện tích của một miền phẳng D:

      – tính trực tiếp tích phân bội

      \iint_D dxdy

      bằng cách chuyển sang tích phân lặp,

      – nếu miền D được bao quanh bởi đường cong r=r(\theta), 0\le \theta\le 2\pi (trong hệ tọa độ cực) ta dùng công thức

      \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi}r^2(\theta)d\theta,

      – nếu miền D được bao quanh bởi đường cong kín C ta dùng công thức

      \int\limits_C xdy=-\int\limits_C ydx=\dfrac{1}{2}\int\limits_C xdy-ydx

      với hướng dương của C phù hợp với miền D.

      Trong các ví dụ:

      – hình số 8 (lemmiscate of Bernoulli): (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2),

      http://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscate_of_Bernoulli

      – bông hoa ba cánh: (x^2+y^2)^2=ax(x^2-3y^2),

      http://en.wikipedia.org/wiki/Rose_(mathematics)

      – trái tim (cardioid): (x^2+y^2-2ax)^2=4a^2x^2

      http://en.wikipedia.org/wiki/Cardioid

      là các ví dụ tính bằng cách 1 khó, tính bằng hai cách còn lại dễ hơn.

      Ví dụ tính diện tích miền nằm giữa đường cong Cycloid

      x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), 0\le t\le 2\pi

      và trục hoành

      tính bằng hai cách đầu không dễ, tính bằng cách cuối cùng dễ hơn.

      Trả lời

  14. 26/04/2014, tôi cho lớp kiểm tra ngắn

    Tính các tích phân bội

    (a) \iint\limits_{1\le x^2+y^2\le 9}\sin(x^2+y^2)dxdy,

    (b) \iiint\limits_D(x+y)dxdydz

    với D=\{(x, y, z)|\; x^2+y^2\le z\le 1\}.

    Sau đó tôi tính vi phân mặt của một số mặt:

    – mặt cầu, mặt nón, mặt trụ và mặt paraboloid.

    Tiếp đến tôi chuyển sang tích phân mặt loại II:

    – định hướng dương của mặt được cho bởi véc-tơ pháp tuyến trên mặt đó,

    – tham số hóa: giống tích phân mặt loại I,

    – tính véc-tơ (A, B, C) rồi so với định hướng dương của mặt,

    – chuyển về tích phân hai lớp.

    Một số bạn cũng thử tính vài trường hợp đơn giản.

    Cuối giờ tôi cho lớp làm bài kiểm tra ngắn

    1. Tính tích phân đường

    \int\limits_C (x+y)ds

    với C: x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), 0\le t\le 2\pi.

    2. Tính diện tích của miền được bao quanh bởi đường

    r(\theta)=a(1+\cos\theta), 0\le\theta\le 2\pi.

    Trả lời

    • Bài kiểm tra đầu giờ: có một số bạn sử dụng Fubini luôn

      \iint\limits_{x^2+y^2\le 1}\Big(\int\limits_{x^2+y^2}^1(x+y)dz\Big)dxdy.

      Cách làm như này cũng sẽ đến được kết quả cuối.

      Bài kiểm tra cuối giờ:

      – khá nhiều bạn chưa biết tính vi phân đường ds, chỉ một bạn lý giải việc khai căn \sqrt{\sin^2(t/2)},

      – để tính diện tích có bạn dùng

      \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi}r^2(\theta)d\theta,

      có bạn dùng

      \int\limits_C xdy

      trong đó C: x=a(1+\cos\theta)\cos\theta, y=a(1+\cos\theta)\sin\theta với hướng dương \theta chạy từ 0 đến 2\pi.

      Trả lời

  15. 09/05/2014 tôi đã đưa lớp trưởng các câu hỏi lý thuyết cho môn Giải tích 2. Tuần thứ 15 tôi sẽ dành thời gian để trả lời các câu hỏi này.

    Sau đó một số bạn lên bảng chữa bài kiểm tra ngắn và tính một số tích phân mặt loại I và II. Chú ý véc-tơ (A, B, C) tính được nhờ quá trình tham số hóa chưa biết có phải là định hướng dương của mặt không. Ta phải so sánh thì mới biết được.

    Tiếp đến tôi đưa ra

    – công thức Ostrogradskii – Gauss: về mối quan hệ giữa tích phân mặt loại II và tích phân ba lớp,

    – công thức Stokes: về mối quan hệ giữa tích phân đường loại II và tích phân mặt loại II,

    – mối quan hệ giữa tích phân mặt loại I và mặt loại II.

    Tôi đã đưa ra vài tính toán sử dụng công thức Ostrogradskii – Gauss. Tuần tới tôi sẽ đưa ra vài tính toán có sử dụng công thức Stokes, v.v

    Trả lời

  16. Các câu hỏi lý thuyết Giải tích 2 cho các lớp K58A2+A3

    Cau hoi ly thuyet GT2_1

    Cau hoi ly thuyet GT2_2

    Tôi sẽ chọn một trong các câu hỏi này để đưa vào đề thi cuối kỳ môn Giải tích 2 cho các lớp K58A2+A3.

    Trả lời

  17. 16/05/2014, tôi bắt đầu bằng bài kiểm tra ngắn:

    Tính tích phân mặt

    \iint_S(x^2+y^2)dS

    với S là mặt nón z=\sqrt{x^2+y^2}, 0\le z\le h.

    Tiếp đó tôi đưa ra một vài ứng dụng của các mối liên hệ:

    – tích phân đường loại II và tích phân hai lớp: công thức Green;

    – tích phân đường loại I và loại II: trong mặt phẳng và trong không gian, liên quan đến véc-tơ tiếp tuyến, độ dài đơn vị trên đường cong cùng hướng với hướng dương của đường cong;

    – tích phân đường loại II và tích phân mặt loại II, trong không gian: công thức Stokes, liên quan đến sự phù hợp của hướng dương đường cong và hướng dương của mặt cong;

    – tích phân mặt loại II và tích phân ba lớp: công thức Ostrogradskii-Gauss;

    – tích phân mặt loại I và loại II.

    Như vậy để tính tích phân đường loại II:

    – trong mặt phẳng ta có ba cách:

    +C1: tham số hóa đường cong,

    +C2: chuyển về tích phân đường loại I,

    +C3: làm kín đường cong rồi dùng công thức Green chuyển về tích phân hai lớp;

    – trong không gian ta cũng có ba cách:

    +C1: tham số hóa đường cong,

    +C2: chuyển về tích phân đường loại I,

    +C3: làm kín đường cong rồi dùng công thức Stokes chuyển về tích phân mặt loại II, với chú ý về việc chọn mặt cong.

    Để tính tích phân mặt loại II ta có ba cách:

    +C1: tham số hóa mặt cong,

    +C2: chuyển về tích phân mặt loại I,

    +C3: làm kín mặt cong rồi dùng công thức Ostrogradskii-Gauss chuyển về tích phân ba lớp.

    Tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho các cách trên.

    Tuần tới tôi sẽ dành chủ yếu thời gian vào việc giải đáp các thắc mắc về môn học.

    Trả lời

    • Tôi đã xem bài kiểm tra. Một số lỗi:

      -một số bạn thêm cả đáy của nón: điều này không đúng vì đề chỉ yêu cầu lấy tích phân trên mặt nón (mặt xung quanh) z=\sqrt{x^2+y^2},

      -có bạn khi chuyển sang hệ tọa độ cực quên Jacobien.

      Có ba cách làm:

      +C1: tham số hóa z=\sqrt{x^2+y^2}, tính

      dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy,

      chuyển về tích phân hai lớp rồi dùng hệ tọa độ cực,

      +C2: dùng hệ tọa độ trụ, về bản chất giống C1,

      +C3: dùng hệ tọa độ cầu với lưu ý đường sinh của mặt nón hợp với trục dương Oz một góc \pi/4.

      Trả lời

  18. 23/05/2014, buổi cuối cùng của học kỳ II được bắt đầu bằng bài kiểm tra ngắn.

    Tính tích phân

    \iint_{S^+}(x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy

    với S^+ là phía ngoài mặt paraboloid z=x^2+y^2, 0\le z\le h.

    Sau đó tôi đã nhờ một số bạn lên chữa bằng hai cách:

    C1: tham số hóa mặt theo tọa độ trụ,

    C2: đậy thêm nắp S_1: z=h, x^2+y^2\le h với hướng dương là hướng lên trên, rồi dùng Ostrogradskii.

    Tiếp đó, có bạn hỏi về phần bài tập trong đề thi cuối kỳ. Tôi đã đưa ra các phần có thể có bài tập. Tôi cũng đưa ra vài ví dụ về việc sử dụng công thức Green, Stokes để tính tích phân đường loại II.

    Về tích phân mặt, khi mặt lấy tích phân nằm trên mặt phẳng chẳng hạn

    z=ax+by+c, (x, y)\in D

    thì việc chuyển tích phân mặt về tích phân hai lớp trên D khá dễ dàng như sau.

    +) Tích phân mặt loại I:

    \iint_S F(x, y, z)dS=\sqrt{1+a^2+b^2}\iint_D F(x, y, ax+by+c)dxdy.

    Đặc biệt khi a=b=0 có S: z=h, (x, y)\in D. Lúc này

    \iint_S F(x, y, z)dS=\iint_D F(x, y, h)dxdy.

    +) Tích phân mặt loại II:

    với S^+ là phía trên mặt z=ax+by+c, (x, y)\in D

    \iint_{S^+}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_D(-aP-bQ+R)dxdy.

    Đặc biệt khi a=b=0 có S^+ là phía trên mặt z=c, (x, y)\in D thì

    \iint_{S^+}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint_D Rdxdy.

    Trả lời

    • Tôi đã xem bài kiểm tra. Có vài lỗi:

      – sử dụng hệ tọa độ cầu,

      – hay nhầm dấu khi tính véc-tơ (A, B, C),

      – không so sánh (A, B, C) với hướng dương,

      – dùng Ostrogradskii cho mặt không kín.

      Trả lời

  19. Thưa thầy !
    Em là sinh viên K58-A3 .Thầy có thể up lên đề thi của môn giải tích 2 các năm trước để chúng em có thể tham khảo thêm không ạ .Em xin cảm ơn thầy !

    Trả lời

    • Những năm trước nội dung của môn Giải tích 2 khác. Chỉ có năm ngoái là có cùng nội dung. Năm ngoái tôi không dạy. Em có thể xem đề thi Giải tích 4 và Giải tích 5 có nội dung tương tự Giải tích 2. Để lấy các đề Giải tích 4 và 5 em vào chuyên mục đề thi tìm.

      Trả lời

Gửi phản hồi cho giải tích 2 Hủy trả lời

Trang web này sử dụng Akismet để lọc thư rác. Tìm hiểu cách xử lý bình luận của bạn.